金福藝，李 超

（長沙航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 長沙 410124）

旋轉(zhuǎn)機(jī)械被廣泛應(yīng)用于包括航空發(fā)動(dòng)機(jī)、燃?xì)廨啓C(jī)、工業(yè)壓縮機(jī)及各種電動(dòng)機(jī)等機(jī)械裝置中，在這些領(lǐng)域中，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)問題一直是關(guān)注的焦點(diǎn)，振動(dòng)過大不僅容易引發(fā)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)故障，同時(shí)也往往成為旋轉(zhuǎn)機(jī)械其他系統(tǒng)振動(dòng)的重要激勵(lì)源[1]。因此，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)問題不僅關(guān)系到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)自身的性能和安全，也關(guān)系到旋轉(zhuǎn)機(jī)械整機(jī)的振動(dòng)響應(yīng)水平和工作性能。特別對于不斷追求高可靠性、高性能的航空發(fā)動(dòng)機(jī)來說，往往因?yàn)樵O(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)不足或者對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能認(rèn)識不夠深刻，以及加工裝配工藝水平的限制，使得僅通過優(yōu)化力學(xué)特征參數(shù)以減少振動(dòng)帶來對結(jié)構(gòu)損傷和對結(jié)構(gòu)效率[2,3]減弱達(dá)不到期望的效果。

多電技術(shù)[4]在提高航空發(fā)動(dòng)機(jī)性能、減少燃料消耗和改善維護(hù)性能等方面具有巨大優(yōu)勢，主動(dòng)控制技術(shù)[5]是其核心技術(shù)中必不可少的一部分。通過主動(dòng)控制，可以實(shí)現(xiàn)性能的多目標(biāo)優(yōu)化。多電、全電發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)正在起步，美國和歐盟等國家預(yù)計(jì)，多電航空發(fā)動(dòng)機(jī)將在2020年左右投入使用。多電發(fā)動(dòng)機(jī)是未來先進(jìn)航空發(fā)動(dòng)機(jī)的發(fā)展趨勢，而探索轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)主動(dòng)控制策略是其設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容。

對于航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主動(dòng)振動(dòng)控制的研究是近代轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)新興的領(lǐng)域，主要包括3個(gè)方面的內(nèi)容：控制的性能函數(shù)，施加主動(dòng)控制力的方法以及控制器的設(shè)計(jì)等。Glasgow等[6]對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)控制做了較為詳細(xì)的分析，但是由于陀螺力矩的作用，模態(tài)隨轉(zhuǎn)速變化，對于高轉(zhuǎn)速的航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子來講，很難達(dá)到快速跟蹤、快速控制的目標(biāo)。魯棒控制又稱為穩(wěn)健性控制，可以有效的降低系統(tǒng)某些參數(shù)的敏感度，自1981年被Zames[7]提出后，獲得迅速發(fā)展[8,9]，并在轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)中得到了較好的應(yīng)用[10,11]。劉雍等[12]首次將魯棒控制應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的減振設(shè)計(jì)，所設(shè)計(jì)的H∞控制器不僅提高了系統(tǒng)對剛度參數(shù)變化的抗干擾能力，而且可以主動(dòng)控制其周期擾動(dòng)，但是由于控制目標(biāo)和控制器的設(shè)計(jì)較為單一，對初始結(jié)構(gòu)效率比較惡劣的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，改善其綜合性能依然較為困難。賀爾銘等[13]應(yīng)用最優(yōu)控制和極點(diǎn)配置方法，通過調(diào)節(jié)臨界轉(zhuǎn)速、阻尼比和不平衡量，實(shí)現(xiàn)了航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的綜合控制。上述不同的控制策略，均可實(shí)現(xiàn)對轉(zhuǎn)子振動(dòng)的主控控制，但是控制策略均比較單一。為了達(dá)到更好的抑振效果，本文綜合前述研究經(jīng)驗(yàn)，考慮航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在初始結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)較難滿足結(jié)構(gòu)效率要求的前提下，通過主動(dòng)控制器的綜合設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)變量的有效控制，從而提高航空發(fā)動(dòng)機(jī)整體力學(xué)性能，縮短研制周期，減少費(fèi)用支出。

