光和引力波專(zhuān)題Ⅰ
——廣義相對(duì)性原理、光速不變?cè)砑耙φ?/h1>
2019-03-22 03:11:34王雯宇
物理與工程 2019年1期 關(guān)鍵詞：理論
王雯宇 許 洋
(北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院，北京 100124)
1 背景
2016年2月11日LIGO團(tuán)隊(duì)宣布成功探測(cè)到了引力波的現(xiàn)象，2017年的諾貝爾物理獎(jiǎng)授予了對(duì)探測(cè)引力波作出重要貢獻(xiàn)的雷納·韋斯、巴里·巴里什和基普·S·索恩3人。在此之后2017年8月17日，LIGO和Virgo探測(cè)器又分別探測(cè)到了一個(gè)持續(xù)時(shí)間為100s左右的新引力波信號(hào)。在該引力波信號(hào)到達(dá)后大約1.7s，美國(guó)國(guó)家航空航天局(NASA)費(fèi)米衛(wèi)星搭載的伽瑪暴監(jiān)測(cè)器(GBM)、歐洲INTEGRAL和中國(guó)紫金山天文臺(tái)等世界各地的多家天文臺(tái)都探測(cè)到了一個(gè)暗弱的短時(shí)標(biāo)電磁伽馬射線(xiàn)暴。2017年10月16日多國(guó)天文學(xué)家同時(shí)宣布了這一消息，引起了世界的轟動(dòng)，這也標(biāo)志著以多種觀(guān)測(cè)方式為特點(diǎn)的“多信使”天文學(xué)進(jìn)入一個(gè)新時(shí)代[1]。引力波是廣義相對(duì)論預(yù)言中的重要現(xiàn)象。在相對(duì)論創(chuàng)立100余年后，引力波的觀(guān)測(cè)再次驗(yàn)證了愛(ài)因斯坦引力理論。在廣義相對(duì)論中，引力波的速度是真空中的光速。為什么引力波速與真空電磁波速度相同？這并不是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題。因?yàn)楣馑偈怯烧婵整溈怂鬼f方程組得到的，這是一個(gè)純粹的電磁理論的結(jié)果。廣義相對(duì)論中，引力波是時(shí)空度規(guī)的震蕩，也就是通常所說(shuō)的時(shí)空彎曲的漣漪，這是一個(gè)關(guān)于時(shí)空的理論。為什么時(shí)空度規(guī)的引力波要以真空電磁波的速度來(lái)傳播？如果讀者對(duì)廣義相對(duì)論不是很熟悉的話(huà)，是很難說(shuō)清楚這一點(diǎn)的。
現(xiàn)代物理的一個(gè)重要基礎(chǔ)就是相對(duì)論理論，該理論又分為狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論兩部分。狹義相對(duì)論以相對(duì)性原理和光速不變?cè)頌槌霭l(fā)點(diǎn)，系統(tǒng)地描述了慣性系中的力學(xué)和電磁學(xué)現(xiàn)象。廣義相對(duì)論處理的是引力存在時(shí)的經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)。愛(ài)因斯坦提出了等效原理，即時(shí)空局域一點(diǎn)的引力場(chǎng)可用相應(yīng)的局域非慣性參考系去描述，而各個(gè)局域慣性參考系的關(guān)系由愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程聯(lián)系起來(lái)，這樣就將引力問(wèn)題等同于時(shí)空的幾何問(wèn)題。黎曼幾何恰當(dāng)?shù)孛枋隽藦V義相對(duì)論。在高等物理教學(xué)中，狹義相對(duì)論通常是必修的重要課程，許多物理理論都需要用到狹義相對(duì)論的基本概念。廣義相對(duì)論理論由于其物理效應(yīng)相對(duì)其他理論來(lái)說(shuō)，應(yīng)用較少，通常放在擴(kuò)展閱讀中由學(xué)習(xí)者自由選擇。很多不從事理論物理研究的學(xué)者對(duì)廣義相對(duì)論了解較少，特別是狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論之間的關(guān)系是什么，等效原理中光速是否還能保持不變等。很多物理學(xué)的擴(kuò)展閱讀并沒(méi)有說(shuō)清楚。因此做一個(gè)狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論之間關(guān)系的簡(jiǎn)單介紹是必需的。
討論引力波速和光速之間的關(guān)系其實(shí)也是一個(gè)前沿的科學(xué)問(wèn)題。在平直時(shí)空電磁理論中，由于電磁介質(zhì)的存在，電磁波的速度是可以低于真空中的光速的，比如玻璃中的光速就小于真空中的光速。因此要做到引力波的速度和光速不同是很容易的，那就是時(shí)空充滿(mǎn)某種電磁介質(zhì)，此時(shí)電磁信號(hào)的傳播速度就與引力波速(真空光速)不同了。那么介質(zhì)存在時(shí)電磁理論和引力理論的具體形式是什么？怎么區(qū)分引力波速和光速是需要做深入研究的。本文作者在文獻(xiàn)[2]中就討論了平直時(shí)空介質(zhì)存在時(shí)的協(xié)變麥克斯韋方程組的形式。介質(zhì)中的電磁波速低于真空中的光速，而且是相對(duì)論協(xié)變的。如果要處理引力波問(wèn)題，則需要把該理論再做進(jìn)一步的推廣，把介質(zhì)電磁理論推廣到引力存在的情況。其實(shí)純粹的引力理論也需要考慮是否有類(lèi)似電磁理論中介質(zhì)存在的情況，引力波速會(huì)不會(huì)也因此而改變，這是一個(gè)非常有意思的問(wèn)題。
基于以上考慮，本專(zhuān)題試圖盡量淺顯地介紹廣義相對(duì)論引力理論，特別是廣義相對(duì)論和狹義相對(duì)論之間的關(guān)系。然后討論介質(zhì)存在時(shí)電磁和引力理論，最后再研究一下光速和引力波速不同的情況。論文分為兩篇。第一篇主要討論經(jīng)典廣義相對(duì)論引力的原理、理論及其檢驗(yàn)。文中第2節(jié)討論廣義相對(duì)性原理、光速不變?cè)硪约皶r(shí)空坐標(biāo)的理解，第3節(jié)簡(jiǎn)介引力論的具體內(nèi)容以及檢驗(yàn)。第4節(jié)給出本篇的小結(jié)。第二篇主要討論介質(zhì)存在時(shí)的電磁理論與引力理論，重點(diǎn)討論電磁波與引力波速度的異同和引力場(chǎng)方程以及弗雷德曼方程的修正。文中需要用到的黎曼幾何知識(shí)也在第二篇附錄中給出，正文將主要關(guān)注物理理論。
2 等效原理、廣義相對(duì)性原理和光速不變?cè)?/h2>
談到引力，人們首先會(huì)想到的是牛頓萬(wàn)有引力理論。雖然與廣義相對(duì)論一樣都是描述引力，但是二者存在本質(zhì)的區(qū)別：萬(wàn)有引力是絕對(duì)時(shí)空觀(guān)下力的平方反比定律，簡(jiǎn)潔卻有著清晰的理論預(yù)言；廣義相對(duì)論則是一個(gè)關(guān)于度規(guī)的理論，其核心思想是四維時(shí)空引力幾何化，即引力的作用等同于時(shí)空的彎曲。為什么愛(ài)因斯坦要把萬(wàn)有引力推廣為廣義相對(duì)論理論呢？這是因?yàn)楠M義相對(duì)論很好地處理了電磁場(chǎng)、牛頓力學(xué)在不同慣性系之間的變換問(wèn)題。慣性系電磁場(chǎng)、牛頓力學(xué)都可以修改為狹義相對(duì)論洛倫茲協(xié)變的形式。而仔細(xì)分析萬(wàn)有引力理論就可以知道，它是很難寫(xiě)成洛倫茲協(xié)變形式的。為此愛(ài)因斯坦就提出了等效原理，把引力幾何化，成功地得到了洛倫茲協(xié)變引力理論。因此討論廣義相對(duì)論之前，必須說(shuō)明廣義相對(duì)論的等效原理，以及它與狹義相對(duì)論理論之間的關(guān)系。狹義相對(duì)論理論源自?xún)蓚€(gè)原理：相對(duì)性原理，即物理方程在不同的慣性系中形式不變；光速不變?cè)?，即光在真空中的傳播速度為一個(gè)常數(shù)。在等效原理的指導(dǎo)下，相對(duì)性原理和光速不變?cè)淼木唧w內(nèi)容都有所修正，這正是廣義相對(duì)論理論的出發(fā)點(diǎn)。具體情況在下面兩小節(jié)中做出說(shuō)明。
2.1 等效原理與廣義相對(duì)性原理
廣義相對(duì)論是一個(gè)協(xié)變的引力理論，理論基礎(chǔ)是等效原理。等效原理的表述為：物體的慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量相等，慣性力與引力的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)局域不可分辨。這實(shí)際上初步建立了引力與幾何之間的橋梁，引力幾何化的思想正源自于此。通常的例子就是，在一個(gè)加速下降的電梯里面，人無(wú)法區(qū)分地球的吸引與電梯的加速。為了理解它的物理內(nèi)涵，我們可以考慮一個(gè)在地球引力勢(shì)
(2.1)
中的自由下落的質(zhì)點(diǎn)。其中，M是地球的質(zhì)量，G是牛頓萬(wàn)有引力常數(shù)。根據(jù)牛頓力學(xué)，它的運(yùn)動(dòng)方程是
(2.2)
其中，g代表地球表面的重力加速度，假設(shè)其為一個(gè)常矢量；mI,mG分別表示慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量。如果mI=mG，那么求解運(yùn)動(dòng)方程得到
(2.3)
這是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的描述地球引力的例子(自由落體)，它表示在引力場(chǎng)中某個(gè)靜止的觀(guān)察者A看到的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況。然而，如果換到某個(gè)與質(zhì)點(diǎn)共同自由下落的慣性系B(隨動(dòng)坐標(biāo)系)，即對(duì)式(2.3)做非線(xiàn)性坐標(biāo)變換：
(2.4)
這表示A參考系承受著的一個(gè)
F=-mIg
的慣性力?，F(xiàn)在式(2.3)在隨動(dòng)坐標(biāo)系B下表述為
(2.5)
這是一個(gè)不受外力的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。我們發(fā)現(xiàn)在觀(guān)察者A看來(lái)的引力相互作用，在慣性系B中則表現(xiàn)為不受任何相互作用，這說(shuō)明我們可以通過(guò)坐標(biāo)變換將引力的作用局域消除。注意，以上坐標(biāo)變換只有在重力加速度g為一常數(shù)時(shí)才成立，這即是等效原理中“局域”的意思。當(dāng)重力加速度g是時(shí)間與空間的函數(shù)時(shí)，則需要做一個(gè)更加復(fù)雜的非線(xiàn)性變換。
既然引力的效果可以被局域得消除，那就可以放棄“力”的觀(guān)點(diǎn)，將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，這就是引力的幾何化思想。根據(jù)式(2.5)可以看出，不受力的物體，在歐幾里得空間中的自由運(yùn)動(dòng)是直線(xiàn)，這其實(shí)對(duì)應(yīng)著歐幾里得幾何中的測(cè)地線(xiàn)，也即兩點(diǎn)之間的短程線(xiàn)。根據(jù)相對(duì)論理論，現(xiàn)實(shí)的時(shí)空并不是滿(mǎn)足歐幾里得幾何，而是由黎曼幾何(要點(diǎn)見(jiàn)第二篇附錄)來(lái)描述的，而且時(shí)間空間是一體的。物體在引力作用下的動(dòng)力學(xué)方程就等價(jià)于黎曼幾何中的測(cè)地線(xiàn)方程。因此，引力的問(wèn)題就被引入到了時(shí)空幾何的研究范疇中，黎曼幾何中的測(cè)地線(xiàn)和曲率是廣義相對(duì)論理論的重要概念。下面分析彎曲時(shí)空測(cè)地線(xiàn)的具體表達(dá)形式。
為了求得一般坐標(biāo)系下的測(cè)地線(xiàn)方程，根據(jù)等效原理，首先要將引力消除，得到一個(gè)不受外力的自由運(yùn)動(dòng)方程
(2.6)
其中，τ是固有時(shí)(粒子靜止參考系中粒子所處位置經(jīng)歷的時(shí)間)，
(2.7)
是固有速度(與坐標(biāo)速度不同，后文詳細(xì)說(shuō)明)。注意一般坐標(biāo)系中μ指標(biāo)為零表示時(shí)間維度，其它數(shù)值(1,2,3)表示空間維度，此時(shí)的速度可以是三維速度，也可以是四維速度。對(duì)式(2.6)做一個(gè)坐標(biāo)變換
x→x′
(2.8)
結(jié)果為
(2.9)
在計(jì)算中我們采用了相同指標(biāo)求和的約定(下同)。其中，
(2.10)
稱(chēng)為聯(lián)絡(luò)[3]，這是描述彎曲時(shí)空幾何的一個(gè)重要概念。利用固有速度式(2.7)的定義，方程(2.9)的另外一種形式為
(2.11)
若坐標(biāo)變換是線(xiàn)性的，則二階偏導(dǎo)項(xiàng)為零，聯(lián)絡(luò)為零。因此聯(lián)絡(luò)代表著坐標(biāo)變換的非線(xiàn)性性質(zhì)。式(2.9)和式(2.11)就是黎曼幾何的測(cè)地線(xiàn)方程，它描述了經(jīng)過(guò)一般坐標(biāo)變換后的引力場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方程。測(cè)地線(xiàn)方程也可以由拉格朗日量得到，取
(2.12)
作為拉格朗日量。其中，gμ ν是度規(guī)張量，刻畫(huà)了時(shí)空彎曲的性質(zhì)，其幾何意義在第二篇附錄中有較詳細(xì)的說(shuō)明，后文我們還要討論其物理意義。由變分原理得到的歐拉-拉格朗日方程即是測(cè)地線(xiàn)方程(2.9)，具體過(guò)程也可以參看第二篇附錄。另外需要注意的是，以上速度定義中的求導(dǎo)都是對(duì)粒子固有時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，對(duì)于光子或者其他無(wú)質(zhì)量粒子，無(wú)法定義固有時(shí)間，因此應(yīng)該換成對(duì)另外的某個(gè)參數(shù)(比如隨動(dòng)坐標(biāo)系中的時(shí)間坐標(biāo)σ)的求導(dǎo)，相同的坐標(biāo)變換也可以得到類(lèi)似的運(yùn)動(dòng)方程
(2.13)
此時(shí)
(2.14)
聯(lián)絡(luò)的定義不變。
基于等效原理，我們就知道引力存在時(shí)，時(shí)空可以看作是彎曲的，引力作用下物體的運(yùn)動(dòng)是彎曲時(shí)空的測(cè)地線(xiàn)。相應(yīng)地，物理理論就應(yīng)該修改為以彎曲時(shí)空為背景的理論。那么具體的物理理論比如電磁理論、牛頓力學(xué)等應(yīng)該做怎樣的修改才能成為一個(gè)彎曲時(shí)空的理論？此時(shí)可以回到構(gòu)建狹義相對(duì)論理論的邏輯歷程。狹義相對(duì)論理論開(kāi)始于相對(duì)性原理和光速不變?cè)?。相?duì)性原理表明物理規(guī)律在所有的慣性系中的形式都是一樣的。等效原理表明，引力局域等效于非慣性系，非慣性系可以非線(xiàn)性變換為慣性系。那么相對(duì)性原理就可以做這樣的推廣：物理理論在任意的參考系形式都是不變的，即物理規(guī)律不僅在慣性系間的洛倫茲變換下是協(xié)變的，而且在任意坐標(biāo)變換下都是協(xié)變的。這就是廣義相對(duì)性原理。如何具體表達(dá)廣義相對(duì)性原理呢？廣義相對(duì)性原理要求的結(jié)果就是描述物理規(guī)律的方程必須是一個(gè)張量方程。就像狹義相對(duì)論中，物理量可以寫(xiě)成四維矢量或者張量形式一樣，張量形式是不依賴(lài)于坐標(biāo)系選擇的。張量方程只要它在一個(gè)坐標(biāo)系中成立，那它就在所有的坐標(biāo)系中都成立。在狹義相對(duì)論中，根據(jù)洛倫茲變換性質(zhì)定義了張量和旋量。洛倫茲變換是一種線(xiàn)性坐標(biāo)變換。在廣義相對(duì)論中，就可以做以下推廣：在任意坐標(biāo)變換下定義相關(guān)物理量的張量形式，由這種廣義協(xié)變張量形式物理量重新構(gòu)建物理方程。這樣物理方程在任意坐標(biāo)變換下都是協(xié)變的，也就自然滿(mǎn)足廣義相對(duì)性原理了。
事實(shí)上，廣義相對(duì)性原理沒(méi)有說(shuō)明方程應(yīng)該怎么寫(xiě)，它只表明方程應(yīng)當(dāng)是一個(gè)廣義協(xié)變的張量方程。這里注意區(qū)分協(xié)變性與不變性。協(xié)變性實(shí)際上是對(duì)物理方程的形式要求，原則上任意一個(gè)不協(xié)變的方程都可以通過(guò)一些技巧把它寫(xiě)成協(xié)變的[4]。相比協(xié)變性，方程的不變性則對(duì)方程的內(nèi)容施加了限制。在量子場(chǎng)論中，可以依據(jù)場(chǎng)在洛倫茲變換下的不變量寫(xiě)下相應(yīng)的拉格朗日量，因此洛倫茲變換不變性的要求決定了拉氏量中各項(xiàng)的具體形式。依據(jù)等效原理與廣義協(xié)變性，就可以建立起通過(guò)幾何描述引力的一般方程。不止是引力，牛頓力學(xué)、電磁學(xué)都可以通過(guò)廣義相對(duì)性原理表述成廣義協(xié)變形式。在這之前，先應(yīng)了解廣義相對(duì)性原理給物理方程施加了哪些限制。
廣義協(xié)變性最直接的要求即是方程中只允許出現(xiàn)張量。我們可以根據(jù)廣義協(xié)變性定義一個(gè)一階張量Aμ，它在廣義坐標(biāo)下的變換法則是
(2.15)
其中，x′α是另外一個(gè)坐標(biāo)系；A′α是在x′α坐標(biāo)系的張量，其中
(2.16)
表示某一坐標(biāo)變換。滿(mǎn)足這種變換法則的一階張量Aμ稱(chēng)為逆變矢量。若一階張量Aμ的變換法則為
(2.17)
則稱(chēng)Aμ為協(xié)變矢量。逆變矢量和協(xié)變矢量之間的通過(guò)度規(guī)相聯(lián)系
Aμ=gμ νAν,Aμ=gμ νAν
(2.18)
二階、三階以及高階張量也做類(lèi)似定義。由這種方式定義的張量Aμ可以是長(zhǎng)度、電磁場(chǎng)等物理量。這樣定義的張量自然是變換協(xié)變的。物理方程中，由非線(xiàn)性變換造成的改變?cè)谟趶埩康膶?dǎo)數(shù)項(xiàng)。比如張量Aμ的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)?νAμ。廣義坐標(biāo)變換后，一階張量的簡(jiǎn)單微分并不能給出一個(gè)二階張量。我們需要對(duì)式(2.17)兩邊取微分
(2.19)
上式等號(hào)右邊第一項(xiàng)的存在使得一階張量的普通導(dǎo)數(shù)不是張量。這是因?yàn)閺V義坐標(biāo)變換是一個(gè)任意的坐標(biāo)變換，廣義的坐標(biāo)變換不能保證等號(hào)右邊第一項(xiàng)為零。廣義相對(duì)性原理的關(guān)鍵——不存在一個(gè)特殊的參考系，要求所有坐標(biāo)系都是等權(quán)的。因此物理方程不能使用普通導(dǎo)數(shù)。把物理理論推廣為引力存在時(shí)彎曲時(shí)空的情況，則需要將普通導(dǎo)數(shù)?μ替換為協(xié)變導(dǎo)數(shù)μ。所謂協(xié)變導(dǎo)數(shù)就是μAν的坐標(biāo)變換為
(2.20)
根據(jù)黎曼幾何，協(xié)變導(dǎo)數(shù)的具體形式為
(2.21)
Aν的協(xié)變導(dǎo)數(shù)則用分號(hào)表示，即
F=ma
(2.22)
首先將其寫(xiě)為張量形式，
(2.23)
其中μ指標(biāo)可以是三維空間指標(biāo)1,2,3，也可以是四維時(shí)空坐標(biāo)0,1,2,3。如果是四維時(shí)空，F(xiàn)0是相對(duì)論四維力的零分量(低速情況即功率)，其中
(2.24)
是加速度。由于dxμ是一個(gè)矢量，dτ是固有時(shí)微元，因此速度uμ是一個(gè)矢量。但是彎曲時(shí)空中duμ就不是一個(gè)矢量了，因此加速度不是一個(gè)廣義協(xié)變的矢量。對(duì)方程(2.23)變形
(2.25)
將以上方程(2.25)與測(cè)地線(xiàn)方程(2.9)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，力Fμ[6]可以定義為
(2.26)
(2.27)
該項(xiàng)減去方程(2.25)右邊的Fμ項(xiàng)剛好就湊成了協(xié)變導(dǎo)數(shù)ν，即
(2.28)
這樣得到廣義協(xié)變的牛頓力學(xué)方程
uννuμ=0
(2.29)
這就是式(2.11)。也就是說(shuō)，牛頓力學(xué)方程變成了彎曲時(shí)空的極短路徑的運(yùn)動(dòng)方程。這正是等效原理的體現(xiàn)。再次強(qiáng)調(diào)，這里牛頓力學(xué)方程可以是三維的力學(xué)方程，也可以是四維時(shí)空的力學(xué)方程，只要引力幾何化就可以，下節(jié)將更詳細(xì)的說(shuō)明此點(diǎn)。
經(jīng)典電磁學(xué)用麥克斯韋方程組來(lái)描述。方程組是自然狹義相對(duì)論洛倫茲協(xié)變的，其協(xié)變形式為
其中，F(xiàn)μ ν是電磁場(chǎng)張量；jν是電流。可以看到，方程都是對(duì)坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)，所以彎曲時(shí)空的電磁理論的推廣很簡(jiǎn)單，就是把普通導(dǎo)數(shù)替換為協(xié)變導(dǎo)數(shù)即可。因此彎曲時(shí)空的真空麥克斯韋方程組形式成為
關(guān)于彎曲時(shí)空電磁理論的具體內(nèi)容在第二篇論文中再做說(shuō)明。
綜上，將物理規(guī)律推廣至引力存在彎曲時(shí)空理論的方法就是，把普通導(dǎo)數(shù)替換為協(xié)變導(dǎo)數(shù)，方程就具有了廣義協(xié)變的形式。這就是廣義相對(duì)性原理。
圖1 二維曲面圓周運(yùn)動(dòng)等效于極坐標(biāo)直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)
2.2 廣義光速不變?cè)?/h3>
上節(jié)描述了等效原理和廣義相對(duì)性原理，根據(jù)這兩個(gè)原理，原則上所有理論都可以寫(xiě)成彎曲空間的理論。是否廣義相對(duì)論已經(jīng)建立完成了呢？不是這樣的。狹義相對(duì)論中，除相對(duì)性原理之外，還需要光速不變?cè)聿拍軜?gòu)建完整理論。光速不變?cè)硪蟛煌瑧T性系中保持真空中光速不變。由此才能得到洛倫茲變換和狹義相對(duì)論時(shí)空觀(guān)等理論。在廣義理論中，相對(duì)性原理要求把理論寫(xiě)成一個(gè)彎曲時(shí)空廣義協(xié)變的形式。而彎曲時(shí)空具體形式是什么，廣義協(xié)變性并不能給出指導(dǎo)。也就是說(shuō)，根據(jù)上節(jié)的方法，物理理論可以在任意的坐標(biāo)變換下都可以寫(xiě)成協(xié)變形式。協(xié)變導(dǎo)數(shù)中需要用到的聯(lián)絡(luò)也沒(méi)有明確的限制。
