顧蓓青，徐曉嶺，王蓉華

（1.上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與信息學(xué)院，上海 201620；2.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200234）

0 引言

在可靠性試驗(yàn)中，逐步增加的Ⅱ型截尾壽命試驗(yàn)在實(shí)際中經(jīng)常會(huì)碰到，具有理論與應(yīng)用價(jià)值，而在國(guó)內(nèi)外對(duì)此場(chǎng)合卻很少有人進(jìn)行研究，目前主要是研究定數(shù)及定時(shí)截尾場(chǎng)合下Weibull分布參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。譬如當(dāng)組織一批價(jià)值昂貴的產(chǎn)品做壽命試驗(yàn)時(shí)，若已有一部分產(chǎn)品失效發(fā)生時(shí)，考慮到試驗(yàn)費(fèi)用等因素，經(jīng)常會(huì)從未失效的產(chǎn)品中抽取一部分產(chǎn)品移離試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)，這樣可以大大節(jié)約成本。又例如在壽命試驗(yàn)過(guò)程中為了解產(chǎn)品的失效機(jī)理和退化情況，以便更好地設(shè)計(jì)產(chǎn)品，需要從尚未失效的產(chǎn)品中選取部分產(chǎn)品進(jìn)行解剖分析。再例如觀察患某種疾病的病人的生存情況時(shí)，醫(yī)生可能僅僅觀察到一部分病人的生存壽命，而另一部分患者可能不到醫(yī)院來(lái)就診而無(wú)法了解其生存壽命，即這一部分病人失去觀察。

逐步增加的Ⅱ型截尾試驗(yàn)是Ⅱ型截尾的一個(gè)推廣，它是在n個(gè)產(chǎn)品的樣本中先觀察到r1個(gè)失效，然后剩下的n-r1個(gè)未失效的產(chǎn)品中有n1個(gè)被移離試驗(yàn)，留下n-r1-n1個(gè)產(chǎn)品繼續(xù)試驗(yàn)，當(dāng)再有r2-r1個(gè)產(chǎn)品失效后,將剩余仍未失效產(chǎn)品中的n2個(gè)被移離試驗(yàn)，試驗(yàn)如此進(jìn)行下去，直到有一定數(shù)量的產(chǎn)品失效為止就終止試驗(yàn)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 逐步增加的Ⅱ型截尾壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)

其中r0=0，n0=0，x(0)=0，ri≥1，ni≥0，i=1，2，…，k，k≥1，而nk為最后試驗(yàn)結(jié)束時(shí)未失效的產(chǎn)品數(shù)。特別地，（1）當(dāng)ni=0，i=1，2，…，k-1時(shí)，便為通常的定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)；（2）當(dāng)r1=1，r2=2，…，rk=k時(shí)，通常稱為逐次截尾。

徐曉嶺和王蓉華（2003）[1]給出Weibull分布在逐步增加的Ⅱ型截尾壽命數(shù)據(jù)參數(shù)的極大似然估計(jì)與逆矩估計(jì)，并通過(guò)Monte-Carlo模擬考察了估計(jì)的精度，認(rèn)為極大似然估計(jì)優(yōu)于逆矩估計(jì)。王炳興（2004）[2]討論了Weibull分布基于定數(shù)逐次截尾壽命數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)，得到了參數(shù)的逆矩估計(jì)量和區(qū)間估計(jì)，模擬結(jié)果顯示在中小樣本情況下所給估計(jì)量?jī)?yōu)于參數(shù)的最大似然估計(jì)。李鳳等（2008）[3]基于逐步增加的II型截尾，討論了Weibull分布的Bayes估計(jì)，在平方損失和LINEX損失下，利用Lindely Bayes近似算法得到了形狀參數(shù)、尺度參數(shù)、失效率函數(shù)以及可靠度函數(shù)的極大似然估計(jì)和Bayes估計(jì)，并運(yùn)用Monte-Carlo方法對(duì)各估計(jì)結(jié)果的RMSE，進(jìn)行了模擬比較，表明了LINEX損失下的結(jié)果更有效。李中恢（2012）[4]在逐步II型截尾樣本下討論了逆Rayleigh分布參數(shù)的估計(jì)問(wèn)題，給出了參數(shù)的最大似然估計(jì)，并在三種不同的損失函數(shù)下給出了參數(shù)的Bayes估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。李瓊和武東（2012）[5]對(duì)Pareto分布場(chǎng)合逐步增加II型截尾樣本進(jìn)行了貝葉斯分析，利用馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法給出了參數(shù)的貝葉斯估計(jì)，并通過(guò)蒙特卡羅模擬和應(yīng)用實(shí)例表明該貝葉斯估計(jì)是有效的。衛(wèi)超和師義民（2014）[6]基于逐步II型混合截尾壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)，導(dǎo)出了Pareto分布參數(shù)的極大似然估計(jì)和不同先驗(yàn)分布下的Bayes估計(jì)，并利用Monte-Carlo模擬方法對(duì)估計(jì)的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。楊君慧等（2014）[7,8]基于逐步增加II型截尾試驗(yàn)，在單參數(shù)情況下，利用極大似然估計(jì)方法給出了廣義指數(shù)分布形狀參數(shù)和可靠度函數(shù)的極大似然估計(jì)，并證明了極大似然估計(jì)的相合性和漸近正態(tài)性。以及在熵?fù)p失和加權(quán)平方損失函數(shù)下，給出參數(shù)和可靠度函數(shù)的貝葉斯估計(jì)，并運(yùn)用Monte-Carlo方法對(duì)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行了模擬比較。

