曾 宇，鄔玉斌，宋瑞祥，戶文成

（北京市勞動(dòng)保護(hù)科學(xué)研究所，北京 100054）

地鐵軌道既是引起列車振動(dòng)的主要振源之一，也是承擔(dān)和傳遞振動(dòng)的第一子結(jié)構(gòu)，軌道振動(dòng)的測(cè)試和分析是地鐵列車振動(dòng)環(huán)境影響預(yù)測(cè)和評(píng)估中的重要環(huán)節(jié)[1-2]。地鐵列車在駛?cè)牖蝰傠x地鐵站時(shí)處于低速行駛狀態(tài)，地鐵站附近的隧道現(xiàn)場(chǎng)環(huán)境復(fù)雜，不可避免會(huì)產(chǎn)生噪聲干擾，需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和處理以消除噪聲對(duì)評(píng)估結(jié)果產(chǎn)生的影響。

小波分析作為一種時(shí)頻分析方法，具有多分辨率分析能力，是軌道交通振動(dòng)信號(hào)分析的有效工具。胡燚斌等[3]結(jié)合小波變換和回歸分析技術(shù)分析了軌道不平順與車輛車體橫向加速度響應(yīng)的關(guān)系，找出了引起車體橫向振動(dòng)的不利波段。徐磊等[4]基于離散小波變換提取軌道不平順和車體振動(dòng)響應(yīng)各頻段信號(hào)，并利用Wigner-Hough變換導(dǎo)出了軌道不平順特征波長(zhǎng)提取公式。何越磊等[5]提出了一種基于小波變換的軌道不平順數(shù)值模擬方法，并將該方法與白噪聲濾波法、周期圖法、頻率采樣三角級(jí)數(shù)法進(jìn)行對(duì)比分析。寧迎智等[6]對(duì)軌道不平順和車體振動(dòng)加速度信號(hào)進(jìn)行連續(xù)小波變換，以小波系數(shù)作為軌道平順狀態(tài)評(píng)價(jià)指標(biāo)并以此研究軌道不平順時(shí)頻特性。董偉等[7]對(duì)車輛軸箱振動(dòng)加速度信號(hào)進(jìn)行小波包分解，基于小波包能量熵確定軌道波磨故障類型。翟國(guó)銳等[8]利用連續(xù)小波分析提取轉(zhuǎn)向架振動(dòng)加速度信號(hào)的頻域特性，用于軌道波磨的檢測(cè)和識(shí)別。丁建明等[9]對(duì)車體和構(gòu)架垂向振動(dòng)加速度進(jìn)行小波包分解，計(jì)算車輛懸掛的尺度能量傳遞特性用于車輛懸掛彈簧的故障檢測(cè)。韓晉等[10]利用小波分析對(duì)軌道檢測(cè)中的外軌超高、軌向、高低數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理，減小了軌道檢測(cè)數(shù)據(jù)中夾雜的噪聲干擾對(duì)檢測(cè)結(jié)果的影響。李智敏等[11]通過小波分析提取高速列車四種工況下振動(dòng)信號(hào)的頻率特征，用以判斷高速列車的運(yùn)行狀態(tài)。趙龍等[12]基于小波變換對(duì)高速鐵路左右軌高差和橫差的波形進(jìn)行平滑處理，提高了軌道精調(diào)過程的自動(dòng)化程度。余騰等[13]以南京地鐵2號(hào)線某區(qū)間的軌行區(qū)沉降變形數(shù)據(jù)為例，分析比較了不同小波基的去噪效果，給出了此類數(shù)據(jù)的最佳去噪小波基。

本文采用小波分析對(duì)地鐵低速行駛時(shí)的軌道振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行去噪，分析小波去噪?yún)?shù)的選取對(duì)去噪效果的影響。以北京某地鐵站附近的隧道斷面的軌道鉛垂向振動(dòng)加速度測(cè)試數(shù)據(jù)為例，對(duì)軌道振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行小波分解、閾值去噪和重構(gòu)。以信噪比作為去噪質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)，采用Kruskal-Wallis非參數(shù)檢驗(yàn)方法進(jìn)行不同的小波系、小波階數(shù)、小波分解層數(shù)和閾值對(duì)去噪效果的影響分析。基于信噪比最大化原則，確定地鐵軌道振動(dòng)信號(hào)的最優(yōu)小波去噪?yún)?shù)。

