玉昊昕，陳克安，代 海

（西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，西安 710072）

通常來說，多通道有源噪聲控制系統(tǒng)預(yù)先測量所有次級源到所有誤差傳感器之間的次級通路傳遞函數(shù)，并根據(jù)所有誤差傳感器的信號來調(diào)整每個次級源的輸出，以達(dá)到使誤差傳感器處聲壓減小的目的，這種系統(tǒng)稱為集中式控制系統(tǒng)。集中式控制策略通常有利于增大降噪量和擴(kuò)大靜區(qū)[1-2]。然而，隨著次級源和誤差傳感器數(shù)量的增加，控制器的復(fù)雜度和對處理器的性能要求會迅速提高，在系統(tǒng)通道數(shù)十分龐大時將導(dǎo)致集中式控制策略難以實(shí)現(xiàn)，提高了在大空間（如客機(jī)艙室）中應(yīng)用有源噪聲控制系統(tǒng)的成本[3]。為了降低系統(tǒng)復(fù)雜度，有源控制實(shí)際工程中常用的方法是采用分布式控制策略。分布式系統(tǒng)有多個互相獨(dú)立的單通道子系統(tǒng)組成[4]，并且忽略了各個子系統(tǒng)之間的互相影響，這樣硬件設(shè)計就能夠簡化，也更靈活。但是，由于忽略了聲耦合的影響，這樣可能會引起性能損失和不穩(wěn)定性[5]。

為了解決集中式的復(fù)雜度和分布式系統(tǒng)的穩(wěn)定性之間的矛盾，可以采用一種組成介于集中式和分布式結(jié)構(gòu)之間的集群式系統(tǒng)。集群式系統(tǒng)是將一個包含較多次級源和誤差傳感器的大規(guī)模系統(tǒng)劃分成多個較小規(guī)模的子系統(tǒng)，每個子系統(tǒng)自身就是一個多通道的集中式系統(tǒng)。類似的系統(tǒng)在振動或振聲控制中也稱為分布式（distributed）控制系統(tǒng)。通過在振聲控制中的研究發(fā)現(xiàn)某些代價函數(shù)下，分散式系統(tǒng)性能顯著差于集中式系統(tǒng)，而當(dāng)使用模塊優(yōu)化和局部代價函數(shù)時，分布式系統(tǒng)性能與集中系統(tǒng)一致[6]。而在平板的振動控制中，分散式控制雖然能達(dá)到與集中式控制相近的性能，但是并不能保證收斂[7]。

在自由空間的有源噪聲控制中，多個小規(guī)模的多通道集中式系統(tǒng)的互相影響已被研究，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定性與各個小系統(tǒng)之間次級源與誤差傳感器影響大小有關(guān)[8]。另外，對反饋分散式系統(tǒng)的研究也發(fā)現(xiàn)，當(dāng)系統(tǒng)位置較近時有很大的穩(wěn)定性風(fēng)險[9]。

本文對集群系統(tǒng)在復(fù)單頻信號下的性能和穩(wěn)定性進(jìn)行了理論分析，然后在直升機(jī)模型艙中進(jìn)行了若干仿真實(shí)驗，驗證了分析的有效性。

1 集群控制系統(tǒng)

1.1 算法和實(shí)現(xiàn)

為了簡化問題，考慮一個有NI個次級源和NI個誤差傳感器的多通道集群主動控制系統(tǒng)，該系統(tǒng)劃分為I個子系統(tǒng)，每個獨(dú)立的子系統(tǒng)都有N個次級源和N個誤差傳感器，采用復(fù)數(shù)濾波x最小均方算法（CFxLMS），系統(tǒng)框圖如圖1所示。顯然，N=1時集群系統(tǒng)即為分布式系統(tǒng)，I=1時即為集中式系統(tǒng)。假設(shè)誤差傳感器處接收到的原始信號由一個同頻復(fù)指數(shù)信號經(jīng)過初級通路模型P得到，所有子系統(tǒng)均使用同一個參考信號。第n時刻的參考信號的復(fù)數(shù)形式可以寫為

圖1 集群式有源噪聲控制系統(tǒng)框圖

第n時刻的誤差傳感器收到的誤差信號矢量可以寫為

其中

上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置，pm表示參考信號到第m個誤差傳感器的傳遞函數(shù)在ω處的頻率響應(yīng)，也稱為初級通路響應(yīng)，sm,l是第l個次級源到第m個誤差傳感器的傳遞函數(shù)在ω處的頻率響應(yīng)，也稱次級通路響應(yīng)，wi,l(n)是第i個子系統(tǒng)中參考信號到第l個次級源的復(fù)增益，稱為控制系數(shù)。

集群式系統(tǒng)中每個子系統(tǒng)均獨(dú)立運(yùn)行，每個子系統(tǒng)的控制目標(biāo)函數(shù)為該子系統(tǒng)的誤差傳感器接收到信號的平均能量和最小，則第i個子系統(tǒng)的控制系數(shù)的迭代方程可以寫為

