孫鵬， 李研彪， 郭明飛

(浙江工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 浙江 杭州 310023)

0 引言

肩部的整體運(yùn)動可以分為兩類：第1類是肩關(guān)節(jié)在胸廓上的運(yùn)動，第2類是上臂相對肩胛骨的運(yùn)動(繞3個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動)，這兩類功能區(qū)域能夠各自或共同運(yùn)動[1]。目前，仿人肩關(guān)節(jié)主要用于實(shí)現(xiàn)第2類的運(yùn)動功能。

相對于串聯(lián)機(jī)構(gòu)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、高剛度和運(yùn)動靈活等特點(diǎn)，使其在仿生領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用[2-3]。近年來，已有不少學(xué)者將球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用于仿人領(lǐng)域，例如：楊龍等[4]提出的3-RRR+(S-P)人形機(jī)器人仿生肩關(guān)節(jié)，王躍靈等[5]和張亮[6]提出的基于正交球面3-RRR機(jī)構(gòu)的機(jī)器人肩關(guān)節(jié)，侯雨雷等[7]提出的3-PCSS/S球面并聯(lián)肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)。但上述并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在結(jié)構(gòu)尺寸大、姿態(tài)工作空間小、加工和裝配工藝性差等問題。另一方面，因?yàn)樯媳鄣膬?nèi)旋、外旋運(yùn)動范圍小，并且是多關(guān)節(jié)的協(xié)同運(yùn)動[1]，所以一些學(xué)者將肩關(guān)節(jié)視為2自由度機(jī)構(gòu)[8-9]。本文為緊湊仿人肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)，提出基于球面5R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的仿人肩關(guān)節(jié)。

機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)分析包括位移運(yùn)動學(xué)和速度運(yùn)動學(xué)，這些分析是關(guān)節(jié)空間和末端執(zhí)行器空間之間的線性關(guān)系，是精確控制和運(yùn)動規(guī)劃的基礎(chǔ)[10]。研究者一般用Denavit-Hartenberg(DH)表示法分析位移和速度運(yùn)動學(xué)[11]，但是DH方法存在一些缺陷，如奇異性問題和在速度運(yùn)動學(xué)中難以表明瞬時(shí)性的物理意義。然而，基于旋量理論和指數(shù)積公式表示的剛體運(yùn)動，以其簡潔的數(shù)學(xué)符號和明確的幾何意義而受到更多研究者的應(yīng)用[12]。黃真等[13]首次系統(tǒng)地應(yīng)用旋量理論和指數(shù)積公式對并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了分析與性能研究。另一方面，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的固有奇異特性影響著機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)、分析和控制，因此分析機(jī)構(gòu)的奇異位形與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系，對機(jī)構(gòu)應(yīng)用具有重要作用[13-14]。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間求解方法包括解析法和數(shù)值法。解析法求解工作空間精度高，但其研究過程非常復(fù)雜，依賴機(jī)構(gòu)位置解的研究成果，至今仍沒有完善的方法[15]。數(shù)值法通常利用運(yùn)動學(xué)逆解，并考慮機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和運(yùn)動學(xué)限制，搜索得到工作空間[13]。數(shù)值法較簡單，適用性較好，主要采用坐標(biāo)搜索方式，精度主要取決于搜索步長[16]。在結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化方面，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間優(yōu)化具有參數(shù)眾多、參數(shù)敏感性差異大、參數(shù)間耦合強(qiáng)等特點(diǎn)，因此作為高維非線性問題，其尋優(yōu)算法的設(shè)計(jì)是一個(gè)難點(diǎn)[17]。空間模型技術(shù)可以研究結(jié)構(gòu)參數(shù)與性能指標(biāo)之間的關(guān)系，但多數(shù)研究3個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)[18-19]。遺傳基因算法非常耗時(shí)，且收斂性不確定[20]。因此對于多個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)與各性能指標(biāo)之間的關(guān)系，需要進(jìn)一步深入研究。

本文提出了一種基于球面5R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的仿人肩關(guān)節(jié)，基于旋量理論和指數(shù)積公式對該并聯(lián)機(jī)構(gòu)建立了數(shù)學(xué)模型，并給出了這類少自由度非對稱型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)分析方法。在運(yùn)動學(xué)分析基礎(chǔ)上確定約束條件，得到了工作空間計(jì)算方法，對比人體肩關(guān)節(jié)靈活活動區(qū)域定義了工作空間評價(jià)指標(biāo)，分析了工作空間評價(jià)指標(biāo)與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系，同時(shí)考慮加工裝配工藝最終選取了一組較合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

