方成鴻

（景德鎮(zhèn)陶瓷大學(xué)信息工程學(xué)院，江西 景德鎮(zhèn)333403）

0 引 言

平面微分方程定性理論中，研究系統(tǒng)閉軌線尤其是極限環(huán)的存在性與穩(wěn)定性具有重要的理論價值與實(shí)際意義．平面二次多項式系統(tǒng)的研究結(jié)果較豐富，文獻(xiàn)[1]有論述，對于三次系統(tǒng)，由于參數(shù)的增多，研究難度顯著增加．對于如下系統(tǒng)：

文獻(xiàn)[2]討論了δ=a1=a2=a3=0時系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)．利用變換將系統(tǒng)化為Liénard方程或廣義Liénard方程，文獻(xiàn)[3]在a1=a3=a6=0的條件下，文獻(xiàn)[4]在a1=a2=0的條件下，文獻(xiàn)[5]在a6=0、a1=a+b及a4=-ab的條件下分析了系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與唯一性．

文獻(xiàn)[6]給出了系統(tǒng)x·=-y（1-ax）+a1x+a2x2+a3x3、=-x（1-ax）存在極限環(huán)的條件；文獻(xiàn)[7]討論了系統(tǒng)=-y+δx+mx3-ny3、=x（1+ax2）當(dāng) a＞0、n＞4 時極限環(huán)存在的條件，并給出m與δ為正數(shù)時的全局結(jié)構(gòu)圖；文獻(xiàn)[8]給出了系統(tǒng)=-y+（a-3b）x2y+y3、=x+x3+（a+3b）xy2的全局結(jié)構(gòu)圖．文獻(xiàn)[9-11]結(jié)合旋轉(zhuǎn)向量場理論分析了相應(yīng)平面系統(tǒng)的極限環(huán)存在唯一的條件．

研究平面系統(tǒng)存在的極限環(huán)個數(shù)是另一項重要的內(nèi)容，如文獻(xiàn)[12-14]使用Melnikov函數(shù)法分析可積的多項式系統(tǒng)在多項式擾動下中心分支出極限環(huán)的個數(shù)以及同宿環(huán)的分支問題．

文中考慮如下形式的系統(tǒng)：

它以曲線1+ax2+by2=0為垂直等傾線，通過對奇點(diǎn)、無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)、鞍點(diǎn)分界線走向的討論，獲得了系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)相圖．文獻(xiàn)[2]包含d=0時的結(jié)論，這里不妨取 d=1，否則可作適當(dāng)?shù)淖儞Q達(dá)到．

1 奇點(diǎn)的性態(tài)

方程（1）的右端所定義的平面向量場關(guān)于y軸對稱，故中心型奇點(diǎn)都是中心．

定理1 ①系統(tǒng)（1）的奇點(diǎn) O（0，0）是中心；②b＜0 時，系統(tǒng)（1）有奇點(diǎn)與 B2（0，其中B1是鞍點(diǎn)．若b＜-1或b=-1且a＜0，B2為鞍點(diǎn)；若-1＜b＜0，B2為中心；若 b=-1 且 a＞0，B2的局部由一個雙曲扇形域和一個橢圓扇形域構(gòu)成；若 b=-1 且 a=0，y=1 是奇直線；③（1+b）a＜0 時，系統(tǒng)（1）有奇點(diǎn)與 M2．若 a＜0，M1與 M2是鞍點(diǎn)；若 a＞0，M1是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，M2是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)．

除了 b=-1時，M1、M2與 B2重合成為高階奇點(diǎn)，上述結(jié)論只需分析對應(yīng)線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)的性態(tài)即得．當(dāng) b=-1 時，作變換 ξ=x/2，η=y-1，系統(tǒng)（1）化為-2ξη≡Ψ（ξ,η）．對應(yīng)線性系統(tǒng)有零特征值，設(shè) y+Φ（x,y）=0 確定的隱函數(shù)為 y=φ（x），則 φ（x）=2ax2+o（x2），Ψ（x，φ（x））=-4ax3+o（x3），Φx（x，φ （x））+Ψy（x，φ（x））=（-4a-2）x+o（x），根據(jù)文獻(xiàn)[15]中的定理7．2可得所給結(jié)論．

