鄭 暉

（大連廣播電視大學(xué)，遼寧 大連 116021）

0 引言

成橋合理狀態(tài)是斜拉橋設(shè)計(jì)過(guò)程中需要確定的一個(gè)非常重要的結(jié)構(gòu)受力問(wèn)題，也是判斷斜拉橋設(shè)計(jì)好壞的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。現(xiàn)代斜拉橋結(jié)構(gòu)類型多為高次超靜定結(jié)構(gòu)，索力的大小及其變化對(duì)成橋狀態(tài)下的主梁、主塔等結(jié)構(gòu)的受力影響很大。斜拉橋的拉索索力在恒載作用下可以調(diào)節(jié)，在斜拉橋結(jié)構(gòu)布置已經(jīng)確定的情況下，通過(guò)調(diào)整索力便可以找到一組索力使結(jié)構(gòu)反映受力性能的指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。因而，斜拉橋的索力優(yōu)化便成為合理成橋狀態(tài)確定過(guò)程中的關(guān)鍵問(wèn)題。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)斜拉橋索力優(yōu)化理論做了大量卓有成效的研究[1-7]，提出了許多的方法。于玲[1]等采用了基于復(fù)合約束的最小能量法，運(yùn)用顯示梯度的數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行求解。黃慶祥[2]采用大型通用有限元程序Midas/Civil，利用零位移法對(duì)某斜拉橋進(jìn)行合理成橋狀態(tài)分析。陳從春[3]等提出了基于拉索和預(yù)應(yīng)力鋼筋費(fèi)用最小的索力優(yōu)化方法，用大型有限元軟件ANSYS和APDL語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)了這一功能并進(jìn)行了實(shí)橋驗(yàn)算。姜濤等[4]提出采用基于應(yīng)力可行域法的斜拉橋合理成橋狀態(tài)確定方法，以主梁恒載的應(yīng)力可行域來(lái)控制斜拉橋成橋狀態(tài)下主梁的受力狀態(tài)，可以簡(jiǎn)單直觀地判斷出主梁的受力是否滿足要求。陰文蔚[5]以全橋主梁所配預(yù)應(yīng)力筋總量最少為目標(biāo)函數(shù)，以恒活載共同作用下的塔梁索的應(yīng)力作為約束條件，并采用約束變尺度法進(jìn)行求解的應(yīng)力優(yōu)化法。

上述研究所提出的方法均未能全面考慮主梁橋塔和斜拉索在恒載作用下的變形及受力狀態(tài)，且按單一的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算過(guò)程比較繁瑣，且都有局限性。鑒于此本文以影響矩陣?yán)碚摓榛A(chǔ)通過(guò)有限元軟件對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力分析得到符合線性疊加理論的影響矩陣建立斜拉橋調(diào)索分析的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，然后利用序列二次規(guī)劃算法探索一種高效自動(dòng)地索力優(yōu)化的方案。最后將此方法運(yùn)用于某斜拉橋有限元分析中經(jīng)計(jì)算驗(yàn)證了該調(diào)索方法的有效性。

1 影響矩陣法的基本原理

斜拉橋結(jié)構(gòu)的索力優(yōu)化需要能考慮各種因素的影響，又能兼顧多種目標(biāo)函數(shù)，基于此想法，同濟(jì)大學(xué)肖汝誠(chéng)[8]將廣義影響矩陣的概念引入斜拉橋的索力優(yōu)化中，提出了影響矩陣法。一般在有限元分析的基礎(chǔ)上，基于建立好的有限元模型，以單位荷載的施調(diào)向量作用于模型上，獲得結(jié)構(gòu)狀態(tài)（受調(diào)向量{A})和在索力(施調(diào)向量{X}）作用下的影響矩陣{B}，并以結(jié)構(gòu)狀態(tài)（結(jié)構(gòu)線性、內(nèi)力及支座反力等）表達(dá)式構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)和約束條件的表達(dá)式，進(jìn)行優(yōu)化求解。

2 斜拉橋成橋索力優(yōu)化模型的建立

斜拉橋索力優(yōu)化的目的是使斜拉橋成橋狀態(tài)合理，包括受力狀態(tài)合理和線性狀態(tài)合理。前者是指主梁、橋塔、斜拉索及橋墩等的受力狀態(tài)下斜拉橋的力學(xué)性能能滿足承載能力極限和正常使用極限的要求，且各項(xiàng)指標(biāo)分布均勻；后者是要求保證主梁的成橋線型合理。此外，考慮經(jīng)濟(jì)原因的要求，還需在上述兩者成立的情況下總造價(jià)接近最小。

一般不等式約束優(yōu)化問(wèn)題可表示為：

式中：f（x）為目標(biāo)函數(shù)；x為設(shè)計(jì)變量；I為下標(biāo)合集；gj（x）為約束函數(shù)；j為對(duì)約束函數(shù)的編號(hào)。

