☉江蘇省無錫市僑誼實驗中學 李文杰

“勾股定理的應用”一節(jié)的教學，不但能夠促進學生對基本原理形成深刻認識，而且能有效發(fā)展學生的數(shù)形結合、數(shù)學建模、方程等思想.為了達成上述目的，本文指出教師應該從學生的生活經(jīng)驗出發(fā)設計各種情境，提升學生的學習效率.

一、提出問題

勾股定理是一個應用性很強的數(shù)學原理，它兼具很強的代數(shù)性質(zhì)和幾何味道，在實際應用時，需要學生充分發(fā)揮數(shù)形結合、數(shù)學建模、方程等思想，積極發(fā)現(xiàn)并構建直角三角形，并從中努力發(fā)掘各邊的具體特點，最終完成相關問題的解決.由此可見，“勾股定理的應用”一節(jié)的教學，不僅強調(diào)學生對知識的理解，更強調(diào)學生靈活運用數(shù)學思想和基本方法.

從實際問題中提煉出直角三角形的模型，并展開問題探究，是本節(jié)課的重點所在，因此筆者認為，教師應該充分研究學生的生活經(jīng)驗，并由此設計問題情境，指導學生展開探索，讓學生在問題研究的過程中提升認識水平，發(fā)展相關的數(shù)學研究能力.

二、教學片段展示

1.依托學生的校園生活實施導入

教學過程中，教師要善于從學生的校園生活出發(fā)創(chuàng)設問題情境，引導學生展開思考.

師：每周一我們都有例行的升旗儀式，你知道我們學校的旗桿高度是多少嗎？有什么方法來對它進行測量呢？通過今天有關勾股定理應用的學習，你們將能很輕松地解決這個問題.（教師通過ppt展示升旗儀式的場景）

師：之前我們已經(jīng)學習過勾股定理，請回顧一下它的基本內(nèi)容.

生：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

師：不錯，勾股定理說明的是直角三角形中三條邊的長度關系，也就是說，結合這個原理，若已知兩條邊可以確定第三條邊的長度.在使用這個原理進行問題分析之前，我們要明確兩個問題：（1）對應三角形是直角三角形嗎？（2）這個直角三角形的哪條邊是斜邊？實際上，勾股定理不但能夠用于數(shù)學問題的分析，在生活中也有著非常廣泛的應用.

2.結合典型生活實例展開探究

在指導學生運用數(shù)學原理進行應用研究時，教師要善于結合典型的生活實例創(chuàng)設問題情境，引導學生展開探索，并讓學生在探索過程中進一步熟悉數(shù)學原理，提升問題分析能力.

片段1：初步應用.

問題情境（1）：如圖1所示為一個太陽能熱水器，已知其支架AB與BC垂直，且兩邊的長度分別為90cm和120cm，請分析真空管AC的長度.

學生結合題意展開分析，從題目情境中提煉出直角三角形模型，由此將一個生活化的問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學問題，這其實正是建模思想的訓練.學生直接根據(jù)勾股定理，即可完成這個問題的求解.

問題情境（2）：如圖2所示為學校的一個花圃，它是一個長方形，長和寬分別為4m和3m，但是由于部分學生調(diào)皮，喜歡避開拐角走捷徑，因此就讓其中間形成了一條路，請分析：這樣走其實只少走了多少路？

師：通過題意的分析，你們看到了什么圖形？

生：一個直角三角形.

師：哪來的直角？

生：因為花圃是長方形的，四個角都是直角.

師：不錯，你能求解這個問題嗎？

學生經(jīng)過思考后，給出問題的解決思路和結果.教師則順勢指出：實際上，踩踏草坪也沒有少走多少路，這是一種非常不道德的行為，應堅決予以制止.

片段2：逐步提升.

圖1

圖2

問題情境（3）：校園中的荷花池是一道美麗的風景，如圖3所示，微風拂過，荷花搖曳，煞是動人.在數(shù)學史上，曾經(jīng)有一個數(shù)學家通過一首小詩提出問題：平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊；漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？

教師讓學生閱讀問題，要求學生提煉其中的數(shù)學信息，并給予一定的時間讓學生進行深入思考.