1 小波去噪

1.1 小波閾值去噪

小波去噪是基于小波變換對(duì)信號(hào)表現(xiàn)出的傳遞特性和對(duì)噪聲表現(xiàn)出的抑制特性，根據(jù)信號(hào)和噪聲在小波分解尺度上的不同規(guī)律進(jìn)行信噪分離[14]。

地鐵軌道鉛垂向振動(dòng)加速度信號(hào)可以表示為如下形式

式中：s(i)為包含噪聲的軌道鉛垂向振動(dòng)加速度信號(hào)，f(i)為沒有噪聲的振動(dòng)加速度信號(hào)，e(i)為噪聲信號(hào)，σ為噪聲強(qiáng)度，n為信號(hào)長(zhǎng)度。首先將包含噪聲的振動(dòng)信號(hào)s(i)進(jìn)行多尺度分解，分離信號(hào)的低頻成分和高頻成分，得到各尺度的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)。然后選取合適的閾值和閾值函數(shù)，當(dāng)小波系數(shù)小于相應(yīng)的閾值時(shí)將此小波系數(shù)設(shè)置為零，否則此小波系數(shù)予以保留或按某種規(guī)律縮小。最后基于處理后的小波系數(shù),利用小波逆變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)后的信號(hào)(i)就是去噪后的地鐵軌道鉛垂向振動(dòng)加速度信號(hào)。

1.2 小波去噪效果評(píng)價(jià)指標(biāo)

小波去噪效果評(píng)價(jià)指標(biāo)包括均方根誤差、信噪比、信噪比增益、平滑度指標(biāo)、互相關(guān)系數(shù)等，其中均方根誤差和信噪比可以有效的評(píng)價(jià)小波去噪效果，是比較成熟的評(píng)價(jià)方法[14-16]。

均方根誤差RMSE為原始信號(hào)與重構(gòu)信號(hào)之間方差的平方根，即

均方根誤差越小表明去噪效果越好。

信噪比SNR反映了信號(hào)與噪聲之間的能量比，即

式中：Powersignal為原始信號(hào)的功率，Powernoise為噪聲的功率。信噪比越大表明去噪效果越好。

從式(2)－式(5)可以看出，對(duì)于給定的地鐵軌道鉛垂向振動(dòng)加速度原始信號(hào)s(i)或原始信號(hào)的功率Powersignal，均方根誤差越大則信噪比越小，均方根誤差越小則信噪比越大。本文采用信噪比作為地鐵軌道鉛垂向振動(dòng)加速度信號(hào)小波去噪效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

1.3 地鐵軌道振動(dòng)信號(hào)小波去噪

文中軌道振動(dòng)數(shù)據(jù)來自北京某地鐵站附近的隧道斷面，該段線路為直道，軌道扣件為DTVI2型彈性扣件，隧道為矩形雙洞形式，列車車速40 km/h。在鋼軌上布置Bruel&Kjaer 8344型高精度加速度傳感器以測(cè)量鋼軌鉛直向振動(dòng)加速度，數(shù)據(jù)采集使用東方所INV3018C型24位高精度采集儀，采樣頻率為2 048 Hz。得到的地鐵軌道鉛直向振動(dòng)加速度信號(hào)如圖1所示，最大Z振級(jí)為111.19 dB。