2 無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)的性態(tài)

作 Poincare 變換 u＝y(tǒng)／x，z＝1／x 及時間變換 dτ=dt/z2，系統(tǒng)（1）化為：

系統(tǒng)（2）的奇點(diǎn)（0，0）有 4 個特征方向，而 z=0與z=u是系統(tǒng)（2）的軌線，故沿這4個方向均有軌線進(jìn)入或離開原點(diǎn)．欲了解原點(diǎn)附近軌線的性態(tài)，需分析4個角域軌線的特征，為此計算奇點(diǎn)的指數(shù)．

引理 1當(dāng) a＜0或 a=0且 b＜-1時，系統(tǒng)（2）的奇點(diǎn)（0，0）的指數(shù) I=2；當(dāng) a＞0 或 a=0 且 b＞-1（b≠0）時，指數(shù) I=0．

證 明：記 P2（u，z）=au2-uz+z2，P4（u，z）=bu4+u2z2，Q2（u，z）=auz，Q4（u，z）=bu3z+uz3，當(dāng) a≠0 時，計算 Cauchy 指標(biāo)[15]N[P2（t，1），Q2（t，1）]即得 a＜0 時，I=2；a＞0 時，I=0．

下面討論a=0的情形，根據(jù)文獻(xiàn)[15]中的定理5．2，系統(tǒng)（2）的奇點(diǎn)（0，0）的指數(shù)q（t）]，其中 p（t）=t8-2t7+4t6-2t5+（16b-10）t4+2t3+4t2+2t+1，q（t）=2t（t2-1）[t4+（4b-2）t2+1]．b＞0 時，q（t）僅有 3 個單重零點(diǎn)，±1 與 0；b＜0 時，q（t）又增加了 4個零點(diǎn)，±b1與±b2， 其中

由于 b=5/8 時 p（t）恒大于零，得 b＞5/8 時 p（t）恒大于零．由于b=0時p（t）有2正2負(fù)共4個單重零點(diǎn)，且2正零點(diǎn)、2負(fù)零點(diǎn)間各只有1個駐點(diǎn)，故 0＜b＜5/8 時 p（t）至多有 4 個零點(diǎn)，且負(fù)零點(diǎn)大于－1， 正零點(diǎn)大于 1．于是 b＞0時，I=0．

三次函數(shù) p（5）（t）是單增的，有一個正零點(diǎn)．設(shè)b＜0，由 p（4）（0）=48（8b-5）知 p（4）（t）有一正零點(diǎn)和一負(fù)零點(diǎn)； 又 p?（0）=12，p?（1/3）=128-5456/81，故p?（t）恰有一負(fù)二正 3 個零點(diǎn)；而 p″（-1/2）=48b-12，p″（0）=8，p″（1）=192b-48，故 p″（t）恰有二負(fù)二正 4個零點(diǎn)；再由 p′（0）=2＞0，p′（1）=64b-16，p（0）=1，p（1）=16b，可得 p（t）在區(qū)間（0，+∞）上有 2 個零點(diǎn)，且位于 1的兩側(cè)．另一方面，b=0時 p′（t） 在（-∞，0）有 1 個零點(diǎn) c0≈-0．8566，且在（-∞，c0）上單增．當(dāng) b＜0 時，p′（t）在（-∞，0）也只有 1 個零點(diǎn)，又 p（-1）=16b，可得 p（t）在（-∞，0）上有 2 個零點(diǎn)，位于－1 的兩側(cè)．

綜上，p（t）在－1的兩側(cè)各有一個負(fù)零點(diǎn)，在 1的兩側(cè)各有一個正零點(diǎn)．當(dāng) b＜0 時，p（-b2）＞0，p（b1）＞0；b＜-1 時，p（-b1）與 p（b2）恒正；-1＜b＜0 時，p（-b1）與p（b2）恒負(fù)，于是可得 a=0 且 b＜-1 時，I=2；a=0 且b＞-1（b≠0）時，I=0．