顯然，如果要得到廣義相對(duì)性理論，光速不變?cè)硪惨茝V為廣義形式。有讀者會(huì)認(rèn)為，四維時(shí)空張量的固有間隔ds2(后文詳述該物理量定義。)是一個(gè)標(biāo)量，廣義相對(duì)性原理要求張量坐標(biāo)變換不變，那不就可以得到光速不變的要求了么？其實(shí)不是這樣的，上節(jié)說(shuō)明的廣義相對(duì)性原理時(shí)，我們一再?gòu)?qiáng)調(diào)彎曲時(shí)空可以三維的，也可以是四維的。即可以?huà)侀_(kāi)時(shí)間一維，構(gòu)建一個(gè)三維彎曲空間廣義協(xié)變的理論，滿(mǎn)足絕對(duì)時(shí)空觀(guān)和廣義相對(duì)性原理，而不滿(mǎn)足光速不變?cè)怼９馑俨蛔冊(cè)韯t要求必須構(gòu)建一個(gè)時(shí)空一體的閔氏時(shí)空，由黎曼幾何表達(dá)的物理理論。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，下面舉一個(gè)絕對(duì)時(shí)空兩維彎曲面廣義理論的例子。
如圖1(a)所示，一個(gè)質(zhì)量為m的行星圍繞中心天體作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為ρ0，角速度為ω。行星在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，這就是一個(gè)二維系統(tǒng)。根據(jù)牛頓第二定律，在直角坐標(biāo)系中其動(dòng)力學(xué)方程可以寫(xiě)為
其解可以寫(xiě)為
行星軌跡是一個(gè)圓，它的速率為
這就是牛頓力學(xué)描述的平面圓周運(yùn)動(dòng)，加速度ω2ρ0歸因于萬(wàn)有引力的作用，此時(shí)空間是平直的。
根據(jù)等效原理，平面上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)就是一個(gè)二維彎曲面上的測(cè)地線(xiàn)，式(2.34)(2.35)可以寫(xiě)成彎曲空間中的運(yùn)動(dòng)方程。此時(shí)彎曲面的度規(guī)、聯(lián)絡(luò)的具體形式是什么呢？這暫時(shí)是不清楚的。如圖1(b)所示，可以做一個(gè)坐標(biāo)變換將直角坐標(biāo)(x,y)轉(zhuǎn)化至極坐標(biāo)系(ρ,φ)，
在極坐標(biāo)系行星的運(yùn)動(dòng)方程非常簡(jiǎn)單
也就是說(shuō)，極坐標(biāo)系中，行星做ρ為常數(shù)，φ勻速變化的運(yùn)動(dòng)，類(lèi)似于平面內(nèi)的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。注意這是一個(gè)絕對(duì)時(shí)空觀(guān)描述的運(yùn)動(dòng)，時(shí)間是獨(dú)立參量，與空間無(wú)關(guān)。此時(shí)(ρ,φ)坐標(biāo)系的度規(guī)是什么也不清楚，但是由于已經(jīng)知道了坐標(biāo)變換式(2.40)和式(2.41)，根據(jù)式(2.10)可以計(jì)算聯(lián)絡(luò)，我們已經(jīng)可以根據(jù)彎曲空間張量理論重新理解(x,y)空間的運(yùn)動(dòng)了。(ρ,φ)坐標(biāo)系測(cè)地線(xiàn)方程為
此時(shí)萬(wàn)有引力幾何化，空間是平直的。(x,y)空間運(yùn)動(dòng)的形式可以由坐標(biāo)變換式(2.40)、(2.41)的逆變換
來(lái)得到。將極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化至笛卡爾坐標(biāo)系中。此時(shí)測(cè)地線(xiàn)方程為
(2.48)
根據(jù)聯(lián)絡(luò)的定義式(2.10)和坐標(biāo)的正逆變換，可以得到
將行星速率的表達(dá)式(2.38)、(2.39)以及聯(lián)絡(luò)分量的表達(dá)式代入至測(cè)地線(xiàn)方程(2.48)中，讀者可以驗(yàn)證，運(yùn)動(dòng)方程就回到了
(2.52)
y的運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)與此類(lèi)似。這一方程與牛頓第二定律得到的動(dòng)力學(xué)方程(2.34)形式相同，但是意義卻完全不同。在方程(2.34)中，等號(hào)右邊的項(xiàng)(-ω2x)是萬(wàn)有引力導(dǎo)致的加速度，空間是平直的，而式(2.52)左邊ω2x是幾何量，空間是彎曲的，引力的效果被彎曲空間效應(yīng)所替代。(x,y)空間度規(guī)不再是一個(gè)常量矩陣，其具體形式是什么，這就牽涉到下節(jié)要研究的引力場(chǎng)方程，這里先不討論。
以上二維彎曲面運(yùn)動(dòng)方程(2.52)就是測(cè)地線(xiàn)方程，亦即式(2.29)的三維表述形式。它是滿(mǎn)足廣義相對(duì)性原理的，這說(shuō)明萬(wàn)有引力定律是可以寫(xiě)為彎曲空間中廣義協(xié)變形式的。以上方程也都滿(mǎn)足伽利略變換，因此一個(gè)無(wú)限大的速度在絕對(duì)時(shí)空觀(guān)下是允許的。從這個(gè)例子可以看出，光速不變?cè)硎遣荒軖仐壍?。光速不變要求時(shí)空一體，四維時(shí)空的固有間隔ds2不變，這樣才能建立符合真實(shí)物理世界的相對(duì)論理論。由于時(shí)空彎曲，固有間隔ds2、時(shí)空度規(guī)gμ ν和聯(lián)絡(luò)之間的關(guān)系很復(fù)雜，下面做具體的說(shuō)明。
彎曲時(shí)空的的性質(zhì)由每個(gè)時(shí)空度規(guī)gμ ν來(lái)刻畫(huà)。根據(jù)等效原理，局域一點(diǎn)都可以做一個(gè)坐標(biāo)變換變?yōu)橐粋€(gè)平直時(shí)空。局域平直時(shí)空光速不變導(dǎo)致的不變量就是四維時(shí)空固有間隔ds2，它表示兩時(shí)空點(diǎn)之間的不變距離，在任何度規(guī)下都為一標(biāo)量。ds2由度規(guī)張量gμ ν確定，即
ds2=gμ νdxμdxν
(2.53)
注意，基于以上廣義光速不變?cè)淼挠懻?，相?duì)論理論中希臘字母如μ就必須取四維時(shí)空坐標(biāo)0,1,2,3了。由于dxμdxν關(guān)于μ、ν指標(biāo)對(duì)稱(chēng)，在本文中我們假設(shè)度規(guī)張量gμ ν是對(duì)稱(chēng)的，即gμ ν=gν μ。度規(guī)張量非對(duì)稱(chēng)的情況，具體可以參考文獻(xiàn)[7]。在四維時(shí)空中，對(duì)稱(chēng)的度規(guī)張量一般有10個(gè)分量，它們完全確定了時(shí)空的幾何性質(zhì)。度規(guī)張量有著非常豐富的物理內(nèi)容，對(duì)度規(guī)張量各個(gè)分量的檢驗(yàn)將直接驗(yàn)證引力的效果。下小節(jié)將說(shuō)明度規(guī)分量的物理意義。
另外一個(gè)重要的量dτ稱(chēng)為固有時(shí)，它與時(shí)空間隔的關(guān)系是
ds=cdτ
(2.54)
其中c代表真空中的光速，在本文中采取自然單位制，即c=1，這樣簡(jiǎn)化之后有
ds=dτ.
(2.55)
式(2.53)也可以寫(xiě)為
dτ2=gμ νdxμdxν
(2.56)
兩邊同時(shí)除以dτ2，就得到一個(gè)恒等式
(2.57)
時(shí)空間隔與固有時(shí)是描述廣義光速不變?cè)淼闹匾锢砹?。同時(shí)，引入了度規(guī)之后就可以定義該時(shí)空中的面積、體積等幾何量了。而這些幾何量相對(duì)于閔科夫斯基時(shí)空的偏離正是引力場(chǎng)的效果。這一點(diǎn)使得對(duì)廣義相對(duì)論的檢驗(yàn)變得更加直觀(guān)，因此有著清晰而豐富的物理內(nèi)涵。
根據(jù)黎曼幾何，可得到聯(lián)絡(luò)和度規(guī)的關(guān)系。如四維時(shí)空間隔dτ2不變，即
βgμ ν=0
(2.58)
將上式用聯(lián)絡(luò)寫(xiě)開(kāi)，根據(jù)黎曼幾何
(2.59)
上式是由聯(lián)絡(luò)表示度規(guī)的方法。反過(guò)來(lái)，也可以用度規(guī)表示聯(lián)絡(luò)。為此把上式中的指標(biāo)μ、ν、β循環(huán)排列，得到
將式(2.60)與式(2.61)相加并減去式(2.59)，經(jīng)化簡(jiǎn)，得到
(2.62)
這就是四維時(shí)空由度規(guī)計(jì)算聯(lián)絡(luò)的公式，該聯(lián)絡(luò)稱(chēng)為克里斯多夫聯(lián)絡(luò)。注意在廣義相對(duì)論中，聯(lián)絡(luò)的下指標(biāo)是交換對(duì)稱(chēng)的。聯(lián)絡(luò)不對(duì)稱(chēng)(撓率不為零)的情況不屬于本文討論范圍。
在某個(gè)確定度規(guī)彎曲空間中，度規(guī)與度規(guī)一階二階導(dǎo)數(shù)可以組成的張量為黎曼曲率張量，其形式為
(2.63)
該張量確定了時(shí)空彎曲的具體性質(zhì)。另外還可以對(duì)黎曼張量進(jìn)行指標(biāo)縮并得到里奇張量和標(biāo)量
這些量的幾何定義都在第二篇附錄中，這里就不詳細(xì)說(shuō)明了。在廣義相對(duì)論引力理論中，里奇張量和標(biāo)量有重要的應(yīng)用。
在等效原理的指導(dǎo)下，本節(jié)推廣了相對(duì)性原理和光速不變?cè)?，由此就可以建立廣義相對(duì)論了。后文的關(guān)于度規(guī)gμ ν的廣義相對(duì)論引力論就是以上原理的直接結(jié)果。但是僅在等效原理的指導(dǎo)下，已經(jīng)可以理解很多引力物理的內(nèi)涵了，特別是關(guān)于引力存在時(shí)坐標(biāo)系和時(shí)間膨脹，尺子收縮等相對(duì)論時(shí)空觀(guān)效應(yīng)的理解，下面專(zhuān)門(mén)用一小節(jié)來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。
2.3 坐標(biāo)系與時(shí)空觀(guān)
狹義相對(duì)論改變了我們對(duì)時(shí)間和空間的理解。不同慣性系之間的變換，時(shí)間和空間的測(cè)量都會(huì)發(fā)生改變，因此在相對(duì)論理論中，參考系以及參考系之間的變換尤為重要。物理學(xué)中，為了確定物體的運(yùn)動(dòng)，首先要選擇一個(gè)參考系。第一步就是選定一個(gè)物體，認(rèn)為它是靜止的。然后以此為參照，在空間布滿(mǎn)靜止尺子測(cè)量每個(gè)點(diǎn)的空間坐標(biāo)；在每個(gè)空間點(diǎn)放一個(gè)時(shí)鐘，測(cè)量當(dāng)?shù)氐臅r(shí)間坐標(biāo)。絕對(duì)時(shí)空觀(guān)認(rèn)為時(shí)間和空間是相互獨(dú)立的，所以時(shí)間空間的測(cè)量不會(huì)因參照物的改變而改變。相對(duì)論理論中，以上定義的參考系的意義就需要特別注意。參考系就是數(shù)學(xué)中常用的坐標(biāo)系，物理學(xué)的時(shí)空坐標(biāo)系有4個(gè)參數(shù)(t,x,y,z)，相對(duì)論理論中通常取xμ指標(biāo)μ為(0,1,2,3)來(lái)表示。狹義相對(duì)論處理的慣性參考系，問(wèn)題相比于非慣性系或者引力存在情況就簡(jiǎn)單很多?？臻g布滿(mǎn)靜止尺子測(cè)量顯示的數(shù)值就是空間坐標(biāo)，這個(gè)空間坐標(biāo)就稱(chēng)之為固有距離或者固有長(zhǎng)度。每一個(gè)地點(diǎn)時(shí)鐘顯示的時(shí)間就是當(dāng)?shù)氐臅r(shí)間值，也就是固有時(shí)。當(dāng)然，全空間的時(shí)鐘是需要對(duì)齊的，這就是相對(duì)論中“對(duì)鐘”的概念。在沒(méi)有探測(cè)到引力波之前，人類(lèi)對(duì)鐘所使用的相互作用只有電磁相互作用。這種情況下，物理學(xué)上能夠確定的是所謂的“雙程光速”“單程光速”不變只能作為假設(shè)，因而狹義相對(duì)論的各種修改版本其實(shí)無(wú)法實(shí)際實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。當(dāng)有了引力波探測(cè)之后，原則上人類(lèi)又有了新的對(duì)鐘手段，相對(duì)論如何修改是一個(gè)很大的課題，具體內(nèi)容讀者可以參考文獻(xiàn)[8]、[9]。當(dāng)對(duì)鐘之后，每個(gè)地點(diǎn)的固有時(shí)就是當(dāng)?shù)氐淖鴺?biāo)時(shí)間。以上是慣性系的坐標(biāo)的定義，讀者也許會(huì)覺(jué)得有點(diǎn)多余。但是根據(jù)上文的等效原理就會(huì)知道，當(dāng)引力存在時(shí)，問(wèn)題就變得麻煩了。首先需要明確的就是，每個(gè)靜止的尺子顯示的不是空間坐標(biāo)值，而是當(dāng)?shù)氐墓逃芯嚯x；每個(gè)點(diǎn)的時(shí)鐘顯示的也不是時(shí)間坐標(biāo)值，而是當(dāng)?shù)氐墓逃袝r(shí)。這點(diǎn)有點(diǎn)難以理解，下面就以時(shí)間坐標(biāo)和固有時(shí)之間的關(guān)系為例來(lái)專(zhuān)門(mén)作出說(shuō)明。
廣義相對(duì)論中，度規(guī)張量是描述時(shí)空幾何的基本變量，是坐標(biāo)的函數(shù)。根據(jù)式(2.53)，彎曲時(shí)空中的固有時(shí)微元為
(2.66)
這是一個(gè)不變量，也就是上節(jié)說(shuō)明的光速不變?cè)淼囊蟆Ｆ街睍r(shí)空中，度規(guī)等于1(當(dāng)?shù)仂o止時(shí)鐘顯示的)，坐標(biāo)時(shí)間dt就和固有時(shí)間間隔dτ相等。引力存在時(shí)，度規(guī)不等于1，坐標(biāo)時(shí)間隔dt就不等于固有時(shí)間間隔了。二者之比為
(2.67)
如果鐘表在引力場(chǎng)中保持靜止，即
dxi=0
那么式(2.67)變?yōu)?/p>
(2.68)
圖2 引力場(chǎng)中靜止時(shí)鐘顯示當(dāng)?shù)毓逃袝r(shí)
上式說(shuō)明引力場(chǎng)影響了時(shí)間的測(cè)量，造成了時(shí)間的膨脹或者收縮的效應(yīng)，坐標(biāo)時(shí)間和當(dāng)?shù)毓逃袝r(shí)并不是相等的?，F(xiàn)在的問(wèn)題是，在當(dāng)?shù)仂o止的時(shí)鐘顯示的時(shí)間是那個(gè)時(shí)間？是坐標(biāo)時(shí)間還是固有時(shí)間？根據(jù)上文參考系坐標(biāo)定義的方法，有讀者可能會(huì)認(rèn)為，時(shí)鐘顯示的是坐標(biāo)時(shí)間。這樣理解是不正確的，其實(shí)靜止時(shí)空不管是有沒(méi)有引力的存在，顯示的都是時(shí)鐘運(yùn)行的固有時(shí)間。那么引力不是造成了時(shí)間膨脹或者收縮，鐘表怎么不能顯示坐標(biāo)時(shí)間呢？這是因?yàn)樵谝?chǎng)中坐標(biāo)時(shí)dt是不可觀(guān)測(cè)的，根據(jù)等效原理，在引力場(chǎng)中可以找到一個(gè)局域慣性系使得引力的效果消除。引力場(chǎng)造成了時(shí)間膨脹或者收縮，但是不能對(duì)鐘的快慢有直接的影響。不管鐘是機(jī)械鐘，還是原子鐘，它測(cè)量時(shí)間一定依賴(lài)于某個(gè)具體的物理機(jī)制，比如單擺或者原子震蕩等。如圖2所示，彈簧振子與一個(gè)鐘表二者保持相對(duì)靜止。引力場(chǎng)改變對(duì)所有物理過(guò)程的效應(yīng)是一樣的，如果它造成了一個(gè)彈簧諧振子振動(dòng)周期的改變，相應(yīng)時(shí)鐘內(nèi)部計(jì)時(shí)物理機(jī)制也發(fā)生了相同的改變，所以時(shí)鐘測(cè)量的彈簧振子周期與慣性系時(shí)鐘測(cè)量的結(jié)果是相同的。換一個(gè)參考系看，也是一樣的。如果換成局域慣性系，則鐘和彈簧振子在力的作用下上升。鐘和彈簧振子相對(duì)靜止，時(shí)鐘顯示的當(dāng)然是彈簧振子固有周期?？臻g測(cè)量也存在類(lèi)似的情況，這點(diǎn)的理解非常重要，也就是說(shuō)引力存在時(shí)，時(shí)間坐標(biāo)和空間坐標(biāo)具體值只能由時(shí)鐘和尺子顯示值通過(guò)度規(guī)計(jì)算來(lái)得到。這并不意味著坐標(biāo)沒(méi)有意義，相反，這會(huì)帶來(lái)重要的物理效果，即比較引力場(chǎng)中不同地點(diǎn)同一物理機(jī)制，比如光，就看到了引力造成的紅移或者藍(lán)移等時(shí)間改變效應(yīng)。
由于dt1，dt2是全局的坐標(biāo)時(shí)間，因此，兩點(diǎn)經(jīng)歷的坐標(biāo)時(shí)間間隔dt2與dt1是相等的，則
(2.71)
如果在引力場(chǎng)中對(duì)比兩個(gè)不同地點(diǎn)，同一物理機(jī)制發(fā)出的固有振動(dòng)周期相同的光波(兩點(diǎn)發(fā)出的光傳播到同一地點(diǎn))，相應(yīng)的頻率之比為
(2.72)
這就是引力造成的紅移或者藍(lán)移的現(xiàn)象。后文將具體說(shuō)明該現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。
坐標(biāo)系和固有時(shí)、固有距離之間的關(guān)系也可以解釋相對(duì)論理論中經(jīng)常會(huì)被提到一個(gè)問(wèn)題：雙生子佯謬。狹義相對(duì)論中，由于處理的是慣性系問(wèn)題，兩個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體，互相看到對(duì)方都是時(shí)間膨脹了。比如一對(duì)雙胞胎，弟弟留在了地球上，哥哥坐上宇宙飛船做高速旅行。若干年后，哥哥返回地球見(jiàn)到了弟弟。根據(jù)狹義相對(duì)論理論，從地球上弟弟的角度看，哥哥的時(shí)間膨脹了，也就是哥哥經(jīng)歷的時(shí)間短，因此比弟弟年輕。但是從哥哥的角度看，弟弟以相反的方向高速運(yùn)動(dòng)，應(yīng)該是弟弟的時(shí)間膨脹了。到底誰(shuí)的時(shí)間發(fā)生了改變？這就是著名的雙生子佯謬。因?yàn)槲锢斫Y(jié)果只能有一個(gè)，不可能因?yàn)閰⒖枷档母淖兌淖?。這個(gè)情況其實(shí)比較復(fù)雜，因?yàn)槲覀儾磺宄绺缇唧w的加速情況，我們舉另外一個(gè)類(lèi)似的例子來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，同時(shí)借此來(lái)更加深入理解坐標(biāo)時(shí)與固有時(shí)的關(guān)系。
如圖3所示，兩個(gè)人A、B在互相觀(guān)察對(duì)方。其中A在地面上處于慣性系中；B站立在一個(gè)圓盤(pán)上，隨著圓盤(pán)一起作相對(duì)于地面的旋轉(zhuǎn)，角速度為ω。A與B距旋轉(zhuǎn)中心C點(diǎn)的徑向長(zhǎng)度為ρ0。令A(yù)觀(guān)測(cè)者為O坐標(biāo)系，B觀(guān)測(cè)者為O′坐標(biāo)系。這個(gè)圓盤(pán)常被用來(lái)講解廣義相對(duì)論引力論，因此也被稱(chēng)為愛(ài)因斯坦轉(zhuǎn)盤(pán)。首先，A處于慣性系，情況比較簡(jiǎn)單，相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)的效應(yīng)都可以用狹義相對(duì)論來(lái)處理。O系中，B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以B受到一個(gè)向心力的作用。沿著旋轉(zhuǎn)方向尺子會(huì)發(fā)生收縮；圓周的徑向則沒(méi)有收縮。如上文所述，由于B點(diǎn)測(cè)量到的是固有長(zhǎng)度，從B測(cè)量的角度看，B所處的空間不再是平直的了，圓周周長(zhǎng)Z與半徑ρ之間的關(guān)系為
(2.73)
圖3 愛(ài)因斯坦轉(zhuǎn)盤(pán)
公式中的
(2.74)
就是當(dāng)前情況下的洛倫茲因子。因此B的參考系就必須用非歐幾何來(lái)描述了。依據(jù)狹義相對(duì)論運(yùn)動(dòng)學(xué)，此時(shí)A也會(huì)看到B的時(shí)間膨脹了，因?yàn)锽相對(duì)于A(yíng)運(yùn)動(dòng)的速度為
vB=ωρ0
(2.75)
每轉(zhuǎn)一周，A經(jīng)歷的時(shí)間是
(2.76)
A會(huì)看到相對(duì)于B靜止的時(shí)鐘顯示經(jīng)歷的時(shí)間是自己經(jīng)歷時(shí)間除以洛倫茲因子即
(2.77)
旋轉(zhuǎn)中心C點(diǎn)相對(duì)A點(diǎn)靜止，C點(diǎn)時(shí)鐘顯示的時(shí)間與A點(diǎn)時(shí)間是同步的。所以在O慣性系看，以上結(jié)論都是正常的。
在O′系中的B看來(lái)，就會(huì)出現(xiàn)所謂的雙生子佯謬，即B看到A相對(duì)于自己在做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)狹義相對(duì)論，A的時(shí)間應(yīng)該是膨脹的。這就與O系中A看到現(xiàn)象相反了，那到底是哪個(gè)有問(wèn)題呢？這里我們需要知道，B所處的O′系是一個(gè)非慣性系，依據(jù)等效原理，O′系和慣性系是等權(quán)的，B可以認(rèn)為O′系并不是非慣性系，而是時(shí)空中存在著引力作用。正是引力作用造成了時(shí)空的彎曲，時(shí)空由黎曼幾何描述。此時(shí)B看C點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)C點(diǎn)時(shí)鐘相對(duì)于B點(diǎn)運(yùn)行的快。B的理解為，C點(diǎn)的彎曲時(shí)空的度規(guī)00分量大于自己當(dāng)?shù)氐?0分量。根據(jù)O慣性系的分析可知，徑向ρ處時(shí)空度規(guī)的00分量為
g00=1-ω2ρ2
(2.78)
因此C點(diǎn)時(shí)鐘就走的快正是因?yàn)樯衔氖?2.71)描述的引力造成的時(shí)空觀(guān)效應(yīng)。那B看到A的時(shí)間到底是膨脹還是收縮了。要說(shuō)清楚這一點(diǎn)就必須進(jìn)一步明確O系和O′系之間的坐標(biāo)變換。如果兩個(gè)坐標(biāo)系都采用極坐標(biāo)，仔細(xì)分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)，相應(yīng)的坐標(biāo)變換可以取為
t=t′的原因在于C點(diǎn)的引力為零，A點(diǎn)的時(shí)間與C點(diǎn)時(shí)間同步。O′系B點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)間與C點(diǎn)同步，但是B點(diǎn)時(shí)鐘顯示的固有時(shí)間間隔小于當(dāng)?shù)氐淖鴺?biāo)時(shí)間間隔，這正是B鐘慢的原因。可能有讀者認(rèn)為以上坐標(biāo)變換不就是上小節(jié)所說(shuō)明的絕對(duì)時(shí)空么？其實(shí)不是這樣的，此時(shí)的坐標(biāo)變換是時(shí)空一體的變換，變換要求四維時(shí)空長(zhǎng)度ds2不變(不考慮垂直與盤(pán)面的軸向)，此即光速不變?cè)淼囊蟆系時(shí)空度規(guī)為
