任美英

（武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福建 武夷山 354300）

近年來(lái)，很多學(xué)者專(zhuān)注Orlicz空間中算子逼近問(wèn)題的研究，獲得較多研究成果[1-7]。Cabulea等（2002）[8]引進(jìn)如下Schurer型Durrmeyer算子：

Cǎbulea等[8]研究了算子Dn（f；.）在連續(xù)函數(shù)空間的逼近性質(zhì)。本文的目的是研究該算子在Orlicz空間內(nèi)的逼近性質(zhì)。

首先，引入Orlicz空間的一些相關(guān)概念。

用M（u）和N（ν）表示互余的N函數(shù),有關(guān)N函數(shù)的概念可見(jiàn)吳從炘[9]文獻(xiàn)。由N函數(shù)M（u）在區(qū)間[0,1]上生成的Orlicz空間是指具有有限的Orlicz范數(shù)的可測(cè)函數(shù)的全體｛u（x）｝，其中是ν（x）關(guān)于N（ν）的膜。由吳從炘等[9]研究可知，Orlicz空間的Orlicz范數(shù)也可以表示為：

Orlicz空間中f（x）的一階和二階連續(xù)模分別定義為：

若存在u0＞0，k＞0，使得當(dāng)u≥u0時(shí)，有M（2u）≤kM（u），則稱N函數(shù)M（u）滿足Δ2一條件[9]。

由Ramazanov（1984）[10]研究可知，ω1,M（f,t）→0（t→0）,ω2,M（f,t）→0（t→0）當(dāng)且僅當(dāng)N函數(shù)M（u）滿足Δ2一條件。

c表示與f，n無(wú)關(guān)的正常數(shù)，在不同處可以表示不同的值。

定理1Dn（f；.）是從到的有界線性算子，且‖Dn‖M≤1。

定理2設(shè)M（·）滿足Δ2一條件，則對(duì)于,當(dāng)n+p≥3時(shí)，有

定理3設(shè)M（·）滿足Δ2一條件，則對(duì)于,當(dāng)n+p≥3時(shí)，有

2 幾個(gè)引理

引理1[8]對(duì)于（1）式給出的算子Dn（f；.），有

1）Dn（1;x）＝1；

2）Dn（t;x）＝

3）Dn（t2;x）=

引理2對(duì)于（1）式給出的算子Dn（f；.），

2）當(dāng)n+p≥3時(shí)，Dn（（t-x）2;x）

證明：

引理3[10]設(shè)M（·）滿足Δ2一條件，則對(duì)于有,且‖θf(wàn)（x）‖M≤c‖f‖M，其中是函數(shù)f（x）的Hardy極大函數(shù)。

引理4對(duì)于上述，當(dāng)n+p≥3時(shí)，有

證明：對(duì)于x∈[0,1]，由引理1得

由正線性算子的Cauchy-Schwarz不等式及引理2得

再由引理3知，

引理5[11]對(duì)于，有

2 定理的證明

定理1由于故由N函數(shù)凸性、積分型Jensen不等式得

顯然，算子Dn（f；.）是線性的，因此Dn（f；.）是從到的有界線算子，且‖Dn‖M≤1。

定理2對(duì)及引理4中的，當(dāng)n+p≥3時(shí)，

定理3（1）設(shè)，當(dāng)n+p≥3時(shí)，由拉格朗日中值定理和引理2得

于是，由相關(guān)文獻(xiàn)［9］和引理3知