根據(jù)對應(yīng)線性系統(tǒng)有單重零特征值的分析法，易得：

引理 2當(dāng)ab＜0時，系統(tǒng)（2）在 u軸上還有奇

由奇點(diǎn)的指數(shù)、角域個數(shù)以及分析角域附近軌線的方向，可得：

定理2系統(tǒng)（2）在u軸上的奇點(diǎn)附近的軌線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示．

當(dāng) a＜0 且 b≤0 或者 a=0 且 b＜-1 時，系統(tǒng)（2）在u軸上的唯一奇點(diǎn)（0,0）角域附近的結(jié)構(gòu)如圖1（a）所示；當(dāng) a＞0 且 b≥0 或者 a=0 且 b＞-1（b≠0）時，系統(tǒng)（2）在u軸上的唯一奇點(diǎn)（0,0）角域附近的結(jié)構(gòu)如圖 1（b）所示．

作變換 v＝x/y，z＝1/y 以及時間變換 dτ＝dt/z2，系統(tǒng)（1）化為:

僅當(dāng)b=0時，原點(diǎn)才是系統(tǒng)（3）的奇點(diǎn)．令b=0，計算得當(dāng)a≠0時原點(diǎn)的指數(shù)為0；z=0是系統(tǒng)（3）的軌線，當(dāng)a＞0時，原點(diǎn)有兩個特征方向，a＜0時，原點(diǎn)有六個特征方向，此時也是系統(tǒng)（3）的軌線，即沿任何特征方向都有軌線進(jìn)入或離開原點(diǎn)．于是，a＞0時，原點(diǎn)的兩個角域均為雙曲扇形域；由Bendixon公式[15]以及分析軌線斜率的特征，a＜0時，原點(diǎn)的六個角域由一個橢圓扇形域、三個雙曲扇形域及二個拋物扇形域構(gòu)成．

定理3系統(tǒng)（3）的原點(diǎn)附近的軌線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示．

圖2 v軸上的奇點(diǎn)

3 全局結(jié)構(gòu)

引理 3系統(tǒng)（1）從點(diǎn) N1（0，-δ1）出發(fā)的解曲線若到達(dá)正 y 軸，則交點(diǎn)必位于 N1'（0，δ1）的下方，其中 δ1＞1．

證 明：設(shè) y=?（x）是系統(tǒng)（1）從點(diǎn) N1到 N2（δ2，0）的解，其中 δ2＞0．注意到 0＜x＜δ2時，?（x）＜0，1=ax2+b[?（x）]2＞0，可得

引理4當(dāng)a=0時，系統(tǒng)（1）有通解by3+2（b+1）y+（b+1）ln（1-y）2+C；當(dāng) b=0 時，有通解（1-y）ey=C（1+ax2）1/2a，其中 C 是積分常數(shù)．

定理 4設(shè) a=0，則系統(tǒng)（1）在 b＜-1、b=-1、-1＜b＜0 及 b＞0 時的全局相圖分別如圖 3（a）～圖 3（d）所示．設(shè) b=0，系統(tǒng)（1）在 a＜0、a＞0 時的全局相圖分別如圖 3（e）、圖 3（d）所示．過曲線y=-?（x）上的點(diǎn)的軌線都是從右向左穿過該曲線，故結(jié)論成立．

由此可知，鞍點(diǎn)B1的分界線若到達(dá)正y軸，交點(diǎn)必位于點(diǎn)B2的下方．

圖3 a=0或b=0時系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)

引理 5當(dāng) a＜0 且-1＜b＜0 時，系統(tǒng)（1）存在連接鞍點(diǎn)M1與M2的異宿閉軌．

證 明：設(shè)x≤0），L1是過 M1且在 M1點(diǎn)切線斜率大于 kM1≡的開口向下的拋物線?。字?（y）=（1-a）y3+2ay2-（2+a）y+1 在（1，+∞）上恒正，可推出Q/P|L1＜（1-a）x/b，于是鞍點(diǎn) M1位于直線 y=1 上方的分界線始終位于L1的下方，必到達(dá)y軸，根據(jù)向量場關(guān)于y軸的對稱性，分界線最終進(jìn)入M2點(diǎn)，而y=1是解曲線，故系統(tǒng)（1）存在連接鞍點(diǎn)M1與M2的異宿閉軌．

