段寧寧，余 立

(1.福建師范大學(xué)福清分校 海洋與生化工程學(xué)院，福州 350300；2.食品軟塑包裝技術(shù)福建省高校工程研究中心，福州 350300)

上世紀(jì)40年代，脆值的定義第一次被Mindlin[1]提出，但難以對(duì)其進(jìn)行精準(zhǔn)地確定；60年代，Newton[2]在該定義的基礎(chǔ)上提出破損邊界；70年代，Newton的理論被應(yīng)用到ASTM標(biāo)準(zhǔn)中?？紤]到產(chǎn)品的破損不僅與沖擊加速度最值也與振動(dòng)疲勞損壞、產(chǎn)品過(guò)度變形等有關(guān)，Burgess[3]和王振林[4]分別提出疲勞損壞邊界、位移損壞邊界。王志偉[5-6]、王蕾[7]進(jìn)一步將上述理論應(yīng)用到非線性緩沖系統(tǒng)并探討其在典型波下的沖擊響應(yīng)和破損邊界。針對(duì)運(yùn)輸過(guò)程中作為導(dǎo)致產(chǎn)品破損主要因素之一的跌落沖擊，王志偉、胡長(zhǎng)鷹、盧富德等研究了非線性系統(tǒng)在典型波作用下的跌落破損邊界[8-11]。由于產(chǎn)品受到撞擊時(shí)會(huì)在關(guān)鍵件部位率先發(fā)生破損，王軍、王志偉、陳安軍等提出破損邊界曲面，并討論相關(guān)參數(shù)對(duì)非線性系統(tǒng)關(guān)鍵件的破損評(píng)價(jià)[12-15]。

根據(jù)目前對(duì)斜支承系統(tǒng)的研究發(fā)現(xiàn)，其具有優(yōu)良的減振效果[16-17]，孔凡玲、吳曉等研究了斜支承系統(tǒng)在典型波下的沖擊特性和位移激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)[18-20]，嚴(yán)敏等[21-23]分別采用變分迭代法、Runge-Kutta法探討跌落工況下相關(guān)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)位移和加速度響應(yīng)、跌落破損邊界的影響。針對(duì)考慮關(guān)鍵件的斜支承系統(tǒng)，徐佩霞、陳安軍等就系統(tǒng)關(guān)鍵件的振動(dòng)特性以及典型波作用下的沖擊響應(yīng)與破損評(píng)價(jià)進(jìn)行研究[24-30]，而對(duì)于系統(tǒng)關(guān)鍵件的跌落破損評(píng)價(jià)未見(jiàn)有人研究。

本文建立考慮關(guān)鍵件的斜支承系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型，應(yīng)用四階Runge-Kutta法求解系統(tǒng)跌落沖擊動(dòng)力學(xué)方程，分別以系統(tǒng)參數(shù)和跌落沖擊初始速度作為2個(gè)基本參量，獲得系統(tǒng)關(guān)鍵件跌落破損邊界曲線；以系統(tǒng)參數(shù)、跌落沖擊初始速度、支承角或頻率比或系統(tǒng)阻尼比作為3個(gè)基本參量，獲得跌落破損邊界曲面，探討系統(tǒng)支承角、系統(tǒng)頻率比、系統(tǒng)阻尼比等對(duì)關(guān)鍵件跌落破損邊界的影響規(guī)律。

1 動(dòng)力學(xué)微分方程及無(wú)量綱化

考慮關(guān)鍵件的斜支承雙自由度系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為如圖1所示：若內(nèi)裝物關(guān)鍵件的質(zhì)量記為m1、內(nèi)裝物主體的質(zhì)量記為m2，則m1與m2間的等效剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)記為k1、c1，m2與外包裝間的等效剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)和原長(zhǎng)記為k2、c2、l0，當(dāng)斜支承彈簧為l0時(shí)的支承角度為?0。

圖1 考慮關(guān)鍵件的斜支承雙自由度系統(tǒng)