航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主動(dòng)振動(dòng)控制的目的[14]主要有3個(gè)：首先，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在工作轉(zhuǎn)速鄰域內(nèi)應(yīng)具有一定的裕度（工程上一般為20%），即需要合理的配置臨界轉(zhuǎn)速，減小轉(zhuǎn)子的振動(dòng)幅值，從而減小其變形所帶來的氣動(dòng)效率損失。其次，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對不平衡量的低敏感性。例如轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的平衡配重是在有限個(gè)轉(zhuǎn)速下進(jìn)行的，因此在飛行包線內(nèi)仍存在一定的不平衡響應(yīng)，這時(shí)應(yīng)保證轉(zhuǎn)子具有足夠的抗變形能力。最后，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)參數(shù)變化范圍內(nèi)應(yīng)具有一定的穩(wěn)健性。由于航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)大量存在止口、螺栓、端齒和套齒等連接結(jié)構(gòu)，這會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的非連續(xù)性，并且由于材料、加工、裝配的差異，以及多變的工作狀態(tài)，導(dǎo)致外部載荷的非確定性，這些因素均會(huì)使轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量/剛度在一定范圍內(nèi)發(fā)生變化。這時(shí)應(yīng)在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，使受擾后的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)幅值盡快衰減。

綜上，主動(dòng)控制力u應(yīng)包括三項(xiàng)，即u=u_1+u_2+u_3。其中，u_1用于臨界轉(zhuǎn)速的配置，保證工作轉(zhuǎn)速下具有足夠的裕度，采用狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置法；u_2用于控制系統(tǒng)的對不平衡響應(yīng)的敏感性，采用最優(yōu)控制方法；u_3用于在小擾動(dòng)下，快速衰減瞬態(tài)響應(yīng)，采用魯棒控制方法。最終實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的控制綜合，以期實(shí)現(xiàn)最優(yōu)或次優(yōu)控制。航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)施加主動(dòng)控制力方法可以通過可控?cái)D壓油膜[15,16]、電磁軸承[17,18]、智能材料[19]等實(shí)現(xiàn)，相關(guān)文獻(xiàn)有著較為詳細(xì)的敘述，在此不做過多說明，僅做相關(guān)理論研究。

1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力特性的狀態(tài)空間表達(dá)

一般具有一定偏心質(zhì)量的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)渦動(dòng)微分方程具有如下形式：

若以調(diào)控轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界分布為目標(biāo)，應(yīng)使用u1控制。假設(shè)零初始狀態(tài)，對式（2）左右進(jìn)行拉氏變換，得到輸出的拉氏變換y( s)為：

若以降低轉(zhuǎn)子對不平衡響應(yīng)的敏感度為目標(biāo)，應(yīng)使用u2控制。假設(shè)系統(tǒng)在不平衡力的作用下的響應(yīng)為u0，擾動(dòng)為ξ，則受擾后系統(tǒng)的響應(yīng)為： u=u0+ξ，將其代入方程（1），可得擾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)微分方程：

此處u2的作用常常是使系統(tǒng)引入最佳阻尼，進(jìn)而改變系統(tǒng)的阻尼陣，用于衰減不確定因素引起的瞬態(tài)振動(dòng)。此時(shí)，系統(tǒng)的擾動(dòng)由未受控時(shí)變?yōu)槭芸貢r(shí)的（這里ξ為初始擾動(dòng)，0p為未受控時(shí)的特征值，pc為受控時(shí)的特征值）。由此可見，u2的引入主要是使受控系統(tǒng)得到所需的模態(tài)阻尼。

若以快速衰減瞬態(tài)響應(yīng)為目標(biāo)，可以使用u3控制。如圖1所示，P( s)和C( s)為別為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和控制器的傳遞函數(shù)，u3、e、d和y分別為外部輸入、誤差信號、外部擾動(dòng)輸入和控制對象輸出（位移）的測量值。當(dāng)d=0時(shí)，由外部輸入u3到控制對象輸出y的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)U3控制器示意

TS，現(xiàn)在把P( s)當(dāng)做變化參數(shù)，計(jì)算T( s)對P( s)的變化靈敏度，當(dāng)P( s)變化為 P( s) +ΔP( s)時(shí)，T( s)的變化ΔT( s)為：

進(jìn)一步可得：

當(dāng)式（6）中的 Δ P( s) → 0的極限，可求出T( s)對P( s)的變化的靈敏度函數(shù)S為

可以看出，式（6）在d=0時(shí)是閉環(huán)控制系統(tǒng)中由u3到e的傳遞函數(shù)，在u3=0時(shí)是由d到y(tǒng)的傳遞函數(shù)。也就是說，由式（7）描述的靈敏度函數(shù)S即描繪了u3對誤差信號e的影響，又反映了外部干擾d對控制對象輸出測量值y的影響。所謂降低系統(tǒng)對外部干擾的敏感性，即是將靈敏度函數(shù)的范數(shù)降到一個(gè)較低的值。

2 控制器設(shè)計(jì)

本文采用狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置、最優(yōu)控制和魯棒控制等現(xiàn)代控制綜合的方法，分別實(shí)現(xiàn)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界裕度、不平衡量敏感性和瞬態(tài)衰減的主動(dòng)控制。

2.1 u1控制器設(shè)計(jì)