引理 6當(dāng) a＜0且 b＞0時，系統(tǒng)（1）存在連接鞍點(diǎn)M1與M2的異宿閉軌．

證 明：由于其中 τM是垂直等傾線11+ax2+by2=0在鞍點(diǎn)M1的切線斜率，故M1位于直線y=1下方的分界線必到達(dá)負(fù)x軸，應(yīng)用引理3的比較方法，可知其穿過垂直等傾線x軸后與雙曲線1+ax2+by2=0的左支的交點(diǎn)必位于M1'的上方，M1'是M1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)．

由定理4知，a=0且b＜0時，鞍點(diǎn)B1有同宿環(huán)．b不變，讓a＜0，比較軌線切線的變化可知，這時鞍點(diǎn)B1仍有同宿環(huán)．于是得到：

定理 5設(shè) a＜0，則 b＜-1 時系統(tǒng)（1）全局相圖如圖 3（a）所示，b=-1、-1＜b＜0 及 b＞0 時的全局相圖分別如圖 4（a）～圖 4（c）所示．

圖4 a＜0時系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)

引理 7當(dāng) a＞0 且 b＜0 時，系統(tǒng)（1）的鞍點(diǎn) B1有同宿環(huán)．

證 明：已知a＞0且b=0時，系統(tǒng)（1）的唯一奇點(diǎn)原點(diǎn)是中心，故從負(fù)y軸上出發(fā)的軌線均到達(dá)正x 軸．記區(qū)域且 b＜0時，對 D內(nèi)任意點(diǎn)恒有故右半平面離開鞍點(diǎn)B1的分界線必到達(dá)正x軸，再由引理3得證．

引理 8當(dāng) a＞0 且 b＜-1 時，系統(tǒng)（1）有無數(shù)條軌線離開M1進(jìn)入M2．

證 明：由定理 1知，這時，M1是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，M2是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)．平移原點(diǎn)至 M1，系統(tǒng)（1）所對應(yīng)的線性系統(tǒng)為，由 G（θ）=2bsinθ（sinθ-kM1cosθ）得M1點(diǎn)的特征方向是 θ=0、θ=π、θ=θ0以及 θ=π+θ0，其中 θ0=arctankM1．又 H（0）=（2-4a）（-1-b），G′（θ0）H（θ0）=（2a-1）（-1-b）/a，故當(dāng) a＞1/2時，只有一條軌線沿θ=0及θ=π離開奇點(diǎn)M1，其余軌線均沿 θ=θ0及 θ=π+θ0離開 M1；當(dāng) 0＜a＜1/2時，只有一條軌線沿 θ=θ0及 θ=π+θ0離開奇點(diǎn) M1，其余軌線均沿θ=0及θ=π離開M1．當(dāng)a=1/2時，M1是退化結(jié)點(diǎn)，所有軌線沿θ=0及θ=π離開M1．

是垂直等傾線1+ax2+by2=0在點(diǎn)M1的切線斜率，故過D1與D2公共邊界線上點(diǎn)的軌線必以M1為α極限點(diǎn)；又系統(tǒng)在區(qū)域D2沒有無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)，該軌線必在有限時間到達(dá)正y軸，再由對稱性可知，該軌線必以M2為ω極限點(diǎn)，即得結(jié)論成立．

定理 6 設(shè) a＞0， 則 b＜-1、b=-1、-1＜b＜0 時系統(tǒng)（1）的全局相圖分別如圖 5（a）～圖 5（c）所示，b＞0 時的全局相圖如圖3（d）所示．

4 研究展望

前面分析了1+ax2+by2=0以曲線為垂直等傾線的一類多項式微分系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)相圖，進(jìn)一步可以分析原點(diǎn)不是該垂直等傾線的對稱中心的情形，以及以拋物線為垂直等傾線的平面系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)．此外，使用Melnikov函數(shù)法可以分析系統(tǒng)（1）在多項式擾動下中心以及同宿環(huán)的分支問題．

圖5 a＞0且b＜0時系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)