不同的小波基在消失矩、正交性、正則性、緊支性、對(duì)稱性等方面存在差異。為了準(zhǔn)確提取信號(hào)的局部特征，需要選取具有緊支性的小波基；為了避免小波分解和重構(gòu)過程中邊緣失真，需要采用具有對(duì)稱性或近似對(duì)稱性的小波基[13]。選擇滿足上述條件的Daubechies小波系的2～10階小波、Symlets A小波系的2～10階小波、Coiflet小波系的1～5階小波作為地鐵軌道鉛垂向振動(dòng)加速度信號(hào)的去噪小波基進(jìn)行進(jìn)一步分析。小波去噪過程首先要進(jìn)行小波分解，以獲得各尺度的小波系數(shù)。分解層數(shù)過多，可能導(dǎo)致信號(hào)中有用部分丟失而造成信噪比下降，而分解層數(shù)過少，可能無法有效剔除噪聲[13]。對(duì)地鐵軌道鉛垂向振動(dòng)加速度信號(hào)，小波分解層數(shù)設(shè)置為3－10層。

圖1 地鐵軌道鉛直向振動(dòng)加速度信號(hào)

小波閾值去噪的核心步驟就是在小波系數(shù)上作用閾值，因此閾值和閾值函數(shù)的選取直接影響去噪效果。閾值可以基于樣本估計(jì)進(jìn)行選取，常用的選取方法包括固定閾值、無偏似然估計(jì)閾值、啟發(fā)式閾值和極值閾值。固定閾值Sqtwolog的閾值T的計(jì)算方法為T= 2ln(N)，其中N為信號(hào)的長(zhǎng)度。無偏似然估計(jì)閾值Rigrsure是基于Stein無偏似然估計(jì)的自適應(yīng)閾值估計(jì)方法，即給定一個(gè)閾值T，得到它的似然估計(jì)，然后將似然估計(jì)最小化，就得到所需的閾值。啟發(fā)式閾值Heursure是固定閾值和無偏似然估計(jì)閾值的綜合形式，當(dāng)信噪比很小時(shí)采用固定閾值，否則采用無偏似然估計(jì)閾值。極值閾值Minimaxi使得選取的閾值產(chǎn)生最小的極大方差[17-18]。本文使用上述四種閾值選取方法進(jìn)行小波去噪。

常用的閾值函數(shù)包括硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)，硬閾值函數(shù)會(huì)在某些點(diǎn)產(chǎn)生間斷，軟閾值函數(shù)可以有效的避免間斷，使得重構(gòu)的信號(hào)較為光滑[18]。本文采用軟閾值函數(shù)進(jìn)行小波去噪。

對(duì)于圖1所示的地鐵軌道鉛垂向振動(dòng)加速度信號(hào)，基于上述23種小波基、8種分解層數(shù)、4種閾值的736種組合，分別計(jì)算小波去噪后信號(hào)的信噪比。信噪比的直方圖如圖2所示，信噪比的最大值、最小值和均值分別為4.73、1.12和2.91，去噪效果較好。信噪比的極差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為3.61和1.46，這些小波去噪?yún)?shù)設(shè)置獲得的去噪效果差別明顯。

圖2 信噪比數(shù)據(jù)的直方圖

2 小波去噪?yún)?shù)對(duì)去噪效果影響分析

2.1 信噪比數(shù)據(jù)的正態(tài)性檢測(cè)和非參數(shù)檢驗(yàn)

本文中顯著性水平設(shè)定為0.05，對(duì)不同的小波去噪?yún)?shù)設(shè)置所計(jì)算得到的736個(gè)信噪比數(shù)據(jù)進(jìn)行Kolmogorov-Smirnov正態(tài)性檢測(cè)。Kolmogorov-Smirnov檢測(cè)是一種基于分布函數(shù)的檢驗(yàn)方法，用于檢驗(yàn)樣本的分布是否符合某種特定的分布[19-20]。用于信噪比數(shù)據(jù)的正態(tài)性檢驗(yàn)時(shí)其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

式中：D為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，F(xiàn)n(x)為信噪比數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，F(xiàn)(x)為與信噪比數(shù)據(jù)等均值和等方差的正態(tài)分布的分布函數(shù)?；赟AS軟件進(jìn)行信噪比數(shù)據(jù)的Kolmogorov-Smirnov正態(tài)性檢測(cè)，計(jì)算得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量D為0.28，P值小于0.01。由于P值小于顯著性水平，因此信噪比數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布。

