陶 鶴，劉 偉，付晶園

（1.蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué)隴橋?qū)W院；2.甘肅省高校區(qū)域循環(huán)經(jīng)濟(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730101）

0 引言

近年來(lái)，隨著科技水平的發(fā)展，產(chǎn)品安全性和可靠性引起了人們的普遍關(guān)注。一旦產(chǎn)品零部件發(fā)生故障，將影響產(chǎn)品正常運(yùn)行，甚至影響消費(fèi)者的人身安全?？煽啃苑治鲈诋a(chǎn)品系統(tǒng)和零部件安全性中得到廣泛應(yīng)用。由于產(chǎn)品內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，為其可靠性分析帶了困難。對(duì)于大部分耐用型消耗品，使用時(shí)間越長(zhǎng)，其零部件磨損程度越大，可靠性越低，保障費(fèi)用和維修次數(shù)也在逐漸增加。研究產(chǎn)品的可靠性可以減少維修費(fèi)用和使用費(fèi)用，從而提高了消費(fèi)者的經(jīng)濟(jì)效益。本文已有研究基礎(chǔ)上[1-9]，主要討論的是產(chǎn)品可靠性問(wèn)題，零部件可靠性評(píng)估是可靠性評(píng)估的基礎(chǔ)。結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及MCMC算法提出了關(guān)于產(chǎn)品對(duì)數(shù)正態(tài)分布可靠性模型的測(cè)定方法。

1 對(duì)數(shù)正態(tài)分布可靠性模型

可靠性數(shù)學(xué)理論大約起源于20世紀(jì)30年代，最早研究的領(lǐng)域之一是機(jī)器維修問(wèn)題。可靠性是指產(chǎn)品在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，規(guī)定條件下，完成規(guī)定功能的能力（ISO，1986）。產(chǎn)品的可靠性通常是用概率指標(biāo)進(jìn)行度量的，其壽命是一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，研究其特征主要采用的工具是概率論。

通常產(chǎn)品的壽命用一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量T來(lái)表示，其分布函數(shù)為：

產(chǎn)品在t時(shí)刻以前都正常使用的概率，即產(chǎn)品在時(shí)刻t的可靠度函數(shù)為：

產(chǎn)品的平均故障時(shí)間為：

其中，E(T)表示時(shí)間T的期望值，MTTF也稱(chēng)期望壽命。

對(duì)于不可維修產(chǎn)品，可靠性數(shù)量指標(biāo)主要是可靠度函數(shù)(R(t))及平均故障時(shí)間（MTTF）。假設(shè)時(shí)刻t=0汽車(chē)電池開(kāi)始正常工作，若T是它的壽命，則產(chǎn)品的運(yùn)行時(shí)間的進(jìn)程圖，如圖1所示。由于產(chǎn)品是不可維修產(chǎn)品，一旦失效便一直處于失效狀態(tài)?？煽慷群瘮?shù)和平均故障時(shí)間描述了產(chǎn)品零部件的可靠性特征。

圖1 產(chǎn)品使用進(jìn)程圖

服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的故障時(shí)間t的概率密度函數(shù)為：

式中：μ和σ分別為對(duì)數(shù)故障時(shí)間x=log(t)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)數(shù)正態(tài)分布的故障率和可靠度函數(shù)分別為

式中：f(x)是對(duì)數(shù)正態(tài)概率密度函數(shù)；φ(·)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。

從圖2和圖3（見(jiàn)下頁(yè)）中可以看出，在先驗(yàn)分布中σ的取值不同，得到的曲線形狀有一定的區(qū)別，選擇先驗(yàn)分布需征求專(zhuān)家意見(jiàn)和參考大量文獻(xiàn)。基于貝葉斯的零部件可靠性分析，主要分為兩部分，首先確定可靠性分布即確定先驗(yàn)分布。其次，根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)產(chǎn)品先驗(yàn)信息獲取與預(yù)處理，給出似然函數(shù)，利用貝葉斯公式給出后驗(yàn)分布。