1 構(gòu)型分析

1.1 結(jié)構(gòu)布局

以球面5R并聯(lián)機(jī)構(gòu)為原型的仿人肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)簡圖如圖1所示，此并聯(lián)機(jī)構(gòu)由靜平臺、動平臺和2條運(yùn)動支鏈構(gòu)成。運(yùn)動鏈1由連桿A1B1、B1C1和動平臺通過轉(zhuǎn)動副連接而成，其中OA1、OB1、OC1為各轉(zhuǎn)動副軸線。運(yùn)動鏈2由連桿A2C2和動平臺通過轉(zhuǎn)動副連接而成，其中OA2、OC2為各轉(zhuǎn)動副軸線。2條運(yùn)動鏈的5個(gè)轉(zhuǎn)動副軸線匯交于一點(diǎn)，稱為機(jī)構(gòu)中心，記為點(diǎn)O. 靜坐標(biāo)系為OXYZ，原點(diǎn)與機(jī)構(gòu)中心點(diǎn)O重合，Z軸垂直于靜平臺，指向靜平臺正上方，Y軸與軸線OA2始終重合，X軸方向由右手螺旋定則確定。動坐標(biāo)系為OX1Y1Z1，Z1軸與軸線OC1始終重合，指向動平臺正上方，X1軸與軸線OC2始終重合，Y1軸方向由右手螺旋定則確定。初始姿態(tài)下，動坐標(biāo)系與靜坐標(biāo)系重合，軸線OB1在平面OX1Y1上。

圖1 仿人肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)簡圖Fig.1 Schematic diagram of mechanism of humanoid shoulder joint

圖1中：α1為平面OA1Z與平面OA2Z的夾角；α2為Z軸與軸線OA1的夾角；α3為軸線OA1與軸線OB1的夾角；r1為轉(zhuǎn)動副C1、C2與機(jī)構(gòu)中心點(diǎn)O的距離；r2為轉(zhuǎn)動副B1與機(jī)構(gòu)中心點(diǎn)O的距離；r3為轉(zhuǎn)動副A1、A2與機(jī)構(gòu)中心點(diǎn)O的距離。

同時(shí)為簡便運(yùn)動學(xué)運(yùn)算，定義了1個(gè)中間參數(shù)α4，表示軸線OB1與平面OA1Z的夾角。根據(jù)三余弦定理，cosα3=cosα4cos (π/2-α2)，故α4取值與α2和α3的取值有關(guān)。

1.2 自由度分析

采用基于約束螺旋理論修正的Grübler-Kutzbach公式[21-22]，對該并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度分析，

(1)

式中：M表示機(jī)構(gòu)自由度；d表示機(jī)構(gòu)階數(shù)；n表示包括機(jī)架的構(gòu)件數(shù)；g表示運(yùn)動副數(shù)；fi為第i個(gè)運(yùn)動副的自由度；ν表示冗余約束數(shù)；ζ表示局部自由度。

運(yùn)動鏈1的螺旋系為

(2)

式中：ξA1為轉(zhuǎn)動副A1的運(yùn)動螺旋坐標(biāo)；ξB1為轉(zhuǎn)動副B1的運(yùn)動螺旋坐標(biāo)；ξC1為轉(zhuǎn)動副C1的運(yùn)動螺旋坐標(biāo)。

上述螺旋系為3系螺旋，當(dāng)α1=α4+π/2時(shí)，該螺旋系為2系螺旋，但此時(shí)軸線OA1和OB1共面，不符合設(shè)計(jì)要求。則這個(gè)3系螺旋的反螺旋系為

(3)

(3)式表明，運(yùn)動鏈1約束了動平臺沿動坐標(biāo)系3個(gè)坐標(biāo)軸方向的移動。

運(yùn)動鏈2的螺旋系為

(4)

式中：ξA2為轉(zhuǎn)動副A2的運(yùn)動螺旋坐標(biāo)；ξC2為轉(zhuǎn)動副C2的運(yùn)動螺旋坐標(biāo)。

上述螺旋系為2系螺旋，則反螺旋系為

(5)