對(duì)于無法確定總體分布形態(tài)或總體不滿足正態(tài)性、等方差要求的情況，以方差分析為代表的參數(shù)檢驗(yàn)方法不能取得理想的應(yīng)用效果，應(yīng)采用非參數(shù)檢驗(yàn)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析[20]。能夠用于小波去噪?yún)?shù)選取對(duì)信噪比影響分析的非參數(shù)檢驗(yàn)方法包括Kruskal-Wallis檢驗(yàn)、Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)等,其中Kruskal-Wallis檢驗(yàn)?zāi)軌蚩煽康膶?duì)多樣本進(jìn)行差異顯著性分析，是比較成熟的檢驗(yàn)方法[21-23]。其主要檢驗(yàn)步驟如下：

1）將信噪比數(shù)據(jù)按升序排序，得到信噪比數(shù)據(jù)的秩；

2）確定分組變量，將信噪比數(shù)據(jù)分組，計(jì)算各組信噪比數(shù)據(jù)的秩的總和、均值，得到各組信噪比數(shù)據(jù)的秩和、秩均值得分；

3）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，即

式中：KW為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，N為信噪比數(shù)據(jù)總數(shù)，k為分組數(shù)，ni為第i組信噪比數(shù)據(jù)的數(shù)量，Ri為第i組信噪比數(shù)據(jù)的秩和；

4）得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值，若P值大于顯著性水平則接受原假設(shè)，即多組樣本來自的多個(gè)總體的分布無顯著差異，從而各組信噪比數(shù)據(jù)的秩均值得分無顯著差異；若P值小于顯著性水平則拒絕原假設(shè)，即多組樣本來自的多個(gè)總體的分布有顯著差異，從而各組信噪比數(shù)據(jù)的秩均值得分有顯著差異。

2.2 小波系的選取對(duì)小波去噪效果的影響分析

以小波系為分組變量，基于SAS軟件進(jìn)行Kruskal-Wallis檢驗(yàn)，計(jì)算得到Daubechies小波系、Symlets A小波系和Coiflet小波系對(duì)應(yīng)的秩和和秩均值得分如表1所示。

表1 不同小波系對(duì)應(yīng)的秩和和秩均值得分

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量KW為5.48，P值為0.065。由于P值大于顯著性水平，因此三種小波系的秩得分不存在顯著差異，小波系的選取對(duì)地鐵軌道鉛垂向振動(dòng)加速度信號(hào)小波去噪效果沒有顯著影響。

2.3 小波階數(shù)的選取對(duì)小波去噪效果的影響分析

以小波階數(shù)為分組變量，基于SAS軟件進(jìn)行Kruskal-Wallis檢驗(yàn)，計(jì)算得到1～10階小波對(duì)應(yīng)的秩和和秩均值得分如表2所示。

表2 不同小波階數(shù)對(duì)應(yīng)的秩和和秩均值得分

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量KW為6.82，P值為0.66。由于P值大于顯著性水平，因此十種小波階數(shù)的秩得分不存在顯著差異，小波階數(shù)的選取對(duì)地鐵軌道鉛垂向振動(dòng)加速度信號(hào)小波去噪效果沒有顯著影響。

2.4 分解層數(shù)的選取對(duì)小波去噪效果的影響分析

以分解層數(shù)為分組變量，基于SAS軟件進(jìn)行Kruskal-Wallis檢驗(yàn)，計(jì)算得到3－10層小波分解對(duì)應(yīng)的秩和和秩均值得分如表3所示。

表3 不同小波分解層數(shù)對(duì)應(yīng)的秩和和秩均值得分

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量KW為16.05，P值為0.025。由于P值小于顯著性水平，因此8種分解層數(shù)的秩得分存在差異，不同的分解層數(shù)對(duì)地鐵軌道鉛垂向振動(dòng)加速度信號(hào)小波去噪效果的影響不全相同。分解層數(shù)較少時(shí)秩得分較高，信噪比較高。

