王杰，陶俊林，郭輝

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圓環(huán)巴西試驗的抗拉強度建議公式

王杰，陶俊林，郭輝

（西南科技大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，四川 綿陽 621010）

改進Hobbs公式得到的計算值普遍較大這一問題，提出圓環(huán)巴西試驗的抗拉強度建議公式。對巴西試驗圓環(huán)的應(yīng)力解進行分析，并引用砂巖的試驗數(shù)據(jù)驗證。得到圓環(huán)巴西試驗的抗拉強度建議公式，使用Hobbs公式得到的抗拉強度TT比巴西圓盤試驗T大6倍以上，利用建議公式得到的抗拉強度σ與巴西圓盤試驗T十分接近，誤差不到1%。當(dāng)圓環(huán)內(nèi)外徑比在0.05到0.15的范圍內(nèi)時，該建議公式可很好地用來計算巖石類等脆性材料的抗拉強度。

圓環(huán)試件；劈拉試驗；抗拉強度公式

巴西圓盤試驗廣泛應(yīng)用于間接測量巖石、混凝土等脆性材料的抗拉強度，得到了相關(guān)規(guī)程的推薦[1-2]。巴西圓盤試驗有時會出現(xiàn)在加載點處起裂的情況[3]，這屬于受壓破壞，不易滿足巴西圓盤試驗的起裂條件。由此，Hobbs D W[4]提出在試件中心鉆一個貫穿的圓孔，形成圓環(huán)試件，使試件從內(nèi)孔開始起裂，來保證試件受拉破壞，并提出該方法的抗拉強度計算公式（Hobbs公式）。

隨后，學(xué)者們引用Hobbs公式對脆性材料的抗拉強度做了大量的研究[5-11]。尤明慶等[5]對片麻巖、大理巖等材料做了圓環(huán)巴西試驗，認為當(dāng)圓環(huán)試件內(nèi)外徑比小于0.4時，用Hobbs公式得到的拉伸強度遠大于巴西圓盤試驗強度，得出Hobbs公式不能作為巖石抗拉強度公式的結(jié)論[6-7]。文獻[8-11]對圓環(huán)巴西試驗做了數(shù)值模擬。朱萬成等[8]認為，如果能準(zhǔn)確測出圓環(huán)試件的開裂載荷，可將Hobbs公式中的載荷峰值替換為開裂載荷，這時計算出的抗拉強度較為符合。要準(zhǔn)確獲得試驗的開裂載荷，現(xiàn)在的實驗手段不易達到。

為此，文中對巴西試驗圓環(huán)的應(yīng)力解析解進行分析，提出圓環(huán)巴西試件的抗拉強度建議公式。在圓環(huán)內(nèi)外徑比較小時，其計算值可表示巖石類脆性材料的抗拉強度。

1 抗拉強度公式介紹

1.1 巴西圓盤試驗強度計算公式

在巴西圓盤試驗中，加載線上的拉應(yīng)力是常值2/π；在圓盤的中心處，拉應(yīng)力是壓應(yīng)力的1/3。根據(jù)巖石、混凝土等脆性材料受壓不受拉的特點，可得出巴西圓盤拉伸強度公式[1]：

式中：為施加在圓盤試件上的載荷峰值；為圓盤直徑；為圓盤試件厚度。

1.2 圓環(huán)巴西試驗強度計算公式

Hobbs D W[4]提出圓環(huán)巴西試驗抗拉強度計算公式：

式中：為施加在圓環(huán)試件上的載荷峰值；為圓環(huán)試件的厚度；和分別為圓環(huán)試件的內(nèi)半徑和外半徑。

式（2）是中心孔與=0直線的交點（如圖1所示）的環(huán)向正應(yīng)力近似表達，使用該公式的前提是：當(dāng)內(nèi)環(huán)邊界上點的環(huán)向正應(yīng)力達到了材料的抗拉強度時，圓環(huán)試件的承載能力達到最大值。當(dāng)點出現(xiàn)裂紋后（點處的環(huán)向正應(yīng)力達到了材料的抗拉強度），這時的試件往往還能承載，承載力還會繼續(xù)增大。因此，點出現(xiàn)裂紋，并不意味著試件的承載能力完全喪失。這是公式（2）用載荷峰值計算出的抗拉強度較高的可能原因。

圖1 巴西試驗圓環(huán)

2 圓環(huán)巴西試驗建議公式的提出

Chianese R B等[12]以彈性力學(xué)疊加原理和平面應(yīng)力狀態(tài)為基礎(chǔ)，利用傅里葉級數(shù)推導(dǎo)出巴西試驗圓環(huán)的應(yīng)力表達式：