圖2 對(duì)數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)

圖3 對(duì)數(shù)正態(tài)分布的累計(jì)分布函數(shù)

2 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的可靠性評(píng)估

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是模擬生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，主要模擬大腦的某些機(jī)理以實(shí)現(xiàn)一些特定的功能?？梢詫⒋罅康墓δ芎?jiǎn)單的神經(jīng)元通過(guò)一定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)組織起來(lái)，構(gòu)成群體并行處理的計(jì)算結(jié)構(gòu)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)也稱(chēng)為訓(xùn)練，是指神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)調(diào)整自身網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的過(guò)程。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)與應(yīng)用遵循以下幾個(gè)步驟，分別為：數(shù)據(jù)收集、創(chuàng)建網(wǎng)絡(luò)、設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)、初始化權(quán)重與閾值、訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)、驗(yàn)證網(wǎng)絡(luò)、使用網(wǎng)絡(luò)。

收集故障數(shù)據(jù)作為原始的小樣本數(shù)據(jù)，建立對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型，利用Gibbs算法，計(jì)算經(jīng)驗(yàn)可靠度值。作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，原始數(shù)據(jù)作為輸出，訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)訓(xùn)練完成的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行模擬仿真，輸入隨機(jī)可靠度值，輸出擴(kuò)充后的可靠性數(shù)據(jù)。確定原始數(shù)據(jù)的分布模型，并進(jìn)行可靠性評(píng)估。但是先驗(yàn)分布在樣本比較少的情況下，通常會(huì)產(chǎn)生很大的誤差，為了減少誤差，可采用以下三個(gè)公式計(jì)算可靠度。

海森公式：

近似中位秩公式：

數(shù)學(xué)期望公式：

公式（7）至公式（9）對(duì)于不同分布模型的參數(shù)估計(jì)，其誤差不同。

3 算法描述

近年來(lái)，隨著馬爾可夫鏈蒙特卡羅算法（MCMC）的出現(xiàn)，高維積分計(jì)算問(wèn)題得到了解決，可靠性領(lǐng)域的研究也更近了一步。常見(jiàn)的MCMC算法有兩類(lèi)，分別是Metropolis-Hastings算法和Gibss算法。但是，Metropolis-Hastings算法的應(yīng)用依賴(lài)于一個(gè)重要的前提條件：先驗(yàn)分布的密度函數(shù)必須較為接近真實(shí)的后驗(yàn)分布密度函數(shù)。在產(chǎn)品零部件的研究中，這一條件很難滿足。在專(zhuān)家的建議下，給出的先驗(yàn)密度函數(shù)可能出現(xiàn)“過(guò)窄”和“過(guò)寬”的情況。若給出的先驗(yàn)密度函數(shù)比后驗(yàn)密度函數(shù)“過(guò)窄”，Metropolis-Hastings算法將大部分時(shí)間都在先驗(yàn)分布的密度函數(shù)覆蓋區(qū)域內(nèi)進(jìn)行迭代，而無(wú)法訪問(wèn)到后驗(yàn)分布函數(shù)所覆蓋的其他區(qū)域。此算法計(jì)算的結(jié)果有較強(qiáng)的自相關(guān)性，導(dǎo)致得到的有效的獨(dú)立樣本量很小。若先驗(yàn)密度函數(shù)“過(guò)寬”，將導(dǎo)致該算法在成百上千次迭代后仍停留在一個(gè)狀態(tài)，產(chǎn)生的有效樣本非常少。Gibbs抽樣也有其缺點(diǎn)，必須要推導(dǎo)出所有參數(shù)或者參數(shù)向量的全條件概率分布。但是實(shí)際應(yīng)用中并不是所有參數(shù)的全條件概率分布都可以通過(guò)解析推導(dǎo)出來(lái)。在Gibbs算法中，能夠獲得全條件概率分布的參數(shù)可以用這種算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，而不能獲得的參數(shù)則利用M-H算法進(jìn)行處理。在產(chǎn)品零部件故障模型中，μ和σ的條件分布可以計(jì)算出其解析解。為避免Metropolis-Hastings算法對(duì)先驗(yàn)密度函數(shù)要求過(guò)高，這里采用Gibbs算法。針對(duì)產(chǎn)品零部件的故障時(shí)間數(shù)據(jù)，具體算法如下所示：