(2.82)
按照式(2.79)、(2.80)、(2.81)坐標(biāo)變換之后，O′度規(guī)為
(2.83)
此時(shí)B應(yīng)該怎么計(jì)算A經(jīng)歷的時(shí)間呢？在牛頓力學(xué)里，計(jì)算一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間很簡(jiǎn)單，就是物體運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度除以速率積分即可。按相對(duì)論理論，問(wèn)題就變得復(fù)雜了。速度uμ定義為坐標(biāo)對(duì)固有時(shí)間的變化率，軌跡長(zhǎng)度除以速率計(jì)算的是固有時(shí)間。而這正是我們所需要的。也就是說(shuō)，我們并不需要坐標(biāo)變化微元除以dt的坐標(biāo)速度(等于距離引力源無(wú)窮遠(yuǎn)處觀(guān)測(cè)者測(cè)量到的速度)。因此B點(diǎn)計(jì)算A旋轉(zhuǎn)一周經(jīng)歷的固有時(shí)間間隔為
(2.84)
其中
(2.85)
這正像狹義相對(duì)論中兩個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的慣性系一樣，A、B互相看到對(duì)方的相對(duì)旋轉(zhuǎn)角速度為ω。因此在O′參考系中B計(jì)算A的時(shí)間確實(shí)是比自己經(jīng)歷的固有時(shí)間間隔長(zhǎng)，這點(diǎn)是毋庸置疑的。由此讀者也會(huì)理解，在O慣性系中，A計(jì)算B旋轉(zhuǎn)一周經(jīng)歷的固有時(shí)間間隔可以由坐標(biāo)時(shí)間間隔2πρ0/vB除以洛倫茲因子得到；也可以完全按照運(yùn)動(dòng)方程直接計(jì)算B經(jīng)歷的固有時(shí)間間隔
(2.86)
可見(jiàn)雙生子佯謬是不存在的，請(qǐng)讀者仔細(xì)體會(huì)其中的物理規(guī)律。在理解了坐標(biāo)系與固有時(shí)、固有距離之間區(qū)別與聯(lián)系之后，下面開(kāi)始具體的廣義相對(duì)論引力理論的旅程。
3 相對(duì)論引力論及其檢驗(yàn)
上節(jié)已經(jīng)說(shuō)明了等效原理，廣義相對(duì)性原理和光速不變?cè)?。原則上任何理論都可以寫(xiě)為廣義協(xié)變的形式，時(shí)空一體則意味著廣義光速不變。牛頓力學(xué)、經(jīng)典電磁學(xué)都可以寫(xiě)為廣義協(xié)變理論形式。在量子場(chǎng)論中也可以考慮一個(gè)量子過(guò)程在彎曲時(shí)空的修正[10]。這實(shí)際上是廣義相對(duì)論理論的一半內(nèi)容。而另一半，引力幾何化自身，時(shí)空本身如何彎曲？即刻畫(huà)彎曲時(shí)空的度規(guī)，曲率等幾何量滿(mǎn)足什么規(guī)律？等效原理并沒(méi)有說(shuō)明，而這才是引力論核心內(nèi)容。本節(jié)將研究如何將引力幾何化，得到最終的愛(ài)因斯坦引力場(chǎng)方程。引力論成功地將萬(wàn)有引力推廣為相對(duì)論理論，它可以描述了引力和宇宙等。它所預(yù)言的光線(xiàn)偏折、水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)、引力紅移以及引力波等也被逐一驗(yàn)證[11]。本節(jié)首先將導(dǎo)出愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程，進(jìn)而討論它的幾種重要的解，以及引力論的重要檢驗(yàn)等。
3.1 引力場(chǎng)方程
首先要寫(xiě)出彎曲時(shí)空自身的物理理論來(lái)。彎曲時(shí)空由度規(guī)來(lái)刻畫(huà)，因此廣義相對(duì)論引力理論描寫(xiě)的是度規(guī)的動(dòng)力學(xué)。引力場(chǎng)方程是一個(gè)度規(guī)的物理方程，這正是前文所說(shuō)的等效原理的要求。麥克斯韋方程組的形式可以提示我們引力場(chǎng)方程的形式。麥克斯韋方程組左邊是電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)項(xiàng)，右邊是場(chǎng)源項(xiàng)。度規(guī)的物理方程應(yīng)該也是度規(guī)的動(dòng)力學(xué)項(xiàng)等于引力源項(xiàng)。然而，引力的描述其實(shí)沒(méi)有其他特別的物理要求，根據(jù)廣義相對(duì)性原理和光速不變?cè)恚鲆韵聝蓚€(gè)假設(shè)[12]：
(1) 方程是一個(gè)四維時(shí)空的張量方程；
(2) 方程是二階微分方程，并且對(duì)二階導(dǎo)數(shù)是線(xiàn)性的。
第一個(gè)假設(shè)很明顯，不需要再做說(shuō)明。第二個(gè)假設(shè)并沒(méi)有堅(jiān)實(shí)的根據(jù)，只是由于已知的物理定律最多也只包含二階導(dǎo)數(shù)，所以我們希望引力的方程也是如此。當(dāng)然，包含高階導(dǎo)數(shù)的引力理論也有很多研究，主要代表有f(R)引力[13]，f(T)引力[14]等，這些理論超出了本文的討論范圍。根據(jù)黎曼幾何，由度規(guī)張量，以及度規(guī)一階、二階導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的張量有黎曼張量，里奇張量，里奇標(biāo)量，符號(hào)分別為
(3.87)
這些張量中最基礎(chǔ)的黎曼張量，后面兩個(gè)張量都是黎曼張量的指標(biāo)縮并。通常，場(chǎng)論的構(gòu)建方法就是把所有允許的項(xiàng)寫(xiě)下來(lái)，然后確定各項(xiàng)前面的系數(shù)即可。寫(xiě)完度規(guī)組成的張量，這等于寫(xiě)下來(lái)度規(guī)物理方程一邊的形式。
度規(guī)物理方程另外一邊的張量就是引力的源。物體的引力質(zhì)量產(chǎn)生了引力。由于引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量的等價(jià)，而慣性質(zhì)量即能量密度，因此可以認(rèn)為能量密度提供了引力。但是能量密度只是能量在空間中的分布，最多也只能寫(xiě)成標(biāo)量形式。所以要寫(xiě)下完整的引力源項(xiàng)，就應(yīng)該使用能量動(dòng)量張量
Tμ ν
(3.88)
能量密度只是Tμ ν的一個(gè)分量。能量動(dòng)量張量Tμ ν可以依據(jù)諾特爾定理，由拉格朗日量的時(shí)空對(duì)稱(chēng)性得到，其具體形式可以參看后文的討論。這是一個(gè)二階張量，因此這也決定了度規(guī)的動(dòng)力學(xué)項(xiàng)只能由黎曼張量縮并產(chǎn)生的里奇張量和標(biāo)量來(lái)構(gòu)成。這樣，描述引力的方程所需要的項(xiàng)就齊全了。
(3.89)
為了做到這一點(diǎn)，只需要經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換，使得
(3.90)
這其實(shí)是在這一點(diǎn)取度規(guī)場(chǎng)切空間。此點(diǎn)附近度規(guī)為
(3.91)
hμ ν是一個(gè)小量，它的一階導(dǎo)數(shù)為零，即
hμ ν,α=0
(3.92)
因此在測(cè)地坐標(biāo)下度規(guī)的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都為零，只剩下二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，即
(3.93)
度規(guī)的一階導(dǎo)數(shù)為零，克里斯多夫聯(lián)絡(luò)也為零，此時(shí)問(wèn)題得到了大大簡(jiǎn)化。
現(xiàn)在可以嘗試導(dǎo)出描述引力場(chǎng)的物理方程。如上文所述，黎曼張量是唯一可用gμ ν二階導(dǎo)數(shù)的線(xiàn)性組合來(lái)構(gòu)造的張量，方程左邊必須是關(guān)于黎曼曲率張量的某種縮并形式。由于方程是二階張量方程，因此方程左邊關(guān)于黎曼曲率張量的組合只能是
Rμ ν+agμ νR+Λgμ ν
(3.94)
其中，a、Λ是待定系數(shù)。而方程的右邊是能量動(dòng)量張量Tμ ν，引力場(chǎng)方程可以初步確定為
Rμ ν+agμ νR+Λgμ ν=κTμ ν
(3.95)
其中，κ決定了引力的強(qiáng)度。要確定方程中的待定系數(shù)，需要從物理上對(duì)方程做進(jìn)一步的要求：
(1) 該理論低速時(shí)應(yīng)該回到牛頓萬(wàn)有引力理論；
(2) 理論應(yīng)該保持廣義能量動(dòng)量守恒。
這兩個(gè)要求都是是自然的：既然現(xiàn)在要建立引力的相對(duì)論理論，物體速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光速時(shí)當(dāng)然應(yīng)當(dāng)回到牛頓萬(wàn)有引力；平直時(shí)空中能量動(dòng)量守恒，在相對(duì)論理論中保持守恒也是自然的。第二個(gè)要求是對(duì)引力源的要求。有了以上假設(shè)和要求，就可以確定引力場(chǎng)方程了。平直時(shí)空中物質(zhì)的能量動(dòng)量張量守恒的要求即
?μTμ ν=0
(3.96)
這可以看作是測(cè)地坐標(biāo)系中局域時(shí)空點(diǎn)成立的方程。當(dāng)引力場(chǎng)存在時(shí)，守恒定律需要推廣為廣義形式。根據(jù)廣義相對(duì)性原理，只需要把測(cè)地坐標(biāo)系中成立的守恒方程普通導(dǎo)數(shù)替換為協(xié)變導(dǎo)數(shù)即可，即
μTμ ν=0
(3.97)
利用坐標(biāo)變換式(3.90)，將式(3.95)轉(zhuǎn)化到測(cè)地坐標(biāo)下，形式為
(3.98)
上式中符號(hào)上的“撇”代表經(jīng)過(guò)了坐標(biāo)變換。將上式兩邊取四維散度，根據(jù)能量守式(3.96)，有
(3.99)
利用克里斯多夫聯(lián)絡(luò)的式(2.62)，可以得到
以及
其中，
h=hμ νημ ν
(3.102)
是測(cè)地坐標(biāo)下度規(guī)張量的跡。由以上公式可以得到測(cè)地坐標(biāo)下的里奇張量
(3.103)
以及里奇標(biāo)量
R′=?2h-?α?βhα β
(3.104)
將以上兩式代入至式(3.99)中，可以將其化簡(jiǎn)為
(3.105)
可以看出，能量守恒式(3.99)的條件導(dǎo)出待定系數(shù)
(3.106)
而另外一個(gè)系數(shù)Λ稱(chēng)為宇宙學(xué)常數(shù)，不能由此方式求出。這是一個(gè)非常小但不等于零的數(shù)，在很多廣義相對(duì)論文獻(xiàn)中都省略了。愛(ài)因斯坦最初得到的引力場(chǎng)方程中也省略了這一項(xiàng)。但是它對(duì)宇宙的演化至關(guān)重要，在此我們保留它。由此就得到描述引力場(chǎng)的物理方程，即愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程
(3.107)
這一方程是描述引力(能量動(dòng)量張量)與時(shí)空(曲率張量)相互作用的方程。當(dāng)然引力強(qiáng)度κ具體值仍然沒(méi)有確定，下一節(jié)依據(jù)上文所述的低速下回到牛頓萬(wàn)有引力的要求，就能完成最終的引力場(chǎng)方程。
3.2 牛頓近似
為了確定引力強(qiáng)度κ，將牛頓引力理論與廣義相對(duì)論做對(duì)比來(lái)尋找其線(xiàn)索。牛頓引力理論是一個(gè)非相對(duì)論的弱場(chǎng)理論，所考慮的速度遠(yuǎn)小于光速。牛頓萬(wàn)有引力公式為
(3.108)
上式右邊負(fù)號(hào)代表吸引力；m1、m2為兩物體的質(zhì)量(這里不再區(qū)分慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量)。根據(jù)牛頓第二定律，得到牛頓引力理論的運(yùn)動(dòng)方程，即
(3.109)
其中，g就是重力加速度。據(jù)此定義牛頓引力勢(shì)Φ，它和牛頓引力F的關(guān)系是
F=-mΦ
(3.110)
對(duì)一個(gè)連續(xù)的質(zhì)量分布，引力勢(shì)是
(3.111)
利用關(guān)系
可以將上式改寫(xiě)為
2Φ(x)=4πGρ(x)
(3.112)
因此引力勢(shì)作用下的運(yùn)動(dòng)方程為
(3.113)
現(xiàn)在證明，在低速、弱場(chǎng)、靜態(tài)引力場(chǎng)以及空間緩變的情況下，廣義相對(duì)論便回到了牛頓理論，即愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程在經(jīng)典的近似下，回到了式(3.112)，并且通過(guò)對(duì)比得到愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程中的耦合常數(shù)κ。在廣義相對(duì)論中，引力相互作用物體的運(yùn)動(dòng)方程是彎曲時(shí)空中的測(cè)地線(xiàn)，根據(jù)式(2.9)，空間坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)形式為
(3.114)
在低速的情況下，有近似條件
(3.115)
這就是非相對(duì)論近似，也是牛頓理論處理問(wèn)題的條件。測(cè)地線(xiàn)方程式(3.114)近似為
(3.116)
對(duì)比牛頓引力理論中的運(yùn)動(dòng)方程(3.112)，可得到聯(lián)絡(luò)與引力勢(shì)的關(guān)系：
(3.117)
(3.118)
因此
可以解釋為物體在引力場(chǎng)中所受到的四維引力。這是對(duì)牛頓引力的推廣。
當(dāng)引力不存在時(shí)，時(shí)空是平直的，引力存在時(shí)，時(shí)空是彎曲的。當(dāng)引力場(chǎng)強(qiáng)度比較弱時(shí)，時(shí)空的彎曲程度也比較小，因此可以認(rèn)為弱引力場(chǎng)下度規(guī)張量偏離閔科夫斯基度規(guī)ημ ν一個(gè)小量，這個(gè)小量記為hμ ν，hμ ν?1。注意，弱場(chǎng)近似的hμ ν與上文測(cè)地坐標(biāo)的hμ ν是不同的：前者是小量，導(dǎo)數(shù)不一定為零；后者也是一個(gè)小量，但是其一階導(dǎo)數(shù)為零。度規(guī)張量可以寫(xiě)為
gμ ν=ημ ν+hμ ν
(3.119)
(3.120)
進(jìn)而得到了引力勢(shì)與度規(guī)張量的關(guān)系，
(3.121)
利用引力勢(shì)的表達(dá)式(2.1)，可以得到弱場(chǎng)、低速近似下度規(guī)張量的00分量：
(3.122)
這表明引力場(chǎng)的存在影響了時(shí)間的測(cè)量，但只是當(dāng)2GM/r一項(xiàng)與1可比擬時(shí)才會(huì)變得明顯。注意這里用的是自然單位制，若用國(guó)際單位制，弱場(chǎng)條件即是指
(3.123)
對(duì)于地球和太陽(yáng)來(lái)說(shuō)，這一項(xiàng)都非常小，弱場(chǎng)近似都成立。比如太陽(yáng)，質(zhì)量為M=2×1030kg、半徑為r=7×108m，在太陽(yáng)表面計(jì)算上式
宇宙中其他類(lèi)型的天體，比如中子星或黑洞，質(zhì)量極大、體積極小，它們產(chǎn)生的引力效應(yīng)非常強(qiáng)，屬于強(qiáng)引力場(chǎng)。強(qiáng)引力場(chǎng)效應(yīng)也是檢驗(yàn)廣義相對(duì)論的一個(gè)熱點(diǎn)方向[15]。
當(dāng)引力場(chǎng)不隨時(shí)間變化時(shí)，度規(guī)張量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為零，這時(shí)稱(chēng)為靜態(tài)引力場(chǎng)。大部分天體所產(chǎn)生的引力場(chǎng)都是靜態(tài)的，也存在隨時(shí)間快速變化的引力場(chǎng)，牛頓引力理論不能準(zhǔn)確描述它，必須用廣義相對(duì)論。用公式表示靜態(tài)引力場(chǎng)的條件，即
gμ ν,0=0
(3.124)
引力場(chǎng)是空間緩變的，即
gμ ν,i?1
(3.125)
把以上近似條件代入至愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程(3.107)左邊，而方程的右邊能量動(dòng)量張量Tμ ν在以上近似下只有00分量有貢獻(xiàn)。該分量就是物質(zhì)的質(zhì)量密度ρ(x)。場(chǎng)方程的00分量方程為
(3.126)
利用上式來(lái)確定耦合常數(shù)κ。首先對(duì)愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程(3.110)兩邊取跡，即用gμ ν作用，簡(jiǎn)單縮并(Λ=0)得到
R=-κT
(3.127)
T=Tμ νgμ ν是能量動(dòng)量張量的跡。在近似條件下，
T=ρ(x)
(3.128)
將上式代入至式(3.126)中，得
(3.129)
在以上靜態(tài)、緩變、弱場(chǎng)的條件下，克里斯多夫聯(lián)絡(luò)為
(3.130)
將聯(lián)絡(luò)的各個(gè)分量顯示地寫(xiě)出，有
(3.131)
2h00=-κρ(x)
(3.132)
上式是在近似條件式(3.115)、(3.129)、(3.124)、(3.125)下愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程形式。下面就是把上式與牛頓引力理論方程(3.112)比較，利用Φ與h00的關(guān)系，可得
(3.133)
可以得到系數(shù)κ的值
κ=-8πG
(3.134)
代入κ，愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程為
(3.135)
當(dāng)宇宙學(xué)常數(shù)Λ=0時(shí)，
(3.136)
這就是大家熟悉的愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程。方程左邊兩項(xiàng)也被定義為愛(ài)因斯坦張量Gμ ν
(3.137)
它滿(mǎn)足比安奇恒等式
μGμ ν=0
(3.138)
這是廣義相對(duì)論中的一個(gè)重要恒等式，對(duì)應(yīng)的就是能量動(dòng)量張量守恒。
廣義相對(duì)論雖然是一個(gè)關(guān)于引力的理論，但通過(guò)引力的幾何化將關(guān)于引力的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為彎曲時(shí)空的測(cè)量問(wèn)題，即廣義相對(duì)論關(guān)注于彎曲時(shí)空的度規(guī)結(jié)構(gòu)。一種度規(guī)形式即定義了一種時(shí)空結(jié)構(gòu)，它對(duì)應(yīng)于某種特定形式的引力場(chǎng)，因此在廣義相對(duì)論的框架內(nèi)，引力即是時(shí)空。廣義相對(duì)論是研究引力的基本工具，而愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程(3.136)則成為所有研究的出發(fā)點(diǎn)。
根據(jù)愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程可知，物質(zhì)決定了時(shí)空如何彎曲，而時(shí)空的彎曲將導(dǎo)致一系列非常有趣的物理結(jié)果，我們可以通過(guò)時(shí)空的彎曲效應(yīng)來(lái)檢驗(yàn)愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程。根據(jù)目前的天文觀(guān)測(cè)結(jié)果，所有的數(shù)據(jù)都支持場(chǎng)方程。下一節(jié)，我們介紹愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程的第一個(gè)嚴(yán)格解，即施瓦茲解，以及它的應(yīng)用。
3.3 施瓦茲度規(guī)、廣義相對(duì)論的檢驗(yàn)
上文在弱場(chǎng)、低速、緩變的情況下得到了引力場(chǎng)方程，這就是1915年愛(ài)因斯坦得到的引力理論。雖然它可以回到牛頓萬(wàn)有引力理論，但這并不能證明該理論是正確的。必須驗(yàn)證理論對(duì)萬(wàn)有引力理論的修正效應(yīng)才能確定其正確性。最好方式就是找到太陽(yáng)系附近引力場(chǎng)方程的嚴(yán)格解，然后取近似來(lái)確定萬(wàn)有引力的修正效應(yīng)并進(jìn)行觀(guān)測(cè)驗(yàn)證。1916年，德國(guó)物理學(xué)家施瓦茲(Karl Schwarzschild)得到了愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程的第一個(gè)嚴(yán)格解(施瓦茲解[16])。該解描述了靜態(tài)、呈球?qū)ΨQ(chēng)的引力場(chǎng)，比較接近于太陽(yáng)系附近的引力場(chǎng)，因此有著重要的應(yīng)用。
太陽(yáng)系由太陽(yáng)、8大行星以及無(wú)數(shù)小行星組成，太陽(yáng)的質(zhì)量占據(jù)了太陽(yáng)系質(zhì)量的99.8%。忽略太陽(yáng)的多級(jí)矩和自轉(zhuǎn)效應(yīng)就是施瓦茲解要求的求解條件。這一節(jié)討論此條件下求解施瓦茲解的過(guò)程，然后可以由此檢驗(yàn)廣義相對(duì)論。
施瓦茲解求解過(guò)程就是根據(jù)引力場(chǎng)的靜態(tài)、球?qū)ΨQ(chēng)分布對(duì)度規(guī)張量的限制，再利用愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程就能得到度規(guī)張量的具體表達(dá)式。對(duì)于一個(gè)球?qū)ΨQ(chēng)的場(chǎng)，自然是采用球坐標(biāo)(t,r,θ,φ)，度規(guī)張量有10個(gè)分量。首先，場(chǎng)的靜態(tài)條件要求度規(guī)張量與時(shí)間無(wú)關(guān)，并且滿(mǎn)足時(shí)間反演不變。這意味著，時(shí)空間隔中dtdr,dtdθ,dtdφ項(xiàng)前的系數(shù)必須為零。因此，時(shí)空間隔的形式必須為
ds2=A(r,θ,φ)dt2-dl2
(3.139)
其中，A(r,θ,φ)是關(guān)于坐標(biāo)的函數(shù)；dl2是空間間隔。
場(chǎng)的球?qū)ΨQ(chēng)分布給出的限制是，在以r為半徑的球面上的轉(zhuǎn)動(dòng)，時(shí)空間隔保持不變。這樣，函數(shù)A(r,θ,φ)僅僅是坐標(biāo)r的函數(shù)，記為A(r)。在一個(gè)二維球面上，兩點(diǎn)之間的間隔是唯一的轉(zhuǎn)動(dòng)不變量，即
r2dθ2+r2sin2θdφ2
是不變量。由此可知，空間間隔的形式只能是
dl2=C(r)dr2+B(r)(r2dθ2+r2sin2θdφ2).