其中：

式中：為非零偶數(shù)。式中的相關(guān)參數(shù)如圖1所示。

根據(jù)公式（4），可得出不同內(nèi)外徑比下的內(nèi)環(huán)邊界環(huán)向正應(yīng)力曲線，如圖2所示。由于邊界條件是軸對稱的，只畫出了弧部分（如圖1所示）。

圖2 弧上各點的環(huán)向正應(yīng)力

對同一條曲線，環(huán)向正應(yīng)力由正值向負值轉(zhuǎn)換，最大拉應(yīng)力值在=0處（圖1的點），而最大拉應(yīng)力值與最大壓應(yīng)力值不相上下。這說明由巖石、混凝土等脆性材料制成的環(huán)形試件會從點起裂，即受拉破壞。不同下也有類似的規(guī)律（大于0.6也是如此），說明值大小對圓環(huán)試件從點起裂并無影響。

為了了解圓環(huán)在=0直線上的拉壓狀態(tài)，利用式（4），畫出=0直線上的環(huán)向正應(yīng)力變化曲線，如圖3所示。

圖3 θ=0直線上的環(huán)向正應(yīng)力

由圖3可知，當(dāng)=0.5時，=0直線上的環(huán)向正應(yīng)力快速下降。隨著的減小，這種趨勢發(fā)生了改變，“下降區(qū)”逐漸變短，在遠離中心孔的部分逐漸形成一段平臺；尤其在≤0.15時，這種趨勢越加明顯。這段長平臺的形成，意味著=0直線上絕大部分的環(huán)向正應(yīng)力是幾乎相等的。對于≤0.15的脆性材料試件，點會最先達到脆性材料的抗拉強度，發(fā)生拉伸破壞。當(dāng)載荷繼續(xù)增加時，裂紋才會延展，而當(dāng)裂紋延伸到“長平臺區(qū)”時，由于“長平臺區(qū)”的環(huán)向正應(yīng)力幾乎相等，這時脆性材料同時發(fā)生破壞。若“長平臺區(qū)”主導(dǎo)著脆性材料的拉伸破壞，則可在“長平臺區(qū)”內(nèi)取一點來表示脆性材料的拉伸強度。

下面對圓環(huán)試件的拉伸破壞由“下降區(qū)”主導(dǎo)，還是由“長平臺區(qū)”主導(dǎo)進行討論，以=0.05曲線為例，如圖4所示。

圖4 ρ=0.05時在θ=0直線上的環(huán)向正應(yīng)力

將圖4中的=0.05曲線的“長平臺區(qū)”線性擬合，得到擬合曲線的表達式：

由于式（12）中，含項的系數(shù)十分小，對式（12）的變化趨勢基本無影響，為了化簡表達式，將公式（12）簡化為：

利用上述方法計算不同時的1、2值。為了便于比較，在表1中列出不同時的1、2值。

表1 不同內(nèi)外徑比ρ時的S1、S2值

在表1中，內(nèi)外徑比在0.05~0.15的范圍內(nèi)，1<2，即“下降區(qū)”面積小于“長平臺區(qū)”面積。這說明對于內(nèi)外徑比在0.05~0.15的圓環(huán)巴西試驗，其拉伸破壞由“長平臺區(qū)”主導(dǎo)。又由于“長平臺區(qū)”段曲線與橫坐標(biāo)基本平行，即該段的環(huán)向正應(yīng)力十分接近，則可在圖3中公有的“長平臺區(qū)”內(nèi)取一點來表示脆性材料的抗拉強度。如圖3所示，可取=0.5時的環(huán)向正應(yīng)力來表示脆性材料的抗拉強度公式，將=0.5、=0代入式（4）中，并考慮試件厚度，得到表達式：

式（14）是脆性材料的建議抗拉強度計算公式，由于其存在多項式，使得表達式十分復(fù)雜，且隨著的增加而逐漸收斂。在圖5中給出了不同值時公式（14）的收斂情況。

在圖5中，“=10”曲線和“=20”曲線完全重合，說明當(dāng)=10時，式（14）已經(jīng)收斂了。此時的式（14）仍然十分復(fù)雜，不易運用。為了化簡公式，將=10時的式（14）進行三次多項式擬合，擬合情況如圖6所示。

在圖6中，三次多項式擬合曲線與“=10時的式（14）”曲線十分接近，其標(biāo)準(zhǔn)方差達到了99.7%。

圖5 不同n值時式（14）的收斂情況

圖6 n=10時式（14）的三次多項式擬合

為了化簡強度公式，便于推廣應(yīng)用，式（14）可用三次多項式擬合曲線表達式替代，可簡化為：

3 圓環(huán)巴西試驗建議公式的驗證

選用文獻[7]表格2中砂巖的劈拉試驗數(shù)據(jù)對建議公式進行驗證。砂巖試件為圓柱體，直徑均為50 mm，其高度和內(nèi)孔直徑見表2。利用式（1）、（2）和（15）分別得到強度值T、TT和σ。