記故障時(shí)間為T(mén)i，i=1，2，…，n，并假設(shè)對(duì)數(shù)正態(tài)模型為：

取先驗(yàn)分布為：

μ和σ2的后驗(yàn)分布為：

經(jīng)計(jì)算得出μ和σ2的條件后驗(yàn)分布為：

使用Gibbs抽樣算法計(jì)算對(duì)數(shù)正態(tài)分布可靠度步驟如下：

（1）對(duì)故障時(shí)間取對(duì)數(shù)，令yi=log(ti)；

（2）令μ=μ(i-1)，σ=σ(i-1)；

（4）生成隨機(jī)數(shù)μ，μ～N(m，s2)；

（5）令μ(i)=μ；

（7）生成隨機(jī)數(shù)τ，τ～Gamma(a，b)；

（8）令σ2=τ以及σ(i)=σ；

（9）循環(huán)結(jié)束，輸出μ和σ均值及標(biāo)準(zhǔn)差；

（10）計(jì)算可靠度后驗(yàn)中值。

以上步驟是Gibbs抽樣在產(chǎn)品零部件可靠性分析中的應(yīng)用。本文是使用R語(yǔ)言進(jìn)行編程，將零件故障的原始數(shù)據(jù)輸入，輸出其可靠度后驗(yàn)中值。然后，采用貝葉斯x2對(duì)各個(gè)模型進(jìn)行相關(guān)檢驗(yàn)。最后，對(duì)得到的結(jié)論作出相關(guān)的文字分析說(shuō)明。

4 貝葉斯x2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

對(duì)于任意一個(gè)統(tǒng)計(jì)模型，不可或缺的環(huán)節(jié)是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m用性。這種方法是由Pearson提出的貝葉斯x2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法。通過(guò)貝葉斯x2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)衡量對(duì)數(shù)正態(tài)分布的適用性。

假設(shè)t1，t2，…，tn是來(lái)自f(t|θ)的獨(dú)立同分布的樣本，其累計(jì)函數(shù)是F(t|θ)，θ的值已知。假設(shè)0=a0＜a1＜a2＜…＜aK-1＜aK=1表示規(guī)定的均勻分布的分位點(diǎn)，并定義pj=aj-aj-1。最后，假設(shè)mj表示ti的觀測(cè)值，并且有aj-1＜F(ti|θ)＜aj。則皮爾遜x2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量R0，具體數(shù)值為：

如果模型合適，則R0將服從一個(gè)具有自由度為K-1的x2分布。因此，可以通過(guò)R0的實(shí)際值與作為參考的x2分布的對(duì)比來(lái)進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。

5 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

由試驗(yàn)可知，汽車(chē)電池壽命近似服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。選用某型號(hào)汽車(chē)電池進(jìn)行壽命統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)。選取13個(gè)單位做為樣本，具體故障時(shí)間數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 蓄電池使用壽命

假設(shè)樣本數(shù)據(jù)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布：

式中μ和σ2相互獨(dú)立，分別表示對(duì)數(shù)故障時(shí)間的均值和方差：

使用Gibbs方法，可以獲得(μ，σ2)的聯(lián)合后驗(yàn)分布曲線。第一步，根據(jù)最新μ的仿真樣本，從σ2的條件InverseGamma分布中生成σ2的樣本；第二步，根據(jù)最新的σ2樣本中生成μ的樣本。以上兩個(gè)步驟交替進(jìn)行，直到平穩(wěn)，獲得滿意的結(jié)果。（見(jiàn)表2）。

