張菊平，李 丹

(1.山西大學(xué) 復(fù)雜系統(tǒng)研究所， 太原 030006；2.疾病防控的數(shù)學(xué)技術(shù)與大數(shù)據(jù)分析山西省重點實驗室， 太原 030006)

狂犬病是由狂犬病毒引起的人和其他所有哺乳動物的急性致死性中樞神經(jīng)系統(tǒng)的自然疫源性疾病，病死率高，呈全球性分布，是世界上最致命的傳染病之一[1-2]。該病只通過唾液、血液傳播，潛伏期內(nèi)不傳播,也不母嬰傳播。吸血蝙蝠[3-5]是狂犬病病毒的自然宿主,其體型小，一次生產(chǎn)一胎，平均壽命為12年。吸血蝙蝠傳播狂犬病毒的方式為以下4種[5]：① 吸食動物血液；② 抓傷動物；③ 吸血蝙蝠呼出的大量氣溶膠傳播；④ 口腔感染(常見于蝙蝠種內(nèi)傳播)。吸血蝙蝠主要通過吸食動物或人的血液來傳播狂犬病毒，是狂犬病在動物和人之間傳播的重要媒介之一。牛狂犬病的發(fā)病牛以犢牛和母牛較多見，該病常在一個地區(qū)內(nèi)散發(fā)，潛伏期平均30～90 d，病程3～7 d。

近年來吸血蝙蝠傳播致命的狂犬病毒越來越引起人類重視。比如在1996年,WARNER等[6]從秘魯?shù)膬衫旅±X組織樣本中測試證實樣本中存在的狂犬病毒與吸血蝙蝠所攜帶的最為接近。ARELLANO-SOTA等[7]對秘魯?shù)陌⑵绽锺R克省調(diào)查發(fā)現(xiàn)，2014年有505～724 頭牛被蝙蝠噬咬而感染狂犬病致死，造成巨大經(jīng)濟損失。為有效控制吸血蝙蝠狂犬病毒的傳播，在阿根廷和墨西哥進行的試驗中證明接種疫苗可以有效保護牲畜免受狂犬病毒的侵害[8]。Streicker等[9]對秘魯?shù)?個地區(qū)的20個吸血蝙蝠種群進行縱向捕獲-重新捕獲研究， 發(fā)現(xiàn)幼年和次成年吸血蝙蝠體內(nèi)所含血清陽轉(zhuǎn)率最高，所以重點捕殺成年蝙蝠可以減緩狂犬病毒的傳播。

本文以吸血蝙蝠與牛間的相互關(guān)系為基礎(chǔ)，建立數(shù)學(xué)模型，求得系統(tǒng)的閾值并分析了平衡點的穩(wěn)定性，針對系統(tǒng)中牛群免疫率參數(shù)進行了敏感性分析，最后給出控制狂犬病毒傳播的預(yù)防措施。

1 建立模型

根據(jù)吸血蝙蝠與牛群間狂犬病毒傳播機制做如下假設(shè)：① 忽略牛群間狂犬病毒的傳播；② 蝙蝠潛伏期和發(fā)病期的病毒累積量不同，假設(shè)血清陽轉(zhuǎn)率不同；③ 養(yǎng)牛場每年均會引入一批牛犢來保持數(shù)量的恒定，假設(shè)牛群有常數(shù)輸入，指數(shù)輸出。 狂犬病毒在吸血蝙蝠與牛群間的傳播流程如圖1所示。

圖1 吸血蝙蝠與?？袢《緜鞑チ鞒?/p>

流程圖中參數(shù)說明：記吸血蝙蝠群體總量為Nr=Sr+Er+Ir+Rr,其中Sr、Er、Ir、Rr分別表示易感者、潛伏期、染病者和恢復(fù)者吸血蝙蝠，吸血蝙蝠的出生率和死亡率分別為br和dr,且br=dr,發(fā)病蝙蝠感染易感蝙蝠的傳染率為βr,潛伏期到發(fā)病期的轉(zhuǎn)化率和血清陽轉(zhuǎn)率為εr和γ1，發(fā)病期的陽轉(zhuǎn)率為γ2。Sc、Ec、Ic、Vc分別表示易感者、潛伏期、染病者和接種者牛。記牛群總數(shù)為Nc=Sc+Ec+Ic+Vc；牛的輸入為Λ；死亡率和因病死亡率為dc和μc；牛從潛伏期到發(fā)病期的轉(zhuǎn)化率為εc；發(fā)病蝙蝠感染易感牛的傳染率為βc；接種免疫率和免疫失效率分別為p和α。

根據(jù)傳播流程建立相應(yīng)的動力學(xué)模型如下：

(1)

2 模型分析

2.1 吸血蝙蝠模型穩(wěn)定性分析

由于模型(1)的前4個方程和后4個方程獨立，且滿足Nr=Sr+Er+Ir+Rr，因此將前4個方程降維歸一化得：

(2)