此外，文獻(xiàn)[9]中指出，對(duì)于一些分布，如指數(shù)分布、Rayleigh分布、Weibull分布的參數(shù)極大似然估計(jì)并沒有顯示表達(dá)式。因此，為了改進(jìn)極大似然估計(jì)方法，提出了近似極大似然估計(jì)的方法。王蓉華等（2000）[10]給出了在定數(shù)截尾數(shù)據(jù)缺失場(chǎng)合下兩參數(shù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布參數(shù)的近似極大似然估計(jì)。顧益明（2011）[11]給出了單參數(shù)指數(shù)、兩參數(shù)指數(shù)、兩參數(shù)Weibull及兩參數(shù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布型產(chǎn)品在基于分組型數(shù)據(jù)下參數(shù)的近似極大似然估計(jì)。楊振海和程維虎（2004）[12]討論了基于Logistic總體II型截尾樣本分布參數(shù)的近似極大似然估計(jì)。王娟和陸志峰（2008）[13]針對(duì)對(duì)數(shù)正態(tài)分布的一般II型逐步刪失樣本，從似然方程出發(fā)，采用一種近似方法將非線性部分線性化求解極大似然估計(jì)，并同經(jīng)典的牛頓迭代法進(jìn)行數(shù)值比較，結(jié)果基本相同，表明該方法是一種較好的求參數(shù)估計(jì)值的方法。張莉（2009）[14]基于指數(shù)分布下的分組數(shù)據(jù)，研究了步加試驗(yàn)中參數(shù)的近似極大似然估計(jì)方法，并通過(guò)蒙特卡羅模擬說(shuō)明方法是可行且有效的。

近似極大似然估計(jì)方法涉及到函數(shù)在點(diǎn)ξi處一階泰勒展開，其中ξi滿足F(ξi)=pi，在定數(shù)截尾試驗(yàn)下而在逐步增加Ⅱ型截尾試驗(yàn)下，本文考慮l=1，2，…，k或者兩種泰勒展開方式（分別記為方法一和方法二），分別給出兩參數(shù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布的近似極大似然估計(jì)，并在這兩種泰勒展開方式下比較近似極大似然估計(jì)的精度，通過(guò)Monte-Carlo模擬發(fā)現(xiàn)后者更優(yōu)。

1 對(duì)數(shù)正態(tài)分布的近似極大似然估計(jì)

假設(shè)有n個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行壽命試驗(yàn)，產(chǎn)品的壽命X服從兩參數(shù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即X～LN(μ，σ2)，其分布函數(shù)FX(x)和密度函數(shù)fX(x)分別為：

其中μ，σ2分別稱為對(duì)數(shù)均值和對(duì)數(shù)方差。

若令Y=lnX，則Y～N(μ，σ2)，其分布函數(shù)FY(y)和密度函數(shù)fY(y)分別為：

將n個(gè)壽命服從兩參數(shù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布LN(μ，σ2)的產(chǎn)品做逐步增加的II型截尾壽命試驗(yàn)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