（1）目標(biāo)函數(shù)選?。河捎诤侠沓蓸驙顟B(tài)量中，受力狀態(tài)起關(guān)鍵作用，故目標(biāo)函數(shù)選為主梁應(yīng)變能和橋塔應(yīng)變能之和。這項(xiàng)指標(biāo)達(dá)到最小不僅可以考慮主梁和橋塔的彎矩，還可以全面表結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力狀態(tài)，使優(yōu)化后得到的整個(gè)結(jié)構(gòu)內(nèi)力分布均勻并且達(dá)到最小值。通過(guò)有限元離散模型來(lái)建立目標(biāo)函數(shù)如下：

式中：n為結(jié)構(gòu)單元總數(shù)；X為擬調(diào)向量，本文選取索力為擬調(diào)向量；CL、CR分別表示索力對(duì)左右端彎矩的影響矩陣；Li、Ei、Ii分別表示i號(hào)單元的桿件長(zhǎng)度、彈模、截面慣性矩；MLi、MRi分別表示調(diào)索后單元的左右端彎矩；ML0、MR0分別表示調(diào)索前單元的左右端彎矩。

（2）約束條件的選?。菏紫瓤紤]斜拉橋中最重要的斜拉索其強(qiáng)度和疲勞的問(wèn)題，對(duì)索力最大最小限值進(jìn)行規(guī)定，且考慮實(shí)際工程意義，拉索的初始張拉力及正常使用過(guò)程中的索力都應(yīng)為正值。其次，斜拉橋各結(jié)構(gòu)構(gòu)件的計(jì)算變形情況能較直接地反應(yīng)斜拉橋的設(shè)計(jì)的合理性，因此對(duì)橋塔的塔頂進(jìn)行橫向位移約束，橋塔可以向岸側(cè)留有一定的預(yù)偏值，主梁與斜拉索相交的位置應(yīng)進(jìn)行豎向位移約束。

式中：gj（x）為約束函數(shù)；j為對(duì)約束函數(shù)的編號(hào)。

3 基于序列二次規(guī)劃算法的自動(dòng)調(diào)索和技術(shù)路線

求解約束優(yōu)化問(wèn)題的算法中序列二次規(guī)劃法是最有效的算法中的一種，自從Wilson首次提出此方法以來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了廣泛和深入的研究。本文擬采用基于可行方向法結(jié)合序列二次規(guī)劃法的強(qiáng)次可行SQP法[9]進(jìn)行優(yōu)化求解，該算法保證有限次迭代計(jì)算后，迭代點(diǎn)進(jìn)入可行域。通過(guò)構(gòu)造了一個(gè)Armijio曲線搜索和兩個(gè)由含相同逆矩陣構(gòu)造的新的顯示修正方向，減少了算法的迭代計(jì)算量，其算法原理如下：

對(duì)于第k個(gè)迭代點(diǎn)xk?Rn，作如下記號(hào)和定義。

（1）可以通過(guò)求解公式（13）的二次規(guī)劃子問(wèn)題，來(lái)求解不等式約束優(yōu)化問(wèn)題（5），最終得到主搜索方向。

式中：Bk?Rnxn是問(wèn)題（5）的拉格朗日函數(shù)在xk處的Hessen陣的近似。

（2）由于問(wèn)題（13）總有可行解d=0,是其最優(yōu)化解，但其不一定是一個(gè)可行方向，本算法中利用廣義投影技術(shù)求得新的改進(jìn)顯示修正方向dk,并給出新的高階顯示修正方向d~k，具體計(jì)算公式詳見(jiàn)文獻(xiàn)[9]。

（3）設(shè)計(jì)變量的迭代公式為

式中:步長(zhǎng)λk通過(guò)構(gòu)建的一個(gè)新型Armijio曲線搜索得到。

（4）當(dāng)（，φk）=（0,0）時(shí)，xk是問(wèn)題（5）的最優(yōu)解。

如上所述，斜拉橋設(shè)計(jì)中斜拉橋的索力優(yōu)化是其關(guān)鍵問(wèn)題，也是進(jìn)行全橋內(nèi)力分析的必要前期工作。利用強(qiáng)次可行SQP法建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型來(lái)進(jìn)行斜拉橋索力自動(dòng)優(yōu)化求解，可大幅度減少手算的工作量和盲目性，實(shí)現(xiàn)高效的全局最優(yōu)求解。且通過(guò)MIDAS的建模功能與EXCEL的交互處理，可方便的實(shí)現(xiàn)算法的自動(dòng)優(yōu)化求解[10]，技術(shù)路線及具體的流程見(jiàn)圖1。

圖1 計(jì)算流程圖

4 工程算例

4.1 工程概況

以某雙塔單索面三跨混凝土斜拉橋?yàn)檠芯繉?duì)象，橋梁全長(zhǎng)265 m，橋跨布置為70 m+125 m+70 m。斜拉索采用扇形布置，共24根索。采用板式邊主梁的主梁截面形式，主梁截面寬度35 m，端部高度1 m，橋塔采用變截面空心箱形截面，材料均選用混凝土，具體特性見(jiàn)表1。