當(dāng)包裝件在H高度自由跌落時(shí)，獲得系統(tǒng)跌落沖擊動(dòng)力學(xué)方程[31]

式中 ：頻率比λ1=，質(zhì)量比λ2=，關(guān)鍵件與主體間阻尼比，系統(tǒng)阻尼比。初始條件被無(wú)量綱化后變?yōu)?，，?/p>

由系統(tǒng)無(wú)量綱跌落沖擊動(dòng)力學(xué)方程（2）知，影響系統(tǒng)關(guān)鍵件跌落破損邊界的因素主要有支承角、頻率比、系統(tǒng)阻尼比等。

2 系統(tǒng)關(guān)鍵件跌落破損評(píng)價(jià)

2.1 關(guān)鍵件跌落破損邊界曲線

按照脆值定義中的描述，運(yùn)輸過(guò)程中為防止內(nèi)裝物發(fā)生破損，要求其加速度響應(yīng)最值不得超過(guò)脆值。即為，當(dāng)系統(tǒng)關(guān)鍵件的脆值為Ac時(shí)，內(nèi)裝物加速度響應(yīng)最值滿足。將與式（1）、式（2）相結(jié)合，得出

當(dāng)系統(tǒng)關(guān)鍵件的加速度響應(yīng)最值為脆值時(shí)，則得出

進(jìn)一步求得

設(shè)λ1=10，λ2=0.01，ζ1=0.05，ζ2=0.1，Ac=25，不同?0=600,700,800,900關(guān)鍵件跌落破損邊界曲線見(jiàn)圖2（a）。由圖知，當(dāng)減小系統(tǒng)支承角時(shí)，曲線上移，系統(tǒng)關(guān)鍵件的未損壞區(qū)增大。

設(shè)?0=700，λ2=0.01，ζ1=0.05，ζ2=0.1，Ac=25，不同λ1=2,3,5,10關(guān)鍵件跌落破損邊界曲線見(jiàn)圖2（b）。由圖知，增加頻率比，跌落沖擊初始速度V右移，系統(tǒng)參數(shù)β上移，未損壞區(qū)擴(kuò)大。

設(shè)?0=700，λ1=10，λ2=0.01，ζ1=0.05，Ac=25，不同ζ2=0.01,0.05,0.1,0.2關(guān)鍵件跌落破損邊界曲線見(jiàn)圖2（c）。由圖知，隨系統(tǒng)阻尼比的增加，曲線先上移后下移，未損壞區(qū)出現(xiàn)先擴(kuò)大后減小的趨勢(shì)，因此系統(tǒng)存在最優(yōu)的阻尼比。

圖2 關(guān)鍵件的跌落破損邊界曲線

2.2 關(guān)鍵件跌落破損邊界曲面

為進(jìn)一步較為全面地評(píng)價(jià)支承角、頻率比、系統(tǒng)阻尼比等對(duì)關(guān)鍵件跌落破損邊界的影響，取系統(tǒng)參數(shù)β、跌落沖擊初始速度V、支承角?0或頻率比λ1或系統(tǒng)阻尼比ζ2作為基本參量，獲得關(guān)鍵件跌落破損邊界曲面，利用Runge-Kutta法求解式（2），探討系統(tǒng)支承角、頻率比、系統(tǒng)阻尼比等對(duì)關(guān)鍵件跌落破損邊界曲面的影響規(guī)律。

設(shè)λ2=0.01，ζ1=0.05，ζ2=0.1，Ac=25，當(dāng)λ1=2,3,5,10時(shí)支承角對(duì)關(guān)鍵件跌落破損邊界曲面的影響見(jiàn)圖3。由圖知，隨支承角下降，曲面上移，系統(tǒng)關(guān)鍵件的未損壞區(qū)變大。