系統(tǒng)(2)的正向不變集為

Γr={(sr,er,ir)∈R3∣0≤sr,

er,ir≤1,sr+er+ir≤1}

系統(tǒng)(2)的無病平衡點為P0(1,0,0)，根據(jù)下一代矩陣理論[10]得

故系統(tǒng)(2)的閾值為

定理1 當(dāng)Rr0<1時，無病平衡點P0是全局漸近穩(wěn)定的。

證明由于sr≤1，可得系統(tǒng)(2)的輔助系統(tǒng)為

定理2 當(dāng)Rr0>1時，系統(tǒng)(2)的無病平衡點不穩(wěn)定，存在唯一的正平衡點P*且全局漸近穩(wěn)定的。

(3)

從而，當(dāng)Rr0>1時，系統(tǒng)(2)存在唯一的正平衡點為：

系統(tǒng)(2)在P*點處的Jacobian矩陣為

其特征方程為λ3+a1λ2+a2λ+a3=0,其中:

a1=brRr0+(γ1+εr+dr)+(γ2+dr)>0

a2=brRr0(γ1+εr+2dr)+

2(γ1+εr+dr)(γ2+dr)>0

a3=brRr0(γ1+εr+dr)(γ2+dr)+

且a1a2-a3>0。根據(jù)Hurwitz判據(jù)得矩陣的特征根均具有負實部，故正平衡點P*局部漸近穩(wěn)定。

給出系統(tǒng)(2)的Jacobian矩陣對應(yīng)的第二加性復(fù)合矩陣：

令B=PfP-1+PJ[2]P-1并寫成如下分塊矩陣

其中：

B11=-βrir-2dr-γ1-εr

設(shè)(u,v,w)∈R3，定義R3中的向量范數(shù)P.P如下：

||(u,v,w)||=max{|u|,|v|,|w|}

記μ(B)是范數(shù)P.P的Lozinskl測度,用估值方法得μ(B)≤sup{g1,g2},其中:

g1=μ1(B11)+∣B12∣

g2=μ1(B22)+∣B21∣

μ1(B11)=-βrir-2dr-γ1-εr,

(γ2+2dr+γ1+εr)}

從而得

將式(2)中的第2和第3方程代入上式可得

因此系統(tǒng)(2)的正平衡點全局漸近穩(wěn)定。

2.2 牛群模型穩(wěn)定性分析

關(guān)于牛群的模型如下：

α(Nc-Sc-Ec-Ic)

Λ-dcNc-μcIc

上述系統(tǒng)的正向不變集為

Γc={(Sc,Ec,Ic,Vc)∈

由定理2知：當(dāng)Rr0>1時，蝙蝠系統(tǒng)中存在唯一穩(wěn)定的正平衡點，所以僅考慮系統(tǒng)的正平衡點。

a=μc(p+dc+α)(dc+μc)(dc+εc)>0

(dc+μc)(dc+εc)<0

根據(jù)牛群中正平衡點存在性可得如下閾值

當(dāng)Rc0=1時，系統(tǒng)僅有1個正平衡點為：

當(dāng)Rc0>1時，系統(tǒng)有兩個正平衡點：

2.3 系統(tǒng)(1)整體分析

根據(jù)下一代矩陣理論，系統(tǒng)(1)在無病平衡點處的基本再生數(shù)為

因此，吸血蝙蝠對牛群間狂犬病毒的傳播起決定性作用。當(dāng)吸血蝙蝠中的基本再生數(shù)Rr0<1時，狂犬病不會在牛群中傳播；當(dāng)Rr0>1且Rc0≥1時，狂犬病會在牛群間傳播，且形成地方病。

3 數(shù)值模擬

現(xiàn)階段控制狂犬病在牛群間傳播的最有效措施是給牛群接種疫苗，模擬中取參數(shù)γ1=0.05,br=dr=0.01,γ2=0.08,α=0.35,βrc=0.34,βr=0.89,εr=0.9,εc=1,μc=1,Λ=1 000時，對牛接種覆蓋率進行敏感性分析，結(jié)果見圖2。

圖2 不同接種率對牛群狂犬病傳播的影響

從圖2中可以看出：當(dāng)p=0時，狂犬病會在牛群中迅速流行；當(dāng)采取接種疫苗措施后，染病牛的數(shù)量明顯減少。另外，考慮疫苗在牛體內(nèi)1～1.5年后會失效以及接種疫苗所需成本問題，從圖2可以看出當(dāng)免疫覆蓋率≥70%時，染病牛的數(shù)量變化趨勢幾乎一致。

4 結(jié)論

本文以吸血蝙蝠和牛群間狂犬病毒的傳播機理建立數(shù)學(xué)模型，獲得了模型的閾值并分析了平衡點的穩(wěn)定性。根據(jù)對模型的整體分析知，牛群中狂犬病毒的傳播中吸血蝙蝠起決定性作用。當(dāng)Rr0>1,Rc0≥1時，狂犬病毒會在牛群中傳播并形成地方病。為降低牛群中狂犬病毒傳播的危害及經(jīng)濟方面損失，通過對參數(shù)敏感性分析可知，當(dāng)疫苗覆蓋率達到70%以上，可有效預(yù)防牛群中狂犬病毒的傳播。