江蘇揚(yáng)州市邗江區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 黃 彪

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：讓學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界。 這是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)。 在數(shù)學(xué)素養(yǎng)為導(dǎo)向的當(dāng)下要實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)，需要從完整學(xué)習(xí)的理念出發(fā)，用融通的思維來(lái)開(kāi)展實(shí)踐， 具體來(lái)說(shuō)就是不局限于過(guò)去靜態(tài)的、事實(shí)性的、結(jié)論性的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，改變過(guò)去將認(rèn)知、情感和態(tài)度等方面對(duì)立起來(lái)的二元論，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是認(rèn)知的過(guò)程，還是一個(gè)讓學(xué)習(xí)者全部身心和精神都真正參與進(jìn)來(lái)的過(guò)程，主要可從以下四個(gè)方面開(kāi)展實(shí)踐。

一、縱橫交融，讓學(xué)生察而有真覺(jué)

問(wèn)題是思維的觸發(fā)器，有了問(wèn)題，學(xué)生的數(shù)學(xué)探索才會(huì)開(kāi)始，數(shù)學(xué)研究才會(huì)深入，也才會(huì)有創(chuàng)新的火花展現(xiàn)。 要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光，就要引導(dǎo)學(xué)生積極面對(duì)各式各樣的問(wèn)題情境，包括顯性情境和隱性情境，從中發(fā)現(xiàn)并提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題。 然而，現(xiàn)有的實(shí)踐研究主要集中于啟發(fā)學(xué)生根據(jù)顯性情境中的已知條件提出問(wèn)題，并分析、解答，這樣的反復(fù)訓(xùn)練，一方面學(xué)生容易形成固化的模式和“條件反射”，另一方面由于對(duì)生活直觀的過(guò)多依賴(lài)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)缺少深刻理解，難以建構(gòu)起整體的聯(lián)系。 實(shí)際上，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)更多地鼓勵(lì)學(xué)生從學(xué)習(xí)現(xiàn)狀（即隱性情境）出發(fā)，自疑自問(wèn)，真疑真問(wèn)，隨疑隨問(wèn)，讓每一次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)都精準(zhǔn)，每一次數(shù)學(xué)信息的汲取都鮮活。 這就需要教師幫助學(xué)生在面對(duì)新問(wèn)題時(shí)，能對(duì)學(xué)情做自我審視和理性判斷，并引領(lǐng)他們根據(jù)具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)進(jìn)程，靈活地在不同學(xué)習(xí)方式間作選擇，主要包括兩個(gè)方面：一是橫向數(shù)學(xué)化，即基于生活經(jīng)驗(yàn)，把生活世界自然地引向數(shù)學(xué)世界；二是縱向數(shù)學(xué)化，即在數(shù)學(xué)世界里實(shí)現(xiàn)知識(shí)的重組、方法的重構(gòu)和思想的重塑，并付諸應(yīng)用，以真起點(diǎn)引發(fā)前行內(nèi)驅(qū)，在真體驗(yàn)中獲得真知真覺(jué)。

以蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元教學(xué)為例， 這部分內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)兩、三位數(shù)乘一位數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法，能為今后學(xué)習(xí)更多位乘數(shù)的乘法計(jì)算、四則混合運(yùn)算以及解決與之相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。 本單元的主要內(nèi)容包括：兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算、兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的筆算、兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位）的筆算和乘數(shù)末尾有0的乘法等。其中，理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法是重點(diǎn)。 考慮到學(xué)生對(duì)多位數(shù)乘一位數(shù)的知識(shí)有所遺忘，筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)掌握乘的順序和寫(xiě)的方法均需要以算理為支撐，學(xué)生理解上有難度，在教學(xué)兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算和兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的筆算時(shí)，可選擇橫向數(shù)學(xué)化的方式，即從教材中的生活情境引入， 讓學(xué)生提出問(wèn)題并得出算式，算法探究過(guò)程中再借助生活情境幫助學(xué)生理解算理，掌握算法，繼而實(shí)現(xiàn)從生活世界到數(shù)學(xué)世界的自然銜接。 以此為基礎(chǔ)，為避免學(xué)生受到非本質(zhì)因素的干擾，讓新舊知識(shí)的鏈接和數(shù)學(xué)思維的銜接有連續(xù)性，在教學(xué)兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位）的筆算和乘數(shù)末尾有0的乘法時(shí)， 可去除書(shū)中情境引領(lǐng)學(xué)生作縱向數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)，直接從“不進(jìn)位”過(guò)渡到“進(jìn)位”，讓學(xué)生在自主嘗試中獲得體驗(yàn)并產(chǎn)生疑問(wèn)，如今天學(xué)習(xí)的兩位數(shù)乘兩位數(shù)和前面有何不同？ 出現(xiàn)進(jìn)位了該怎么辦？ 第一個(gè)乘數(shù)和第二個(gè)乘數(shù)末尾的0相乘可否省略？ 直接關(guān)注數(shù)學(xué)本身，直接叩擊知識(shí)本質(zhì)。 如此，通過(guò)教師縱橫交錯(cuò)的教，去實(shí)現(xiàn)學(xué)生靈活多變的學(xué)，學(xué)習(xí)效率會(huì)明顯提高，也有益于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