(5)式表明，運(yùn)動鏈2約束了動平臺沿動坐標(biāo)系3個(gè)坐標(biāo)軸方向的移動和繞Z1軸的轉(zhuǎn)動。

比較2條運(yùn)動鏈的反螺旋系(3)式和(5)式可知，2個(gè)分支有3個(gè)公共約束，則d=6-3=3. 當(dāng)去掉3個(gè)公共約束后，動平臺的反螺旋系僅有1個(gè)繞Z1軸的約束力偶，因此沒有冗余約束，故ν=0. 通過觀察，該機(jī)構(gòu)沒有局部自由度，則ζ=0. 因此

(6)

上述分析結(jié)果表明，該仿人肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)具有2個(gè)自由度，即動平臺繞動坐標(biāo)系X1軸和Y1軸的2個(gè)轉(zhuǎn)動自由度。此外，機(jī)構(gòu)位形改變時(shí)(不包括奇異位形)，(3)式和(5)式保持不變，因此機(jī)構(gòu)自由度數(shù)目和性質(zhì)不發(fā)生改變，從而證明了機(jī)構(gòu)自由度的全周性。

2 運(yùn)動學(xué)分析

2.1 位置正解

設(shè)動平臺繞動坐標(biāo)系X1軸、Y1軸旋轉(zhuǎn)角度分別為γX1、βY1，用歐拉角(Z-Y-X)描述動平臺的位姿，得到動平臺的姿態(tài)矩陣[13]為

(7)

基于姿態(tài)矩陣R，軸線OC1、OC2在靜坐標(biāo)系中表示為

(8)

(9)

基于廣義坐標(biāo)系，軸線OB1、OC2在靜坐標(biāo)系中表示為

(10)

(11)

式中：θA1為轉(zhuǎn)動副A1的輸入角度；θA2為轉(zhuǎn)動副A2的輸入角度。

由該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以得到如下約束關(guān)系：

OC2=OC2，

(12)

OB1·OC1=0.

(13)

將(12)式整理后，得

βY1=θA2-π/2.

(14)

將(14)式代入(13)式，整理后得

γX1=arctan2(A,B)，

(15)

式中：

A=cosθA1sinθA2sinα2sinα3+cosθA2sinα1sinα2cosα3+
sinθA2cosα2cosα3-sinθA1cosθA2cosα1sinα3-
cosθA1cosθA2sinα1cosα2sinα3;
B=sinθA1sinα1sinα3-cosθA1cosα1cosα2sinα3+
cosα1sinα2cosα3.

由此，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解如(14)式和(15)式所示。(14)式表明動平臺繞Y1軸的旋轉(zhuǎn)角βY1只由轉(zhuǎn)動副A2的旋轉(zhuǎn)角θA2決定，因此該并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有部分解耦的特點(diǎn)。

2.2 位置反解

首先由旋量理論和指數(shù)積公式建立該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)模型，其次利用Paden-Kahan子問題思路將該運(yùn)動學(xué)逆解分解為若干個(gè)具有明確幾何意義的逆解子問題[23]，然后逐步加以解決。

1)求解θA1，對于運(yùn)動鏈1，建立正運(yùn)動學(xué)模型：

g(θ)=exp (A1,θA1)·exp (B1,θB1)·
exp (C1,θC1)·g(0)，

(16)

(16)式兩邊同右乘g-1(0)，得

exp (A1,θA1)·exp(B1,θB1)·exp(C1,θC1)=
g(θ)g-1(0).

(17)

取軸線OC1上一點(diǎn)p1，其齊次坐標(biāo)p1=[0 0 1 1]T， (17)式兩邊同右乘p1，得

exp(A1,θA1)·exp (B1,θB1)·p1=
g(θ)·g-1(0)p1.

(18)

根據(jù)Paden-Kahan子問題2求解(18)式，得

exp(A1,θA1)·(±c1)=q1，

(19)

式中：c1為求解過程中的已知向量，表示c1有2組解；中間變量q1=g(θ)·g-1(0)·p1.