其中B(r)、C(r)是關(guān)于r的函數(shù)。于是，相應(yīng)的時(shí)空間隔為
(3.140)
(3.141)
這樣可以將時(shí)空間隔中的變量函數(shù)減少至兩個(gè)。為了隨后的計(jì)算方便，再令
A′(r′)=eN(r),B′(r′)=eL(r)
(3.142)
這樣，靜態(tài)、球?qū)ΨQ(chēng)的近似要求下，省略符號(hào)上的一撇，度規(guī)張量的形式為
(3.143)
下面將通過(guò)解愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程來(lái)確定N(r)、L(r)的具體形式。
真空中能量動(dòng)量張量為零，因此根據(jù)關(guān)系式(3.127)，真空中的愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程形式為
Rμ ν=0
(3.144)
接下來(lái)，需要利用度規(guī)式(3.146)給出Rμ ν的各個(gè)分量，并代入上式進(jìn)行求解。首先需要算出所有的克里斯多夫聯(lián)絡(luò)，然后再通過(guò)縮并算出Rμ ν。在當(dāng)前的條件下，里奇張量中很多分量為零。非零的里奇張量為
其中，
代入至方程(3.144)中，得到3個(gè)微分方程
這組方程很容易解。式(3.145)加上式(3.146)可得
N′+L′=0
(3.148)
積分上式，得
N+L=C
(3.149)
其中，C是一積分常數(shù)。距離中心天體無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，引力場(chǎng)強(qiáng)度近似為零，度規(guī)張量應(yīng)該回到平直時(shí)空的形式。即r→∞時(shí)，函數(shù)N(r)、L(r)必須同時(shí)趨近于零，因此積分常數(shù)C=0,
N=-L
(3.150)
將式(3.148)代入式(3.147)中，經(jīng)化簡(jiǎn)，得到微分方程
(3.151)
這一方程的解為
(3.152)
其中，k為一積分常數(shù)。根據(jù)方程(3.150)，有
(3.153)
綜上，我們通過(guò)解真空中的愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程得到描述靜態(tài)、球?qū)ΨQ(chēng)的引力場(chǎng)的度規(guī)形式為
(3.154)
為了得到k的值，需要借助牛頓極限。在弱場(chǎng)、低速近似的情況下，h00起著牛頓引力勢(shì)的作用，即式(3.121)。一個(gè)球?qū)ΨQ(chēng)的質(zhì)量分布，總質(zhì)量為M，根據(jù)式(3.122)，有
(3.155)
從而得到
k=-2GM
(3.156)
將k代入空間間隔式(3.154)中，得到
(3.157)
這是一個(gè)描述靜態(tài)、球?qū)ΨQ(chēng)引力場(chǎng)的真空解，即施瓦茲解。施瓦茲解是一個(gè)嚴(yán)格解，其實(shí)該解在很多類(lèi)型的引力場(chǎng)下都是適用的。任何非轉(zhuǎn)動(dòng)、電中性的恒星的引力坍縮，其最后結(jié)果必定導(dǎo)致施瓦茲幾何[12]。施瓦茲度規(guī)時(shí)空產(chǎn)生的物理效應(yīng)，包括水星近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)、光線(xiàn)偏折和引力紅移，觀(guān)測(cè)結(jié)果驗(yàn)證了施瓦茲解的預(yù)言，這就是廣義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。
3.3.1 水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)
牛頓萬(wàn)有引力理論對(duì)太陽(yáng)系中行星運(yùn)動(dòng)的描述是非常準(zhǔn)確的，比如理論準(zhǔn)確地預(yù)言了海王星和冥王星存在。這兩個(gè)行星的觀(guān)測(cè)是牛頓萬(wàn)有引力理論的巨大成功。但是，萬(wàn)有引力的理論預(yù)言存在一個(gè)例外：行星近日點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與理論值有所偏離。對(duì)于一個(gè)可以看作質(zhì)點(diǎn)的行星，萬(wàn)有引力理論所預(yù)言的軌道方程為
(3.158)
其中u=1/r，r為行星的半徑，下文將說(shuō)明l的意義。方程(3.158)的解為
(3.159)
圖4 行星進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象
這是一個(gè)橢圓軌道方程，ε是這個(gè)橢圓軌道的偏心率，太陽(yáng)是其中一個(gè)焦點(diǎn)，近日點(diǎn)位于φ=φ0。當(dāng)考慮了其他行星軌道的擾動(dòng)與太陽(yáng)四極矩等因素后，行星就會(huì)存在進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象，即行星旋轉(zhuǎn)的軌道面對(duì)稱(chēng)軸也在旋轉(zhuǎn)。其最顯著的觀(guān)測(cè)效應(yīng)就是近日點(diǎn)位置的變動(dòng)。萬(wàn)有引力可以計(jì)算近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)的具體數(shù)值。觀(guān)測(cè)表明[17]，行星實(shí)際進(jìn)動(dòng)的數(shù)值與萬(wàn)有引力的預(yù)言并不符合。這一偏離較為明顯的例子是水星，水星的軌道偏離正圓的程度很大，在近日點(diǎn)距太陽(yáng)4600萬(wàn)km，而遠(yuǎn)日點(diǎn)則有7000萬(wàn)km。如圖4所示，水星圍繞太陽(yáng)做周期運(yùn)動(dòng)的軸在緩慢變化著，兩個(gè)相鄰近日點(diǎn)的角位移偏離了2π(轉(zhuǎn)動(dòng)一周的角位移)。觀(guān)測(cè)表明水星近日點(diǎn)的偏轉(zhuǎn)角為(5600.73±0.41)弧秒/百年，而由牛頓萬(wàn)有引力理論算出其他行星的擾動(dòng)導(dǎo)致的偏轉(zhuǎn)角為(5557.62±0.20)弧秒/百年，其中額外的(43.1±0.1)弧秒/百年的進(jìn)動(dòng)值是牛頓引力理論不能解決的。為了找到這額外的進(jìn)動(dòng)值，我們研究施瓦茲度規(guī)下的測(cè)地線(xiàn)方程，從中可以得到對(duì)行星軌道方程的修正。
施瓦茲度規(guī)式(3.157)對(duì)應(yīng)的測(cè)地線(xiàn)方程是
(3.160)
其中，符號(hào)上的點(diǎn)號(hào)代表對(duì)固有時(shí)τ的導(dǎo)數(shù)。對(duì)于現(xiàn)在要處理的情況，可以假設(shè)行星的軌道在
的平面上，并且有
(3.164)
即軌道將始終保持在這一平面上。這是很明顯的。
式(3.160)和式(3.163)可以直接積分。利用關(guān)系
可以將式(3.160)寫(xiě)為
(3.165)
積分上式，得到
(3.166)
同樣，積分式(3.163)得到
(3.167)
這是因?yàn)槔窭嗜樟渴?2.12)中包含坐標(biāo)的項(xiàng)只有度規(guī)張量gμ ν，施瓦茲度規(guī)式(3.157)與時(shí)間t和角度φ無(wú)關(guān)，即
gμ ν,0=gμ ν,3=0
(3.170)
度規(guī)與某一坐標(biāo)的無(wú)關(guān)性是一類(lèi)重要的問(wèn)題，它涉及時(shí)空的對(duì)稱(chēng)性。比如在狹義相對(duì)論中，度規(guī)ημ ν=diag(1,-1,-1,-1)，與4個(gè)坐標(biāo)都無(wú)關(guān)，因此在平直時(shí)空中能量動(dòng)量守恒。度規(guī)的形式不同，時(shí)空的對(duì)稱(chēng)性就不同。這一點(diǎn)在后文會(huì)作出說(shuō)明。
方程(3.168)、(3.169)說(shuō)明，施瓦茲度規(guī)下的行星軌道運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)的能量E與角動(dòng)量L是守恒量。根據(jù)拉格朗日量式(2.12)，可以得到
比較式(3.166)、(3.167)與式(3.171)、(3.172)，可以得到積分常數(shù)與l的物理含義，它們分別是單位質(zhì)量的能量和角動(dòng)量，即
方程(3.161)成為
(3.175)
方程(3.175)非常難解，可以利用式(2.57)來(lái)將其化簡(jiǎn)。利用施瓦茲度規(guī)式(3.157)，代入至式(2.57)中，得到
(3.176)
再利用式(3.166)、(3.167)代入上式，經(jīng)化簡(jiǎn)得
(3.177)
將上式代入至式(3.175)中，可以得到施瓦茲度規(guī)中行星運(yùn)動(dòng)的軌道方程為
(3.178)
把此式與牛頓引力理論相應(yīng)的軌道方程(3.158)相比較，多出了-3GMu2一項(xiàng)，這一項(xiàng)代表著廣義相對(duì)論的修正。估算一下這個(gè)量的大小，相比于式(3.178)第二項(xiàng)u，二者相差
由于水星質(zhì)量很小，M約等于太陽(yáng)質(zhì)量，r=5.5×1010m，在國(guó)際單位制中
(3.179)
是一個(gè)遠(yuǎn)小于1的數(shù)。由于廣義相對(duì)論的修正項(xiàng)-3GMu2比其他項(xiàng)小很多，因此利用逐級(jí)近似的方法求解微分方程(3.178)。這里直接給出微分方程(3.178)的近似解
(3.180)
上式表示一個(gè)進(jìn)動(dòng)的橢圓軌道。其中，ε與φ0是牛頓引力中行星橢圓軌道的偏心率和近日點(diǎn)位置。行星軌道的一個(gè)周期為
(3.181)
這表明兩個(gè)相鄰的近日點(diǎn)的角距離比2π多出
(3.182)
這個(gè)量給出每個(gè)公轉(zhuǎn)周期近日點(diǎn)的角進(jìn)動(dòng)值。對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)半軸為a的橢圓，近日點(diǎn)的距離是a(1-ε)。對(duì)于橢圓軌道式(3.159)，在近日點(diǎn)處φ=φ0，有
(3.183)
得到
(3.184)
在國(guó)際單位制中，水星近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)值為
(3.185)
代入水星的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)，這個(gè)角進(jìn)動(dòng)值為0.1035弧秒，即每一周期水星的近日點(diǎn)與上一個(gè)近日點(diǎn)相差了0.1035弧秒。因?yàn)樗堑墓D(zhuǎn)周期是0.24年，這一進(jìn)動(dòng)值相應(yīng)于每百年43弧秒。表1給出了太陽(yáng)系內(nèi)行星進(jìn)動(dòng)的觀(guān)測(cè)值(弧秒/百年)與廣義相對(duì)論的預(yù)測(cè)值(弧秒/百年)[12]。其中，觀(guān)測(cè)到的行星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)值已經(jīng)減去了其他行星的貢獻(xiàn)以及歲差的影響。觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)與廣義相對(duì)論的預(yù)言符合得很好，因此行星進(jìn)動(dòng)預(yù)言值的修正是廣義相對(duì)論的重要驗(yàn)證之一。
表1
3.3.2 光線(xiàn)偏折
廣義相對(duì)論另外一個(gè)重要檢驗(yàn)是光線(xiàn)的引力偏折。太陽(yáng)附近的光線(xiàn)軌道略微偏離了直線(xiàn)，這直接反映了太陽(yáng)附近時(shí)空的彎曲。光子的靜止質(zhì)量為零，但是它的運(yùn)動(dòng)質(zhì)量并不為零，所以運(yùn)動(dòng)的光子具有慣性質(zhì)量[17]。這樣，即使在牛頓引力理論中，等效原理也表明了引力場(chǎng)將影響光子的軌道。我們先用牛頓引力中的軌道方程(3.158)來(lái)估算一下。對(duì)于經(jīng)過(guò)太陽(yáng)附近的光子，速率
v=1
所以角動(dòng)量
l≈Rv=R
R為太陽(yáng)半徑。代入至式(3.158)中，得
(3.186)
方程中
是一個(gè)非常小的量，代表引力場(chǎng)對(duì)軌道的影響。如果將其忽略，以上方程成為
(3.187)
它的解為
u=c0cosφ
(3.188)
其中，c0是積分常數(shù)，由初始光子的位置決定。如果將上式轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)系，即作變換x=rcosφ，軌道方程成為
x=c0
(3.189)
(3.190)
當(dāng)光線(xiàn)在遠(yuǎn)處時(shí)，即u=0，根據(jù)上式，有
cosφ|u=0=-u0
(3.191)
光線(xiàn)在遠(yuǎn)處的方位角寫(xiě)為
(3.192)
滿(mǎn)足
sinα?α?u0
(3.193)
那么光線(xiàn)的偏折角即為2α，即
(3.194)
上式即牛頓引力理論預(yù)測(cè)的光線(xiàn)偏折。接下來(lái)，利用施瓦茲度規(guī)下的軌道方程(3.178)計(jì)算光線(xiàn)的偏折角度。
光子靜止質(zhì)量為零，處理運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，可以認(rèn)為式(3.173)、(3.174)中的固有時(shí)趨于零，因此在軌道方程(3.178)中有
這時(shí)二次方程(3.178)成為
(3.195)
接下來(lái)的步驟和處理牛頓引力下的光線(xiàn)偏折相仿。上式的解為
(3.196)
(3.197)
保留一階小量得到
(3.198)
光線(xiàn)在施瓦茲度規(guī)下的偏折為
(3.199)
廣義相對(duì)論預(yù)言的光線(xiàn)偏折是牛頓引力預(yù)言的兩倍。在1919年5月發(fā)生日全蝕時(shí)，愛(ài)丁頓(Eddington)和戴森(Dyson)的兩只觀(guān)測(cè)隊(duì)首次觀(guān)測(cè)到了經(jīng)過(guò)太陽(yáng)表面的光線(xiàn)偏折，角度分別是(1.98±0.12)″和(1.61±0.30)″，這一觀(guān)測(cè)值與式(3.199)的預(yù)言值相符，是廣義相對(duì)論第一個(gè)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。在1919年之后，人們又在許多次日食期間做了類(lèi)似的觀(guān)測(cè)。但是由于觀(guān)測(cè)的誤差比較大，接下來(lái)的數(shù)次觀(guān)測(cè)都沒(méi)有做到更精確的檢驗(yàn)。而比較精密的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是通過(guò)射電望遠(yuǎn)鏡得到的。表2給出了使用射電望遠(yuǎn)鏡檢驗(yàn)太陽(yáng)附近光線(xiàn)偏折的結(jié)果[12]。
表2
值得一提的是，射電望遠(yuǎn)鏡的精確觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)使得人類(lèi)可以檢驗(yàn)?zāi)承V義相對(duì)論的擴(kuò)展理論[12]。
另外需要注意的是，一次方程(3.180)也對(duì)應(yīng)著軌道方程，它會(huì)給出更多物理內(nèi)容。雖然
ε,l→∞
若它們的比值保持有限是一個(gè)常數(shù)，令
其中參數(shù)b稱(chēng)為碰撞參量，它與光子的能量有關(guān)。方程(3.177)變?yōu)?/p>
(3.200)
上式給出了方位角變化和u之間的關(guān)系，即
(3.201)
在與中心天體最近的點(diǎn)處有
du/dφ=0
記這個(gè)點(diǎn)為
u=1/r0
從遠(yuǎn)處而來(lái)的光線(xiàn)，經(jīng)由中心質(zhì)量的彎曲后，再傳播至遠(yuǎn)處，由上式可以得到其方位角變化
(3.202)
對(duì)于不同的碰撞參量b，上式給出不同的光線(xiàn)偏折。偏折的角度可以很小，也可以很大。對(duì)于致密天體，光線(xiàn)的偏折角度可以是2π，即繞天體轉(zhuǎn)一圈，也可能是4π，即轉(zhuǎn)兩圈，甚至可以一直繞著天體轉(zhuǎn)，形成一個(gè)光球。
對(duì)于一般天體來(lái)說(shuō)，光線(xiàn)偏折效應(yīng)很小，而對(duì)于宇宙當(dāng)中的某個(gè)星系來(lái)說(shuō)，這個(gè)效應(yīng)就顯得十分重要，因?yàn)樾窍涤兄蟮枚嗟馁|(zhì)量。當(dāng)遙遠(yuǎn)的光線(xiàn)或者電磁波經(jīng)過(guò)某星系時(shí)，星系的引力場(chǎng)造成光線(xiàn)偏折的現(xiàn)象類(lèi)似于凸透鏡對(duì)光線(xiàn)的偏折，該現(xiàn)象也被稱(chēng)之為引力透鏡現(xiàn)象。通過(guò)觀(guān)察引力透鏡現(xiàn)象，我們可以獲得星系的質(zhì)量等信息。
3.3.3 引力紅移
以上討論了施瓦茲度規(guī)下的徑向測(cè)地方程，這些測(cè)地方程對(duì)應(yīng)著太陽(yáng)引力場(chǎng)內(nèi)的軌道方程。理論的預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)的測(cè)量符合得很好。廣義相對(duì)論的又一重要的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證就是上文已經(jīng)提到過(guò)的引力紅移效應(yīng)，它是時(shí)間膨脹效應(yīng)的直接體現(xiàn)。具體理論在2.3節(jié)已經(jīng)做了說(shuō)明，引力紅移現(xiàn)象指的是在強(qiáng)引力場(chǎng)處向弱引力場(chǎng)處發(fā)射的光線(xiàn)會(huì)產(chǎn)生紅移，反之則會(huì)產(chǎn)生藍(lán)移?，F(xiàn)在有了施瓦茲度規(guī)，我們就可以做實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)該度規(guī)的紅移效應(yīng)了。
對(duì)于在施瓦茲時(shí)空中不同徑向距離r處的兩只靜止的鐘來(lái)說(shuō)，它們是不同步的，即不同r處有著不同的時(shí)間快慢。在沒(méi)有引力場(chǎng)的情況下，一發(fā)射頻率為ν的可見(jiàn)光光源，有關(guān)系
ν=1/T
(3.203)
其中T為周期。若將光源在施瓦茲時(shí)空中，它距質(zhì)量中心的徑向距離為r1，那么根據(jù)引力紅移理論，這一點(diǎn)的固有時(shí)間間隔將比坐標(biāo)時(shí)間間隔小，有
(3.204)
當(dāng)r1越小，即光源處于更強(qiáng)引力場(chǎng)處時(shí)，固有時(shí)間膨脹的程度相比弱引力場(chǎng)處就越大。對(duì)于固有振動(dòng)周期為T(mén)的光源，不同的引力場(chǎng)強(qiáng)使其頻率改變。根據(jù)式(2.72)，向引力場(chǎng)強(qiáng)處發(fā)射的光，頻率會(huì)逐漸變大，光譜線(xiàn)向藍(lán)光移動(dòng)，即藍(lán)移。反之，由太陽(yáng)發(fā)出的一束頻率為ν的可見(jiàn)光，在抵達(dá)地球時(shí)，它的頻率會(huì)變短，即紅移。
接下來(lái)進(jìn)行定量比較。處于施瓦茲時(shí)空的兩點(diǎn)，距離中心質(zhì)量的徑向距離分別為r1和r2，兩處固有時(shí)之比為
(3.205)
因此，從r1發(fā)射頻率為ν1的可見(jiàn)光，在抵達(dá)r2時(shí)，二者頻率之比為
(3.206)
定義頻率的相對(duì)偏差
則
(3.207)
通過(guò)檢驗(yàn)接收光源處頻率的相對(duì)偏差，便可以檢驗(yàn)引力場(chǎng)中的時(shí)間膨脹。對(duì)于地球表面，可以作如下近似
(3.208)
式中，Δr是高度差；g是地球表面的重力加速度。在國(guó)際單位制中，上式還要除以光速的平方。若Δr在1km的量級(jí)上，估算可得地球表面時(shí)間膨脹的效應(yīng)大概在10-13的量級(jí)。要想檢驗(yàn)如此小的時(shí)間膨脹效應(yīng)，普通鐘表的精度是不夠的，必須使用原子鐘或者核種。實(shí)驗(yàn)上首次對(duì)10m量級(jí)的時(shí)間膨脹的檢驗(yàn)是由核鐘來(lái)完成的。在1960年，Pound和Rebka把一個(gè)γ射線(xiàn)源放置于地面上，并用一個(gè)放置于塔頂?shù)奈掌鱽?lái)探測(cè)γ射線(xiàn)，塔頂距離射線(xiàn)源的高度是22.6m。對(duì)于Δr=-22.6m，式(3.211)所預(yù)言的相對(duì)頻移是
(3.209)
這樣一個(gè)量級(jí)在核鐘的精度內(nèi)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果在1%的實(shí)驗(yàn)誤差之內(nèi)與預(yù)期值相符。
人類(lèi)可以探測(cè)到恒星表面的原子輻射光產(chǎn)生的引力紅移現(xiàn)象。太陽(yáng)表面原子的振動(dòng)頻率，與遠(yuǎn)處同樣的原子振動(dòng)頻率相比，相對(duì)頻移為
(3.210)
Brault和Snider進(jìn)行的巧妙實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)了這一預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。表3給出了一些檢驗(yàn)引力紅移實(shí)驗(yàn)的具體結(jié)果，這些實(shí)驗(yàn)表明時(shí)間膨脹式(3.205)的正確性，雖然這不是對(duì)廣義相對(duì)論的直接證據(jù)，但時(shí)間膨脹是彎曲時(shí)空的效應(yīng)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論預(yù)測(cè)再一次符合得極好[12]。
表3
廣義相對(duì)論還有一個(gè)重要檢驗(yàn)是引力波。引力波的探測(cè)自從20世紀(jì)60年代開(kāi)始，直到2015年LIGO探測(cè)器首次探測(cè)到黑洞合并的引力波信號(hào)，證實(shí)了引力波的存在。通過(guò)探測(cè)不同頻段的引力波，可以揭示強(qiáng)引力系統(tǒng)的物理過(guò)程。本專(zhuān)題的第二篇論文將主要討論引力波波速與真空中光速的關(guān)系。
另外，從施瓦茲度規(guī)式(3.157)可以看到，引力場(chǎng)非常強(qiáng)處，r→2GM
gtt→0,grr→∞
(3.211)
這對(duì)應(yīng)于時(shí)空中非常奇特的區(qū)域，該區(qū)域光子也逃不出來(lái)。因此r≤2GM的區(qū)域被稱(chēng)為黑洞，r=2GM的面也被稱(chēng)為黑洞的視界面。黑洞相關(guān)物理不是本文的重點(diǎn)，這里就不做過(guò)多討論了。
4 結(jié)語(yǔ)