基于此，引入任意n× n非奇異時(shí)常陣H，可將矩陣F取為：

步驟4：判斷T的非奇異性。若T非奇異，進(jìn)入下一步。若T奇異，返回步驟2，即重新選取，重復(fù)以上計(jì)算過程。

步驟5：計(jì)算 T-1，計(jì)算所求的狀態(tài)反饋矩陣，計(jì)算完成。

2.2 u2控制器設(shè)計(jì)

線性系統(tǒng)的二次型最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)是現(xiàn)代控制理論最重要的成果之一，在工程上得到了廣泛應(yīng)用，其最重要的問題是需要選定合適的性能指標(biāo)函數(shù)。性能指標(biāo)函數(shù)一般具有如下形式：

式（8）包括終端指標(biāo)和積分指標(biāo)兩部分。在航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主控控制中，一般不考慮終端指標(biāo)。這里不妨取頻率的二次型指標(biāo)作為性能指標(biāo)函數(shù)，形式如下：

圖2 最優(yōu)反饋控制系統(tǒng)

其控制器的設(shè)計(jì)可以可歸結(jié)為求解非線性黎卡提矩陣微分方程或代數(shù)方程。

式（10）是K( t)的矩陣微分方程。

K( t)與X( t)無關(guān)，所以可在運(yùn)行前將R-1BTK( t )離線計(jì)算出來，并存儲于計(jì)算機(jī)中。在系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)，將 -R-1BTK( t )從存儲中取出，與同一時(shí)刻測量到的X( t)相乘，構(gòu)成最優(yōu)控制U( t)。所以系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)的計(jì)算量只含一個(gè)乘法計(jì)算，計(jì)算量很小。至于黎卡提矩陣方程的求解早已得到廣泛深入的研究[20]，有標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算機(jī)程序可供使用，求解規(guī)范方便。

2.3 u3控制器

控制系統(tǒng)魯棒性分析的主要內(nèi)容是控制分析系統(tǒng)在一組不確定性作用下的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能，可歸結(jié)為魯棒穩(wěn)定性分析和魯棒性能分析這兩個(gè)方面。在航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，魯棒控制器的存在條件能夠提供構(gòu)型不確定性和外部干擾不確定性的范圍，這便是魯棒控制器的實(shí)際應(yīng)用。

形如狀態(tài)空間表達(dá)，若采用魯棒H∞控制，可以寫成如下的形式：

w為外部輸入信號，u3是控制輸入信號，Z是可控輸出信號，Y是可觀輸出信號，要求(A , B2)能控，(C2,A )能觀。對式進(jìn)行拉氏變換，可得傳遞函數(shù)矩陣與狀態(tài)方程之間的關(guān)系，即

由此可得干擾輸入w到可控輸出y之間的傳遞函數(shù)為：

H∞標(biāo)準(zhǔn)控制問題（如圖3所示）之一就是通過設(shè)計(jì)控制器K( s)使閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定且傳遞函數(shù)的無窮范數(shù)滿足：

圖3 H∞ 標(biāo)準(zhǔn)反饋控制系統(tǒng)

當(dāng)然，在進(jìn)行H∞控制器的設(shè)計(jì)時(shí)，首先應(yīng)檢查H∞控制器是否存在，否則因某些條件不滿足，不能設(shè)計(jì)出所需的控制器。

2.4 綜合控制器

圖4 綜合控制器示意圖

圖4中的u1控制器K是靜態(tài)的，與時(shí)間無關(guān)。因此可以在施加u1控制系統(tǒng)（圖中紅色虛線框內(nèi)）的基礎(chǔ)上選擇施加u2控制器或u3控制器，具體需要施加u2（最優(yōu)控制）還是u3（魯棒控制）需要根據(jù)實(shí)際控制目標(biāo)確定。

3 綜合控制仿真分析

為了證明本文提出的綜合反饋動(dòng)態(tài)控制器的抑振效果，對轉(zhuǎn)子-支承系統(tǒng)進(jìn)行綜合控制仿真分析?？紤]到實(shí)際轉(zhuǎn)子的復(fù)雜性和主動(dòng)控制方法的通用性，采用如圖5所示的航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子-支承系統(tǒng)簡化模型[21]，這里只給出轉(zhuǎn)子變形在xoz面上的投影，yoz面與之相同。

