廣東省增城中學(xué) (511300) 邱昌燕

一、試題回顧

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

全國(guó)卷Ⅰ文科20.設(shè)拋物線C:y2=2x，點(diǎn)A(2,0),B(-2,0),過(guò)點(diǎn)A的直線l與C交于M,N兩點(diǎn)．

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；

(2)證明：∠ABM=∠ABN.

二、試題分析

這兩道題是2018年全國(guó)卷Ⅰ理科和文科的解析幾何解答題，第二問(wèn)都是證明角相等，兩角相等本屬平面幾何范疇，但用初中平面幾何難以求證，必須把角化歸為斜率之和為零采用代數(shù)的方法求證，故兩道題都體現(xiàn)了高中解析幾何的精髓，也即考查了解析法.理科第19題以橢圓為載體，文科第20題以拋物線為載體，然這兩道題的第二問(wèn)有本質(zhì)的關(guān)聯(lián)嗎?

三、本質(zhì)探究

為探究問(wèn)題的本質(zhì)，用字母代替數(shù)字，且把問(wèn)題設(shè)置成存在性問(wèn)題進(jìn)行探究.

把③④代入⑤化簡(jiǎn)得mp=a2.此結(jié)論對(duì)于雙曲線會(huì)是怎樣情況呢？

解：對(duì)于雙曲線的運(yùn)算只須把橢圓中的b2改成-b2，仍得出結(jié)論：mp=a2.探究到此，對(duì)于圓的將要探究的結(jié)論則顯而易見(jiàn)了.

探究4 設(shè)圓C：x2+y2=a2，過(guò)圓C內(nèi)部點(diǎn)P(p,0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，問(wèn)是否在x軸上存在點(diǎn)M(m,0)?使得∠OMA=∠OMB,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

探究5 設(shè)拋物線C:y2=2px，過(guò)拋物線C內(nèi)部點(diǎn)T(t,0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，問(wèn)是否在x軸上存在點(diǎn)M(m,0)，使得∠OMA=∠OMB，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

解：假設(shè)存在點(diǎn)M(m,0),使得∠OMA=

把①②代入③得m+t=0,即m=-t.

綜合探究1至探究5可得四個(gè)結(jié)論：

結(jié)論3 過(guò)拋物線C:y2=2px內(nèi)部點(diǎn)T(t,0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),則存在唯一點(diǎn)M(m,0)(m=-t),使得kMA+kMB=0.

結(jié)論4 過(guò)拋物線C:y2=2px外一點(diǎn)M(m,0)分別作兩斜率互為相反數(shù)的直線交曲線于A,B,D,E,則等腰梯形ABDE任一對(duì)角線必過(guò)定點(diǎn)T(t,0)(t=-m).

四、功能評(píng)價(jià)

任子朝先生在《從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向》一文中指出：“素養(yǎng)導(dǎo)向不但強(qiáng)調(diào)知識(shí)和智力,更強(qiáng)調(diào)知識(shí)的遷移和后天的習(xí)得.考查目的在于更清晰、準(zhǔn)確地考查學(xué)生的智力水平、思考深度、思維習(xí)慣和科學(xué)態(tài)度.素養(yǎng)導(dǎo)向的高考命題重視學(xué)科觀念、規(guī)律的考查，將這些學(xué)科知識(shí)作為素養(yǎng)養(yǎng)成和發(fā)展的基礎(chǔ)和先決條件.素養(yǎng)導(dǎo)向高考命題注重科學(xué)思維的考查，科學(xué)思維是對(duì)客觀的事物本質(zhì)的屬性以及潛在的規(guī)律和相互之間的關(guān)系的一種認(rèn)知方式.素養(yǎng)導(dǎo)向的高考命題更注重科學(xué)探究能力的考查.素養(yǎng)導(dǎo)向的高考命題更注重情境化試題的考查，情境活動(dòng)包括生活實(shí)踐活動(dòng)與學(xué)術(shù)探究情境活動(dòng)[1].”而本文選用這兩道高考試題設(shè)計(jì)的五個(gè)探究符合從能力立意向素養(yǎng)導(dǎo)向命題的轉(zhuǎn)變，對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有一定的功效，具體表現(xiàn)在下面幾個(gè)方面：

首先，用字母代替數(shù)字化的探究運(yùn)算，對(duì)運(yùn)算要求比較高，對(duì)提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)很有幫助，只有注意力高度集中，具有強(qiáng)烈運(yùn)算意識(shí)和運(yùn)算品質(zhì)才盡可能避免運(yùn)算出錯(cuò).其次，上述探究活動(dòng)本身就是一個(gè)學(xué)術(shù)知識(shí)探究情境活動(dòng)，故有助于培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的探究素養(yǎng).再次，上述探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)有助于培養(yǎng)學(xué)生深度化思考的習(xí)慣和激發(fā)學(xué)生興趣，蘇霍姆林斯基說(shuō)：接近和深挖事物的本質(zhì)及其因果聯(lián)系的實(shí)質(zhì).這一過(guò)程本身就是興趣的主要源泉.最后，經(jīng)過(guò)深度思考探究后這一類型問(wèn)題有本質(zhì)的認(rèn)識(shí)后也即提升了學(xué)生素養(yǎng),對(duì)探究試題后的優(yōu)美結(jié)論:mt=a2(有心曲線)和m+t=0(拋物線)了解和掌握可幫助學(xué)生快速解決同類型的試題，如：

(1)求點(diǎn)G的軌跡C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)T(4,0)作斜率不為0的直線l與(1)中的軌跡C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接BD交x軸于點(diǎn)Q，求△ABQ面積的最大值．

2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試題：如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)T(2,0)與y軸的正半軸相交于A,B兩點(diǎn)(A在B的上方).且|AB|=3.

(1)求圓C的方程；

學(xué)生會(huì)解答問(wèn)題是能力問(wèn)題，學(xué)生能看清問(wèn)題的本質(zhì)從而能快速解答就是素養(yǎng)問(wèn)題，顯然素養(yǎng)考查比能力考查要求更高，更強(qiáng)調(diào)平時(shí)深度的思考及后天的習(xí)得.