(武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 湖北 武漢 430072)

一、投資組合最優(yōu)化簡(jiǎn)介

投資組合優(yōu)化對(duì)于投資者制定投資策略起著關(guān)鍵的作用。投資者希望通過(guò)投資組合優(yōu)化最大限度地提高投資組合的回報(bào)，并降低投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。由于投資組合的回報(bào)是基于風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)?，所以投資者必須權(quán)衡風(fēng)險(xiǎn)與收益。單一的優(yōu)化組合并不能滿足所有投資者。一個(gè)最優(yōu)投資組合是由投資者的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好決定的。

在投資組合最優(yōu)化中有幾個(gè)關(guān)鍵的概念。第一，回報(bào)和風(fēng)險(xiǎn)分別是由期望收益和組合方差度量的。期望收益通過(guò)資產(chǎn)的歷史數(shù)據(jù)計(jì)算估計(jì)出，而方差描述了回報(bào)的波動(dòng)程度。第二，投資者面臨兩種類型的風(fēng)險(xiǎn)：系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)是指由于全局性的共同因素引起的投資收益的可能變動(dòng)，這種因素以同樣的方式對(duì)所有證券的收益產(chǎn)生影響。非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)是指對(duì)某個(gè)行業(yè)或個(gè)別證券產(chǎn)生影響的風(fēng)險(xiǎn)，它通常由某一特殊的因素引起，與整個(gè)證券市場(chǎng)的價(jià)格不存在系統(tǒng)的全面聯(lián)系，而只對(duì)個(gè)別或少數(shù)證券的收益產(chǎn)生影響。第三，投資組合中不同資產(chǎn)的協(xié)方差影響組合的風(fēng)險(xiǎn)，因此，若投資者持有多樣化的不同資產(chǎn)，能夠較好地規(guī)避非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。以上幾點(diǎn)在Malkiel(1973)的著作《漫步華爾街》中有詳細(xì)探討。

(一)資產(chǎn)組合優(yōu)化問(wèn)題的公式化描述

在投資組合理論中，一個(gè)理性的投資者希望在給定的風(fēng)險(xiǎn)下最大化回報(bào)，或者在給定的回報(bào)下最小化風(fēng)險(xiǎn)。現(xiàn)實(shí)中存在著比較極端的投資者，他們有的只關(guān)心最大化收益(無(wú)視風(fēng)險(xiǎn))，有的只注重最小化風(fēng)險(xiǎn)(無(wú)視收益)，一般投資者會(huì)介于二者之間。以下五種不同的模型適用于擁有不同優(yōu)化目標(biāo)的投資者：

Model 1:最大化期望收益(無(wú)視風(fēng)險(xiǎn))

Model 2：最小化風(fēng)險(xiǎn)(無(wú)視期望收益)

Model 3:在給定風(fēng)險(xiǎn)σ2*下最大化收益

Model 4:在給定的期望收益p*下最小化風(fēng)險(xiǎn)

Model 5:同時(shí)最大化收益和最小化風(fēng)險(xiǎn)

以上五種模型既包括了理性的投資者，也包含了極端的投資者，分表公式化地描述了它們的投資優(yōu)化目標(biāo)。模型3、4分別是模型1、2在特定約束下的情形。在投資組合最優(yōu)化中，最常用的方法是由H.M.Markowitz(哈里·馬科維茨)在1952年提出的均值-方差模型，均值-方差分析方法的思路是在每個(gè)給定的期望收益水平上，最小化投資組合的方差，不同的期望收益有不同的最小方差，構(gòu)成最小方差集合。即模型4所表達(dá)的含義。此模型假設(shè)所有的投資者的目標(biāo)都是風(fēng)險(xiǎn)最小化，因此對(duì)于那些喜好風(fēng)險(xiǎn)的投資者不太適用，并且方差最小化的思想沒(méi)有同時(shí)兼顧到風(fēng)險(xiǎn)最小化和期望收益最大化。

(二)多目標(biāo)優(yōu)化簡(jiǎn)介

(1.1)

由于投資者希望同時(shí)實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化和收益最大化，投資組合優(yōu)化問(wèn)題可以處理為一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題(模型5)。我們可以在這種情形下實(shí)現(xiàn)帕累托最優(yōu)，因?yàn)槟Ｐ?屬于凸向量最優(yōu)化的范疇，凸向量最優(yōu)化保證了任何局部最優(yōu)解是全局最優(yōu)解。本文接下來(lái)基于凸向量最優(yōu)化主要分析多目標(biāo)優(yōu)化方法，并將其應(yīng)用到投資組合優(yōu)化中。

二、多目標(biāo)優(yōu)化方法

(一)凸向量最優(yōu)化

在具體研究多目標(biāo)最優(yōu)化問(wèn)題之前，有必要先介紹一下凸向量?jī)?yōu)化的概念。

一個(gè)集合S?Rn被稱作凸集，如果S中任兩點(diǎn)連線內(nèi)的點(diǎn)都在集合S內(nèi)，即：

x,y∈S,θ>0?θx+(1-θ)y∈S

圖2.1 凸集示例

函數(shù)f:Rn→R為凸函數(shù)，如果它的定義域domf是凸的并且對(duì)于所有的x,y∈domf，θ∈[0,1]，有f(θx+(1-θ)y)≤θf(wàn)(x)+(1-θ)f(y)。