圖5 轉(zhuǎn)子變形在xoz平面上的投影

先分析轉(zhuǎn)子圓盤與彈性支承的速度和位移，計(jì)算轉(zhuǎn)子的動(dòng)能和勢能，進(jìn)而采用Lagrange方程建立彈性支承偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)渦動(dòng)微分方程。設(shè)xi、θyi，yi，θxi分別為第i個(gè)圓盤形心在oxz平面內(nèi)和oyz平面內(nèi)的絕對位移與轉(zhuǎn)角，xA、xB和yA、yB分別為兩端支承A和B在oxz平面內(nèi)和oyz平面內(nèi)的位移。忽略軸向變形與扭轉(zhuǎn)變形的影響，穩(wěn)態(tài)渦動(dòng)時(shí)N個(gè)圓盤與兩個(gè)彈性支承共有4N+4個(gè)自由度。選取廣義坐標(biāo)為

系統(tǒng)的動(dòng)能T為支撐動(dòng)能Tb與圓盤動(dòng)能Td之和：

在xoz面的任意瞬時(shí)，根據(jù)兩端彈性支承位移引起的第i個(gè)圓盤形心位移和截面轉(zhuǎn)角與兩端支承位移的幾何關(guān)系為：

整個(gè)轉(zhuǎn)軸的彈性勢能應(yīng)是oxz面內(nèi)的彈性勢能和oyz面內(nèi)彈性勢能的疊加：

兩端彈性支承的動(dòng)能：

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的總動(dòng)能：

設(shè)各圓盤的偏心距為 ei(i=1,2)，根據(jù)廣義力定義可得：

將動(dòng)能和勢能的表達(dá)式帶入拉格朗日方程：

由此可以得到兩端彈性支承單跨多盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的渦動(dòng)微分方程：

所得到轉(zhuǎn)子的坎貝爾圖如圖6、圖7所示，當(dāng)轉(zhuǎn)子從0轉(zhuǎn)速加速到14000 rpm時(shí)，將經(jīng)過2階臨界轉(zhuǎn)速（只考慮不平衡量激起的正進(jìn)動(dòng)），共振轉(zhuǎn)速分別為3480 rpm，11847 rpm。

假如轉(zhuǎn)子系統(tǒng)工作在11850 rpm附近，則可能會(huì)因?yàn)楣ぷ鬓D(zhuǎn)速與共振頻率之間的裕度過小而容易發(fā)生共振。假如規(guī)定需要將轉(zhuǎn)子的2階共振轉(zhuǎn)速降到11000 rpm以下，則可以通過u1控制器實(shí)現(xiàn)。首先應(yīng)通過線性變換提取原系統(tǒng)可控的部分，并考慮只能在軸承位置施加主動(dòng)力，可設(shè)定?？刂破鳛椋?/p>

圖6 坎貝爾圖（控制前）

圖7 坎貝爾圖（控制后）

假設(shè)轉(zhuǎn)子在盤1上存在不平衡量6g· mm，此時(shí)方程存在右端項(xiàng)：

圖8 X方向控制前后振幅

圖9 Y方向控制前后振幅

由圖8和圖9可看出，施加主動(dòng)控制力后的振動(dòng)幅值（圖中虛線）相比于轉(zhuǎn)子的原始狀態(tài)，不平衡力引起的振動(dòng)幅值大幅度減小。

u3控制器的控制效果與u2類似，為節(jié)省篇幅，不再論述。值得說明的是，在實(shí)際應(yīng)用中由于航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以寫出具體表達(dá)式，這時(shí)可以采用商用有限元軟件提取轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度等矩陣，并采用動(dòng)態(tài)數(shù)值仿真，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子振動(dòng)的主動(dòng)控制。由于計(jì)算量很大，本文以簡單轉(zhuǎn)子為例，僅為說明航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主動(dòng)抑振技術(shù)的可行性。

4 結(jié)論

通過系統(tǒng)的極點(diǎn)配置可以有效的改變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的分布。由于反饋矩陣為常矩陣，不受時(shí)間的影響，因此反饋后的控制系統(tǒng)可以作為一個(gè)優(yōu)化的新系統(tǒng)，可以由優(yōu)化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征參數(shù)指導(dǎo)原結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和改進(jìn)，以期實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)與力學(xué)特征的一體化設(shè)計(jì)，為航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。當(dāng)考慮轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)因連接界面等非確定因素的影響時(shí)，實(shí)時(shí)追蹤的反饋系統(tǒng)控制仍有待進(jìn)一步探索。

通過航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主動(dòng)抑振綜合控制，可以有效降低轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)，大幅提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的可靠性和安全性。同時(shí)，通過主動(dòng)控制綜合策略，可以在結(jié)構(gòu)構(gòu)型布局比較不合理的前提下進(jìn)行相關(guān)力學(xué)特征的控制，從而整體提升其力學(xué)性能。

航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主動(dòng)控制綜合策略仍有待需完善之處，如在控制過程中如何快速準(zhǔn)確的跟蹤到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)故障所引起的力學(xué)特征參數(shù)的變化，進(jìn)而快速準(zhǔn)確的選取響應(yīng)的控制策略。