李 勛，韓壽松，郭 浩

(陸軍裝甲兵學(xué)院，北京 100072)

0 前言

車輛懸架系統(tǒng)是現(xiàn)代車輛中非常重要的一部分，直接影響著汽車行駛過(guò)程中的安全性、穩(wěn)定性和舒適性[1]。但是目前廣泛使用的被動(dòng)懸架系統(tǒng)只能被動(dòng)的跟蹤外界信號(hào)，難以滿足車輛在不同路況下的行駛需要。除此之外，現(xiàn)有懸架系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)互相矛盾，很難找到其最優(yōu)參數(shù)組合。而半主動(dòng)懸架可以通過(guò)控制，針對(duì)外界不同信號(hào)做出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，滿足車輛在不同路況下的形式需要。

1 最優(yōu)控制策略

最優(yōu)控制策略主要有三種控制方式，分別為線性二次型最優(yōu)控制(LQG)、隨機(jī)線性最優(yōu)控制(LQR)和 H∞控制[5]。其基本思想是根據(jù)控制目標(biāo)的要求列出性能泛函，采用變分理論獲得使性能泛函取極小值時(shí)的最優(yōu)控制量。因此針對(duì)被控對(duì)象建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型是最優(yōu)控制策略分析的首要工作。

在隨機(jī)線性最優(yōu)控制(LQG)是在線性二次型最優(yōu)控制(LQR)的基礎(chǔ)上考慮系統(tǒng)隨機(jī)噪聲與測(cè)量噪聲，增加了卡爾曼濾波器所形成的控制方式。Zareh利用最優(yōu)控制策略控制器計(jì)算得到車輛懸架系統(tǒng)的理論阻尼，隨后通過(guò)建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逆模型得到磁流變減振器的通電電壓，最終利用傳感器測(cè)量出車輛懸架系統(tǒng)的狀態(tài)反饋和減振器壓縮速度并分別輸入到控制器和減振器逆模型中構(gòu)建起LQG控制策略(如圖1所示)。并搭建了11自由度的整車模型來(lái)仿真分析。

圖1 半主動(dòng)懸架LQG控制

H∞控制是將性能指標(biāo)列為無(wú)窮范數(shù)的形式,具有很強(qiáng)的抗干擾能力魯棒性，但是求解過(guò)程較為復(fù)雜。帝國(guó)理工學(xué)院的Haiping Du在研究磁流變半主動(dòng)懸架時(shí)采用了H∞控制 (如圖2所示)，采用了減震器的位移量以及簧載質(zhì)量的垂直速度作為H∞控制的輸入量[6]。Fallah同樣針對(duì)磁流變減振器的麥弗遜懸架系統(tǒng)設(shè)計(jì)了H∞控制器，并采用線性不等式進(jìn)行求解，最終使用遺傳算法來(lái)優(yōu)化最優(yōu)反饋矩陣。我國(guó)重慶大學(xué)的鄭玲在研究七自由度整車模型時(shí)也采用了H∞控制，并取得了非常好的控制效果。

圖2 半主動(dòng)懸架H∞控制

2 應(yīng)用LQR控制

應(yīng)用最優(yōu)控制理論的基本步驟[4]為：

1) 建立被控對(duì)象狀態(tài)方程

2) 列出性能指標(biāo)

3) 求解最優(yōu)反饋矩陣

4) 建立仿真模型

獲得最優(yōu)控制問(wèn)題解的過(guò)程往往較為繁瑣，但如果是針對(duì)現(xiàn)象被控系統(tǒng)且性能指標(biāo)是二次型的最優(yōu)控制問(wèn)題，則該問(wèn)題的求解過(guò)程就相對(duì)容易，此類控制方法被稱為線性二次型最優(yōu)控制(Linear Quadratic Regulator)，簡(jiǎn)稱LQ 或 LQR，該控制方法只適用于線性系統(tǒng)[2]。

2.1 建立被控對(duì)象狀態(tài)方程

應(yīng)用最優(yōu)控制理論首先要建立被控對(duì)象的狀態(tài)方程。對(duì)于有n個(gè)狀態(tài)量、m個(gè)控制量和l個(gè)輸出量的線性系統(tǒng)，其標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程可表示為：

其中，x(t)∈Rn，u(t)∈Rm，y(t)∈Rl，A(t)、B(t)、C(t)分別為，n×n，n×m，l×n，為系統(tǒng)矩陣、增益矩陣和輸出矩陣，0l≤m≤n。

2.2 列出性能指標(biāo)

性能指標(biāo)J(u)以泛函的形式表示：

其中，誤差向量為：

e(u)=Jr(u)-J(u).