二、感理交融，讓學(xué)生思后有深悟

數(shù)學(xué)教學(xué)中的感性主要指具體形象思維，理性主要指抽象邏輯思維。 小學(xué)生的思維發(fā)展正處于具體形象思維向抽象邏輯思維的過(guò)渡階段，這就意味著教學(xué)時(shí)兩者不能彼此割裂， 既要在銜接上下功夫，又要在理性思考能力的提升上動(dòng)腦筋。 然而，現(xiàn)實(shí)中不少數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)主要基于規(guī)律的猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)，即便證明也僅限于操作和舉例。 要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，就要強(qiáng)化感性認(rèn)識(shí)與理性思考的有機(jī)結(jié)合，突出對(duì)數(shù)學(xué)信息的深加工。 具體來(lái)說(shuō)，要引領(lǐng)學(xué)生既能擺脫直觀多做理性思考，又能在理性思考時(shí)借助直觀作多元表征，并靈活地解決疑難問(wèn)題。

如在教學(xué)圓柱的特征時(shí)，學(xué)生通過(guò)觀察很容易發(fā)現(xiàn)圓柱的兩個(gè)底面是相等的， 關(guān)鍵是如何證明。通常有兩種方法：一是比一比，將圓柱實(shí)物的蓋子取下與另一個(gè)底面作比對(duì)，根據(jù)完全重合證明兩底面相等；二是量一量，借助直尺和細(xì)繩，度量?jī)蓚€(gè)底面的直徑或周長(zhǎng)， 由直徑或周長(zhǎng)相等得出面積相等。 如果教學(xué)止步于此，學(xué)生的思維缺乏嚴(yán)密性，抽象邏輯思維很難得到發(fā)展。 實(shí)際上教學(xué)可更進(jìn)一步：首先鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)在“比一比”“量一量”的過(guò)程中容易出現(xiàn)誤差，繼而引發(fā)理性思考“還有更好的證明方法嗎？ ”接著出示一個(gè)長(zhǎng)方形，適當(dāng)配以動(dòng)畫(huà)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生想象長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)形成圓柱的過(guò)程； 最后基于學(xué)生想象讓學(xué)生在推理中發(fā)現(xiàn)：長(zhǎng)方形的寬就是圓柱的底面半徑，由半徑相等得出底面相等。 如此安排，學(xué)生經(jīng)歷了動(dòng)手操作—?jiǎng)幽X想象—數(shù)學(xué)推理的全過(guò)程，思維從感性向理性螺旋式推進(jìn)，領(lǐng)悟深刻。 今后在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，學(xué)生會(huì)自然地從體積計(jì)算公式出發(fā)，配合腦海中呈現(xiàn)的立體圖形表象，尋找到相關(guān)信息，輕松解決問(wèn)題。