根據(jù)Paden-Kahan子問題1求解(19)式，得

(20)

2)求解θA2，對于運(yùn)動鏈2，建立正運(yùn)動學(xué)模型：

g(θ)=exp(A2,θA2)·exp(C2,θC2)·g(0),

(21)

式中：θC2為轉(zhuǎn)動副C2的轉(zhuǎn)動角度。

將(21)式兩邊同右乘g-1(0)，得

exp (A2,θA2)·exp (C2,θC2)=g(θ)g-1(0).

(22)

將(22)式兩邊同右乘p1，得

exp (A2,θA2)·exp (C2,θC2)·p1=
g(θ)·g-1(0)p1.

(23)

根據(jù)Paden-Kahan子問題2求解(23)式，得

exp (A2,θA2)·(±c2)=q1，

(24)

式中：c2為求解過程中的已知向量，表示c2有2組解。

根據(jù)Paden-Kahan子問題1求解(24)式，得

(25)

需要說明的是，在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動情況下，因?yàn)樵谶\(yùn)動的旋轉(zhuǎn)分量求解時(shí)，ξ和θ的選擇是不唯一的，所以變換exp:se(3)SE(3)是多對一的，從而導(dǎo)致當(dāng)給定位形處于工作空間內(nèi)，會有多組關(guān)節(jié)角對應(yīng)于末端執(zhí)行器的同一個(gè)位置映射[21]。但對于上述并聯(lián)機(jī)構(gòu)，由于運(yùn)動平臺對2條運(yùn)動鏈的約束作用，每條運(yùn)動鏈的關(guān)節(jié)角只能取一組解。進(jìn)而得到該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解：

(26)

2.3 速度分析

這種仿人肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)屬于少自由度非對稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)類型，針對這類并聯(lián)機(jī)構(gòu)特點(diǎn)，基于旋量理論和指數(shù)積公式，結(jié)合少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的直接法和虛擬機(jī)構(gòu)法[13,23]求解速度雅可比矩陣。

對于串聯(lián)機(jī)器人速度雅可比矩陣，通過旋量理論得

(27)

ξ′i=Adξi，

(28)

式中：ξi表示第i個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動旋量坐標(biāo)；n表示機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)總數(shù)。

對于該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動鏈1，應(yīng)用少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的直接法求解該運(yùn)動鏈的雅可比矩陣：

(29)

式中：v表示動平臺速度；ξ′B1、ξ′C1通過(27)式和(28)式求得。

該并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有2個(gè)轉(zhuǎn)動自由度，故(29)式可化簡得

(30)

式中：ω表示動平臺角速度；sA1、sB1、sC1表示轉(zhuǎn)動副軸線的單位方向向量。

在非奇異位形，由(30)式得

(31)

對于該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動鏈2，在該分支增加虛擬的運(yùn)動副D2，其運(yùn)動螺旋坐標(biāo)為ξD2=[0 0 1 0 0 0]T，其旋轉(zhuǎn)角度、速度、加速度均為0. 應(yīng)用少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的直接法求解該運(yùn)動鏈的雅可比矩陣：

(32)

在非奇異位形，由(32)式得

(33)

運(yùn)動鏈1中輸入副為轉(zhuǎn)動副A1，因此取(J1)-1的第1行。運(yùn)動鏈2中輸入副為轉(zhuǎn)動副A2、D2，因此取(J2)-1的第1行和第3行。將上述行矢量組合，得到

(34)

在非奇異位形，由(34)式得

(35)

最后去掉虛擬運(yùn)動副D2，(J′)-1去掉最后一列，得到該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的速度雅可比矩陣：

(36)

通過分析(36)式，并代入多組機(jī)構(gòu)參數(shù)驗(yàn)證得到

(37)

(37)式表示動平臺在靜坐標(biāo)系中繞Y軸轉(zhuǎn)動的角速度分量只與輸入轉(zhuǎn)動副A2的速度有關(guān)。

2.4 奇異位形分析

對于與機(jī)構(gòu)性能密切相關(guān)的奇異問題，最通用的方法是分析雅可比矩陣的奇異性，當(dāng)雅可比矩陣的奇異值為0時(shí)，機(jī)構(gòu)處于奇異位形。但是對于并聯(lián)機(jī)構(gòu)，應(yīng)用2.3節(jié)求雅可比矩陣方法的前提是各運(yùn)動支鏈非奇異，這說明當(dāng)各運(yùn)動支鏈奇異時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣不存在，這也是這種方法的不足之處。另一種常用方法是線幾何法，即按線幾何原理，當(dāng)代表運(yùn)動副軸線的線性相關(guān)時(shí)，機(jī)構(gòu)奇異。這種方法同上一種方法存在同樣問題，當(dāng)各運(yùn)動支鏈奇異時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)不一定奇異。因此，本文針對該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)，基于判斷奇異的物理學(xué)方法，將機(jī)構(gòu)的其余輸入鎖住，僅留下1個(gè)輸入，分析動平臺此時(shí)的運(yùn)動情況。