2.3 求解最優(yōu)反饋矩陣

如果系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)，且tf無(wú)限大，則性能指標(biāo)中的各個(gè)矩陣都是常數(shù)，這種狀態(tài)調(diào)節(jié)器稱為無(wú)限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器。

為使系統(tǒng)穩(wěn)定，懸架系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)在任何情況下處于可控狀態(tài)。此時(shí)，使性能指標(biāo)J(u)取得極小時(shí)的最優(yōu)控制向量為：

其中，

K=R-1BTP.

P通過(guò)如下黎卡提(Riccati)方程求出：

ATP+PA-PBR-1BTP+Q=0.

定義z為簧載質(zhì)量質(zhì)心位置在車身坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：zt為非簧載質(zhì)量質(zhì)心位置在車輪坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：zr為路面高度在大地坐標(biāo)系中的坐標(biāo)?？刂颇繕?biāo)的選取狀態(tài)量為：

因此：

其中，

同時(shí)通過(guò)計(jì)算還可得：

無(wú)限時(shí)間的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題可以采用Matlab中的lqr(A，B，Q，R，N)函數(shù)來(lái)進(jìn)行求解。該函數(shù)求得的最優(yōu)控制量為：

u*=-Kx.

K=R-1(BTP+N).

P通過(guò)如下方程求出：

ATP+PA-(PB+N)R-1(BTP+NT)+Q=0.

2.4 建立仿真模型

將隨機(jī)白噪聲序列作為輸入，根據(jù)矩陣形式的微分方程搭建相應(yīng)的Simulink模型：

K來(lái)自Matlab中的lqr(A，B，Q，R，N)函數(shù)，得出K=[5 052 -1 690 -3 018 1 425]，仿真時(shí)間為20 s，得出時(shí)域的動(dòng)態(tài)曲線如圖4所示。

圖3 Simulink仿真模型

圖4 懸架動(dòng)撓度仿真結(jié)果

由表1可知，利用LQR控制，可以有效提高懸架動(dòng)行程，有利于提高車輛駕駛性能。

表1 仿真的均方根值

3 應(yīng)用LQG控制

3.1 LQG運(yùn)算原理

利用線性二次最優(yōu)控制理論對(duì)1/4車輛模型進(jìn)行LQG控制器的設(shè)計(jì)[3]。LQG控制的步驟與LQR控制的步驟類似，不同在于輸入量為高斯白噪聲序列，而非隨機(jī)白噪聲序列。狀態(tài)空間方程為：

ATP+PA-(PB+N)R-1(BTP+NT)+Q=0.

得到：

K=[711.88 -1 241.5 -19 284 -2 038.5 20 864].

3.2 Matlab仿真模型的建立

Matlab仿真模型建立后將仿真時(shí)間設(shè)定為20 s，獲得車身垂直加速度、懸架動(dòng)行程和輪胎動(dòng)位移的仿真曲線如圖5，圖6所示。

圖5 車身垂直加速度仿真結(jié)果

圖6 懸架動(dòng)行程仿真結(jié)果

由表2可知，最優(yōu)主動(dòng)懸架能夠降低車輛行駛過(guò)程車身的垂直加速度，同時(shí)懸架的動(dòng)行程也在設(shè)計(jì)所容許的范圍(±100 mm)內(nèi)，車輛的懸架性能得到了充分發(fā)揮。

表2 仿真的均方根值

4 總結(jié)

采用半主動(dòng)懸架控制可以充分發(fā)揮車輛懸架性能。同時(shí)，通過(guò)對(duì)比LQR控制和LQG控制可以發(fā)現(xiàn)，LQG控制下的車輛懸架垂直加速度更小，因此可提供的車輛駕駛性能得到提高。雖然LQG控制下的懸架動(dòng)行程較LQR控制有所增長(zhǎng)，但是依舊在懸架設(shè)計(jì)所容許的范圍內(nèi)且兩者差別不大。綜上所示，LQR控制和LQG控制下的車輛懸架性能都有所提高，但是LQG控制具有更好的控制性能。