本篇論文首先討論了在等效原理指導(dǎo)下，相對(duì)性原理和光速不變?cè)淼木唧w內(nèi)容，然后以此為基礎(chǔ)闡述了廣義相對(duì)論理論中坐標(biāo)系和時(shí)空觀(guān)的理解。第三部分簡(jiǎn)述了廣義相對(duì)論引力論的基本理論建立過(guò)程、檢驗(yàn)以及應(yīng)用等內(nèi)容。正如文中所強(qiáng)調(diào)的，廣義相對(duì)論是關(guān)于度規(guī)的理論，它將引力效果通過(guò)時(shí)空的測(cè)量方式表示出來(lái)，我們因此得以避免質(zhì)量分布的復(fù)雜情況以及其他理論[注]有另外的不使用時(shí)空度規(guī)來(lái)描述引力的理論，可參看文獻(xiàn)[18]，理論中存在很多待定參數(shù)。的參數(shù)等。愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程描述了時(shí)空幾何與物質(zhì)場(chǎng)的聯(lián)系，前沿引力研究如黑洞熱力學(xué)、宇宙學(xué)及其應(yīng)用等都是對(duì)此場(chǎng)方程的進(jìn)一步探索，這是當(dāng)前理論物理的熱點(diǎn)方向，進(jìn)展也日新月異。鑒于本篇論文目的主要是綜述經(jīng)典引力論，因此這里就不詳述相關(guān)研究進(jìn)展了。有了經(jīng)典引力論的基礎(chǔ)，下一篇中我們就來(lái)處理前言中所討論的重要問(wèn)題，光速與引力波速度的關(guān)系。
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王雯宇 許 洋
(北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院，北京 100124)
1 背景
2016年2月11日LIGO團(tuán)隊(duì)宣布成功探測(cè)到了引力波的現(xiàn)象，2017年的諾貝爾物理獎(jiǎng)授予了對(duì)探測(cè)引力波作出重要貢獻(xiàn)的雷納·韋斯、巴里·巴里什和基普·S·索恩3人。在此之后2017年8月17日，LIGO和Virgo探測(cè)器又分別探測(cè)到了一個(gè)持續(xù)時(shí)間為100s左右的新引力波信號(hào)。在該引力波信號(hào)到達(dá)后大約1.7s，美國(guó)國(guó)家航空航天局(NASA)費(fèi)米衛(wèi)星搭載的伽瑪暴監(jiān)測(cè)器(GBM)、歐洲INTEGRAL和中國(guó)紫金山天文臺(tái)等世界各地的多家天文臺(tái)都探測(cè)到了一個(gè)暗弱的短時(shí)標(biāo)電磁伽馬射線(xiàn)暴。2017年10月16日多國(guó)天文學(xué)家同時(shí)宣布了這一消息，引起了世界的轟動(dòng)，這也標(biāo)志著以多種觀(guān)測(cè)方式為特點(diǎn)的“多信使”天文學(xué)進(jìn)入一個(gè)新時(shí)代[1]。引力波是廣義相對(duì)論預(yù)言中的重要現(xiàn)象。在相對(duì)論創(chuàng)立100余年后，引力波的觀(guān)測(cè)再次驗(yàn)證了愛(ài)因斯坦引力理論。在廣義相對(duì)論中，引力波的速度是真空中的光速。為什么引力波速與真空電磁波速度相同？這并不是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題。因?yàn)楣馑偈怯烧婵整溈怂鬼f方程組得到的，這是一個(gè)純粹的電磁理論的結(jié)果。廣義相對(duì)論中，引力波是時(shí)空度規(guī)的震蕩，也就是通常所說(shuō)的時(shí)空彎曲的漣漪，這是一個(gè)關(guān)于時(shí)空的理論。為什么時(shí)空度規(guī)的引力波要以真空電磁波的速度來(lái)傳播？如果讀者對(duì)廣義相對(duì)論不是很熟悉的話(huà)，是很難說(shuō)清楚這一點(diǎn)的。
現(xiàn)代物理的一個(gè)重要基礎(chǔ)就是相對(duì)論理論，該理論又分為狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論兩部分。狹義相對(duì)論以相對(duì)性原理和光速不變?cè)頌槌霭l(fā)點(diǎn)，系統(tǒng)地描述了慣性系中的力學(xué)和電磁學(xué)現(xiàn)象。廣義相對(duì)論處理的是引力存在時(shí)的經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)。愛(ài)因斯坦提出了等效原理，即時(shí)空局域一點(diǎn)的引力場(chǎng)可用相應(yīng)的局域非慣性參考系去描述，而各個(gè)局域慣性參考系的關(guān)系由愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程聯(lián)系起來(lái)，這樣就將引力問(wèn)題等同于時(shí)空的幾何問(wèn)題。黎曼幾何恰當(dāng)?shù)孛枋隽藦V義相對(duì)論。在高等物理教學(xué)中，狹義相對(duì)論通常是必修的重要課程，許多物理理論都需要用到狹義相對(duì)論的基本概念。廣義相對(duì)論理論由于其物理效應(yīng)相對(duì)其他理論來(lái)說(shuō)，應(yīng)用較少，通常放在擴(kuò)展閱讀中由學(xué)習(xí)者自由選擇。很多不從事理論物理研究的學(xué)者對(duì)廣義相對(duì)論了解較少，特別是狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論之間的關(guān)系是什么，等效原理中光速是否還能保持不變等。很多物理學(xué)的擴(kuò)展閱讀并沒(méi)有說(shuō)清楚。因此做一個(gè)狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論之間關(guān)系的簡(jiǎn)單介紹是必需的。
討論引力波速和光速之間的關(guān)系其實(shí)也是一個(gè)前沿的科學(xué)問(wèn)題。在平直時(shí)空電磁理論中，由于電磁介質(zhì)的存在，電磁波的速度是可以低于真空中的光速的，比如玻璃中的光速就小于真空中的光速。因此要做到引力波的速度和光速不同是很容易的，那就是時(shí)空充滿(mǎn)某種電磁介質(zhì)，此時(shí)電磁信號(hào)的傳播速度就與引力波速(真空光速)不同了。那么介質(zhì)存在時(shí)電磁理論和引力理論的具體形式是什么？怎么區(qū)分引力波速和光速是需要做深入研究的。本文作者在文獻(xiàn)[2]中就討論了平直時(shí)空介質(zhì)存在時(shí)的協(xié)變麥克斯韋方程組的形式。介質(zhì)中的電磁波速低于真空中的光速，而且是相對(duì)論協(xié)變的。如果要處理引力波問(wèn)題，則需要把該理論再做進(jìn)一步的推廣，把介質(zhì)電磁理論推廣到引力存在的情況。其實(shí)純粹的引力理論也需要考慮是否有類(lèi)似電磁理論中介質(zhì)存在的情況，引力波速會(huì)不會(huì)也因此而改變，這是一個(gè)非常有意思的問(wèn)題。
基于以上考慮，本專(zhuān)題試圖盡量淺顯地介紹廣義相對(duì)論引力理論，特別是廣義相對(duì)論和狹義相對(duì)論之間的關(guān)系。然后討論介質(zhì)存在時(shí)電磁和引力理論，最后再研究一下光速和引力波速不同的情況。論文分為兩篇。第一篇主要討論經(jīng)典廣義相對(duì)論引力的原理、理論及其檢驗(yàn)。文中第2節(jié)討論廣義相對(duì)性原理、光速不變?cè)硪约皶r(shí)空坐標(biāo)的理解，第3節(jié)簡(jiǎn)介引力論的具體內(nèi)容以及檢驗(yàn)。第4節(jié)給出本篇的小結(jié)。第二篇主要討論介質(zhì)存在時(shí)的電磁理論與引力理論，重點(diǎn)討論電磁波與引力波速度的異同和引力場(chǎng)方程以及弗雷德曼方程的修正。文中需要用到的黎曼幾何知識(shí)也在第二篇附錄中給出，正文將主要關(guān)注物理理論。
2 等效原理、廣義相對(duì)性原理和光速不變?cè)?/h2>
談到引力，人們首先會(huì)想到的是牛頓萬(wàn)有引力理論。雖然與廣義相對(duì)論一樣都是描述引力，但是二者存在本質(zhì)的區(qū)別：萬(wàn)有引力是絕對(duì)時(shí)空觀(guān)下力的平方反比定律，簡(jiǎn)潔卻有著清晰的理論預(yù)言；廣義相對(duì)論則是一個(gè)關(guān)于度規(guī)的理論，其核心思想是四維時(shí)空引力幾何化，即引力的作用等同于時(shí)空的彎曲。為什么愛(ài)因斯坦要把萬(wàn)有引力推廣為廣義相對(duì)論理論呢？這是因?yàn)楠M義相對(duì)論很好地處理了電磁場(chǎng)、牛頓力學(xué)在不同慣性系之間的變換問(wèn)題。慣性系電磁場(chǎng)、牛頓力學(xué)都可以修改為狹義相對(duì)論洛倫茲協(xié)變的形式。而仔細(xì)分析萬(wàn)有引力理論就可以知道，它是很難寫(xiě)成洛倫茲協(xié)變形式的。為此愛(ài)因斯坦就提出了等效原理，把引力幾何化，成功地得到了洛倫茲協(xié)變引力理論。因此討論廣義相對(duì)論之前，必須說(shuō)明廣義相對(duì)論的等效原理，以及它與狹義相對(duì)論理論之間的關(guān)系。狹義相對(duì)論理論源自?xún)蓚€(gè)原理：相對(duì)性原理，即物理方程在不同的慣性系中形式不變；光速不變?cè)?，即光在真空中的傳播速度為一個(gè)常數(shù)。在等效原理的指導(dǎo)下，相對(duì)性原理和光速不變?cè)淼木唧w內(nèi)容都有所修正，這正是廣義相對(duì)論理論的出發(fā)點(diǎn)。具體情況在下面兩小節(jié)中做出說(shuō)明。
2.1 等效原理與廣義相對(duì)性原理
廣義相對(duì)論是一個(gè)協(xié)變的引力理論，理論基礎(chǔ)是等效原理。等效原理的表述為：物體的慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量相等，慣性力與引力的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)局域不可分辨。這實(shí)際上初步建立了引力與幾何之間的橋梁，引力幾何化的思想正源自于此。通常的例子就是，在一個(gè)加速下降的電梯里面，人無(wú)法區(qū)分地球的吸引與電梯的加速。為了理解它的物理內(nèi)涵，我們可以考慮一個(gè)在地球引力勢(shì)
(2.1)
中的自由下落的質(zhì)點(diǎn)。其中，M是地球的質(zhì)量，G是牛頓萬(wàn)有引力常數(shù)。根據(jù)牛頓力學(xué)，它的運(yùn)動(dòng)方程是
(2.2)
其中，g代表地球表面的重力加速度，假設(shè)其為一個(gè)常矢量；mI,mG分別表示慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量。如果mI=mG，那么求解運(yùn)動(dòng)方程得到
(2.3)
這是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的描述地球引力的例子(自由落體)，它表示在引力場(chǎng)中某個(gè)靜止的觀(guān)察者A看到的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況。然而，如果換到某個(gè)與質(zhì)點(diǎn)共同自由下落的慣性系B(隨動(dòng)坐標(biāo)系)，即對(duì)式(2.3)做非線(xiàn)性坐標(biāo)變換：
(2.4)
這表示A參考系承受著的一個(gè)
F=-mIg
的慣性力?，F(xiàn)在式(2.3)在隨動(dòng)坐標(biāo)系B下表述為
(2.5)
這是一個(gè)不受外力的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。我們發(fā)現(xiàn)在觀(guān)察者A看來(lái)的引力相互作用，在慣性系B中則表現(xiàn)為不受任何相互作用，這說(shuō)明我們可以通過(guò)坐標(biāo)變換將引力的作用局域消除。注意，以上坐標(biāo)變換只有在重力加速度g為一常數(shù)時(shí)才成立，這即是等效原理中“局域”的意思。當(dāng)重力加速度g是時(shí)間與空間的函數(shù)時(shí)，則需要做一個(gè)更加復(fù)雜的非線(xiàn)性變換。
既然引力的效果可以被局域得消除，那就可以放棄“力”的觀(guān)點(diǎn)，將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，這就是引力的幾何化思想。根據(jù)式(2.5)可以看出，不受力的物體，在歐幾里得空間中的自由運(yùn)動(dòng)是直線(xiàn)，這其實(shí)對(duì)應(yīng)著歐幾里得幾何中的測(cè)地線(xiàn)，也即兩點(diǎn)之間的短程線(xiàn)。根據(jù)相對(duì)論理論，現(xiàn)實(shí)的時(shí)空并不是滿(mǎn)足歐幾里得幾何，而是由黎曼幾何(要點(diǎn)見(jiàn)第二篇附錄)來(lái)描述的，而且時(shí)間空間是一體的。物體在引力作用下的動(dòng)力學(xué)方程就等價(jià)于黎曼幾何中的測(cè)地線(xiàn)方程。因此，引力的問(wèn)題就被引入到了時(shí)空幾何的研究范疇中，黎曼幾何中的測(cè)地線(xiàn)和曲率是廣義相對(duì)論理論的重要概念。下面分析彎曲時(shí)空測(cè)地線(xiàn)的具體表達(dá)形式。
為了求得一般坐標(biāo)系下的測(cè)地線(xiàn)方程，根據(jù)等效原理，首先要將引力消除，得到一個(gè)不受外力的自由運(yùn)動(dòng)方程
(2.6)
其中，τ是固有時(shí)(粒子靜止參考系中粒子所處位置經(jīng)歷的時(shí)間)，
(2.7)
是固有速度(與坐標(biāo)速度不同，后文詳細(xì)說(shuō)明)。注意一般坐標(biāo)系中μ指標(biāo)為零表示時(shí)間維度，其它數(shù)值(1,2,3)表示空間維度，此時(shí)的速度可以是三維速度，也可以是四維速度。對(duì)式(2.6)做一個(gè)坐標(biāo)變換
x→x′
(2.8)
結(jié)果為
(2.9)
在計(jì)算中我們采用了相同指標(biāo)求和的約定(下同)。其中，
(2.10)
稱(chēng)為聯(lián)絡(luò)[3]，這是描述彎曲時(shí)空幾何的一個(gè)重要概念。利用固有速度式(2.7)的定義，方程(2.9)的另外一種形式為
(2.11)
若坐標(biāo)變換是線(xiàn)性的，則二階偏導(dǎo)項(xiàng)為零，聯(lián)絡(luò)為零。因此聯(lián)絡(luò)代表著坐標(biāo)變換的非線(xiàn)性性質(zhì)。式(2.9)和式(2.11)就是黎曼幾何的測(cè)地線(xiàn)方程，它描述了經(jīng)過(guò)一般坐標(biāo)變換后的引力場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方程。測(cè)地線(xiàn)方程也可以由拉格朗日量得到，取
(2.12)
作為拉格朗日量。其中，gμ ν是度規(guī)張量，刻畫(huà)了時(shí)空彎曲的性質(zhì)，其幾何意義在第二篇附錄中有較詳細(xì)的說(shuō)明，后文我們還要討論其物理意義。由變分原理得到的歐拉-拉格朗日方程即是測(cè)地線(xiàn)方程(2.9)，具體過(guò)程也可以參看第二篇附錄。另外需要注意的是，以上速度定義中的求導(dǎo)都是對(duì)粒子固有時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，對(duì)于光子或者其他無(wú)質(zhì)量粒子，無(wú)法定義固有時(shí)間，因此應(yīng)該換成對(duì)另外的某個(gè)參數(shù)(比如隨動(dòng)坐標(biāo)系中的時(shí)間坐標(biāo)σ)的求導(dǎo)，相同的坐標(biāo)變換也可以得到類(lèi)似的運(yùn)動(dòng)方程
(2.13)
此時(shí)
(2.14)
聯(lián)絡(luò)的定義不變。
基于等效原理，我們就知道引力存在時(shí)，時(shí)空可以看作是彎曲的，引力作用下物體的運(yùn)動(dòng)是彎曲時(shí)空的測(cè)地線(xiàn)。相應(yīng)地，物理理論就應(yīng)該修改為以彎曲時(shí)空為背景的理論。那么具體的物理理論比如電磁理論、牛頓力學(xué)等應(yīng)該做怎樣的修改才能成為一個(gè)彎曲時(shí)空的理論？此時(shí)可以回到構(gòu)建狹義相對(duì)論理論的邏輯歷程。狹義相對(duì)論理論開(kāi)始于相對(duì)性原理和光速不變?cè)?。相?duì)性原理表明物理規(guī)律在所有的慣性系中的形式都是一樣的。等效原理表明，引力局域等效于非慣性系，非慣性系可以非線(xiàn)性變換為慣性系。那么相對(duì)性原理就可以做這樣的推廣：物理理論在任意的參考系形式都是不變的，即物理規(guī)律不僅在慣性系間的洛倫茲變換下是協(xié)變的，而且在任意坐標(biāo)變換下都是協(xié)變的。這就是廣義相對(duì)性原理。如何具體表達(dá)廣義相對(duì)性原理呢？廣義相對(duì)性原理要求的結(jié)果就是描述物理規(guī)律的方程必須是一個(gè)張量方程。就像狹義相對(duì)論中，物理量可以寫(xiě)成四維矢量或者張量形式一樣，張量形式是不依賴(lài)于坐標(biāo)系選擇的。張量方程只要它在一個(gè)坐標(biāo)系中成立，那它就在所有的坐標(biāo)系中都成立。在狹義相對(duì)論中，根據(jù)洛倫茲變換性質(zhì)定義了張量和旋量。洛倫茲變換是一種線(xiàn)性坐標(biāo)變換。在廣義相對(duì)論中，就可以做以下推廣：在任意坐標(biāo)變換下定義相關(guān)物理量的張量形式，由這種廣義協(xié)變張量形式物理量重新構(gòu)建物理方程。這樣物理方程在任意坐標(biāo)變換下都是協(xié)變的，也就自然滿(mǎn)足廣義相對(duì)性原理了。
事實(shí)上，廣義相對(duì)性原理沒(méi)有說(shuō)明方程應(yīng)該怎么寫(xiě)，它只表明方程應(yīng)當(dāng)是一個(gè)廣義協(xié)變的張量方程。這里注意區(qū)分協(xié)變性與不變性。協(xié)變性實(shí)際上是對(duì)物理方程的形式要求，原則上任意一個(gè)不協(xié)變的方程都可以通過(guò)一些技巧把它寫(xiě)成協(xié)變的[4]。相比協(xié)變性，方程的不變性則對(duì)方程的內(nèi)容施加了限制。在量子場(chǎng)論中，可以依據(jù)場(chǎng)在洛倫茲變換下的不變量寫(xiě)下相應(yīng)的拉格朗日量，因此洛倫茲變換不變性的要求決定了拉氏量中各項(xiàng)的具體形式。依據(jù)等效原理與廣義協(xié)變性，就可以建立起通過(guò)幾何描述引力的一般方程。不止是引力，牛頓力學(xué)、電磁學(xué)都可以通過(guò)廣義相對(duì)性原理表述成廣義協(xié)變形式。在這之前，先應(yīng)了解廣義相對(duì)性原理給物理方程施加了哪些限制。
廣義協(xié)變性最直接的要求即是方程中只允許出現(xiàn)張量。我們可以根據(jù)廣義協(xié)變性定義一個(gè)一階張量Aμ，它在廣義坐標(biāo)下的變換法則是
(2.15)
其中，x′α是另外一個(gè)坐標(biāo)系；A′α是在x′α坐標(biāo)系的張量，其中
(2.16)
表示某一坐標(biāo)變換。滿(mǎn)足這種變換法則的一階張量Aμ稱(chēng)為逆變矢量。若一階張量Aμ的變換法則為
(2.17)
則稱(chēng)Aμ為協(xié)變矢量。逆變矢量和協(xié)變矢量之間的通過(guò)度規(guī)相聯(lián)系
Aμ=gμ νAν,Aμ=gμ νAν
(2.18)
二階、三階以及高階張量也做類(lèi)似定義。由這種方式定義的張量Aμ可以是長(zhǎng)度、電磁場(chǎng)等物理量。這樣定義的張量自然是變換協(xié)變的。物理方程中，由非線(xiàn)性變換造成的改變?cè)谟趶埩康膶?dǎo)數(shù)項(xiàng)。比如張量Aμ的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)?νAμ。廣義坐標(biāo)變換后，一階張量的簡(jiǎn)單微分并不能給出一個(gè)二階張量。我們需要對(duì)式(2.17)兩邊取微分
(2.19)
上式等號(hào)右邊第一項(xiàng)的存在使得一階張量的普通導(dǎo)數(shù)不是張量。這是因?yàn)閺V義坐標(biāo)變換是一個(gè)任意的坐標(biāo)變換，廣義的坐標(biāo)變換不能保證等號(hào)右邊第一項(xiàng)為零。廣義相對(duì)性原理的關(guān)鍵——不存在一個(gè)特殊的參考系，要求所有坐標(biāo)系都是等權(quán)的。因此物理方程不能使用普通導(dǎo)數(shù)。把物理理論推廣為引力存在時(shí)彎曲時(shí)空的情況，則需要將普通導(dǎo)數(shù)?μ替換為協(xié)變導(dǎo)數(shù)μ。所謂協(xié)變導(dǎo)數(shù)就是μAν的坐標(biāo)變換為
(2.20)
根據(jù)黎曼幾何，協(xié)變導(dǎo)數(shù)的具體形式為
(2.21)
Aν的協(xié)變導(dǎo)數(shù)則用分號(hào)表示，即
F=ma
(2.22)
首先將其寫(xiě)為張量形式，
(2.23)
其中μ指標(biāo)可以是三維空間指標(biāo)1,2,3，也可以是四維時(shí)空坐標(biāo)0,1,2,3。如果是四維時(shí)空，F(xiàn)0是相對(duì)論四維力的零分量(低速情況即功率)，其中
(2.24)
是加速度。由于dxμ是一個(gè)矢量，dτ是固有時(shí)微元，因此速度uμ是一個(gè)矢量。但是彎曲時(shí)空中duμ就不是一個(gè)矢量了，因此加速度不是一個(gè)廣義協(xié)變的矢量。對(duì)方程(2.23)變形
(2.25)
將以上方程(2.25)與測(cè)地線(xiàn)方程(2.9)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，力Fμ[6]可以定義為
(2.26)
(2.27)
該項(xiàng)減去方程(2.25)右邊的Fμ項(xiàng)剛好就湊成了協(xié)變導(dǎo)數(shù)ν，即
(2.28)
這樣得到廣義協(xié)變的牛頓力學(xué)方程
uννuμ=0
(2.29)
這就是式(2.11)。也就是說(shuō)，牛頓力學(xué)方程變成了彎曲時(shí)空的極短路徑的運(yùn)動(dòng)方程。這正是等效原理的體現(xiàn)。再次強(qiáng)調(diào)，這里牛頓力學(xué)方程可以是三維的力學(xué)方程，也可以是四維時(shí)空的力學(xué)方程，只要引力幾何化就可以，下節(jié)將更詳細(xì)的說(shuō)明此點(diǎn)。
經(jīng)典電磁學(xué)用麥克斯韋方程組來(lái)描述。方程組是自然狹義相對(duì)論洛倫茲協(xié)變的，其協(xié)變形式為
其中，F(xiàn)μ ν是電磁場(chǎng)張量；jν是電流。可以看到，方程都是對(duì)坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)，所以彎曲時(shí)空的電磁理論的推廣很簡(jiǎn)單，就是把普通導(dǎo)數(shù)替換為協(xié)變導(dǎo)數(shù)即可。因此彎曲時(shí)空的真空麥克斯韋方程組形式成為
關(guān)于彎曲時(shí)空電磁理論的具體內(nèi)容在第二篇論文中再做說(shuō)明。
綜上，將物理規(guī)律推廣至引力存在彎曲時(shí)空理論的方法就是，把普通導(dǎo)數(shù)替換為協(xié)變導(dǎo)數(shù)，方程就具有了廣義協(xié)變的形式。這就是廣義相對(duì)性原理。
圖1 二維曲面圓周運(yùn)動(dòng)等效于極坐標(biāo)直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)
2.2 廣義光速不變?cè)?/h3>
上節(jié)描述了等效原理和廣義相對(duì)性原理，根據(jù)這兩個(gè)原理，原則上所有理論都可以寫(xiě)成彎曲空間的理論。是否廣義相對(duì)論已經(jīng)建立完成了呢？不是這樣的。狹義相對(duì)論中，除相對(duì)性原理之外，還需要光速不變?cè)聿拍軜?gòu)建完整理論。光速不變?cè)硪蟛煌瑧T性系中保持真空中光速不變。由此才能得到洛倫茲變換和狹義相對(duì)論時(shí)空觀(guān)等理論。在廣義理論中，相對(duì)性原理要求把理論寫(xiě)成一個(gè)彎曲時(shí)空廣義協(xié)變的形式。而彎曲時(shí)空具體形式是什么，廣義協(xié)變性并不能給出指導(dǎo)。也就是說(shuō)，根據(jù)上節(jié)的方法，物理理論可以在任意的坐標(biāo)變換下都可以寫(xiě)成協(xié)變形式。協(xié)變導(dǎo)數(shù)中需要用到的聯(lián)絡(luò)也沒(méi)有明確的限制。