當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿如圖2所示時(shí)，運(yùn)動鏈1中轉(zhuǎn)動副的運(yùn)動旋量坐標(biāo)線性相關(guān)，軸線OA1、OB1、OC1共面。

圖2 奇異位形1Fig.2 Singular configuration 1

如圖2所示：鎖住輸入轉(zhuǎn)動副A2，動平臺在轉(zhuǎn)動副A1驅(qū)動下繞動坐標(biāo)系的X1軸轉(zhuǎn)動；鎖住輸入轉(zhuǎn)動副A1，動平臺在轉(zhuǎn)動副A2驅(qū)動下繞動坐標(biāo)系的X1軸、Y1軸轉(zhuǎn)動。此時(shí)，運(yùn)動鏈1中轉(zhuǎn)動副的運(yùn)動旋量坐標(biāo)線性相關(guān)，但并聯(lián)機(jī)構(gòu)并沒有處于奇異位形，從而證明了上述分析。需要說明的是，當(dāng)軸線OA1、OC1共線時(shí)，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)確實(shí)失去了繞動坐標(biāo)系X1軸轉(zhuǎn)動的自由度，但是這種情況只發(fā)生在機(jī)構(gòu)參數(shù)取α1=π/2 rad，α2=π/2 rad，α3=π/2 rad時(shí)。

當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿如圖3所示時(shí)，運(yùn)動鏈2的反螺旋系發(fā)生變化，軸線OC1、OA2共線。

圖3 奇異位形2Fig.3 Singular configuration 2

由圖3可見：鎖住輸入轉(zhuǎn)動副A2，動平臺在轉(zhuǎn)動副A1驅(qū)動下繞動坐標(biāo)系的X1軸轉(zhuǎn)動；鎖住輸入轉(zhuǎn)動副A1，動平臺在轉(zhuǎn)動副A2驅(qū)動下繞動坐標(biāo)系的Z1軸轉(zhuǎn)動。此時(shí)，機(jī)構(gòu)處于奇異位形，但僅是自由度性質(zhì)發(fā)生變化，數(shù)量并沒有減少。

3 工作空間分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在動平臺繞動坐標(biāo)系X1軸、Y1軸旋轉(zhuǎn)的2個(gè)自由度。針對這種運(yùn)動學(xué)特點(diǎn)，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間也可以稱作姿態(tài)工作空間。建立該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維模型，如圖4所示，其初始結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 初始結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖4 仿人肩關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)Fig.4 Structure of humanoid shoulder joint

3.1 約束條件

根據(jù)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)建立姿態(tài)空間的約束條件，約束條件包括運(yùn)動副轉(zhuǎn)角約束和運(yùn)動桿件干涉約束[12]。

3.1.1 運(yùn)動副轉(zhuǎn)角約束

如圖4所示，各轉(zhuǎn)動副必然不能整圈轉(zhuǎn)動，當(dāng)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于初始位姿時(shí)各轉(zhuǎn)動副轉(zhuǎn)角為0°，轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)動正方向按照右手螺旋定則確定，則得到各轉(zhuǎn)動副轉(zhuǎn)角約束條件：

θkmin≤θk≤θkmax，k=A1、B1、C1、A2、C2.