師：請同學們結合詩的內(nèi)容，將幾何圖形畫在紙面上，并將已知條件和所求量標記在圖形的邊側(cè).

當學生完成任務后，教師將部分學生繪制的圖形通過實物展臺投影出來，讓學生相互比對，并校準認識.

師：在上述圖形中，貌似只是已知一條邊，我們怎么確定其他邊呢？

生：利用方程處理，設一條邊為x，則另外一條邊可以表示為x+0.5.

師：很好，方程思想是處理數(shù)學問題的關鍵性思路，請大家繼續(xù)完善思路，并求得結果.

學生完成問題的分析，教師則要求學生進一步總結解題的思路和基本步驟.

片段3：能力升華.

問題情境（4）：我們還是回歸導入階段的問題，你能設法測定學校操場上旗桿的高度嗎？為你提供的工具包括旗桿、升旗繩子和皮尺，請設計方案，并結合數(shù)學知識說明相關計算過程.

教師引導學生從荷花的問題中尋找啟發(fā)和靈感，并安排學生進行合作探究.師：大家的討論是否已經(jīng)有結果了？請進行展示.生：將繩子拉直，然后可以構建出一個直角三角形.師：說得不夠形象，你能到黑板上畫出圖形，并進行說明嗎？

圖3

生：（板演繪圖）將繩子向著側(cè)邊拉，這樣就可以形成如圖4所示的直角三角形.

圖4

師：的確形成了一個直角三角形，可是這個三角形中只能直接測定地面上的那條邊，其他的邊（旗桿長和繩子長）都無法測定，怎么解決問題呢？

生：可以利用方程思想，先將繩子豎直著拉，這樣可以確定繩子比旗桿長多少，后邊的問題處理與荷花的問題處理相似.

師：大家同意他的做法嗎？

其他學生紛紛表示贊同.

3.課堂小結

師：通過本節(jié)課的學習，你有什么收獲和體會呢？

學生展開總結，基本內(nèi)容包括以下幾點：（1）加深了對勾股定理的認識，并掌握了基本的方法；（2）對生活化的問題情境要善于提煉信息，運用數(shù)學建模完成問題分析；（3）如果直角三角形中只知道一條邊的具體長度，則可以結合勾股定理通過建立方程完成問題分析；（4）運用勾股定理解決問題，關鍵是要發(fā)現(xiàn)直角三角形，如果沒有現(xiàn)成的直角三角形，就需要構建直角三角形.

三、教學反思

如何更加有效地激活學生是教學設計最重要也是最基本的目的所在.在本課的設計中，教師從學生的實際生活經(jīng)驗出發(fā)，多方位設計問題情境，有效引發(fā)學生的共鳴，讓學生更加主動地參與到問題的探究中來.

首先，本課的設計著眼于學生的興趣激起，教師依據(jù)對教學內(nèi)容的認識，從學生的校園生活出發(fā)，發(fā)掘有關聯(lián)的教學素材，創(chuàng)設更加鮮活的情境，將重點內(nèi)容融入其中，讓整個教學更加生動且流暢，學生的學習也更加投入且主動.

其次，本課側(cè)重于用實際問題引領學生探究，充分訓練學生的數(shù)學建模能力，讓學生在真實的場景中理解知識的真正價值，感受最純粹的數(shù)學探究過程.而且在設計過程中，教師還積極貫徹“由淺入深、循序漸進”的教學原則，設計逐級提升的問題臺階，讓學生充分感受問題的發(fā)展，并獲得相應的提升.

最后，教師在教學過程中還遵循“不憤不啟，不悱不發(fā)”的教學原理，為學生的自主思考和合作學習搭建平臺，放手讓學生展開深度分析和探索，當學生的思路受阻時，教師沒有替代學生的思考，而是進行啟發(fā)，或組織學生討論，由此引導學生突破認識的瓶頸，實現(xiàn)學習的突破.在這樣的課堂上，學生真正成為學習的主人，他們的能力得到了切實的提升.