顯然，如果要得到廣義相對(duì)性理論，光速不變?cè)硪惨茝V為廣義形式。有讀者會(huì)認(rèn)為，四維時(shí)空張量的固有間隔ds2(后文詳述該物理量定義。)是一個(gè)標(biāo)量，廣義相對(duì)性原理要求張量坐標(biāo)變換不變，那不就可以得到光速不變的要求了么？其實(shí)不是這樣的，上節(jié)說(shuō)明的廣義相對(duì)性原理時(shí)，我們一再?gòu)?qiáng)調(diào)彎曲時(shí)空可以三維的，也可以是四維的。即可以?huà)侀_(kāi)時(shí)間一維，構(gòu)建一個(gè)三維彎曲空間廣義協(xié)變的理論，滿(mǎn)足絕對(duì)時(shí)空觀(guān)和廣義相對(duì)性原理，而不滿(mǎn)足光速不變?cè)怼９馑俨蛔冊(cè)韯t要求必須構(gòu)建一個(gè)時(shí)空一體的閔氏時(shí)空，由黎曼幾何表達(dá)的物理理論。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，下面舉一個(gè)絕對(duì)時(shí)空兩維彎曲面廣義理論的例子。
如圖1(a)所示，一個(gè)質(zhì)量為m的行星圍繞中心天體作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為ρ0，角速度為ω。行星在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，這就是一個(gè)二維系統(tǒng)。根據(jù)牛頓第二定律，在直角坐標(biāo)系中其動(dòng)力學(xué)方程可以寫(xiě)為
其解可以寫(xiě)為
行星軌跡是一個(gè)圓，它的速率為
這就是牛頓力學(xué)描述的平面圓周運(yùn)動(dòng)，加速度ω2ρ0歸因于萬(wàn)有引力的作用，此時(shí)空間是平直的。
根據(jù)等效原理，平面上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)就是一個(gè)二維彎曲面上的測(cè)地線(xiàn)，式(2.34)(2.35)可以寫(xiě)成彎曲空間中的運(yùn)動(dòng)方程。此時(shí)彎曲面的度規(guī)、聯(lián)絡(luò)的具體形式是什么呢？這暫時(shí)是不清楚的。如圖1(b)所示，可以做一個(gè)坐標(biāo)變換將直角坐標(biāo)(x,y)轉(zhuǎn)化至極坐標(biāo)系(ρ,φ)，
在極坐標(biāo)系行星的運(yùn)動(dòng)方程非常簡(jiǎn)單
也就是說(shuō)，極坐標(biāo)系中，行星做ρ為常數(shù)，φ勻速變化的運(yùn)動(dòng)，類(lèi)似于平面內(nèi)的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。注意這是一個(gè)絕對(duì)時(shí)空觀(guān)描述的運(yùn)動(dòng)，時(shí)間是獨(dú)立參量，與空間無(wú)關(guān)。此時(shí)(ρ,φ)坐標(biāo)系的度規(guī)是什么也不清楚，但是由于已經(jīng)知道了坐標(biāo)變換式(2.40)和式(2.41)，根據(jù)式(2.10)可以計(jì)算聯(lián)絡(luò)，我們已經(jīng)可以根據(jù)彎曲空間張量理論重新理解(x,y)空間的運(yùn)動(dòng)了。(ρ,φ)坐標(biāo)系測(cè)地線(xiàn)方程為
此時(shí)萬(wàn)有引力幾何化，空間是平直的。(x,y)空間運(yùn)動(dòng)的形式可以由坐標(biāo)變換式(2.40)、(2.41)的逆變換
來(lái)得到。將極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化至笛卡爾坐標(biāo)系中。此時(shí)測(cè)地線(xiàn)方程為
(2.48)
根據(jù)聯(lián)絡(luò)的定義式(2.10)和坐標(biāo)的正逆變換，可以得到
將行星速率的表達(dá)式(2.38)、(2.39)以及聯(lián)絡(luò)分量的表達(dá)式代入至測(cè)地線(xiàn)方程(2.48)中，讀者可以驗(yàn)證，運(yùn)動(dòng)方程就回到了
(2.52)
y的運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)與此類(lèi)似。這一方程與牛頓第二定律得到的動(dòng)力學(xué)方程(2.34)形式相同，但是意義卻完全不同。在方程(2.34)中，等號(hào)右邊的項(xiàng)(-ω2x)是萬(wàn)有引力導(dǎo)致的加速度，空間是平直的，而式(2.52)左邊ω2x是幾何量，空間是彎曲的，引力的效果被彎曲空間效應(yīng)所替代。(x,y)空間度規(guī)不再是一個(gè)常量矩陣，其具體形式是什么，這就牽涉到下節(jié)要研究的引力場(chǎng)方程，這里先不討論。
以上二維彎曲面運(yùn)動(dòng)方程(2.52)就是測(cè)地線(xiàn)方程，亦即式(2.29)的三維表述形式。它是滿(mǎn)足廣義相對(duì)性原理的，這說(shuō)明萬(wàn)有引力定律是可以寫(xiě)為彎曲空間中廣義協(xié)變形式的。以上方程也都滿(mǎn)足伽利略變換，因此一個(gè)無(wú)限大的速度在絕對(duì)時(shí)空觀(guān)下是允許的。從這個(gè)例子可以看出，光速不變?cè)硎遣荒軖仐壍?。光速不變要求時(shí)空一體，四維時(shí)空的固有間隔ds2不變，這樣才能建立符合真實(shí)物理世界的相對(duì)論理論。由于時(shí)空彎曲，固有間隔ds2、時(shí)空度規(guī)gμ ν和聯(lián)絡(luò)之間的關(guān)系很復(fù)雜，下面做具體的說(shuō)明。
彎曲時(shí)空的的性質(zhì)由每個(gè)時(shí)空度規(guī)gμ ν來(lái)刻畫(huà)。根據(jù)等效原理，局域一點(diǎn)都可以做一個(gè)坐標(biāo)變換變?yōu)橐粋€(gè)平直時(shí)空。局域平直時(shí)空光速不變導(dǎo)致的不變量就是四維時(shí)空固有間隔ds2，它表示兩時(shí)空點(diǎn)之間的不變距離，在任何度規(guī)下都為一標(biāo)量。ds2由度規(guī)張量gμ ν確定，即
ds2=gμ νdxμdxν
(2.53)
注意，基于以上廣義光速不變?cè)淼挠懻?，相?duì)論理論中希臘字母如μ就必須取四維時(shí)空坐標(biāo)0,1,2,3了。由于dxμdxν關(guān)于μ、ν指標(biāo)對(duì)稱(chēng)，在本文中我們假設(shè)度規(guī)張量gμ ν是對(duì)稱(chēng)的，即gμ ν=gν μ。度規(guī)張量非對(duì)稱(chēng)的情況，具體可以參考文獻(xiàn)[7]。在四維時(shí)空中，對(duì)稱(chēng)的度規(guī)張量一般有10個(gè)分量，它們完全確定了時(shí)空的幾何性質(zhì)。度規(guī)張量有著非常豐富的物理內(nèi)容，對(duì)度規(guī)張量各個(gè)分量的檢驗(yàn)將直接驗(yàn)證引力的效果。下小節(jié)將說(shuō)明度規(guī)分量的物理意義。
另外一個(gè)重要的量dτ稱(chēng)為固有時(shí)，它與時(shí)空間隔的關(guān)系是
ds=cdτ
(2.54)
其中c代表真空中的光速，在本文中采取自然單位制，即c=1，這樣簡(jiǎn)化之后有
ds=dτ.
(2.55)
式(2.53)也可以寫(xiě)為
dτ2=gμ νdxμdxν
(2.56)
兩邊同時(shí)除以dτ2，就得到一個(gè)恒等式
(2.57)
時(shí)空間隔與固有時(shí)是描述廣義光速不變?cè)淼闹匾锢砹?。同時(shí)，引入了度規(guī)之后就可以定義該時(shí)空中的面積、體積等幾何量了。而這些幾何量相對(duì)于閔科夫斯基時(shí)空的偏離正是引力場(chǎng)的效果。這一點(diǎn)使得對(duì)廣義相對(duì)論的檢驗(yàn)變得更加直觀(guān)，因此有著清晰而豐富的物理內(nèi)涵。
根據(jù)黎曼幾何，可得到聯(lián)絡(luò)和度規(guī)的關(guān)系。如四維時(shí)空間隔dτ2不變，即
βgμ ν=0
(2.58)
將上式用聯(lián)絡(luò)寫(xiě)開(kāi)，根據(jù)黎曼幾何
(2.59)
上式是由聯(lián)絡(luò)表示度規(guī)的方法。反過(guò)來(lái)，也可以用度規(guī)表示聯(lián)絡(luò)。為此把上式中的指標(biāo)μ、ν、β循環(huán)排列，得到
將式(2.60)與式(2.61)相加并減去式(2.59)，經(jīng)化簡(jiǎn)，得到
(2.62)
這就是四維時(shí)空由度規(guī)計(jì)算聯(lián)絡(luò)的公式，該聯(lián)絡(luò)稱(chēng)為克里斯多夫聯(lián)絡(luò)。注意在廣義相對(duì)論中，聯(lián)絡(luò)的下指標(biāo)是交換對(duì)稱(chēng)的。聯(lián)絡(luò)不對(duì)稱(chēng)(撓率不為零)的情況不屬于本文討論范圍。
在某個(gè)確定度規(guī)彎曲空間中，度規(guī)與度規(guī)一階二階導(dǎo)數(shù)可以組成的張量為黎曼曲率張量，其形式為
(2.63)
該張量確定了時(shí)空彎曲的具體性質(zhì)。另外還可以對(duì)黎曼張量進(jìn)行指標(biāo)縮并得到里奇張量和標(biāo)量
這些量的幾何定義都在第二篇附錄中，這里就不詳細(xì)說(shuō)明了。在廣義相對(duì)論引力理論中，里奇張量和標(biāo)量有重要的應(yīng)用。
在等效原理的指導(dǎo)下，本節(jié)推廣了相對(duì)性原理和光速不變?cè)?，由此就可以建立廣義相對(duì)論了。后文的關(guān)于度規(guī)gμ ν的廣義相對(duì)論引力論就是以上原理的直接結(jié)果。但是僅在等效原理的指導(dǎo)下，已經(jīng)可以理解很多引力物理的內(nèi)涵了，特別是關(guān)于引力存在時(shí)坐標(biāo)系和時(shí)間膨脹，尺子收縮等相對(duì)論時(shí)空觀(guān)效應(yīng)的理解，下面專(zhuān)門(mén)用一小節(jié)來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。
2.3 坐標(biāo)系與時(shí)空觀(guān)
狹義相對(duì)論改變了我們對(duì)時(shí)間和空間的理解。不同慣性系之間的變換，時(shí)間和空間的測(cè)量都會(huì)發(fā)生改變，因此在相對(duì)論理論中，參考系以及參考系之間的變換尤為重要。物理學(xué)中，為了確定物體的運(yùn)動(dòng)，首先要選擇一個(gè)參考系。第一步就是選定一個(gè)物體，認(rèn)為它是靜止的。然后以此為參照，在空間布滿(mǎn)靜止尺子測(cè)量每個(gè)點(diǎn)的空間坐標(biāo)；在每個(gè)空間點(diǎn)放一個(gè)時(shí)鐘，測(cè)量當(dāng)?shù)氐臅r(shí)間坐標(biāo)。絕對(duì)時(shí)空觀(guān)認(rèn)為時(shí)間和空間是相互獨(dú)立的，所以時(shí)間空間的測(cè)量不會(huì)因參照物的改變而改變。相對(duì)論理論中，以上定義的參考系的意義就需要特別注意。參考系就是數(shù)學(xué)中常用的坐標(biāo)系，物理學(xué)的時(shí)空坐標(biāo)系有4個(gè)參數(shù)(t,x,y,z)，相對(duì)論理論中通常取xμ指標(biāo)μ為(0,1,2,3)來(lái)表示。狹義相對(duì)論處理的慣性參考系，問(wèn)題相比于非慣性系或者引力存在情況就簡(jiǎn)單很多?？臻g布滿(mǎn)靜止尺子測(cè)量顯示的數(shù)值就是空間坐標(biāo)，這個(gè)空間坐標(biāo)就稱(chēng)之為固有距離或者固有長(zhǎng)度。每一個(gè)地點(diǎn)時(shí)鐘顯示的時(shí)間就是當(dāng)?shù)氐臅r(shí)間值，也就是固有時(shí)。當(dāng)然，全空間的時(shí)鐘是需要對(duì)齊的，這就是相對(duì)論中“對(duì)鐘”的概念。在沒(méi)有探測(cè)到引力波之前，人類(lèi)對(duì)鐘所使用的相互作用只有電磁相互作用。這種情況下，物理學(xué)上能夠確定的是所謂的“雙程光速”“單程光速”不變只能作為假設(shè)，因而狹義相對(duì)論的各種修改版本其實(shí)無(wú)法實(shí)際實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。當(dāng)有了引力波探測(cè)之后，原則上人類(lèi)又有了新的對(duì)鐘手段，相對(duì)論如何修改是一個(gè)很大的課題，具體內(nèi)容讀者可以參考文獻(xiàn)[8]、[9]。當(dāng)對(duì)鐘之后，每個(gè)地點(diǎn)的固有時(shí)就是當(dāng)?shù)氐淖鴺?biāo)時(shí)間。以上是慣性系的坐標(biāo)的定義，讀者也許會(huì)覺(jué)得有點(diǎn)多余。但是根據(jù)上文的等效原理就會(huì)知道，當(dāng)引力存在時(shí)，問(wèn)題就變得麻煩了。首先需要明確的就是，每個(gè)靜止的尺子顯示的不是空間坐標(biāo)值，而是當(dāng)?shù)氐墓逃芯嚯x；每個(gè)點(diǎn)的時(shí)鐘顯示的也不是時(shí)間坐標(biāo)值，而是當(dāng)?shù)氐墓逃袝r(shí)。這點(diǎn)有點(diǎn)難以理解，下面就以時(shí)間坐標(biāo)和固有時(shí)之間的關(guān)系為例來(lái)專(zhuān)門(mén)作出說(shuō)明。
廣義相對(duì)論中，度規(guī)張量是描述時(shí)空幾何的基本變量，是坐標(biāo)的函數(shù)。根據(jù)式(2.53)，彎曲時(shí)空中的固有時(shí)微元為
(2.66)
這是一個(gè)不變量，也就是上節(jié)說(shuō)明的光速不變?cè)淼囊蟆Ｆ街睍r(shí)空中，度規(guī)等于1(當(dāng)?shù)仂o止時(shí)鐘顯示的)，坐標(biāo)時(shí)間dt就和固有時(shí)間間隔dτ相等。引力存在時(shí)，度規(guī)不等于1，坐標(biāo)時(shí)間隔dt就不等于固有時(shí)間間隔了。二者之比為
(2.67)
如果鐘表在引力場(chǎng)中保持靜止，即
dxi=0
那么式(2.67)變?yōu)?/p>
(2.68)
圖2 引力場(chǎng)中靜止時(shí)鐘顯示當(dāng)?shù)毓逃袝r(shí)
上式說(shuō)明引力場(chǎng)影響了時(shí)間的測(cè)量，造成了時(shí)間的膨脹或者收縮的效應(yīng)，坐標(biāo)時(shí)間和當(dāng)?shù)毓逃袝r(shí)并不是相等的?，F(xiàn)在的問(wèn)題是，在當(dāng)?shù)仂o止的時(shí)鐘顯示的時(shí)間是那個(gè)時(shí)間？是坐標(biāo)時(shí)間還是固有時(shí)間？根據(jù)上文參考系坐標(biāo)定義的方法，有讀者可能會(huì)認(rèn)為，時(shí)鐘顯示的是坐標(biāo)時(shí)間。這樣理解是不正確的，其實(shí)靜止時(shí)空不管是有沒(méi)有引力的存在，顯示的都是時(shí)鐘運(yùn)行的固有時(shí)間。那么引力不是造成了時(shí)間膨脹或者收縮，鐘表怎么不能顯示坐標(biāo)時(shí)間呢？這是因?yàn)樵谝?chǎng)中坐標(biāo)時(shí)dt是不可觀(guān)測(cè)的，根據(jù)等效原理，在引力場(chǎng)中可以找到一個(gè)局域慣性系使得引力的效果消除。引力場(chǎng)造成了時(shí)間膨脹或者收縮，但是不能對(duì)鐘的快慢有直接的影響。不管鐘是機(jī)械鐘，還是原子鐘，它測(cè)量時(shí)間一定依賴(lài)于某個(gè)具體的物理機(jī)制，比如單擺或者原子震蕩等。如圖2所示，彈簧振子與一個(gè)鐘表二者保持相對(duì)靜止。引力場(chǎng)改變對(duì)所有物理過(guò)程的效應(yīng)是一樣的，如果它造成了一個(gè)彈簧諧振子振動(dòng)周期的改變，相應(yīng)時(shí)鐘內(nèi)部計(jì)時(shí)物理機(jī)制也發(fā)生了相同的改變，所以時(shí)鐘測(cè)量的彈簧振子周期與慣性系時(shí)鐘測(cè)量的結(jié)果是相同的。換一個(gè)參考系看，也是一樣的。如果換成局域慣性系，則鐘和彈簧振子在力的作用下上升。鐘和彈簧振子相對(duì)靜止，時(shí)鐘顯示的當(dāng)然是彈簧振子固有周期?？臻g測(cè)量也存在類(lèi)似的情況，這點(diǎn)的理解非常重要，也就是說(shuō)引力存在時(shí)，時(shí)間坐標(biāo)和空間坐標(biāo)具體值只能由時(shí)鐘和尺子顯示值通過(guò)度規(guī)計(jì)算來(lái)得到。這并不意味著坐標(biāo)沒(méi)有意義，相反，這會(huì)帶來(lái)重要的物理效果，即比較引力場(chǎng)中不同地點(diǎn)同一物理機(jī)制，比如光，就看到了引力造成的紅移或者藍(lán)移等時(shí)間改變效應(yīng)。
由于dt1，dt2是全局的坐標(biāo)時(shí)間，因此，兩點(diǎn)經(jīng)歷的坐標(biāo)時(shí)間間隔dt2與dt1是相等的，則
(2.71)
如果在引力場(chǎng)中對(duì)比兩個(gè)不同地點(diǎn)，同一物理機(jī)制發(fā)出的固有振動(dòng)周期相同的光波(兩點(diǎn)發(fā)出的光傳播到同一地點(diǎn))，相應(yīng)的頻率之比為
(2.72)
這就是引力造成的紅移或者藍(lán)移的現(xiàn)象。后文將具體說(shuō)明該現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。
坐標(biāo)系和固有時(shí)、固有距離之間的關(guān)系也可以解釋相對(duì)論理論中經(jīng)常會(huì)被提到一個(gè)問(wèn)題：雙生子佯謬。狹義相對(duì)論中，由于處理的是慣性系問(wèn)題，兩個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體，互相看到對(duì)方都是時(shí)間膨脹了。比如一對(duì)雙胞胎，弟弟留在了地球上，哥哥坐上宇宙飛船做高速旅行。若干年后，哥哥返回地球見(jiàn)到了弟弟。根據(jù)狹義相對(duì)論理論，從地球上弟弟的角度看，哥哥的時(shí)間膨脹了，也就是哥哥經(jīng)歷的時(shí)間短，因此比弟弟年輕。但是從哥哥的角度看，弟弟以相反的方向高速運(yùn)動(dòng)，應(yīng)該是弟弟的時(shí)間膨脹了。到底誰(shuí)的時(shí)間發(fā)生了改變？這就是著名的雙生子佯謬。因?yàn)槲锢斫Y(jié)果只能有一個(gè)，不可能因?yàn)閰⒖枷档母淖兌淖?。這個(gè)情況其實(shí)比較復(fù)雜，因?yàn)槲覀儾磺宄绺缇唧w的加速情況，我們舉另外一個(gè)類(lèi)似的例子來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，同時(shí)借此來(lái)更加深入理解坐標(biāo)時(shí)與固有時(shí)的關(guān)系。
如圖3所示，兩個(gè)人A、B在互相觀(guān)察對(duì)方。其中A在地面上處于慣性系中；B站立在一個(gè)圓盤(pán)上，隨著圓盤(pán)一起作相對(duì)于地面的旋轉(zhuǎn)，角速度為ω。A與B距旋轉(zhuǎn)中心C點(diǎn)的徑向長(zhǎng)度為ρ0。令A(yù)觀(guān)測(cè)者為O坐標(biāo)系，B觀(guān)測(cè)者為O′坐標(biāo)系。這個(gè)圓盤(pán)常被用來(lái)講解廣義相對(duì)論引力論，因此也被稱(chēng)為愛(ài)因斯坦轉(zhuǎn)盤(pán)。首先，A處于慣性系，情況比較簡(jiǎn)單，相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)的效應(yīng)都可以用狹義相對(duì)論來(lái)處理。O系中，B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以B受到一個(gè)向心力的作用。沿著旋轉(zhuǎn)方向尺子會(huì)發(fā)生收縮；圓周的徑向則沒(méi)有收縮。如上文所述，由于B點(diǎn)測(cè)量到的是固有長(zhǎng)度，從B測(cè)量的角度看，B所處的空間不再是平直的了，圓周周長(zhǎng)Z與半徑ρ之間的關(guān)系為
(2.73)
圖3 愛(ài)因斯坦轉(zhuǎn)盤(pán)
公式中的
(2.74)
就是當(dāng)前情況下的洛倫茲因子。因此B的參考系就必須用非歐幾何來(lái)描述了。依據(jù)狹義相對(duì)論運(yùn)動(dòng)學(xué)，此時(shí)A也會(huì)看到B的時(shí)間膨脹了，因?yàn)锽相對(duì)于A(yíng)運(yùn)動(dòng)的速度為
vB=ωρ0
(2.75)
每轉(zhuǎn)一周，A經(jīng)歷的時(shí)間是
(2.76)
A會(huì)看到相對(duì)于B靜止的時(shí)鐘顯示經(jīng)歷的時(shí)間是自己經(jīng)歷時(shí)間除以洛倫茲因子即
(2.77)
旋轉(zhuǎn)中心C點(diǎn)相對(duì)A點(diǎn)靜止，C點(diǎn)時(shí)鐘顯示的時(shí)間與A點(diǎn)時(shí)間是同步的。所以在O慣性系看，以上結(jié)論都是正常的。
在O′系中的B看來(lái)，就會(huì)出現(xiàn)所謂的雙生子佯謬，即B看到A相對(duì)于自己在做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)狹義相對(duì)論，A的時(shí)間應(yīng)該是膨脹的。這就與O系中A看到現(xiàn)象相反了，那到底是哪個(gè)有問(wèn)題呢？這里我們需要知道，B所處的O′系是一個(gè)非慣性系，依據(jù)等效原理，O′系和慣性系是等權(quán)的，B可以認(rèn)為O′系并不是非慣性系，而是時(shí)空中存在著引力作用。正是引力作用造成了時(shí)空的彎曲，時(shí)空由黎曼幾何描述。此時(shí)B看C點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)C點(diǎn)時(shí)鐘相對(duì)于B點(diǎn)運(yùn)行的快。B的理解為，C點(diǎn)的彎曲時(shí)空的度規(guī)00分量大于自己當(dāng)?shù)氐?0分量。根據(jù)O慣性系的分析可知，徑向ρ處時(shí)空度規(guī)的00分量為
g00=1-ω2ρ2
(2.78)
因此C點(diǎn)時(shí)鐘就走的快正是因?yàn)樯衔氖?2.71)描述的引力造成的時(shí)空觀(guān)效應(yīng)。那B看到A的時(shí)間到底是膨脹還是收縮了。要說(shuō)清楚這一點(diǎn)就必須進(jìn)一步明確O系和O′系之間的坐標(biāo)變換。如果兩個(gè)坐標(biāo)系都采用極坐標(biāo)，仔細(xì)分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)，相應(yīng)的坐標(biāo)變換可以取為