3.1.2 運(yùn)動桿件干涉約束

3.1.2.1 機(jī)構(gòu)連桿間干涉

針對該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動特點(diǎn)，只需檢測桿件B1C1、A2C2之間是否發(fā)生干涉。桿件不發(fā)生干涉的條件是：兩桿件的最短距離dmin不小于桿件最大截面圓的直徑Dmax. 機(jī)構(gòu)間干涉情況較為復(fù)雜，黃真等[13]對這類問題做了詳細(xì)論述。

3.1.2.2 桿件與基座間的干涉

針對該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，需檢測桿件B1C1、A2C2是否與靜平臺和轉(zhuǎn)動副支座發(fā)生干涉。同時(shí)考慮到此并聯(lián)機(jī)構(gòu)將作為仿人肩關(guān)節(jié)，動平臺將連接大臂樣機(jī)，因此動坐標(biāo)系Z1軸負(fù)方向不能與靜平臺發(fā)生干涉。上述干涉不發(fā)生的條件是桿件與基座的交點(diǎn)不在桿件和基座范圍內(nèi)。

3.2 求解姿態(tài)工作空間

給定動平臺任意一個(gè)姿態(tài)，求得各轉(zhuǎn)動副轉(zhuǎn)角，滿足約束條件的姿態(tài)包含在姿態(tài)工作空間內(nèi)。本文采用坐標(biāo)搜索法[13]，搜索空間為βY1[-π rad，π rad]、γX1[-π rad，π rad]. 由于動平臺具有2個(gè)轉(zhuǎn)動自由度，無論動平臺處于何種姿態(tài)，姿態(tài)工作空間點(diǎn)集[24]均在1個(gè)平面內(nèi)。將平面內(nèi)點(diǎn)集的數(shù)量作為該組結(jié)構(gòu)參數(shù)下的姿態(tài)工作空間大小[25]WSV.

選取結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，迭代步長取10°，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的姿態(tài)工作空間仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 仿真結(jié)果Fig.5 Simulated results

4 工作空間優(yōu)化

機(jī)構(gòu)參數(shù)和約束條件不同都會影響工作空間的點(diǎn)集數(shù)量，因此姿態(tài)工作空間的最優(yōu)化設(shè)計(jì)，屬于全局最優(yōu)問題。在選定的主要影響工作空間大小的設(shè)計(jì)參數(shù)取值范圍內(nèi)，尋找滿足約束條件的最優(yōu)解，達(dá)到點(diǎn)集數(shù)量最多的設(shè)計(jì)目標(biāo)。

4.1 評價(jià)指標(biāo)

該并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為仿人肩關(guān)節(jié)，不僅要考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)對點(diǎn)集數(shù)量的影響，還要考慮該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的姿態(tài)工作空間區(qū)域相對于人體肩關(guān)節(jié)活動區(qū)域的實(shí)現(xiàn)程度。因此，將人體肩關(guān)節(jié)靈活活動區(qū)域的大小設(shè)定為基準(zhǔn)值[25]RV，張文增[9]基于高速攝像的人體運(yùn)動檢測系統(tǒng)，采用基于標(biāo)記點(diǎn)的圖像處理方法，有效地計(jì)算出人體上肢運(yùn)動參數(shù)，肩部前屈后伸的運(yùn)動范圍為-30°～100°，肩部外展內(nèi)收的運(yùn)動范圍為-30°～120°，將上述數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成姿態(tài)工作空間的點(diǎn)集，如圖6所示。

圖6 人體肩關(guān)節(jié)靈活活動區(qū)域Fig.6 Flexible region of human shoulder joint

將姿態(tài)工作空間點(diǎn)集數(shù)量的相對值作為評價(jià)指標(biāo)[25]WSRV，其公式為

(38)

4.2 參數(shù)優(yōu)化

為了清晰直觀地表征該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的各結(jié)構(gòu)參數(shù)對工作空間的影響，本文通過控制變量法，將多因素問題變成多個(gè)單因素問題，提出一種基于多參數(shù)的迭代抽樣優(yōu)化方法。首先將結(jié)構(gòu)參數(shù)初始化組合，分別在各個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)取值范圍內(nèi)按均勻分布進(jìn)行抽樣，統(tǒng)計(jì)各抽樣值的評價(jià)指標(biāo)；然后將各組最優(yōu)評價(jià)值所對應(yīng)的參數(shù)值重新組合，在此基礎(chǔ)上再次進(jìn)行上述的各組抽樣、統(tǒng)計(jì)和重新組合步驟，直至參數(shù)組合值與在其基礎(chǔ)上得到的重新組合值誤差不大于誤差δ時(shí)優(yōu)化結(jié)束。

表2為各結(jié)構(gòu)參數(shù)取值范圍。按照上述基于多參數(shù)的迭代抽樣優(yōu)化方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，得到各結(jié)構(gòu)參數(shù)對姿態(tài)工作空間的影響，如圖7所示。

