劉 薇

（湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長(zhǎng)沙 414205）

1 問(wèn)題的提出

考慮模型：

這里假設(shè)X與S獨(dú)立，Θ是m×p階未知總體正態(tài)均值矩陣，C是已知的m階正定矩陣，Σ是p階的未知協(xié)方差陣，Wp(Σ，k)表示自由度為k，均值為kΣ且維數(shù)為p的Wishart分布，符號(hào)?表示矩陣之間的Kronecker乘積，對(duì)于方陣A，A＞0表示A是正定矩陣，A≥0表示A是非負(fù)定矩陣。模型（1）可看做是MANOVA模型或者多元線性模型[1,2]。

其中權(quán)重Q是任意給定的非負(fù)定陣。對(duì)于Θ的一個(gè)估計(jì)?和式（2），本文定義?的風(fēng)險(xiǎn)為：

基于充分統(tǒng)計(jì)量(X，S)并把Σ看做冗余參數(shù)，本文將在式（2）下研究均值矩陣Θ的估計(jì)的改進(jìn)問(wèn)題，并把相關(guān)結(jié)果應(yīng)用到協(xié)方差的估計(jì)的改進(jìn)問(wèn)題中去。顯然，模型（1）中參數(shù)矩陣Θ的最大似然估計(jì)是=X。對(duì)于Θ的任意一個(gè)估計(jì)?，如果RW(?，Θ)≤RW(，Θ)，本文稱是最小最大估計(jì)。事實(shí)上，許多文獻(xiàn)考慮了模型（1）中Θ的估計(jì)問(wèn)題。比如：文獻(xiàn)[3]考慮了m=1，Q=Im且Σ已知的情形；在Σ未知的情況下，文獻(xiàn)[4]處理了m=1，Q=Im的情形；文獻(xiàn)[5]研究了p=1，Q=Im且 Σ=σ2（σ2未知）的情形；在Σ未知的情況下，文獻(xiàn)[1]考慮了m＞p+1，Q=Im的情形；在Σ未知的情況下，文獻(xiàn)[2]考慮了p＞m+1，Q=Im的情形。上述文獻(xiàn)都假設(shè)權(quán)重Q為單位陣，但是除了文獻(xiàn)[6，7]幾乎沒(méi)有相關(guān)文獻(xiàn)處理Q≠Im情形。然而，權(quán)重Q的引入不僅推廣了已有的結(jié)果，更為重要的是它揭示了均值矩陣估計(jì)與協(xié)方差陣估計(jì)之間的本質(zhì)關(guān)系。文獻(xiàn)[8，9]指出了這種關(guān)系但他們并沒(méi)有作進(jìn)一步的研究。而文獻(xiàn)[6]研究了這個(gè)問(wèn)題，但是文獻(xiàn)[6]利用正態(tài)分布和Wishart的性質(zhì)僅考慮了Q為對(duì)角陣且m＞p+1的情形。而這種方法很難用來(lái)處理p＞m+1的情形。本文將解決這個(gè)問(wèn)題，同時(shí)假設(shè)Q是任意給定的非負(fù)定陣，C是已知的正定陣。本文的主要目的是推廣已有文獻(xiàn)中的結(jié)論。為了加強(qiáng)本文結(jié)果的有用性，本文的方法可以用來(lái)進(jìn)一步改良文獻(xiàn)[6]中第三部分的結(jié)果，因?yàn)槲墨I(xiàn)[6]僅考慮了m＞p+1的情形下均值估計(jì)和協(xié)方差估計(jì)的關(guān)系。

2 Efron-Morris估計(jì)的新方法

為了在p＞m+1的情形下和更廣義損失下改進(jìn)矩陣均值估計(jì)，本文考慮著名的Efron-Morris估計(jì)。為了展示在更廣義損失下Efron-Morris估計(jì)是最小最大估計(jì)，需要導(dǎo)出相應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)的無(wú)偏估計(jì)，這種無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)比已有文獻(xiàn)中的結(jié)果更復(fù)雜。在模型（1）下，考慮如下的Efron-Morris估計(jì)：

當(dāng)Q=C=Im時(shí)，在式（2）下，文獻(xiàn)[2,9]獲得了α的最優(yōu)解為：

當(dāng)C=Im,Q:=W=diag(w1，…，wm)時(shí)，文獻(xiàn)[6]考慮了m＞p+1情形下的Efron-Morris估計(jì)，并導(dǎo)出了α的最優(yōu)解，即：

但是他們沒(méi)有考慮p＞m+1下Efron-Morris估計(jì)的改良問(wèn)題。本文只要求在C＞0，Q≥0的假設(shè)下，研究在p＞m+1情形下的Efron-Morris估計(jì)。本文的結(jié)果推廣了已有的結(jié)論。