t=t′的原因在于C點(diǎn)的引力為零，A點(diǎn)的時(shí)間與C點(diǎn)時(shí)間同步。O′系B點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)間與C點(diǎn)同步，但是B點(diǎn)時(shí)鐘顯示的固有時(shí)間間隔小于當(dāng)?shù)氐淖鴺?biāo)時(shí)間間隔，這正是B鐘慢的原因。可能有讀者認(rèn)為以上坐標(biāo)變換不就是上小節(jié)所說(shuō)明的絕對(duì)時(shí)空么？其實(shí)不是這樣的，此時(shí)的坐標(biāo)變換是時(shí)空一體的變換，變換要求四維時(shí)空長(zhǎng)度ds2不變(不考慮垂直與盤(pán)面的軸向)，此即光速不變?cè)淼囊蟆系時(shí)空度規(guī)為
(2.82)
按照式(2.79)、(2.80)、(2.81)坐標(biāo)變換之后，O′度規(guī)為
(2.83)
此時(shí)B應(yīng)該怎么計(jì)算A經(jīng)歷的時(shí)間呢？在牛頓力學(xué)里，計(jì)算一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間很簡(jiǎn)單，就是物體運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度除以速率積分即可。按相對(duì)論理論，問(wèn)題就變得復(fù)雜了。速度uμ定義為坐標(biāo)對(duì)固有時(shí)間的變化率，軌跡長(zhǎng)度除以速率計(jì)算的是固有時(shí)間。而這正是我們所需要的。也就是說(shuō)，我們并不需要坐標(biāo)變化微元除以dt的坐標(biāo)速度(等于距離引力源無(wú)窮遠(yuǎn)處觀(guān)測(cè)者測(cè)量到的速度)。因此B點(diǎn)計(jì)算A旋轉(zhuǎn)一周經(jīng)歷的固有時(shí)間間隔為
(2.84)
其中
(2.85)
這正像狹義相對(duì)論中兩個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的慣性系一樣，A、B互相看到對(duì)方的相對(duì)旋轉(zhuǎn)角速度為ω。因此在O′參考系中B計(jì)算A的時(shí)間確實(shí)是比自己經(jīng)歷的固有時(shí)間間隔長(zhǎng)，這點(diǎn)是毋庸置疑的。由此讀者也會(huì)理解，在O慣性系中，A計(jì)算B旋轉(zhuǎn)一周經(jīng)歷的固有時(shí)間間隔可以由坐標(biāo)時(shí)間間隔2πρ0/vB除以洛倫茲因子得到；也可以完全按照運(yùn)動(dòng)方程直接計(jì)算B經(jīng)歷的固有時(shí)間間隔
(2.86)
可見(jiàn)雙生子佯謬是不存在的，請(qǐng)讀者仔細(xì)體會(huì)其中的物理規(guī)律。在理解了坐標(biāo)系與固有時(shí)、固有距離之間區(qū)別與聯(lián)系之后，下面開(kāi)始具體的廣義相對(duì)論引力理論的旅程。
3 相對(duì)論引力論及其檢驗(yàn)
上節(jié)已經(jīng)說(shuō)明了等效原理，廣義相對(duì)性原理和光速不變?cè)?。原則上任何理論都可以寫(xiě)為廣義協(xié)變的形式，時(shí)空一體則意味著廣義光速不變。牛頓力學(xué)、經(jīng)典電磁學(xué)都可以寫(xiě)為廣義協(xié)變理論形式。在量子場(chǎng)論中也可以考慮一個(gè)量子過(guò)程在彎曲時(shí)空的修正[10]。這實(shí)際上是廣義相對(duì)論理論的一半內(nèi)容。而另一半，引力幾何化自身，時(shí)空本身如何彎曲？即刻畫(huà)彎曲時(shí)空的度規(guī)，曲率等幾何量滿(mǎn)足什么規(guī)律？等效原理并沒(méi)有說(shuō)明，而這才是引力論核心內(nèi)容。本節(jié)將研究如何將引力幾何化，得到最終的愛(ài)因斯坦引力場(chǎng)方程。引力論成功地將萬(wàn)有引力推廣為相對(duì)論理論，它可以描述了引力和宇宙等。它所預(yù)言的光線(xiàn)偏折、水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)、引力紅移以及引力波等也被逐一驗(yàn)證[11]。本節(jié)首先將導(dǎo)出愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程，進(jìn)而討論它的幾種重要的解，以及引力論的重要檢驗(yàn)等。
3.1 引力場(chǎng)方程
首先要寫(xiě)出彎曲時(shí)空自身的物理理論來(lái)。彎曲時(shí)空由度規(guī)來(lái)刻畫(huà)，因此廣義相對(duì)論引力理論描寫(xiě)的是度規(guī)的動(dòng)力學(xué)。引力場(chǎng)方程是一個(gè)度規(guī)的物理方程，這正是前文所說(shuō)的等效原理的要求。麥克斯韋方程組的形式可以提示我們引力場(chǎng)方程的形式。麥克斯韋方程組左邊是電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)項(xiàng)，右邊是場(chǎng)源項(xiàng)。度規(guī)的物理方程應(yīng)該也是度規(guī)的動(dòng)力學(xué)項(xiàng)等于引力源項(xiàng)。然而，引力的描述其實(shí)沒(méi)有其他特別的物理要求，根據(jù)廣義相對(duì)性原理和光速不變?cè)恚鲆韵聝蓚€(gè)假設(shè)[12]：
(1) 方程是一個(gè)四維時(shí)空的張量方程；
(2) 方程是二階微分方程，并且對(duì)二階導(dǎo)數(shù)是線(xiàn)性的。
第一個(gè)假設(shè)很明顯，不需要再做說(shuō)明。第二個(gè)假設(shè)并沒(méi)有堅(jiān)實(shí)的根據(jù)，只是由于已知的物理定律最多也只包含二階導(dǎo)數(shù)，所以我們希望引力的方程也是如此。當(dāng)然，包含高階導(dǎo)數(shù)的引力理論也有很多研究，主要代表有f(R)引力[13]，f(T)引力[14]等，這些理論超出了本文的討論范圍。根據(jù)黎曼幾何，由度規(guī)張量，以及度規(guī)一階、二階導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的張量有黎曼張量，里奇張量，里奇標(biāo)量，符號(hào)分別為
(3.87)
這些張量中最基礎(chǔ)的黎曼張量，后面兩個(gè)張量都是黎曼張量的指標(biāo)縮并。通常，場(chǎng)論的構(gòu)建方法就是把所有允許的項(xiàng)寫(xiě)下來(lái)，然后確定各項(xiàng)前面的系數(shù)即可。寫(xiě)完度規(guī)組成的張量，這等于寫(xiě)下來(lái)度規(guī)物理方程一邊的形式。
度規(guī)物理方程另外一邊的張量就是引力的源。物體的引力質(zhì)量產(chǎn)生了引力。由于引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量的等價(jià)，而慣性質(zhì)量即能量密度，因此可以認(rèn)為能量密度提供了引力。但是能量密度只是能量在空間中的分布，最多也只能寫(xiě)成標(biāo)量形式。所以要寫(xiě)下完整的引力源項(xiàng)，就應(yīng)該使用能量動(dòng)量張量
Tμ ν
(3.88)
能量密度只是Tμ ν的一個(gè)分量。能量動(dòng)量張量Tμ ν可以依據(jù)諾特爾定理，由拉格朗日量的時(shí)空對(duì)稱(chēng)性得到，其具體形式可以參看后文的討論。這是一個(gè)二階張量，因此這也決定了度規(guī)的動(dòng)力學(xué)項(xiàng)只能由黎曼張量縮并產(chǎn)生的里奇張量和標(biāo)量來(lái)構(gòu)成。這樣，描述引力的方程所需要的項(xiàng)就齊全了。
(3.89)
為了做到這一點(diǎn)，只需要經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換，使得
(3.90)
這其實(shí)是在這一點(diǎn)取度規(guī)場(chǎng)切空間。此點(diǎn)附近度規(guī)為
(3.91)
hμ ν是一個(gè)小量，它的一階導(dǎo)數(shù)為零，即
hμ ν,α=0
(3.92)
因此在測(cè)地坐標(biāo)下度規(guī)的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都為零，只剩下二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，即
(3.93)
度規(guī)的一階導(dǎo)數(shù)為零，克里斯多夫聯(lián)絡(luò)也為零，此時(shí)問(wèn)題得到了大大簡(jiǎn)化。
現(xiàn)在可以嘗試導(dǎo)出描述引力場(chǎng)的物理方程。如上文所述，黎曼張量是唯一可用gμ ν二階導(dǎo)數(shù)的線(xiàn)性組合來(lái)構(gòu)造的張量，方程左邊必須是關(guān)于黎曼曲率張量的某種縮并形式。由于方程是二階張量方程，因此方程左邊關(guān)于黎曼曲率張量的組合只能是
Rμ ν+agμ νR+Λgμ ν
(3.94)
其中，a、Λ是待定系數(shù)。而方程的右邊是能量動(dòng)量張量Tμ ν，引力場(chǎng)方程可以初步確定為
Rμ ν+agμ νR+Λgμ ν=κTμ ν
(3.95)
其中，κ決定了引力的強(qiáng)度。要確定方程中的待定系數(shù)，需要從物理上對(duì)方程做進(jìn)一步的要求：
(1) 該理論低速時(shí)應(yīng)該回到牛頓萬(wàn)有引力理論；
(2) 理論應(yīng)該保持廣義能量動(dòng)量守恒。
這兩個(gè)要求都是是自然的：既然現(xiàn)在要建立引力的相對(duì)論理論，物體速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光速時(shí)當(dāng)然應(yīng)當(dāng)回到牛頓萬(wàn)有引力；平直時(shí)空中能量動(dòng)量守恒，在相對(duì)論理論中保持守恒也是自然的。第二個(gè)要求是對(duì)引力源的要求。有了以上假設(shè)和要求，就可以確定引力場(chǎng)方程了。平直時(shí)空中物質(zhì)的能量動(dòng)量張量守恒的要求即
?μTμ ν=0
(3.96)
這可以看作是測(cè)地坐標(biāo)系中局域時(shí)空點(diǎn)成立的方程。當(dāng)引力場(chǎng)存在時(shí)，守恒定律需要推廣為廣義形式。根據(jù)廣義相對(duì)性原理，只需要把測(cè)地坐標(biāo)系中成立的守恒方程普通導(dǎo)數(shù)替換為協(xié)變導(dǎo)數(shù)即可，即
μTμ ν=0
(3.97)
利用坐標(biāo)變換式(3.90)，將式(3.95)轉(zhuǎn)化到測(cè)地坐標(biāo)下，形式為
(3.98)
上式中符號(hào)上的“撇”代表經(jīng)過(guò)了坐標(biāo)變換。將上式兩邊取四維散度，根據(jù)能量守式(3.96)，有
(3.99)
利用克里斯多夫聯(lián)絡(luò)的式(2.62)，可以得到
以及
其中，
h=hμ νημ ν
(3.102)
是測(cè)地坐標(biāo)下度規(guī)張量的跡。由以上公式可以得到測(cè)地坐標(biāo)下的里奇張量
(3.103)
以及里奇標(biāo)量
R′=?2h-?α?βhα β
(3.104)
將以上兩式代入至式(3.99)中，可以將其化簡(jiǎn)為
(3.105)
可以看出，能量守恒式(3.99)的條件導(dǎo)出待定系數(shù)
(3.106)
而另外一個(gè)系數(shù)Λ稱(chēng)為宇宙學(xué)常數(shù)，不能由此方式求出。這是一個(gè)非常小但不等于零的數(shù)，在很多廣義相對(duì)論文獻(xiàn)中都省略了。愛(ài)因斯坦最初得到的引力場(chǎng)方程中也省略了這一項(xiàng)。但是它對(duì)宇宙的演化至關(guān)重要，在此我們保留它。由此就得到描述引力場(chǎng)的物理方程，即愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程
(3.107)
這一方程是描述引力(能量動(dòng)量張量)與時(shí)空(曲率張量)相互作用的方程。當(dāng)然引力強(qiáng)度κ具體值仍然沒(méi)有確定，下一節(jié)依據(jù)上文所述的低速下回到牛頓萬(wàn)有引力的要求，就能完成最終的引力場(chǎng)方程。
3.2 牛頓近似
為了確定引力強(qiáng)度κ，將牛頓引力理論與廣義相對(duì)論做對(duì)比來(lái)尋找其線(xiàn)索。牛頓引力理論是一個(gè)非相對(duì)論的弱場(chǎng)理論，所考慮的速度遠(yuǎn)小于光速。牛頓萬(wàn)有引力公式為
(3.108)
上式右邊負(fù)號(hào)代表吸引力；m1、m2為兩物體的質(zhì)量(這里不再區(qū)分慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量)。根據(jù)牛頓第二定律，得到牛頓引力理論的運(yùn)動(dòng)方程，即
(3.109)
其中，g就是重力加速度。據(jù)此定義牛頓引力勢(shì)Φ，它和牛頓引力F的關(guān)系是
F=-mΦ
(3.110)
對(duì)一個(gè)連續(xù)的質(zhì)量分布，引力勢(shì)是
(3.111)
利用關(guān)系
可以將上式改寫(xiě)為
2Φ(x)=4πGρ(x)
(3.112)
因此引力勢(shì)作用下的運(yùn)動(dòng)方程為
(3.113)
現(xiàn)在證明，在低速、弱場(chǎng)、靜態(tài)引力場(chǎng)以及空間緩變的情況下，廣義相對(duì)論便回到了牛頓理論，即愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程在經(jīng)典的近似下，回到了式(3.112)，并且通過(guò)對(duì)比得到愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程中的耦合常數(shù)κ。在廣義相對(duì)論中，引力相互作用物體的運(yùn)動(dòng)方程是彎曲時(shí)空中的測(cè)地線(xiàn)，根據(jù)式(2.9)，空間坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)形式為
(3.114)
在低速的情況下，有近似條件
(3.115)
這就是非相對(duì)論近似，也是牛頓理論處理問(wèn)題的條件。測(cè)地線(xiàn)方程式(3.114)近似為
(3.116)
對(duì)比牛頓引力理論中的運(yùn)動(dòng)方程(3.112)，可得到聯(lián)絡(luò)與引力勢(shì)的關(guān)系：
(3.117)
(3.118)
因此
可以解釋為物體在引力場(chǎng)中所受到的四維引力。這是對(duì)牛頓引力的推廣。
當(dāng)引力不存在時(shí)，時(shí)空是平直的，引力存在時(shí)，時(shí)空是彎曲的。當(dāng)引力場(chǎng)強(qiáng)度比較弱時(shí)，時(shí)空的彎曲程度也比較小，因此可以認(rèn)為弱引力場(chǎng)下度規(guī)張量偏離閔科夫斯基度規(guī)ημ ν一個(gè)小量，這個(gè)小量記為hμ ν，hμ ν?1。注意，弱場(chǎng)近似的hμ ν與上文測(cè)地坐標(biāo)的hμ ν是不同的：前者是小量，導(dǎo)數(shù)不一定為零；后者也是一個(gè)小量，但是其一階導(dǎo)數(shù)為零。度規(guī)張量可以寫(xiě)為
gμ ν=ημ ν+hμ ν
(3.119)
(3.120)
進(jìn)而得到了引力勢(shì)與度規(guī)張量的關(guān)系，
(3.121)
利用引力勢(shì)的表達(dá)式(2.1)，可以得到弱場(chǎng)、低速近似下度規(guī)張量的00分量：
(3.122)
這表明引力場(chǎng)的存在影響了時(shí)間的測(cè)量，但只是當(dāng)2GM/r一項(xiàng)與1可比擬時(shí)才會(huì)變得明顯。注意這里用的是自然單位制，若用國(guó)際單位制，弱場(chǎng)條件即是指
(3.123)
對(duì)于地球和太陽(yáng)來(lái)說(shuō)，這一項(xiàng)都非常小，弱場(chǎng)近似都成立。比如太陽(yáng)，質(zhì)量為M=2×1030kg、半徑為r=7×108m，在太陽(yáng)表面計(jì)算上式
宇宙中其他類(lèi)型的天體，比如中子星或黑洞，質(zhì)量極大、體積極小，它們產(chǎn)生的引力效應(yīng)非常強(qiáng)，屬于強(qiáng)引力場(chǎng)。強(qiáng)引力場(chǎng)效應(yīng)也是檢驗(yàn)廣義相對(duì)論的一個(gè)熱點(diǎn)方向[15]。
當(dāng)引力場(chǎng)不隨時(shí)間變化時(shí)，度規(guī)張量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為零，這時(shí)稱(chēng)為靜態(tài)引力場(chǎng)。大部分天體所產(chǎn)生的引力場(chǎng)都是靜態(tài)的，也存在隨時(shí)間快速變化的引力場(chǎng)，牛頓引力理論不能準(zhǔn)確描述它，必須用廣義相對(duì)論。用公式表示靜態(tài)引力場(chǎng)的條件，即
gμ ν,0=0
(3.124)
引力場(chǎng)是空間緩變的，即
gμ ν,i?1
(3.125)
把以上近似條件代入至愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程(3.107)左邊，而方程的右邊能量動(dòng)量張量Tμ ν在以上近似下只有00分量有貢獻(xiàn)。該分量就是物質(zhì)的質(zhì)量密度ρ(x)。場(chǎng)方程的00分量方程為
(3.126)
利用上式來(lái)確定耦合常數(shù)κ。首先對(duì)愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程(3.110)兩邊取跡，即用gμ ν作用，簡(jiǎn)單縮并(Λ=0)得到
R=-κT
(3.127)
T=Tμ νgμ ν是能量動(dòng)量張量的跡。在近似條件下，
T=ρ(x)
(3.128)
將上式代入至式(3.126)中，得
(3.129)
在以上靜態(tài)、緩變、弱場(chǎng)的條件下，克里斯多夫聯(lián)絡(luò)為
(3.130)
將聯(lián)絡(luò)的各個(gè)分量顯示地寫(xiě)出，有
(3.131)
2h00=-κρ(x)
(3.132)
上式是在近似條件式(3.115)、(3.129)、(3.124)、(3.125)下愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程形式。下面就是把上式與牛頓引力理論方程(3.112)比較，利用Φ與h00的關(guān)系，可得
(3.133)
可以得到系數(shù)κ的值
κ=-8πG
(3.134)
代入κ，愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程為
(3.135)
當(dāng)宇宙學(xué)常數(shù)Λ=0時(shí)，
(3.136)
這就是大家熟悉的愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程。方程左邊兩項(xiàng)也被定義為愛(ài)因斯坦張量Gμ ν
(3.137)
它滿(mǎn)足比安奇恒等式
μGμ ν=0
(3.138)
這是廣義相對(duì)論中的一個(gè)重要恒等式，對(duì)應(yīng)的就是能量動(dòng)量張量守恒。
廣義相對(duì)論雖然是一個(gè)關(guān)于引力的理論，但通過(guò)引力的幾何化將關(guān)于引力的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為彎曲時(shí)空的測(cè)量問(wèn)題，即廣義相對(duì)論關(guān)注于彎曲時(shí)空的度規(guī)結(jié)構(gòu)。一種度規(guī)形式即定義了一種時(shí)空結(jié)構(gòu)，它對(duì)應(yīng)于某種特定形式的引力場(chǎng)，因此在廣義相對(duì)論的框架內(nèi)，引力即是時(shí)空。廣義相對(duì)論是研究引力的基本工具，而愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程(3.136)則成為所有研究的出發(fā)點(diǎn)。
根據(jù)愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程可知，物質(zhì)決定了時(shí)空如何彎曲，而時(shí)空的彎曲將導(dǎo)致一系列非常有趣的物理結(jié)果，我們可以通過(guò)時(shí)空的彎曲效應(yīng)來(lái)檢驗(yàn)愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程。根據(jù)目前的天文觀(guān)測(cè)結(jié)果，所有的數(shù)據(jù)都支持場(chǎng)方程。下一節(jié)，我們介紹愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程的第一個(gè)嚴(yán)格解，即施瓦茲解，以及它的應(yīng)用。
3.3 施瓦茲度規(guī)、廣義相對(duì)論的檢驗(yàn)
上文在弱場(chǎng)、低速、緩變的情況下得到了引力場(chǎng)方程，這就是1915年愛(ài)因斯坦得到的引力理論。雖然它可以回到牛頓萬(wàn)有引力理論，但這并不能證明該理論是正確的。必須驗(yàn)證理論對(duì)萬(wàn)有引力理論的修正效應(yīng)才能確定其正確性。最好方式就是找到太陽(yáng)系附近引力場(chǎng)方程的嚴(yán)格解，然后取近似來(lái)確定萬(wàn)有引力的修正效應(yīng)并進(jìn)行觀(guān)測(cè)驗(yàn)證。1916年，德國(guó)物理學(xué)家施瓦茲(Karl Schwarzschild)得到了愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程的第一個(gè)嚴(yán)格解(施瓦茲解[16])。該解描述了靜態(tài)、呈球?qū)ΨQ(chēng)的引力場(chǎng)，比較接近于太陽(yáng)系附近的引力場(chǎng)，因此有著重要的應(yīng)用。
太陽(yáng)系由太陽(yáng)、8大行星以及無(wú)數(shù)小行星組成，太陽(yáng)的質(zhì)量占據(jù)了太陽(yáng)系質(zhì)量的99.8%。忽略太陽(yáng)的多級(jí)矩和自轉(zhuǎn)效應(yīng)就是施瓦茲解要求的求解條件。這一節(jié)討論此條件下求解施瓦茲解的過(guò)程，然后可以由此檢驗(yàn)廣義相對(duì)論。
施瓦茲解求解過(guò)程就是根據(jù)引力場(chǎng)的靜態(tài)、球?qū)ΨQ(chēng)分布對(duì)度規(guī)張量的限制，再利用愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程就能得到度規(guī)張量的具體表達(dá)式。對(duì)于一個(gè)球?qū)ΨQ(chēng)的場(chǎng)，自然是采用球坐標(biāo)(t,r,θ,φ)，度規(guī)張量有10個(gè)分量。首先，場(chǎng)的靜態(tài)條件要求度規(guī)張量與時(shí)間無(wú)關(guān)，并且滿(mǎn)足時(shí)間反演不變。這意味著，時(shí)空間隔中dtdr,dtdθ,dtdφ項(xiàng)前的系數(shù)必須為零。因此，時(shí)空間隔的形式必須為
ds2=A(r,θ,φ)dt2-dl2
(3.139)
其中，A(r,θ,φ)是關(guān)于坐標(biāo)的函數(shù)；dl2是空間間隔。
場(chǎng)的球?qū)ΨQ(chēng)分布給出的限制是，在以r為半徑的球面上的轉(zhuǎn)動(dòng)，時(shí)空間隔保持不變。這樣，函數(shù)A(r,θ,φ)僅僅是坐標(biāo)r的函數(shù)，記為A(r)。在一個(gè)二維球面上，兩點(diǎn)之間的間隔是唯一的轉(zhuǎn)動(dòng)不變量，即
r2dθ2+r2sin2θdφ2
是不變量。由此可知，空間間隔的形式只能是
dl2=C(r)dr2+B(r)(r2dθ2+r2sin2θdφ2).