2.5 閾值的選取對(duì)小波去噪效果的影響分析

以閾值為分組變量，基于SAS軟件進(jìn)行Kruskal-Wallis檢驗(yàn)，計(jì)算得到固定閾值、無偏似然估計(jì)閾值、啟發(fā)式閾值和極值閾值對(duì)應(yīng)的秩和和秩均值得分如表4所示。

表4 不同閾值對(duì)應(yīng)的秩和和秩均值得分

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量KW為680.26，P值小于0.000 1。由于P值小于顯著性水平，因此四種閾值的秩得分存在差異，不同的閾值對(duì)地鐵軌道鉛垂向振動(dòng)加速度信號(hào)小波去噪效果的影響不全相同。無偏似然估計(jì)閾值和啟發(fā)式閾值的秩均值得分較高，信噪比較高。

3 軌道振動(dòng)信號(hào)最優(yōu)小波去噪?yún)?shù)

基于信噪比最大化原則，選取地鐵軌道鉛垂向振動(dòng)加速度信號(hào)的最優(yōu)小波去噪?yún)?shù)。小波去噪?yún)?shù)的736種組合中，信噪比最大值為4.73，其對(duì)應(yīng)的小波系為Symlets A小波系，小波階數(shù)為4，小波分解層數(shù)為3，閾值為無偏似然估計(jì)閾值。此設(shè)置下去噪前后的殘差如圖3所示，殘差的最大值、最小值分別為9.08和-8.98。殘差較小，去噪前后信號(hào)的相似性較好。

圖3 去噪前后的殘差

小波去噪后的地鐵軌道鉛直向振動(dòng)加速度信號(hào)如圖4所示。

圖4 去噪后的地鐵軌道鉛直向振動(dòng)加速度信號(hào)

與圖1所示的原始信號(hào)相比，去噪后的振動(dòng)信號(hào)保留了原始信號(hào)的峰值特征，同時(shí)信號(hào)曲線的光滑性有了顯著改善。

4 結(jié)語(yǔ)

本文以地鐵低速行駛時(shí)的軌道振動(dòng)信號(hào)為研究對(duì)象，對(duì)小波去噪?yún)?shù)的選取對(duì)去噪效果的影響進(jìn)行分析。以北京某地鐵站附近的隧道斷面的軌道鉛垂向振動(dòng)加速度信號(hào)為例，對(duì)軌道振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行小波分解、閾值去噪和重構(gòu)。以信噪比為去噪質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)，基于Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)方法對(duì)信噪比數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。采用Kruskal-Wallis非參數(shù)檢驗(yàn)方法，分析不同的小波系、小波階數(shù)、小波分解層數(shù)和閾值對(duì)去噪效果的影響?；谛旁氡茸畲蠡瓌t，選取地鐵軌道振動(dòng)信號(hào)的最優(yōu)小波去噪?yún)?shù)。結(jié)果表明：

(1)不同小波去噪?yún)?shù)設(shè)置獲得的去噪效果有顯著差異。

(2)顯著性水平0.05下，小波系、小波階數(shù)的選取對(duì)地鐵軌道振動(dòng)信號(hào)小波去噪效果沒有顯著影響，不同的小波分解層數(shù)、閾值對(duì)地鐵軌道振動(dòng)信號(hào)小波去噪效果的影響不全相同。

(3)在23種小波基、8種分解層數(shù)、4種閾值的不同組合方案中，以Symlets A小波系的4階小波為去噪小波基，經(jīng)過3層小波分解，基于無偏似然估計(jì)閾值和軟閾值函數(shù)進(jìn)行小波去噪后的信號(hào)獲得最大的信噪比。去噪后的振動(dòng)信號(hào)保留了原始信號(hào)的峰值特征，同時(shí)信號(hào)曲線的光滑性有了顯著改善。該種小波去噪?yún)?shù)設(shè)置方案適用于地鐵低速行駛時(shí)的軌道鉛垂向振動(dòng)加速度的信號(hào)去噪。