李 超，鄭 航，秦天紅

（武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，福建 武夷山 354300）

1 研究的背景與意義

20世紀(jì)初，Lotka[1]、Voterra[2]最早提出著名Lotka-Voterra模型后，引發(fā)了對各類捕食者-被捕食者模型的研究熱潮。傳染病模型也是流行病學(xué)研究中重要的研究課題。Kermack等[3]在對流行病的獨(dú)創(chuàng)性工作之后，流行病模型也一直有不少學(xué)者做了很多研究。這些年來，它們都得到了相當(dāng)?shù)陌l(fā)展。但將兩個領(lǐng)域結(jié)合研究卻在上世紀(jì)末才出現(xiàn)，此后越來越多研究者致力于將兩者結(jié)合進(jìn)行研究，于是出現(xiàn)了生態(tài)流行病學(xué)這種新的模型。

Anderson等[4]和Hadeler等[5]較早將種群生態(tài)學(xué)與流行病動力學(xué)相結(jié)合。隨后，該領(lǐng)域的研究者們開始在不同的條件因素下，對有疾病傳播的捕食模型進(jìn)行了相應(yīng)的研究。Venturino[6]，Chattopadhyay等[7]以及Xiao等[8]學(xué)者分別對疾病在食餌和捕食者之間傳播的模型，并取得一些新的成果。張江山等[9]和楊亞莉等[10]通過對捕食系統(tǒng)中捕食者有疾病的生態(tài)流行病模型進(jìn)行了研究，找到了平衡點(diǎn)并給出平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定的條件。近幾年，也不乏在對具有疾病感染的捕食系統(tǒng)的研究。王曉慶等[11]考慮疾病在食餌中傳播的捕食食餌模型，證明了正平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性，并討論了引入時滯后正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。劉爍等[12]對具有垂直傳播的SI捕食傳染病模型進(jìn)行研究，得到了關(guān)于平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定的充要條件。章培軍等[13]應(yīng)用微分方程分支理論，討論了食餌具有傳染病和兩時滯的捕食模型的穩(wěn)定性和Hopf分支問題。王麗莎等[14]討論了食餌感染疾病的Lotka-Voterra捕食-被捕食模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定、中心流形上的周期解，并給出了傳染病流行的閾值。將捕食系統(tǒng)與流行病相結(jié)合起來研究，一直受到眾多學(xué)者的關(guān)注和研究，中間也取得不少研究成果。但發(fā)現(xiàn)在結(jié)合二者的研究中大部分偏向于系統(tǒng)的有界性、平衡點(diǎn)、漸近穩(wěn)定和Hopf分支等方面的研究，而對于系統(tǒng)持久性等方面的研究較少。受張艷[15]、胡新利[16]、鐘小容[17]的啟發(fā)，本文研究一類非自治具有食餌感染的捕食-食餌時間系統(tǒng)，假設(shè)系統(tǒng)中的食餌感染疾病，主要研究了該系統(tǒng)動力學(xué)行為，采用比較原理證明了該系統(tǒng)具有持久性并給出系統(tǒng)持久的條件。

2 非自治具有食餌感染的捕食食餌競爭系統(tǒng)模型

2.1 模型的建立

捕食食餌系統(tǒng)的模型是生態(tài)種群學(xué)的研究中比較常見的模型，而帶有疾病的捕食食餌模型則是在將種群動力學(xué)與流行病動力學(xué)兩者研究相結(jié)合后被建立的，因為在捕食系統(tǒng)中將流行病考慮到進(jìn)去，符合實(shí)際同時也更加具有現(xiàn)實(shí)意義。二者的結(jié)合基本分為三種，分別是食餌具有流行病，只有捕食者有流行病以及捕食者和食餌均有流行病。