令y(i)=lnx(i)，i=1，2，…，r1，…，rk，依賴于數(shù)據(jù)y(1)，y(2)，…，y(r1)，…，y(rk)的似然函數(shù)為：

由此：

記ξi滿足 Φ(ξi)=pi，i=1，2，…，rk，即ξi=Φ-1(pi)，i=1，2，…，rk

其中：

此時(shí)有：

化簡(jiǎn)式（1）：

其中：

將式（3）代入式（2）化簡(jiǎn)得：

此時(shí)方程變形為：Aσ2+Dσ-E=0

則參數(shù)σ的近似極大似然估計(jì)為：

其中：

2 威布爾分布的近似極大似然估計(jì)

假設(shè)有n個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行壽命試驗(yàn)，產(chǎn)品的壽命X服從兩參數(shù)威布爾分布，即X～W(m，η)，其分布函數(shù)FX(x)和密度函數(shù)fX(x)分別為：

其中m＞0為形狀參數(shù)，η＞0為刻度參數(shù)。

Z的分布函數(shù)FZ(z)和密度函數(shù)fZ(z)分別為：

將n個(gè)壽命服從兩參數(shù)Weibull分布W(m，η)的產(chǎn)品做逐步增加的II型截尾壽命試驗(yàn)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

令T(i)=lnX(i)，t(i)=lnx(i)，i=1，2，…，r1，…，rk，依賴于數(shù)據(jù)t(1)，t(2)，…，t(r1)，…，t(rk)的似然函數(shù)為：

記ξi滿足FZ(ξi)=pi，i=1，2，…，rk，即：

即：

此時(shí)有：

化簡(jiǎn)式（4）：

將式（6）代入式（5）化簡(jiǎn)得：

記：

此時(shí)方程變形為：Aσ2+Dσ-E=0

則參數(shù)σ的近似極大似然估計(jì)為：

因此，參數(shù)η和m的近似極大似然估計(jì)分別為：

3 模擬比較及算例

表2 對(duì)數(shù)正態(tài)分布的近似極大似然估計(jì)比較

表3 威布爾分布的近似極大似然估計(jì)比較

例 1：取對(duì)數(shù)正態(tài)分布LN(μ，σ2)的參數(shù)真值為μ=1，σ=1，樣本容量n和截尾個(gè)數(shù)為n=20，r1=5，n1=2，r2=10，n2=2，r3=15，通過(guò)Monte-Carlo模擬產(chǎn)生逐步增加的Ⅱ型截尾樣本數(shù)據(jù)為：-1.4247，-0.6394，-0.3934，0.1061，0.2061，0.6364，0.7162，1.0006，1.0378，1.0543，1.0669，1.1496，1.4043，1.4488，2.1458，利用本文方法，由方法一得到參數(shù)μ，σ的近似極大似然估計(jì)為μ?1=0.9136，σ?1=0.9920 ，由方法二得到參數(shù)μ，σ的近似極大似然估計(jì)為μ?2=0.9167，σ?2=0.9926 。

例2：取威布爾分布W(m，η)的參數(shù)真值為m=2，η=1，樣本容量n和截尾個(gè)數(shù)為n=30，r1=8，n1=4，r2=15，n2=3，r3=20，通過(guò)Monte-Carlo模擬產(chǎn)生逐步增加的Ⅱ型截尾樣本數(shù)據(jù)：-2.5044，-1.2816，-0.9434，-0.9004，-0.8201，-0.7804，-0.7768，-0.7563，-0.6990，-0.3452，-0.3081，-0.2960，-0.1561，-0.1545，0.0164，0.1370，0.1512，0.2321，0.2412，0.2873，利用本文方法，由方法一得到參數(shù)m，η的近似極大似然估計(jì)為m?1=2.0759，η?1=0.8549 ，由方法二得到參數(shù)m，η的近似極大似然估計(jì)為m?2=1.9820，η?2=1.0226。

4 結(jié)論

在推導(dǎo)參數(shù)近似極大似然估計(jì)的過(guò)程中會(huì)關(guān)系到函數(shù)的一階泰勒展開，本文在逐步增加Ⅱ型截尾壽命試驗(yàn)下考慮了兩種泰勒展開方式，并且針對(duì)兩參數(shù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布分別推導(dǎo)了參數(shù)的近似極大似然估計(jì)，并在這兩種泰勒展開方式下比較了估計(jì)的精度，通過(guò)大量的Monte-Carlo模擬發(fā)現(xiàn)利用方法二的泰勒展開方式得到的近似極大似然估計(jì)略優(yōu)。