表1 構(gòu)件材料特性、幾何特性表

4.2 計(jì)算模型

選用MIDAS/CIVIL建立斜拉橋有限元模型，全橋采用魚骨模型。共有69個(gè)節(jié)點(diǎn)，66個(gè)梁?jiǎn)卧?4個(gè)桁架單元。邊界條件采用固定邊界，斜拉橋布置見(jiàn)圖2，拉索從左到右依次編號(hào)為T6～T1，T7～T12，T12～T7，T1～T6。建模過(guò)程將主梁?jiǎn)卧L(zhǎng)度劃分為一致，可以減少后續(xù)工作的計(jì)算量。

圖2 斜拉橋立面布置

優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)選取成橋主梁和橋塔的彎曲應(yīng)變能之和，約束條件為索力范圍采取規(guī)范要求的材料上下極限，主梁與斜拉索交點(diǎn)的豎向允許位移為10 mm，橋塔塔頂變位合理,設(shè)定順橋向允許位移為10 mm。

4.3 結(jié)果分析

由于結(jié)構(gòu)對(duì)稱，僅取一半結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，經(jīng)過(guò)優(yōu)化計(jì)算得到主梁與橋塔的最小彎曲應(yīng)變能之和最小時(shí)的成橋索力，優(yōu)化前后索力對(duì)比見(jiàn)圖3。

圖3 優(yōu)化前后索力對(duì)比

由圖3可以看出強(qiáng)次可行SQP法與最小彎曲能法計(jì)算出的索力與設(shè)計(jì)索力分布較為吻合，零位移法計(jì)算得到的索力，整體分布不均勻，且同設(shè)計(jì)索力相差較大。其中強(qiáng)次可行SQP法計(jì)算得到的索力最為合理，從短索至長(zhǎng)索索力逐步增大，最大索力為邊跨第5號(hào)索，值為7 926 kN，最小值發(fā)生于中跨第7號(hào)索，索力5 225 kN，所得索力與設(shè)計(jì)索力一致且偏差較小，基本差值在5%以內(nèi)。

最優(yōu)成橋狀態(tài)主梁彎矩見(jiàn)圖4。由圖4可以看出三種算法整體主梁彎矩分布都較均勻，零位移法由于僅考慮拉索和主梁交點(diǎn)處位移為零，故在靠近主塔部位主梁彎矩有較大突變。最小彎曲能量法是無(wú)約束的優(yōu)化方法，僅考慮全橋彎曲能量最小，相較于強(qiáng)次可行SQP法計(jì)算得到的彎矩，整體偏大，后者主梁所受彎矩整體分布均勻且較小，拉索范圍內(nèi)主梁彎矩值均在5 000 kN·m內(nèi)，此種受力狀態(tài)可以充分的保證主梁的承載能力和跨越能力。最大彎矩處于拉索范圍外，未經(jīng)過(guò)拉索調(diào)節(jié)，工程中一般通過(guò)在主梁端部添加輔助墩來(lái)減小彎矩突變。

圖4 優(yōu)化后主梁彎矩

橋梁的主塔作為受壓構(gòu)件，索力優(yōu)化后，其受力接近于軸壓狀態(tài)，減少其因局部彎矩過(guò)大而造成的破壞，橋塔彎矩如圖5所示。最小彎曲能量法和零位移法由于僅考慮主梁的目標(biāo)優(yōu)化，故計(jì)算得到的主塔塔根彎矩偏大，受力不均勻，最大塔根彎矩分別達(dá)1 500 kN·m和3 600 kN·m。強(qiáng)次可行SQP法計(jì)算得到主塔彎矩較小，主塔受力狀態(tài)接近軸壓狀態(tài)，最大塔根彎矩為-479.56 kN·m，相較前兩種算法大大減小。

最終成橋狀態(tài)主梁豎向位移見(jiàn)圖6。由圖6可知，由于零位移法其優(yōu)化目標(biāo)便是主梁節(jié)點(diǎn)位移為零，故其豎向位移分布接近于零軸。強(qiáng)次可行SQP法和最小彎曲能量法計(jì)算得到的主梁位移圖對(duì)比，兩者主梁均有向下的撓度，前者最大撓度為5.5 mm，后者最大值為9.6 mm，均小于約束條件中設(shè)定的10 mm限值。但是整體變形情況，前者比后者小且均勻。

圖5 橋塔軸力圖

圖6 主梁豎向位移

5 結(jié)語(yǔ)

本文以精確性、高效性為原則，便于工程實(shí)用性為目的，基于響應(yīng)矩陣原理結(jié)合序列二次規(guī)劃法求解斜拉橋的索力優(yōu)化問(wèn)題，結(jié)果表明優(yōu)化過(guò)程穩(wěn)定、高效、無(wú)需人工干預(yù)便可獲得合理的拉索拉力，索力分布均勻，基本隨著長(zhǎng)度增長(zhǎng)。彎曲應(yīng)變能作為目標(biāo)函數(shù)并考慮多種不同的約束工況，更全面的考慮了整體結(jié)構(gòu)對(duì)拉索索力的影響，優(yōu)化結(jié)果主梁線性平順，主梁內(nèi)力均勻且符合規(guī)范要求，主塔充分發(fā)揮受壓能力。本文方法簡(jiǎn)單、有效，可較容易實(shí)現(xiàn)程序化，可以為同類型的斜拉橋索力優(yōu)化提供一種新的求解方案。