其中：上標(biāo)H表示共軛轉(zhuǎn)置，μ為收斂系數(shù)，ei(n)=是第i個子系統(tǒng)的誤差信號矢量，Sp,q是第p個子系統(tǒng)的誤差傳感器到第q個子系統(tǒng)的次級源的傳遞函數(shù)在頻率ω處的頻率響應(yīng)矩陣，可以表示為

這里為了簡化計算，可以假設(shè)每個子系統(tǒng)的收斂系數(shù)相同。由式(9)，式(5)可以表示分塊矩陣形式

將I個子系統(tǒng)的控制系數(shù)迭代方程聯(lián)立起來，由式可得到可得式

其中：是塊對角矩陣

式同時反映了各個子系統(tǒng)獨(dú)立地對自身控制系數(shù)同時進(jìn)行迭代更新的行為。顯然如果控制系統(tǒng)為集中系統(tǒng)時有N=1，即等價于只有一個控制單元的集群式系統(tǒng)，此時系統(tǒng)迭代方程與式(11)有相同的形式，且有S=ZS。

1.2 穩(wěn)態(tài)性能分析

假設(shè)各個子系統(tǒng)系統(tǒng)在經(jīng)過長時間迭代之后達(dá)到穩(wěn)態(tài)，即當(dāng)n→∞時有w(n+1)=w(n)=wopt，由式(2)和式(11)可以獲得控制器系數(shù)的穩(wěn)態(tài)值wopt，假設(shè)控制系統(tǒng)收斂，因此有

由式(13)解得

式中上標(biāo)“+”表示求Moore-Penrose廣義逆。由于假設(shè)次級源與誤差傳感器個數(shù)均為IN，因此和S均為方陣。如果進(jìn)一步假設(shè)和S為非奇異的，那么無論控制系統(tǒng)系統(tǒng)為集中式系統(tǒng)或集群式系統(tǒng)，均有

因此集群式與集中式系統(tǒng)在達(dá)到穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)控制系數(shù)相等，即此時兩種控制系統(tǒng)有相同的穩(wěn)態(tài)性能。將式(15)代入式(2)，可得系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時誤差信號矢量e(n)的值為0，即此時控制系統(tǒng)所有誤差傳感器處的聲壓被完全抵消了。

1.3 系統(tǒng)穩(wěn)定條件

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以用控制系數(shù)w的行為來描述，將式(2)代入式(11)，并在等式兩邊同時減去式(15)得

其中：

如果隨著n的增大有w(n)-wopt趨于0，則控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對進(jìn)行特征值分解有

其中：F是特征向量矩陣，Λ為特征值矩陣。將式(18)代入式(16)可以得

其中：v′(n)=F-1v(n)。將式(19)改寫為從n=0時刻開始的形式有

將上式轉(zhuǎn)化為標(biāo)量形式，則第i個分量滿足

對上式兩邊做z變換，整理得

如果系統(tǒng)要保持穩(wěn)定，則要求的v′i(z)極點(diǎn)應(yīng)位于z平面的單位圓之內(nèi)。由式(22)可知，v′i(z)的極點(diǎn)為

即當(dāng)

對所有i成立時系統(tǒng)穩(wěn)定。若假設(shè)λi=ai+ibi，ai、bi均為實(shí)數(shù)，且μ>0，則式(24)的解為

因此只要μ滿足

則系統(tǒng)穩(wěn)定，這意味著只有當(dāng)HS的特征值均落在z平面右半平面時，才存在能使系統(tǒng)穩(wěn)定的收斂系數(shù)μ。

2 實(shí)驗

2.1 場景設(shè)置

為了驗證第2節(jié)中的分析是否正確，在如圖2（a）所示的直升機(jī)模擬艙室中開展實(shí)驗研究，艙室布置示意圖如圖2（b）所示。系統(tǒng)使用了8個誤差傳感器，8個次級揚(yáng)聲器，如圖2（b）所示分別對稱地裝在艙室頂上。初級聲場通過模擬艙室外部兩側(cè)的8個大型音箱產(chǎn)生。

圖2 實(shí)驗環(huán)境

為了便于比較，集中式系統(tǒng)，集群式系統(tǒng)和分布式系統(tǒng)均包含8個次級源和8個誤差傳感器，且布局位置相同。系統(tǒng)配置如圖3所示，其中分散式系統(tǒng)由8個單通道控制器組成，每個控制器都由1個誤差傳感器和1個次級揚(yáng)聲器組成，圖3中每個虛線圍成的矩形區(qū)域表示一個單通道控制器；集群式系統(tǒng)由兩個4×4的控制器構(gòu)成，每個實(shí)線圍成的矩形區(qū)域表示一個4×4的控制器；集中式系統(tǒng)則由所有的8個誤差傳感器和8個次級揚(yáng)聲器組成。3種控制器均采用CFxLMS算法。