其中B(r)、C(r)是關(guān)于r的函數(shù)。于是，相應(yīng)的時(shí)空間隔為
(3.140)
(3.141)
這樣可以將時(shí)空間隔中的變量函數(shù)減少至兩個(gè)。為了隨后的計(jì)算方便，再令
A′(r′)=eN(r),B′(r′)=eL(r)
(3.142)
這樣，靜態(tài)、球?qū)ΨQ(chēng)的近似要求下，省略符號(hào)上的一撇，度規(guī)張量的形式為
(3.143)
下面將通過(guò)解愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程來(lái)確定N(r)、L(r)的具體形式。
真空中能量動(dòng)量張量為零，因此根據(jù)關(guān)系式(3.127)，真空中的愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程形式為
Rμ ν=0
(3.144)
接下來(lái)，需要利用度規(guī)式(3.146)給出Rμ ν的各個(gè)分量，并代入上式進(jìn)行求解。首先需要算出所有的克里斯多夫聯(lián)絡(luò)，然后再通過(guò)縮并算出Rμ ν。在當(dāng)前的條件下，里奇張量中很多分量為零。非零的里奇張量為
其中，
代入至方程(3.144)中，得到3個(gè)微分方程
這組方程很容易解。式(3.145)加上式(3.146)可得
N′+L′=0
(3.148)
積分上式，得
N+L=C
(3.149)
其中，C是一積分常數(shù)。距離中心天體無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，引力場(chǎng)強(qiáng)度近似為零，度規(guī)張量應(yīng)該回到平直時(shí)空的形式。即r→∞時(shí)，函數(shù)N(r)、L(r)必須同時(shí)趨近于零，因此積分常數(shù)C=0,
N=-L
(3.150)
將式(3.148)代入式(3.147)中，經(jīng)化簡(jiǎn)，得到微分方程
(3.151)
這一方程的解為
(3.152)
其中，k為一積分常數(shù)。根據(jù)方程(3.150)，有
(3.153)
綜上，我們通過(guò)解真空中的愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程得到描述靜態(tài)、球?qū)ΨQ(chēng)的引力場(chǎng)的度規(guī)形式為
(3.154)
為了得到k的值，需要借助牛頓極限。在弱場(chǎng)、低速近似的情況下，h00起著牛頓引力勢(shì)的作用，即式(3.121)。一個(gè)球?qū)ΨQ(chēng)的質(zhì)量分布，總質(zhì)量為M，根據(jù)式(3.122)，有
(3.155)
從而得到
k=-2GM
(3.156)
將k代入空間間隔式(3.154)中，得到
(3.157)
這是一個(gè)描述靜態(tài)、球?qū)ΨQ(chēng)引力場(chǎng)的真空解，即施瓦茲解。施瓦茲解是一個(gè)嚴(yán)格解，其實(shí)該解在很多類(lèi)型的引力場(chǎng)下都是適用的。任何非轉(zhuǎn)動(dòng)、電中性的恒星的引力坍縮，其最后結(jié)果必定導(dǎo)致施瓦茲幾何[12]。施瓦茲度規(guī)時(shí)空產(chǎn)生的物理效應(yīng)，包括水星近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)、光線(xiàn)偏折和引力紅移，觀(guān)測(cè)結(jié)果驗(yàn)證了施瓦茲解的預(yù)言，這就是廣義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。
3.3.1 水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)
牛頓萬(wàn)有引力理論對(duì)太陽(yáng)系中行星運(yùn)動(dòng)的描述是非常準(zhǔn)確的，比如理論準(zhǔn)確地預(yù)言了海王星和冥王星存在。這兩個(gè)行星的觀(guān)測(cè)是牛頓萬(wàn)有引力理論的巨大成功。但是，萬(wàn)有引力的理論預(yù)言存在一個(gè)例外：行星近日點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與理論值有所偏離。對(duì)于一個(gè)可以看作質(zhì)點(diǎn)的行星，萬(wàn)有引力理論所預(yù)言的軌道方程為
(3.158)
其中u=1/r，r為行星的半徑，下文將說(shuō)明l的意義。方程(3.158)的解為
(3.159)
圖4 行星進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象
這是一個(gè)橢圓軌道方程，ε是這個(gè)橢圓軌道的偏心率，太陽(yáng)是其中一個(gè)焦點(diǎn)，近日點(diǎn)位于φ=φ0。當(dāng)考慮了其他行星軌道的擾動(dòng)與太陽(yáng)四極矩等因素后，行星就會(huì)存在進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象，即行星旋轉(zhuǎn)的軌道面對(duì)稱(chēng)軸也在旋轉(zhuǎn)。其最顯著的觀(guān)測(cè)效應(yīng)就是近日點(diǎn)位置的變動(dòng)。萬(wàn)有引力可以計(jì)算近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)的具體數(shù)值。觀(guān)測(cè)表明[17]，行星實(shí)際進(jìn)動(dòng)的數(shù)值與萬(wàn)有引力的預(yù)言并不符合。這一偏離較為明顯的例子是水星，水星的軌道偏離正圓的程度很大，在近日點(diǎn)距太陽(yáng)4600萬(wàn)km，而遠(yuǎn)日點(diǎn)則有7000萬(wàn)km。如圖4所示，水星圍繞太陽(yáng)做周期運(yùn)動(dòng)的軸在緩慢變化著，兩個(gè)相鄰近日點(diǎn)的角位移偏離了2π(轉(zhuǎn)動(dòng)一周的角位移)。觀(guān)測(cè)表明水星近日點(diǎn)的偏轉(zhuǎn)角為(5600.73±0.41)弧秒/百年，而由牛頓萬(wàn)有引力理論算出其他行星的擾動(dòng)導(dǎo)致的偏轉(zhuǎn)角為(5557.62±0.20)弧秒/百年，其中額外的(43.1±0.1)弧秒/百年的進(jìn)動(dòng)值是牛頓引力理論不能解決的。為了找到這額外的進(jìn)動(dòng)值，我們研究施瓦茲度規(guī)下的測(cè)地線(xiàn)方程，從中可以得到對(duì)行星軌道方程的修正。
施瓦茲度規(guī)式(3.157)對(duì)應(yīng)的測(cè)地線(xiàn)方程是
(3.160)
其中，符號(hào)上的點(diǎn)號(hào)代表對(duì)固有時(shí)τ的導(dǎo)數(shù)。對(duì)于現(xiàn)在要處理的情況，可以假設(shè)行星的軌道在
的平面上，并且有
(3.164)
即軌道將始終保持在這一平面上。這是很明顯的。
式(3.160)和式(3.163)可以直接積分。利用關(guān)系
可以將式(3.160)寫(xiě)為
(3.165)
積分上式，得到
(3.166)
同樣，積分式(3.163)得到
(3.167)
這是因?yàn)槔窭嗜樟渴?2.12)中包含坐標(biāo)的項(xiàng)只有度規(guī)張量gμ ν，施瓦茲度規(guī)式(3.157)與時(shí)間t和角度φ無(wú)關(guān)，即
gμ ν,0=gμ ν,3=0
(3.170)
度規(guī)與某一坐標(biāo)的無(wú)關(guān)性是一類(lèi)重要的問(wèn)題，它涉及時(shí)空的對(duì)稱(chēng)性。比如在狹義相對(duì)論中，度規(guī)ημ ν=diag(1,-1,-1,-1)，與4個(gè)坐標(biāo)都無(wú)關(guān)，因此在平直時(shí)空中能量動(dòng)量守恒。度規(guī)的形式不同，時(shí)空的對(duì)稱(chēng)性就不同。這一點(diǎn)在后文會(huì)作出說(shuō)明。
方程(3.168)、(3.169)說(shuō)明，施瓦茲度規(guī)下的行星軌道運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)的能量E與角動(dòng)量L是守恒量。根據(jù)拉格朗日量式(2.12)，可以得到
比較式(3.166)、(3.167)與式(3.171)、(3.172)，可以得到積分常數(shù)與l的物理含義，它們分別是單位質(zhì)量的能量和角動(dòng)量，即
方程(3.161)成為
(3.175)
方程(3.175)非常難解，可以利用式(2.57)來(lái)將其化簡(jiǎn)。利用施瓦茲度規(guī)式(3.157)，代入至式(2.57)中，得到
(3.176)
再利用式(3.166)、(3.167)代入上式，經(jīng)化簡(jiǎn)得
(3.177)
將上式代入至式(3.175)中，可以得到施瓦茲度規(guī)中行星運(yùn)動(dòng)的軌道方程為
(3.178)
把此式與牛頓引力理論相應(yīng)的軌道方程(3.158)相比較，多出了-3GMu2一項(xiàng)，這一項(xiàng)代表著廣義相對(duì)論的修正。估算一下這個(gè)量的大小，相比于式(3.178)第二項(xiàng)u，二者相差
由于水星質(zhì)量很小，M約等于太陽(yáng)質(zhì)量，r=5.5×1010m，在國(guó)際單位制中
(3.179)
是一個(gè)遠(yuǎn)小于1的數(shù)。由于廣義相對(duì)論的修正項(xiàng)-3GMu2比其他項(xiàng)小很多，因此利用逐級(jí)近似的方法求解微分方程(3.178)。這里直接給出微分方程(3.178)的近似解
(3.180)
上式表示一個(gè)進(jìn)動(dòng)的橢圓軌道。其中，ε與φ0是牛頓引力中行星橢圓軌道的偏心率和近日點(diǎn)位置。行星軌道的一個(gè)周期為
(3.181)
這表明兩個(gè)相鄰的近日點(diǎn)的角距離比2π多出
(3.182)
這個(gè)量給出每個(gè)公轉(zhuǎn)周期近日點(diǎn)的角進(jìn)動(dòng)值。對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)半軸為a的橢圓，近日點(diǎn)的距離是a(1-ε)。對(duì)于橢圓軌道式(3.159)，在近日點(diǎn)處φ=φ0，有
(3.183)
得到
(3.184)
在國(guó)際單位制中，水星近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)值為
(3.185)
代入水星的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)，這個(gè)角進(jìn)動(dòng)值為0.1035弧秒，即每一周期水星的近日點(diǎn)與上一個(gè)近日點(diǎn)相差了0.1035弧秒。因?yàn)樗堑墓D(zhuǎn)周期是0.24年，這一進(jìn)動(dòng)值相應(yīng)于每百年43弧秒。表1給出了太陽(yáng)系內(nèi)行星進(jìn)動(dòng)的觀(guān)測(cè)值(弧秒/百年)與廣義相對(duì)論的預(yù)測(cè)值(弧秒/百年)[12]。其中，觀(guān)測(cè)到的行星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)值已經(jīng)減去了其他行星的貢獻(xiàn)以及歲差的影響。觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)與廣義相對(duì)論的預(yù)言符合得很好，因此行星進(jìn)動(dòng)預(yù)言值的修正是廣義相對(duì)論的重要驗(yàn)證之一。
表1
3.3.2 光線(xiàn)偏折
廣義相對(duì)論另外一個(gè)重要檢驗(yàn)是光線(xiàn)的引力偏折。太陽(yáng)附近的光線(xiàn)軌道略微偏離了直線(xiàn)，這直接反映了太陽(yáng)附近時(shí)空的彎曲。光子的靜止質(zhì)量為零，但是它的運(yùn)動(dòng)質(zhì)量并不為零，所以運(yùn)動(dòng)的光子具有慣性質(zhì)量[17]。這樣，即使在牛頓引力理論中，等效原理也表明了引力場(chǎng)將影響光子的軌道。我們先用牛頓引力中的軌道方程(3.158)來(lái)估算一下。對(duì)于經(jīng)過(guò)太陽(yáng)附近的光子，速率
v=1
所以角動(dòng)量
l≈Rv=R
R為太陽(yáng)半徑。代入至式(3.158)中，得
(3.186)
方程中
是一個(gè)非常小的量，代表引力場(chǎng)對(duì)軌道的影響。如果將其忽略，以上方程成為
(3.187)
它的解為
u=c0cosφ
(3.188)
其中，c0是積分常數(shù)，由初始光子的位置決定。如果將上式轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)系，即作變換x=rcosφ，軌道方程成為
x=c0
(3.189)
(3.190)
當(dāng)光線(xiàn)在遠(yuǎn)處時(shí)，即u=0，根據(jù)上式，有
cosφ|u=0=-u0
(3.191)
光線(xiàn)在遠(yuǎn)處的方位角寫(xiě)為
(3.192)
滿(mǎn)足
sinα?α?u0
(3.193)
那么光線(xiàn)的偏折角即為2α，即
(3.194)
上式即牛頓引力理論預(yù)測(cè)的光線(xiàn)偏折。接下來(lái)，利用施瓦茲度規(guī)下的軌道方程(3.178)計(jì)算光線(xiàn)的偏折角度。
光子靜止質(zhì)量為零，處理運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，可以認(rèn)為式(3.173)、(3.174)中的固有時(shí)趨于零，因此在軌道方程(3.178)中有
這時(shí)二次方程(3.178)成為
(3.195)
接下來(lái)的步驟和處理牛頓引力下的光線(xiàn)偏折相仿。上式的解為
(3.196)
(3.197)
保留一階小量得到
(3.198)
光線(xiàn)在施瓦茲度規(guī)下的偏折為
(3.199)
廣義相對(duì)論預(yù)言的光線(xiàn)偏折是牛頓引力預(yù)言的兩倍。在1919年5月發(fā)生日全蝕時(shí)，愛(ài)丁頓(Eddington)和戴森(Dyson)的兩只觀(guān)測(cè)隊(duì)首次觀(guān)測(cè)到了經(jīng)過(guò)太陽(yáng)表面的光線(xiàn)偏折，角度分別是(1.98±0.12)″和(1.61±0.30)″，這一觀(guān)測(cè)值與式(3.199)的預(yù)言值相符，是廣義相對(duì)論第一個(gè)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。在1919年之后，人們又在許多次日食期間做了類(lèi)似的觀(guān)測(cè)。但是由于觀(guān)測(cè)的誤差比較大，接下來(lái)的數(shù)次觀(guān)測(cè)都沒(méi)有做到更精確的檢驗(yàn)。而比較精密的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是通過(guò)射電望遠(yuǎn)鏡得到的。表2給出了使用射電望遠(yuǎn)鏡檢驗(yàn)太陽(yáng)附近光線(xiàn)偏折的結(jié)果[12]。
表2
值得一提的是，射電望遠(yuǎn)鏡的精確觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)使得人類(lèi)可以檢驗(yàn)?zāi)承V義相對(duì)論的擴(kuò)展理論[12]。
另外需要注意的是，一次方程(3.180)也對(duì)應(yīng)著軌道方程，它會(huì)給出更多物理內(nèi)容。雖然
ε,l→∞
若它們的比值保持有限是一個(gè)常數(shù)，令
其中參數(shù)b稱(chēng)為碰撞參量，它與光子的能量有關(guān)。方程(3.177)變?yōu)?/p>
(3.200)
上式給出了方位角變化和u之間的關(guān)系，即
(3.201)
在與中心天體最近的點(diǎn)處有
du/dφ=0
記這個(gè)點(diǎn)為
u=1/r0
從遠(yuǎn)處而來(lái)的光線(xiàn)，經(jīng)由中心質(zhì)量的彎曲后，再傳播至遠(yuǎn)處，由上式可以得到其方位角變化
(3.202)
對(duì)于不同的碰撞參量b，上式給出不同的光線(xiàn)偏折。偏折的角度可以很小，也可以很大。對(duì)于致密天體，光線(xiàn)的偏折角度可以是2π，即繞天體轉(zhuǎn)一圈，也可能是4π，即轉(zhuǎn)兩圈，甚至可以一直繞著天體轉(zhuǎn)，形成一個(gè)光球。
對(duì)于一般天體來(lái)說(shuō)，光線(xiàn)偏折效應(yīng)很小，而對(duì)于宇宙當(dāng)中的某個(gè)星系來(lái)說(shuō)，這個(gè)效應(yīng)就顯得十分重要，因?yàn)樾窍涤兄蟮枚嗟馁|(zhì)量。當(dāng)遙遠(yuǎn)的光線(xiàn)或者電磁波經(jīng)過(guò)某星系時(shí)，星系的引力場(chǎng)造成光線(xiàn)偏折的現(xiàn)象類(lèi)似于凸透鏡對(duì)光線(xiàn)的偏折，該現(xiàn)象也被稱(chēng)之為引力透鏡現(xiàn)象。通過(guò)觀(guān)察引力透鏡現(xiàn)象，我們可以獲得星系的質(zhì)量等信息。
3.3.3 引力紅移
以上討論了施瓦茲度規(guī)下的徑向測(cè)地方程，這些測(cè)地方程對(duì)應(yīng)著太陽(yáng)引力場(chǎng)內(nèi)的軌道方程。理論的預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)的測(cè)量符合得很好。廣義相對(duì)論的又一重要的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證就是上文已經(jīng)提到過(guò)的引力紅移效應(yīng)，它是時(shí)間膨脹效應(yīng)的直接體現(xiàn)。具體理論在2.3節(jié)已經(jīng)做了說(shuō)明，引力紅移現(xiàn)象指的是在強(qiáng)引力場(chǎng)處向弱引力場(chǎng)處發(fā)射的光線(xiàn)會(huì)產(chǎn)生紅移，反之則會(huì)產(chǎn)生藍(lán)移?，F(xiàn)在有了施瓦茲度規(guī)，我們就可以做實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)該度規(guī)的紅移效應(yīng)了。
對(duì)于在施瓦茲時(shí)空中不同徑向距離r處的兩只靜止的鐘來(lái)說(shuō)，它們是不同步的，即不同r處有著不同的時(shí)間快慢。在沒(méi)有引力場(chǎng)的情況下，一發(fā)射頻率為ν的可見(jiàn)光光源，有關(guān)系
ν=1/T
(3.203)
其中T為周期。若將光源在施瓦茲時(shí)空中，它距質(zhì)量中心的徑向距離為r1，那么根據(jù)引力紅移理論，這一點(diǎn)的固有時(shí)間間隔將比坐標(biāo)時(shí)間間隔小，有
(3.204)
當(dāng)r1越小，即光源處于更強(qiáng)引力場(chǎng)處時(shí)，固有時(shí)間膨脹的程度相比弱引力場(chǎng)處就越大。對(duì)于固有振動(dòng)周期為T(mén)的光源，不同的引力場(chǎng)強(qiáng)使其頻率改變。根據(jù)式(2.72)，向引力場(chǎng)強(qiáng)處發(fā)射的光，頻率會(huì)逐漸變大，光譜線(xiàn)向藍(lán)光移動(dòng)，即藍(lán)移。反之，由太陽(yáng)發(fā)出的一束頻率為ν的可見(jiàn)光，在抵達(dá)地球時(shí)，它的頻率會(huì)變短，即紅移。
接下來(lái)進(jìn)行定量比較。處于施瓦茲時(shí)空的兩點(diǎn)，距離中心質(zhì)量的徑向距離分別為r1和r2，兩處固有時(shí)之比為
(3.205)
因此，從r1發(fā)射頻率為ν1的可見(jiàn)光，在抵達(dá)r2時(shí)，二者頻率之比為
(3.206)
定義頻率的相對(duì)偏差
則
(3.207)
通過(guò)檢驗(yàn)接收光源處頻率的相對(duì)偏差，便可以檢驗(yàn)引力場(chǎng)中的時(shí)間膨脹。對(duì)于地球表面，可以作如下近似
(3.208)
式中，Δr是高度差；g是地球表面的重力加速度。在國(guó)際單位制中，上式還要除以光速的平方。若Δr在1km的量級(jí)上，估算可得地球表面時(shí)間膨脹的效應(yīng)大概在10-13的量級(jí)。要想檢驗(yàn)如此小的時(shí)間膨脹效應(yīng)，普通鐘表的精度是不夠的，必須使用原子鐘或者核種。實(shí)驗(yàn)上首次對(duì)10m量級(jí)的時(shí)間膨脹的檢驗(yàn)是由核鐘來(lái)完成的。在1960年，Pound和Rebka把一個(gè)γ射線(xiàn)源放置于地面上，并用一個(gè)放置于塔頂?shù)奈掌鱽?lái)探測(cè)γ射線(xiàn)，塔頂距離射線(xiàn)源的高度是22.6m。對(duì)于Δr=-22.6m，式(3.211)所預(yù)言的相對(duì)頻移是
(3.209)
這樣一個(gè)量級(jí)在核鐘的精度內(nèi)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果在1%的實(shí)驗(yàn)誤差之內(nèi)與預(yù)期值相符。
人類(lèi)可以探測(cè)到恒星表面的原子輻射光產(chǎn)生的引力紅移現(xiàn)象。太陽(yáng)表面原子的振動(dòng)頻率，與遠(yuǎn)處同樣的原子振動(dòng)頻率相比，相對(duì)頻移為
(3.210)
Brault和Snider進(jìn)行的巧妙實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)了這一預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。表3給出了一些檢驗(yàn)引力紅移實(shí)驗(yàn)的具體結(jié)果，這些實(shí)驗(yàn)表明時(shí)間膨脹式(3.205)的正確性，雖然這不是對(duì)廣義相對(duì)論的直接證據(jù)，但時(shí)間膨脹是彎曲時(shí)空的效應(yīng)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論預(yù)測(cè)再一次符合得極好[12]。
表3
廣義相對(duì)論還有一個(gè)重要檢驗(yàn)是引力波。引力波的探測(cè)自從20世紀(jì)60年代開(kāi)始，直到2015年LIGO探測(cè)器首次探測(cè)到黑洞合并的引力波信號(hào)，證實(shí)了引力波的存在。通過(guò)探測(cè)不同頻段的引力波，可以揭示強(qiáng)引力系統(tǒng)的物理過(guò)程。本專(zhuān)題的第二篇論文將主要討論引力波波速與真空中光速的關(guān)系。
另外，從施瓦茲度規(guī)式(3.157)可以看到，引力場(chǎng)非常強(qiáng)處，r→2GM
gtt→0,grr→∞
(3.211)
這對(duì)應(yīng)于時(shí)空中非常奇特的區(qū)域，該區(qū)域光子也逃不出來(lái)。因此r≤2GM的區(qū)域被稱(chēng)為黑洞，r=2GM的面也被稱(chēng)為黑洞的視界面。黑洞相關(guān)物理不是本文的重點(diǎn)，這里就不做過(guò)多討論了。
4 結(jié)語(yǔ)
本篇論文首先討論了在等效原理指導(dǎo)下，相對(duì)性原理和光速不變?cè)淼木唧w內(nèi)容，然后以此為基礎(chǔ)闡述了廣義相對(duì)論理論中坐標(biāo)系和時(shí)空觀(guān)的理解。第三部分簡(jiǎn)述了廣義相對(duì)論引力論的基本理論建立過(guò)程、檢驗(yàn)以及應(yīng)用等內(nèi)容。正如文中所強(qiáng)調(diào)的，廣義相對(duì)論是關(guān)于度規(guī)的理論，它將引力效果通過(guò)時(shí)空的測(cè)量方式表示出來(lái)，我們因此得以避免質(zhì)量分布的復(fù)雜情況以及其他理論[注]有另外的不使用時(shí)空度規(guī)來(lái)描述引力的理論，可參看文獻(xiàn)[18]，理論中存在很多待定參數(shù)。的參數(shù)等。愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程描述了時(shí)空幾何與物質(zhì)場(chǎng)的聯(lián)系，前沿引力研究如黑洞熱力學(xué)、宇宙學(xué)及其應(yīng)用等都是對(duì)此場(chǎng)方程的進(jìn)一步探索，這是當(dāng)前理論物理的熱點(diǎn)方向，進(jìn)展也日新月異。鑒于本篇論文目的主要是綜述經(jīng)典引力論，因此這里就不詳述相關(guān)研究進(jìn)展了。有了經(jīng)典引力論的基礎(chǔ)，下一篇中我們就來(lái)處理前言中所討論的重要問(wèn)題，光速與引力波速度的關(guān)系。
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