三、內(nèi)外交融，讓學(xué)生言里有底氣

從某種意義上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。 數(shù)學(xué)語(yǔ)言作為數(shù)學(xué)思維的載體，在學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成過(guò)程中具有重要價(jià)值。 從信息加工論的觀點(diǎn)來(lái)看，人的知識(shí)體系一般需要經(jīng)歷信息輸入—信息加工—信息輸出的過(guò)程才能形成，數(shù)學(xué)教學(xué)往往止步于第二階段，學(xué)生聽(tīng)懂即行，會(huì)做即可。 殊不知聽(tīng)懂不一定能融會(huì)貫通， 會(huì)解題往往只是重復(fù)加工，真正意義上的信息輸出并未形成。 培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，正是實(shí)現(xiàn)信息輸出的重要方式之一。 需要注意的是，數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種高度抽象的人工符號(hào)系統(tǒng)，兒童在學(xué)習(xí)時(shí)必然存在難度，教學(xué)時(shí)要注意內(nèi)外交融：向內(nèi)提升學(xué)生的理解力，可通過(guò)強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)促理解，借助文字、符號(hào)和圖形的多元表征促理解，靈活運(yùn)用變式比較，演繹推理，類(lèi)比遷移等方法促理解；向外培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)力，教師要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)交流與表達(dá)的機(jī)會(huì)，激發(fā)他們表達(dá)的自主能動(dòng)性，引導(dǎo)他們從正確表達(dá)、清楚表達(dá)，走向數(shù)學(xué)表達(dá)。

以常見(jiàn)的問(wèn)題解決為例，如“學(xué)校買(mǎi)了8套課桌椅共花了1440元， 每張課桌120元， 每把椅子多少元？ ”正確表達(dá)一般直接指向結(jié)果，主要表現(xiàn)為面對(duì)問(wèn)題能列出算式，并說(shuō)出每一步算的是什么。 清楚表達(dá)既指向結(jié)果，也指向過(guò)程，主要表現(xiàn)為能用分析法或綜合法闡述自己的想法和相應(yīng)的做法，必要時(shí)配以圖示說(shuō)明。 數(shù)學(xué)表達(dá)則是引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的模式與方法呈現(xiàn)真實(shí)問(wèn)題中的關(guān)系， 建立數(shù)學(xué)模型，并能完整而有邏輯地作解析。 上述問(wèn)題教師可以從以下四個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)：一是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)量關(guān)系分析和數(shù)據(jù)觀察，與相遇問(wèn)題產(chǎn)生溝聯(lián)；二是說(shuō)出此問(wèn)題與相遇問(wèn)題的共同特點(diǎn)及對(duì)應(yīng)關(guān)系；三是建立數(shù)學(xué)模型“AB＋AC＝S”，列方程求解并驗(yàn)證；四是基于此模型創(chuàng)編新問(wèn)題并作解析說(shuō)明。

考慮到任何一種語(yǔ)言都需要以普通語(yǔ)言（學(xué)生日常生活的語(yǔ)言）為解釋系統(tǒng)，數(shù)學(xué)語(yǔ)言也是如此，因此在教學(xué)時(shí)要加強(qiáng)兩種語(yǔ)言的互譯，主要包括兩個(gè)方面：一是將普通語(yǔ)言數(shù)學(xué)化。 如每袋大米的價(jià)錢(qián)×大米的袋數(shù)＝購(gòu)買(mǎi)大米總共付出的錢(qián)，諸如此類(lèi)的語(yǔ)言均可表達(dá)為單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)。 如此轉(zhuǎn)換，除了準(zhǔn)確、嚴(yán)密、簡(jiǎn)明外，還能幫助學(xué)生用一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)解決多個(gè)實(shí)際問(wèn)題。 二是將數(shù)學(xué)語(yǔ)言普通化。 有些數(shù)學(xué)語(yǔ)言口頭表達(dá)有難度，翻譯成普通語(yǔ)言后學(xué)生會(huì)感到通俗易懂，便于交流。 如加法結(jié)合律是小學(xué)數(shù)學(xué)五大基本定律之一，用文字?jǐn)⑹龌蛴煤蟹?hào)的式子表示均顯冗長(zhǎng)，小學(xué)生難以表述清楚，很多時(shí)候都是死記硬背，時(shí)間一長(zhǎng)容易混淆或遺忘， 在單元復(fù)習(xí)時(shí)可鼓勵(lì)學(xué)生用自己的話說(shuō)說(shuō)對(duì)加法結(jié)合律的新理解。 如“只要是連加，隨便哪兩個(gè)數(shù)先加結(jié)果都一樣”“在加減混合運(yùn)算中，可以先算出一共要加多少，再算出一共要減去多少，最后再把兩個(gè)結(jié)果相減”， 這樣既鞏固了學(xué)生對(duì)加法結(jié)合律的理解，也引發(fā)了學(xué)生由三個(gè)數(shù)連加向多個(gè)數(shù)連加以及加減混合運(yùn)算作延伸思考，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生對(duì)加法交換律和結(jié)合律的綜合運(yùn)用和靈活運(yùn)用。 實(shí)踐告訴我們，當(dāng)學(xué)生能用普通語(yǔ)言陳述概念的定義和介紹概念的本質(zhì)屬性時(shí)，他們對(duì)概念的理解大多比較深刻。 由此可以看出，內(nèi)在的理解與外在的表達(dá)是相輔相成的，只有理解有深度，表達(dá)才會(huì)有邏輯，顯底氣。