函數(shù)f是凹的，如果-f是凸的。從圖形上，凸函數(shù)的曲線在其曲線上任意兩點(diǎn)連線的下方，例如：

圖2.2 凸函數(shù)

一個(gè)向量凸優(yōu)化問(wèn)題有以下形式：

(二)多目標(biāo)優(yōu)化公式化描述

(Model 5)

(Modified Model 5)

①調(diào)整后的模型5中的目標(biāo)函數(shù)是凸的，因?yàn)閂是半正定的。一個(gè)二次可導(dǎo)函數(shù)f是凸的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有的x∈domf，f的二階導(dǎo)是半正定的。

(三)多目標(biāo)最優(yōu)化問(wèn)題的求解

多目標(biāo)最優(yōu)化問(wèn)題可以通過(guò)拉格朗日乘子法解決：

(2.1)

(2.2)

為解出拉格朗日乘子λ，將式(2.2)代入約束1Tx=1：

(2.3)

(2.4)

權(quán)重向量x的最優(yōu)解為：

(2.5)

最優(yōu)解的具體推導(dǎo)在附錄A中給出。

三、多目標(biāo)最優(yōu)化與均值方差分析的比較

前一節(jié)已經(jīng)給出了一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化方法的應(yīng)用實(shí)例，這一節(jié)將把多目標(biāo)優(yōu)化方法和傳統(tǒng)的均值方差分析法作比較。同時(shí)將多目標(biāo)優(yōu)化和均值方差分析運(yùn)用到同一個(gè)資產(chǎn)組合，得到能夠展現(xiàn)出所有可能的最優(yōu)投資組合風(fēng)險(xiǎn)-收益權(quán)衡的曲線——有效邊界，如圖3.1所示。

圖3.1 多目標(biāo)優(yōu)化和均值方差法的有效邊界

圖3.1可以看出，兩種方法得到了兩組相同的最優(yōu)解。

均值方差分析法和多目標(biāo)優(yōu)化方法的主要區(qū)別在于它們對(duì)問(wèn)題的描述。多目標(biāo)優(yōu)化方法在一個(gè)需要優(yōu)化的式子中加入了兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)(最小化風(fēng)險(xiǎn)和最大化收益)，而均值方差分析法只有一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)。均值方差分析法將期望收益設(shè)為定值，求得在每一個(gè)特定的收益水平上的最小方差。

多目標(biāo)優(yōu)化相對(duì)于均值方差分析法有兩個(gè)優(yōu)勢(shì)。第一，由于均值方差分析假設(shè)投資者的唯一目標(biāo)是最小化風(fēng)險(xiǎn)，它并不能很好地為具有不同風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資者量身設(shè)計(jì)出最優(yōu)投資策略，而多目標(biāo)優(yōu)化能夠使用與每一個(gè)投資者，無(wú)論他的風(fēng)險(xiǎn)容忍度如何。第二，均值方差方法要求投資者給定一個(gè)期望收益，但很多時(shí)候投資者并不想給他的投資組合設(shè)定收益上如此固定的限制，而多目標(biāo)優(yōu)化就能夠給這樣的投資者更多的建議。

兩種方法另外一個(gè)關(guān)鍵的不同點(diǎn)存在于它們是如何獲得有效邊界的。多目標(biāo)最優(yōu)方法的有效邊界是通過(guò)改變風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避指數(shù)μ來(lái)得到的，因?yàn)橐粋€(gè)μ值決定了一組風(fēng)險(xiǎn)和期望收益。然而，均值方差方法的有效邊界是由改變兩組最優(yōu)投資組合的比例而得到的，這便是兩基金分離定理：在所有有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的有效組合邊界上，任意兩個(gè)分離的點(diǎn)都代表兩個(gè)分離的有效投資組合，而有效組合邊界上任意其他的點(diǎn)所代表的有效投資組合，都可以由這兩個(gè)分離的點(diǎn)所代表的有效投資組合的線性組合表示。

四、總結(jié)

傳統(tǒng)的單目標(biāo)優(yōu)化方法，比如最典型的即為均值方差分析，通過(guò)設(shè)定一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)、把其他目標(biāo)固定位常量來(lái)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化。在投資組合優(yōu)化問(wèn)題的應(yīng)用中，結(jié)果是必須要求投資者在一個(gè)確定的期望收益水平上獲得最小風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)組合。多目標(biāo)最優(yōu)化提供了另一種思路，它能夠應(yīng)用到具有不同風(fēng)險(xiǎn)容忍度的投資者身上，包括那些極端的風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者和風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者。風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避指數(shù)衡量了一個(gè)投資者相對(duì)于收益，他重視風(fēng)險(xiǎn)的程度。對(duì)于任何一個(gè)給定的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避指數(shù)，多目標(biāo)優(yōu)化方法都能提供給投資者同時(shí)做到最小化風(fēng)險(xiǎn)和最大化收益的最優(yōu)投資組合策略。