設(shè)?0=700，λ2=0.01，ζ1=0.05，Ac=25，當(dāng)ζ2=0.01,0.05,0.1,0.2時(shí)頻率比對(duì)關(guān)鍵件跌落破損邊界曲面的影響見(jiàn)圖4。由圖知，在低頻率比范圍內(nèi)，跌落破損邊界曲面出現(xiàn)較大波動(dòng)；在高頻率比范圍，跌落破損邊界曲面趨于平穩(wěn)，且隨頻率比增大，曲面上移，未損壞區(qū)增大。

設(shè)λ1=10，λ2=0.01，ζ1=0.05，Ac=25，當(dāng)?0=600,700,800,900時(shí)系統(tǒng)阻尼比對(duì)關(guān)鍵件跌落破損邊界曲面的影響見(jiàn)圖5。由圖知，系統(tǒng)存在最優(yōu)的阻尼比值；若系統(tǒng)阻尼比低于該值，則未損壞區(qū)隨阻尼比增大而增大；若系統(tǒng)阻尼比高于該值，則未損壞區(qū)隨阻尼比增大而減小。

3 結(jié)語(yǔ)

基于考慮關(guān)鍵件的斜支承雙自由度模型，在跌落動(dòng)力學(xué)方程基礎(chǔ)上，應(yīng)用四階Runge-Kutta法，獲得關(guān)鍵件的跌落破損邊界。跌落破損邊界結(jié)果顯示，跌落工況下的影響參數(shù)有支承角、頻率比、系統(tǒng)阻尼比等，分析結(jié)果表明：

（1）支承角的影響。由圖2（a）和圖3知，減小支承角有利于擴(kuò)大關(guān)鍵件的未損壞區(qū)，縮小損壞區(qū)。然而，支承角的減小會(huì)導(dǎo)致位移響應(yīng)最值增大，從而導(dǎo)致產(chǎn)品發(fā)生觸底。因此，在斜支承包裝系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，一般建議選取700≤?0<900。

（2）頻率比的影響。由圖2（b）和圖4知，當(dāng)頻率比小于5時(shí)，關(guān)鍵件未損壞區(qū)隨頻率比增大發(fā)生顯著增加；當(dāng)頻率比大于5時(shí)，隨頻率比增加，破損邊界曲線趨于穩(wěn)定，關(guān)鍵件未損壞區(qū)增加不明顯；不同于低頻率比的較大跌落破損邊界曲面波動(dòng)，高頻率比處的跌落破損邊界曲面更趨于平穩(wěn)。因此，合理選擇頻率比有利于提高斜支承系統(tǒng)的抗跌落沖擊性，一般建議λ1>5。

（3）系統(tǒng)阻尼比的影響。由圖2（c）和圖5知，系統(tǒng)阻尼比存在最優(yōu)值；低于該值時(shí)，未損壞區(qū)隨阻尼比增大而增大；高于該值時(shí)，未損壞區(qū)隨阻尼比增大而減小。因此，為提高斜支承系統(tǒng)的減振性能，應(yīng)選擇合適的系統(tǒng)阻尼比。

圖3 支承角對(duì)關(guān)鍵件跌落破損邊界曲面的影響

圖4 頻率比對(duì)關(guān)鍵件破損邊界曲面的影響

（4）系統(tǒng)參數(shù)和跌落沖擊初始速度的影響。根據(jù)β=2k2l0m2可知，減小內(nèi)裝物主體k2或彈簧原長(zhǎng)l0可獲得較小的系統(tǒng)參數(shù)β；然而，根據(jù)V=可知，減小k2或l0可獲得較大的跌落沖擊初始速度V，從而導(dǎo)致產(chǎn)品發(fā)生觸底。因此，在緩沖包裝系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過(guò)程中，應(yīng)通過(guò)有效控制內(nèi)裝物主體等效剛度系數(shù)和彈簧剛度以降低跌落沖擊初始速度，從而提高斜支承減振系統(tǒng)的抗跌落沖擊性。

圖5 系統(tǒng)阻尼比對(duì)關(guān)鍵件破損邊界曲面的影響