Kant等[18]曾對食餌感染疾病的捕食-被捕食者模型進(jìn)行過討論，具體模型如下：

式(1)考慮的模型是自治。但考慮到現(xiàn)實(shí)情況，模型中的參數(shù)可能會隨著時間的變化而改變，所以考慮非自治的模型更能夠體現(xiàn)實(shí)際情況。與此同時，除了物種之間有競爭之外，每一物種內(nèi)部也存在競爭。因此本文將模型進(jìn)行了改進(jìn)，加入染病食餌內(nèi)部競爭，捕食者內(nèi)部競爭。改進(jìn)后的非自治捕食食餌模型如下：

其中，S（t）是易感染食餌在時間t時的總數(shù)，I（t）是染病食餌在時間t時的總數(shù)，Y（t）是捕食者在時間t時的總數(shù)。其他參數(shù)的具體含義見表1。

表1 參數(shù)的具體含義Tab.1 The meaning of parameters

討論主要圍繞模型(2)展開，現(xiàn)假設(shè)r（t），K（t），p1（t），p2（t），β（t），c（t），d1（t），d2（t），k1（t），k2（t），e1（t），e2（t）是關(guān)于時間t的連續(xù)且嚴(yán)格大于零的函數(shù)，均有上界和下界。如果g（t）是定義在［0，+∞）上連續(xù)有界函數(shù)，引入記號：

2.2 持久性

引理1如果系統(tǒng)（S（0）＞0，I（0）＞0，Y（0）＞0），則（S（t）＞0，I（t）＞0，Y（t）＞0），即為(1)系統(tǒng)的正向不變集[19]。

證明：對于?t∈［0，+∞）和（S（t），I（t），Y（t））T有

故系統(tǒng)(2)滿足（S（0）＞0，I（0）＞0，Y（0）＞0）。解（S（t）＞0，I（t）＞0，Y（t）＞0），由此引理得證。

引理2如果a＞0，b＞0且，這里a是正常數(shù)[20]，有：

定理1為了方便討論，引入下列記號：

若(2)系統(tǒng)滿足下列（A1）～（A5）：

則稱(2)系統(tǒng)具有持久性。

證明：假設(shè)X（t）＝｛S（t），I（t），Y（t）｝為滿足初始條件的任意正解。 要證系統(tǒng)(2)是具有持久性，只需證明存在區(qū)域：

G＝｛（S（t），I（t），Y（t））T|m1≤S（t）≤M1，m2≤I（t）≤M2，m3≤Y（t）≤M3｝?int R3+，使得存在T＞0，當(dāng)t＞T時，使得X（t）∈G其中mi，Mi分別滿足：

其中ε為大于零又充分小的正數(shù)。

從(2)系統(tǒng)的第1個方程，可以作出如下推導(dǎo)：

由引理2和式(3)，可以得到：

由(2)系統(tǒng)的第2個方程及(5)式，當(dāng)t≥T0時，可作如下推導(dǎo)：

根據(jù)引理2和(6)式，可以得到：

同理，由(2)的第3個方程及式(5)、(8)，當(dāng)t≥T1時，可進(jìn)行如下推導(dǎo)：

根據(jù)引理2和式(9)，可以得到：

由(10)式，對ε＞0且充分小，使得

由比較原理可知，存在T2＞T1，當(dāng)t＞T2時，有

由(2)的第1個方程及(7)式和(10)式，當(dāng)t≥T2時，有可作出如下推導(dǎo)：

根據(jù)引理2和式(12)，可以得到

由式(13)，對ε＞0且充分小，可使：

由比較原理可知，存在T3≥T2，當(dāng)t≥T3時，有

由(2)的第2個方程，(11)和(14)式，當(dāng)t≥T3時，可進(jìn)行如下推導(dǎo)：

根據(jù)引理2和(15)，可以得到

由(2)的第三個方程及式(14)、(17)，當(dāng)t≥T4時，可作如下推導(dǎo)：

由引理2以及(18)式，有

綜上所述，令T≥T4，當(dāng)t≥T，有m1≤S（t）≤M1，m2≤I（t）≤M2，m3≤Y（t）≤M3，即當(dāng)t≥T時，X（t）=｛S（t）,I（t）,Y（t）｝∈G，同時系統(tǒng)滿足定理1，故(2)系統(tǒng)具有持久性。