為了獲得本文的主要結(jié)果，需如下的引理：

引理 1：設(shè)對(duì)稱矩陣A1，B1，C1∈Rn×n的特征根分別為a1≥…≥an，b1≥…≥bn和c1≥…≥cn，則：

①若A1≥0，B1≥0，C1≥0，有：

②若A1＞0，B1＞0，C1＞0，有：

證明：對(duì)于①的證明見(jiàn)文獻(xiàn)[10]中的定理3，而②中右邊的不等式可由①直接獲得。因此，只需證明②中左邊不等式。由文獻(xiàn)[11]中引理1和矩陣同時(shí)對(duì)角化相關(guān)知識(shí)，知存在一個(gè)正定陣B0，使：

而由文獻(xiàn)[12]知，A1B0C1的特征根都是正數(shù)。從而引理1成立。

當(dāng)p＞m+1時(shí)，本文把Efron-Morris估計(jì)式（4）記為：

這里G2=-α(XS-1X′)-1X，為了避免引入新的記號(hào)，令A(yù)m×m:=(aij)，Tm×m:=(tij)，F(xiàn)=XS-1X′=RLR′，這里aij和tij與式（7）定義相同，L=diag(l1，…，lm)，RR′=R′R=Im，R是m×m階正交陣，l1≥…≥lm≥0是F=(Fij)的特征值，進(jìn)一步 ，記 ▽X=(?/?xij) ，DF=((1+δij)/2)(?/?Fij) ，DFg(F)=，這里g(F)是標(biāo)量，V=V(F)=(vij)是m×q階矩陣，δij是Kronecker算子。類似地，本文可以定義DS、DSg(s)和DSV。

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算，有：

這表明：

因而，結(jié)合式（9）與文獻(xiàn)[1]中的推論2.1知，在式（1）和式（2）下的風(fēng)險(xiǎn)的無(wú)偏估計(jì)具有如下形式：

本文將利用式（10）并在一定的條件下證明了p＞m+1情形下Efron-Morris估計(jì)為最小最大估計(jì)。為此，還需要如下引理：

引 理 2：令?(L)=diag(?1(L)，…，?m(L)) ，R=(R1，R2…，Rm)（Ri是相應(yīng)于特征值li的特征向量），并假設(shè)相關(guān)偏導(dǎo)數(shù)存在，則：

①DFli=Ri，

③DF[R?(L)R′]=R?1(L)R′，

其中：

證明：見(jiàn)文獻(xiàn)[2]中的引理2.3。

令：

從而：

這里H(L)=diag(h1，…，hm)。由文獻(xiàn)[2]中引理2.3得：

進(jìn)一步，由文獻(xiàn)[2]中的引理2.2知：

結(jié)合式（10）至式（12）有：

因此，類似于文獻(xiàn)[2]中定理2.1的證明并經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算，無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)式（11）可表示為：

顯然，當(dāng)C=Q=Im時(shí)，式（14）即可化簡(jiǎn)為文獻(xiàn)[2]中的結(jié)果。

定理1：在模型（1）和式（2）下并假設(shè)Q＞0，如果α滿足：

證明：由式（12）知：

由引理2和式（13），得：

因此，結(jié)合式(15）和式（18）知：

由引理1知：

從而定理1成立。

由定理1易知，當(dāng)C=Q=Im時(shí)，α的最優(yōu)解與文獻(xiàn)[2]一致。

3 實(shí)例

本文通過(guò)一個(gè)數(shù)值的例子來(lái)驗(yàn)證定理1中結(jié)果的有效性。假設(shè)Θ的每個(gè)元素是來(lái)自均勻分布的某次抽樣，C是一個(gè)對(duì)角矩陣且每個(gè)對(duì)角元素是來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的某次抽樣，Σ具有一階自回歸結(jié)構(gòu)且一階系數(shù)為0.5，Q具有一階自回歸結(jié)構(gòu)且一階系數(shù)為0.5。進(jìn)一步，在這個(gè)例子中取，顯然它滿足定理1中的條件。為了比較，考慮不同的參數(shù)組合(m,p,k)，利用2000次蒙特卡洛模擬去計(jì)算相關(guān)估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)，相關(guān)結(jié)果被描述在表1中。從表1中的數(shù)值結(jié)果，可以清晰地觀測(cè)到改進(jìn)后的EM估計(jì)優(yōu)于未改進(jìn)的EM估計(jì)和最大似然估計(jì)，這與理論分析是一致的。

表1 相關(guān)估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

本文改良著名的Efron-Morris估計(jì)，在C＞0，Q≥0的假設(shè)下，研究了p＞m+1情形下的Efron-Morris估計(jì)。并在適當(dāng)條件下，證明了該Efron-Morris估計(jì)是極小極大的。值得說(shuō)明的是，文獻(xiàn)[6]僅考慮了m＞p+1的情形下均值估計(jì)和協(xié)方差估計(jì)的關(guān)系，下一步打算用本文的結(jié)果在p＞m+1的情形下建立均值和協(xié)方差估計(jì)的關(guān)系。