表2 經(jīng)驗(yàn)可靠度

當(dāng)訓(xùn)練誤差小于0.001，結(jié)束訓(xùn)練。本文將得到樣本量為100的擴(kuò)充樣本，將0～1區(qū)間內(nèi)的100個(gè)隨機(jī)數(shù)按從大到小的順序排列成向量，輸入已經(jīng)訓(xùn)練完成的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行仿真，得到100個(gè)新的故障數(shù)據(jù)，將其作為原始數(shù)據(jù)的擴(kuò)充樣本，進(jìn)行進(jìn)一步研究。

對(duì)擴(kuò)充的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)正態(tài)分布參數(shù)估計(jì)，通過(guò)從(μ，σ2)聯(lián)合后驗(yàn)分布中抽樣，得出可靠度函數(shù)的后驗(yàn)分布，結(jié)果如表3所示。

表3 對(duì)數(shù)正態(tài)模型的后驗(yàn)分布

對(duì)擴(kuò)大數(shù)據(jù)樣本，采用Gibbs抽樣進(jìn)行對(duì)數(shù)正態(tài)分布的估計(jì)，其結(jié)果如表3所示。對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型在海森公式下，其擴(kuò)充數(shù)據(jù)樣本與原始數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)最接近，即通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)可知，海森公式的誤差最小。擴(kuò)充數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)相比原始數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)更接近與1，即擴(kuò)充數(shù)據(jù)比原始數(shù)據(jù)恨到的參數(shù)估計(jì)更加準(zhǔn)確，可靠性評(píng)估效果更好。隨著樣本量的增大，對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型參數(shù)的MCMC仿真的誤差越來(lái)越小，估計(jì)結(jié)果就越來(lái)越接近真值，說(shuō)明可靠性模型的適用性。對(duì)數(shù)正態(tài)分布變量的均值和方差分別為：

利用公式（16）和公式（17）計(jì)算汽車(chē)電池使用壽命的均值和方差估計(jì)結(jié)果，如表4所示。

表4 汽車(chē)電池使用壽命的均值和方差估計(jì)結(jié)果

對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型可以作為汽車(chē)電池可靠性評(píng)估的分布模型，這與對(duì)數(shù)正態(tài)分布曲線形狀是相符的，且通過(guò)模型的判別和選取，可以根據(jù)曲線擬合的相關(guān)系數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。

下面對(duì)此模型進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，取K=130.4=3，將(0，1)區(qū)間劃分為3個(gè)等概率的子區(qū)間，α=(0，0.3333，0.6666，1)。從后驗(yàn)分Normal(7.0594，0.10200)中抽取一個(gè)樣本，?=7.0266，m=(4，5，4)。

6 結(jié)論

汽車(chē)電池是不可維修產(chǎn)品，研究相對(duì)可維修產(chǎn)品相對(duì)更復(fù)雜一些。本文對(duì)產(chǎn)品的使用壽命進(jìn)行可靠性分析，利用海森公式、近似中位秩公式和數(shù)學(xué)期望公式，對(duì)原始數(shù)據(jù)樣本和擴(kuò)充都得數(shù)據(jù)樣本，建立了對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型，使用MCMC方法對(duì)模型進(jìn)行仿真，得到參數(shù)估計(jì)值。在數(shù)據(jù)擴(kuò)充的同時(shí)需要考慮各個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算的誤差，選擇合適的經(jīng)驗(yàn)公式很有必要。在對(duì)數(shù)分布模型下，海森公式的誤差最小，模擬的結(jié)果最為接近真實(shí)值。擴(kuò)充后的數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的變化規(guī)律基本相同，得到的結(jié)果，作為可靠性指標(biāo)參數(shù)估計(jì)的參考數(shù)據(jù)。最后，對(duì)模型進(jìn)行了Bayes可靠性檢驗(yàn)，通過(guò)檢驗(yàn)證明模型的適用性。通過(guò)R語(yǔ)言編制程序，可應(yīng)用于汽車(chē)電池?cái)?shù)據(jù)分析，從而為可靠性工程研究人員解決實(shí)際問(wèn)題提供行之有效的方法。