圖3 實(shí)驗系統(tǒng)設(shè)置框圖

對3種系統(tǒng)在艙室模型中的性能進(jìn)行仿真和實(shí)驗之前均需要對次級通路進(jìn)行建模。每個次級源和每個誤差傳感器之間的次級通路傳遞函數(shù)，均以抽頭數(shù)為384的FIR濾波器來對各個次級通路進(jìn)行離線建模。離線建模時控制器依次饋給次級聲源隨機(jī)白噪聲信號，以此時誤差傳感器接收到的信號作為期望信號，饋給次級聲源的信號作為參考信號，使用LMS算法對FIR濾波器的系數(shù)進(jìn)行迭代。圖4為其中一個次級通路經(jīng)過建模得到的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)，該次級通路在96 Hz頻點(diǎn)處的頻率響應(yīng)約為-5.8～12.0j。

圖4 次級通路傳遞函數(shù)幅頻響應(yīng)

取參考信號頻率從80 Hz開始，以5 Hz為間隔遞增至450 Hz，每個頻點(diǎn)下分別用集中式、集群式和分散式系統(tǒng)進(jìn)行控制，對每個系統(tǒng)均盡可能地調(diào)節(jié)系統(tǒng)控制系數(shù)μ使其穩(wěn)定，并記錄誤差點(diǎn)的平均降噪量。

2.2 穩(wěn)態(tài)性能比較

實(shí)驗結(jié)果顯示，只要集群式或分散式系統(tǒng)能保持穩(wěn)定，當(dāng)系統(tǒng)收斂達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，它們的性能均與集中式系統(tǒng)十分接近。

以參考信號頻率95 Hz為例，此時3種系統(tǒng)的降噪量如圖5所示。

圖5 95 Hz時的誤差傳感器平均SPL

計算集群式和分散式系統(tǒng)HS的特征值，發(fā)現(xiàn)其實(shí)部均大于0，與第2節(jié)的理論分析對照可知，此時集群式系統(tǒng)的和分散式均應(yīng)能保持穩(wěn)定，且降噪量應(yīng)與集中式系統(tǒng)一致，實(shí)驗和理論結(jié)果能保持一致，

2.3 穩(wěn)定性比較

從2.3分析可知，系統(tǒng)的穩(wěn)定性與在控制頻點(diǎn)處的HS矩陣的特征值分布有關(guān)。因此可以認(rèn)為在如圖3所示的系統(tǒng)布局下，控制系統(tǒng)能保持穩(wěn)定的頻率區(qū)間越寬，系統(tǒng)的穩(wěn)定性越好。

集群式和分散式系統(tǒng)的穩(wěn)定頻率區(qū)間如圖6所示。圖中頻率上方對應(yīng)空間中黑色表示此時系統(tǒng)穩(wěn)定，白色表示此時無論如何調(diào)整μ均不能使系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖6 系統(tǒng)穩(wěn)定頻率區(qū)間

從圖中可以看到，集群式系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)間明顯大于分散式系統(tǒng)，在80 Hz～450 Hz范圍內(nèi)，集群式系統(tǒng)在92.0%的區(qū)間內(nèi)能保持穩(wěn)定，而分散式系統(tǒng)只有66.7%的區(qū)間內(nèi)能保持穩(wěn)定，且在140 Hz～200 Hz范圍有連續(xù)的不穩(wěn)定區(qū)。顯然，集群式系統(tǒng)的穩(wěn)定性高于分散式系統(tǒng)。

以參考信號頻率125 Hz為例，此時控制結(jié)果如圖7所示。在這種情況下，分布式系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，而另2種系統(tǒng)仍然正常收斂，且穩(wěn)態(tài)性能相同。

圖7 125 Hz時誤差傳感器的平均SPL

圖8 復(fù)平面中的特征值位置分布

3 結(jié)語

首先對在單頻復(fù)信號下，集群式系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能和穩(wěn)定條件進(jìn)行了理論分析，分析結(jié)果顯示：

(1)集群式系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能和集中式系統(tǒng)相等；

(2)當(dāng)矩陣HS的特征值均有正實(shí)部時，集群式系統(tǒng)穩(wěn)定。

然后在直升機(jī)艙室模型中進(jìn)行了控制實(shí)驗。實(shí)驗中對集中式、集群式和分散式系統(tǒng)在不同頻率下的穩(wěn)態(tài)性能和穩(wěn)定性進(jìn)行和研究，結(jié)果顯示：

(1)集群式系統(tǒng)穩(wěn)定時與集中式系統(tǒng)有相同的降噪性能；

(2)當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時，HS特征值實(shí)部均大于0，當(dāng)系統(tǒng)不穩(wěn)定時，HS至少有1個特征值的實(shí)部小于或等于0；

(3)集群式系統(tǒng)的穩(wěn)定頻率區(qū)間大于分散式系統(tǒng)。實(shí)驗結(jié)果很好地驗證了理論分析的正確性。

綜上所示，集群式系統(tǒng)作為一種介于集中和分散式之間的系統(tǒng)形式，具有與集中式系統(tǒng)相同的穩(wěn)態(tài)降噪性能，以及比分散式更好的穩(wěn)定性。