四、動(dòng)靜交融，讓學(xué)生心中有熱情

從以上三個(gè)方面可以清楚地看出，“三會(huì)”目標(biāo)的培養(yǎng)都必須以發(fā)展思維為核心，但都離不開(kāi)外部因素的刺激和牽引， 對(duì)小學(xué)生而言這固然必要，然而，數(shù)學(xué)素養(yǎng)終究要成為學(xué)生自己能帶走的、隨時(shí)用得上的精神財(cái)富，如何讓學(xué)生從“被思維”走向真正意義上的“自思維”至關(guān)重要。 教師在教學(xué)過(guò)程中要有意識(shí)地做到動(dòng)靜交互：“動(dòng)”是指學(xué)生在外部指令下能迅速地做出反應(yīng)，主要表現(xiàn)為教師提問(wèn)后能快速思考作答，學(xué)生發(fā)言時(shí)能快速判斷，依據(jù)要求能快速完成操作，等等，日常教學(xué)中這方面的情況總體較好；“靜”是指學(xué)生在獨(dú)立面對(duì)問(wèn)題情境、他人觀點(diǎn)，特別是學(xué)習(xí)遇阻時(shí)能靜思默想，理性辨析，智慧取舍，在百折不撓中完成學(xué)習(xí)任務(wù)，這是當(dāng)前教學(xué)中最為或缺的。

教師可從多層面予以重視：一是創(chuàng)設(shè)學(xué)生獨(dú)立啟學(xué)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生知道該從哪兒出發(fā)。 如新授時(shí)經(jīng)常發(fā)現(xiàn)很多內(nèi)容學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)，教師就不能按原定計(jì)劃開(kāi)展教學(xué)， 可以讓學(xué)生自己思考研究方案，自己選擇研究方法，靜靜地走進(jìn)“最近發(fā)展區(qū)”。 二是給予學(xué)生深度研學(xué)的空間，讓學(xué)生擁有思維跌宕后的快樂(lè)體驗(yàn)。 教學(xué)時(shí)可多用大問(wèn)題引領(lǐng)，讓學(xué)生不疲于應(yīng)付，自我找尋深入思考的適切點(diǎn)，在不斷迂回與調(diào)整中選擇有效策略實(shí)現(xiàn)問(wèn)題攻堅(jiān)，在靜悟中積累數(shù)學(xué)探究經(jīng)驗(yàn)。 三是培養(yǎng)學(xué)生積極反思的習(xí)慣，讓學(xué)生擁有不斷前行的動(dòng)力。 學(xué)生有效思考時(shí)間越長(zhǎng)，越有益于思維水平往高處發(fā)展，越有益于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。 教師應(yīng)經(jīng)常性提醒學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)做深刻內(nèi)省，重點(diǎn)聚焦學(xué)習(xí)中的痛點(diǎn)，如第一次操作為什么沒(méi)成功？ 后來(lái)怎么調(diào)整的？ 以后要注意什么？ 課上要堅(jiān)持獨(dú)立思考基礎(chǔ)上的集中交流，課后要強(qiáng)化哲學(xué)意義上的反復(fù)考量，讓“這樣肯定對(duì)嗎？ ”“只能這樣嗎？ ”成為思辨的常態(tài)，在靜省中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由課內(nèi)向課外展延，從而獲得持久的學(xué)習(xí)熱情，這股熱情將激發(fā)學(xué)生在發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的道路上越走越遠(yuǎn)。