任 東 帥

(蘭州大學土木工程與力學學院，甘肅 蘭州 730000)

1 波動問題中的邊界條件

當從無限地基介質取出部分土體作為研究的計算區(qū)域進行地震作用下的數值模擬時，被切取的邊界處的應力應變與其在原無限域地基介質中不同，這是由于地震波到達模型頂面后又反射回底面，反射回的波不能被底面吸收，導致波在模型內部來回反射，放大了地震波的實際效應，與事實存在較大誤差。因此必須在邊界處施加合理的邊界條件，從而使反射回的地震波能夠被底邊界完全吸收。

在研究此問題的最初階段，研究者通常采用遠置邊界條件[1]。即將人工邊界取至離所需研究區(qū)域足夠遠處，以保證地震波在計算時間內，邊界反射的波不能到達所研究區(qū)域。這種邊界在使用方面簡單易操作，在計算結果方面精度很高，但其缺點是隨著計算模型尺寸的增大以及結構復雜程度的提高，這種邊界會增加自由度數目，對計算機提出很高的要求，加大了該問題的計算成本。因此，研究者不斷研究將邊界設置得離研究區(qū)域更近，推導計算出了可用于半無限空間波動問題的吸收邊界。這些邊界大致可分為兩種，一種是全局人工邊界，一種是局部人工邊界。全局人工邊界和局部人工邊界分別具有時空耦聯(lián)和時空解耦的的特性。因此同樣的模型，相比而言，使用局部人工邊界更加節(jié)省計算機儲存量，也可以縮短計算時間。這使得局部人工邊界在此類問題中使用較多，其中粘彈性人工邊界[2]由于其較好的收斂性、魯棒性和易于程序實現(xiàn)的特點，更是得到了較廣的應用。

2 粘彈性邊界的分類

目前使用較多的是清華大學劉晶波提出的集中粘彈性人工邊界[2]和一致粘彈性人工邊界[3]。集中粘彈性人工邊界是在邊界上的節(jié)點處施加阻尼器和彈簧，通過調節(jié)阻尼器的阻尼以及彈簧的剛度系數來實現(xiàn)對波的完全吸收。一致粘彈性人工邊界是在計算模型的外邊界上沿法向延伸一層相同類型的單元，并將外邊界固定，通過定義等效單元的材料性質使其作用等價于一致粘彈性邊界。

2.1 集中粘彈性人工邊界等效物理參數計算公式[2]

切向邊界：

法向邊界：

其中，KBN,KBT分別為彈簧法向剛度和切向剛度；R為波源至人工邊界的距離；cs,cp分別為S波和P波的波速；G為剪切模量；ρ為土體密度；αN,αT分別為法向和切向粘彈性人工邊界參數，人工邊界參數αN,αT可以在一定范圍內取值，αT的取值范圍是[0.35,0.65]，αN的取值范圍是[0.8,1.2]。

2.2 一致粘彈性人工邊界單元等效物理參數的計算公式[3]

等效剪切模量:

等效彈性模量:

等效阻尼比例系數:

3 粘彈性邊界驗證算例

3.1 問題描述

二維矩形巖土體，長L=1 000 m，高H=100 m(如圖1所示)，體積模量和剪切模量分別為20 MPa和10 MPa，材料密度為1 000 kg/m3，在模型底部邊界設置粘彈性人工邊界，巖土體表面為自由面。在巖土體底部施加水平方向如圖2所示的簡諧地震波V=sin(4πt)。根據材料參數，可計算得到剪切波速cs=100 m/s。通過計算，分析巖土體底部中心點B和頂部自由表面中心點A處的加速度響應。

3.2 ABAQUS模擬過程

3.2.1粘彈性邊界模擬

按照問題描述定義模型的幾何尺寸及土體的各項物理參數，使用1 m×1 m矩形實體網格對模型進行網格劃分，其中，網格劃分尺寸越小越能保證計算結果的準確性和高精度。將地震波轉化為等效節(jié)點力，加載于模型底部節(jié)點，建立動態(tài)—顯式分析步進行動力計算。

3.2.2固定邊界模擬

按照問題描述定義模型的幾何尺寸及土體的各項物理參數，

使用1 m×1 m矩形實體網格對模型進行網格劃分，將地震波直接以時程的形式輸入軟件，加載于模型底部節(jié)點。

模擬結果如圖3，圖4所示。

3.3 模擬結果分析

根據圖2的模擬結果可以發(fā)現(xiàn)，模型底部中心點處產生的速度荷載幅值為1 m/s，圖2中最后一個脈沖為模型頂部自由面反射回來的波。模型頂部自由面中心點處的速度幅值是底部輸入幅值的兩倍，而且頂部反射回來的波傳至模型底部后，模型基本結束振動，這與數值計算結果相符，這些現(xiàn)象說明采用粘彈性邊界的設置是合理有效的。根據圖3的模擬結果可以看出，到達基底的散射波無法被邊界吸收，在整個計算時長內，波在計算域內來回往復反射，證明固定邊界不能模擬現(xiàn)實情況中無限域對波的吸收效果。

4 結語

兩種粘彈性邊界條件均可在ABAQUS軟件中操作實現(xiàn)，且模擬結果與數值計算結果吻合良好。說明此邊界適用于半無限地基域中切取部分土體進行地震作用分析的相關問題中。