表2 不同內(nèi)外徑比ρ時的σT、σTT和σθ值對比

注：=0時，試件是實心圓柱體，為巴西圓盤試驗

巴西圓盤試驗廣泛應(yīng)用于測量脆性材料的抗拉強度，因此，文中將TT、σ與T作對比。在表2中，TT值比T平均值大6倍以上，兩者相差太大，TT值不宜作為脆性材料的抗拉強度值；當(dāng)=0.092時，σ平均值與T平均值十分接近，誤差不到1%；當(dāng)=0.142時，σ平均值與T平均值也十分接近，誤差不到1%。由此說明，對于圓環(huán)巴西試驗，使用建議公式（15）計算巖石類脆性材料的抗拉強度是可行的。

4 結(jié)語

[1] MOHAMMAD D, FERAS F, HANI A, et al. Suggested Methods for Determining Tensile Strength of Rock Materials[J]. International Journal of Rock Mechanics & Mining Science & Geomechanics Abstracts, 1978, 15(15): 99-103.

[2] SL 264—2001, 水利水電工程巖石試驗規(guī)程[S].

[3] HUDSON J A, BROWN E T, RUMMEL F. The Controlled Failure of Rock Discs and Rings Loaded in Diametral Compression[J]. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences & Geomechanics Abstracts, 1972, 9(2): 241-248.

[4] HOBBS D W. An Assessment of a Technique for Determining the Tensile Strength of Rock[J]. British Journal of Applied Physics, 2002, 16(2): 259.

[5] 尤明慶, 陳向雷, 蘇承東. 干燥及飽水巖石圓盤和圓環(huán)的巴西劈裂強度[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報, 2011, 30(3): 464-472.

[6] DI-YUAN L I, WANG T, CHENG T J, et al. Static and Dynamic Tensile Failure Characteristics of Rock Based on Splitting Test of Circular Ring[J]. Transactions of Nonferrous Metals Society of China, 2016, 26(7): 1912-1918.

[7] 尤明慶, 蘇承東. 砂巖孔道試樣壓拉應(yīng)力下強度和破壞的研究[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報, 2010, 29(6): 1096-1105.

[8] 朱萬成, 馮丹, 周錦添, 等. 圓環(huán)試樣用于巖石間接拉伸強度測試的數(shù)值試驗[J]. 東北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2004, 25(9): 899-902.

[9] 王來貴, 趙娜, 周永發(fā). 巖石圓環(huán)試件拉張破裂結(jié)構(gòu)演化有限元模擬[J]. 自然科學(xué)進展, 2009, 19(4): 467-472.

[10] LIU K, LIU B, LIU W. Numerical Study on Size Effect of Ring Specimen under Brazilian Test[C]// International Young Scholars' Symposium on Rock Mechanics. [s. l.]: [s. n.], 2008.

[11] 劉文彬, 唐春安, 張后全. 圓環(huán)試樣內(nèi)徑對抗拉強度的影響[J]. 巖土工程技術(shù), 2004, 18(6): 286-290.

[12] CHIANESE R B, ERDLAC R J. The General Solution to the Distribution of Stresses in a Circular Ring Compressed by Two Forces Acting Along a Diameter[J]. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 1988, 41(2): 239-247.

Proposed Formula for Tensile Strength of Ring Brazil Test

WANG Jie, TAO Jun-lin, GUO Hui

(School of Civil Engineering and Architecture, Southwest University of Science and Technology, Mianyang 621010, China)

To propose a formula for the tensile strength of the ring Brazil test and eliminate the problem that the calculated values obtained by the Hobbs formula are generally larger.The stress solution of the Brazilian test ring was analyzed and the sandstone experiment data for verification was cited.The proposed formula of the tensile strength of the ring Brazil test was obtained; the tensile strength obtained through the Hobbs formula was six times more than that of the Brazilian disc test; and the tensile strength obtained through the proposed formula was very close to the Brazilian disc test with an error of less than 1%.The proposed formula can be used to calculate the tensile strength of brittle materials when the inner and outer diameter ratioof the ring specimen is in the range of 0.05 to 0.15.

ring specimen; splitting test; tensile strength formula

10.7643/ issn.1672-9242.2019.02.009

TB122

A

1672-9242(2019)02-0042-05

2018-10-17；

2018-11-17

王杰（1994—），男，重慶人，碩士研究生，主要研究方向為脆性材料劈拉力學(xué)性能。

陶俊林（1972—），男，四川人，博士，教授，主要研究方向為材料和結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為。