表2 結(jié)構(gòu)參數(shù)取值范圍

由圖7(a)和圖7(b)可知：在結(jié)構(gòu)參數(shù)分別為α1=90°、α2=50°時(shí)WRSV取得最大值；由圖7(c)可知：當(dāng)α3=67°時(shí)WRSV取最大值，但考慮連桿A1B1加工工藝，選取α3=60°；由圖7(d)可知：當(dāng)r1為55～70 mm時(shí)WSRV取最大值并保持不變，考慮轉(zhuǎn)動副C1、C2的加工特點(diǎn)及裝配工藝性，選取r1=70 mm；由圖7(e)可知：選取r2=90 mm；由圖7(f)可知：WSRV呈現(xiàn)階梯形增長的特性，考慮機(jī)構(gòu)的緊湊性，選取d3=185 mm. 綜上所述，選取了一組較合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)：α1=90°、α2=50°、α3=60°、r1=70 mm、r2=90 mm、r3=185 mm. 在這組結(jié)構(gòu)參數(shù)下，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的姿態(tài)工作空間優(yōu)化結(jié)果如圖8所示。

圖7 結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化Fig.7 Optimization of structure parameters

圖8 優(yōu)化結(jié)果Fig.8 Optimized result

相比初始結(jié)構(gòu)參數(shù)下的工作空間(見圖5)，圖8所示的工作空間大小有明顯的增大，并且該工作空間達(dá)到了人體肩關(guān)節(jié)靈活活動區(qū)域(見圖6)的95%.

5 實(shí)例計(jì)算驗(yàn)證

根據(jù)仿人肩關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)參數(shù)：α1=90°、α2=50°、α3=60°、r1=70 mm、r2=90 mm、r3=185 mm，在MATLAB軟件中驗(yàn)證位置解解析，在Adams軟件中驗(yàn)證雅可比矩陣。

5.1 驗(yàn)證位置解解析式

驗(yàn)證步驟如下：

1)給定一組輸入轉(zhuǎn)動副角度，如表3第2列和第3列所示。

2)根據(jù)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解解析式計(jì)算出機(jī)構(gòu)的姿態(tài)，如表3第4列和第5列所示。

3)將上述姿態(tài)帶入該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解解析式，求得輸入轉(zhuǎn)動副角度，如表3第6列和第7列所示。

4)比較步驟1與步驟3的角度差可知，誤差極小，從而驗(yàn)證了解析式的正確性。

5.2 驗(yàn)證雅可比矩陣

驗(yàn)證方法和步驟如下：

1)給定一組輸入轉(zhuǎn)動副角度，如表4、表5第2列和第3列所示，并設(shè)定輸入轉(zhuǎn)動副角速度恒定均為1°/s.

表3 驗(yàn)證位置解解析式

表4 雅可比矩陣第1列J:1

表5 雅可比矩陣第2列J:2

圖9 動平臺角速度Fig.9 Angular velocity of moving platform

2)根據(jù)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣解析式計(jì)算出雅可比矩陣，雅可比矩陣第1列如表4第4、第5、第6列所示，雅可比矩陣第2列如表5第4、第5、第6列所示。

3)在Adams軟件中建立該并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型，設(shè)定驅(qū)動器角速度恒定均為1°/s，仿真時(shí)間50 s，動平臺輸出角速度與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖9所示。

4)比較步驟2與步驟3的數(shù)值差可知，二者誤差極小，從而驗(yàn)證了雅可比矩陣的正確性。

6 結(jié)論

1)運(yùn)用Paden-Kahan子問題方法可求得并聯(lián)機(jī)構(gòu)中所有運(yùn)動副的反解，與現(xiàn)有方法比較，簡化了位置反解條件的判定，易于編程。

2)基于旋量理論和指數(shù)積公式的機(jī)構(gòu)雅可比求解方法，具有明確的幾何意義，避免了復(fù)雜的求導(dǎo)過程，簡化了運(yùn)算過程。

3)這種仿人肩關(guān)節(jié)具有結(jié)構(gòu)緊湊，解耦性強(qiáng)和加工裝配工藝性好等優(yōu)點(diǎn)，并且其工作空間符合人體肩關(guān)節(jié)運(yùn)動特點(diǎn)。