李玉昆 李永泉 萬一心 強紅賓 張立杰

1.燕山大學河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室，秦皇島，066004 2.燕山大學先進鍛壓成形技術(shù)與科學教育部重點實驗室，秦皇島，066004 3.燕山大學河北省重型機械流體動力傳輸與控制實驗室，秦皇島，066004

0 引言

并聯(lián)穩(wěn)定平臺在工業(yè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1]，常作為機載或艦載平臺，因此，為提高其穩(wěn)定效果，作為穩(wěn)定平臺主體的并聯(lián)機構(gòu)，其振動特性的研究顯得格外重要。3-UPS/S并聯(lián)機構(gòu)可以實現(xiàn)空間3個轉(zhuǎn)動自由度，將其作為艦載穩(wěn)定平臺通常需要承受很大的載荷，常用液壓缸作為穩(wěn)定平臺的驅(qū)動裝置[1]。

一些文獻對并聯(lián)穩(wěn)定平臺的振動進行了分析，文獻[2]以預載情況下的剛度矩陣，建立六自由度平臺自由振動方程,并計算出系統(tǒng)的振動頻率，但未進行振動響應(yīng)分析；文獻[3]以電缸伺服剛度作為單分支的剛度，分析了三自由度振動臺的振動特性，然而針對采用液壓缸作為驅(qū)動裝置，機構(gòu)的振動特性會有所不同。3-UPS/S并聯(lián)機構(gòu)以液壓缸作為驅(qū)動裝置，驅(qū)動分支的剛度包含液壓油的剛度，會影響機構(gòu)的振動特性，同時液壓缸停在固定位置會有微幅的抖動，使整個機構(gòu)產(chǎn)生運動，此運動又會產(chǎn)生激勵力作用在穩(wěn)定平臺的分支上，使機構(gòu)產(chǎn)生彈性振動。針對此問題，本文以電液伺服驅(qū)動3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺為研究對象，進行了相應(yīng)的振動響應(yīng)分析。

1 3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺運動學分析

為了得到機構(gòu)的動力學和振動模型，先對機構(gòu)運動學進行分析，得到上平臺以及各桿件的速度和加速度項，為后續(xù)分析打下基礎(chǔ)。

1.1 3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺機構(gòu)坐標系的建立

3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺由上下平臺、3個UPS支鏈和中間立柱組成，機構(gòu)簡圖見圖1。

圖1 3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺機構(gòu)簡圖Fig.1 Sketch of 3-UPS/S parallel mechanism

O1點和O點分別為上下平臺的中心，建立與定平臺固接的固定坐標系Oxyz和與動平臺固接的動坐標系O1x1y1z1，以O(shè)A1為x軸，z軸垂直于下平臺，y軸通過右手螺旋定則得到；以O(shè)B1為x1軸，z1軸垂直于動平臺，y1軸通過右手螺旋定則得到。

1.2 位置反解

3-UPS/S機構(gòu)只有3個轉(zhuǎn)動自由度，本文采用較為直觀的T&T角[4]來描述機構(gòu)的姿態(tài)，如圖2所示，其中θ表示物體軸線相對于坐標系z軸偏轉(zhuǎn)的角度，ψ表示物體繞自身軸線的轉(zhuǎn)角，φ表示物體軸線在Oxy平面的投影與x軸的夾角。

圖2 T&T型歐拉角Fig.2 Tilt-and-Torsion Euler angle

根據(jù)位姿變換可得到動坐標系O1x1y1z1相對于定坐標系Oxyz的旋轉(zhuǎn)變換矩陣[4]R。

ai、bi分別為虎克鉸中心Ai及球鉸中心Bi(i=1,2,3)在定坐標系Oxyz的位置矢量。li為支鏈AiBi在定坐標系下的表示，則

li=bi-ai

(1)

可以得到位置反解為

(2)

1.3 速度和加速度分析

(3)

si=li/li

(4)

(5)

上平臺的角加速度

(6)

式中，[H]為機構(gòu)的二階影響系數(shù)矩陣，為3×3×3的標量矩陣，可用螺旋理論影響系數(shù)法得到[5]。

對式(3)進行求導，得到鉸鏈點Bi的加速度

(7)

(8)

(9)

式(9)可改寫為包含支鏈速度和加速度項的形式：

(10)

建立支鏈坐標系(圖3)，支鏈結(jié)構(gòu)見圖4，li為液壓缸長度，lui、ldi分別為上下連桿桿長，ldci為下連桿底端與下連桿質(zhì)心處的距離，luci為上連桿頂端與上連桿質(zhì)心處的距離。3-UPS/S機構(gòu)有著對稱的結(jié)構(gòu)，設(shè)各支鏈上下連桿質(zhì)心坐標為Cui、Cdi。以Ai為坐標原點建立坐標系A(chǔ)ixAiyAizAi，zAi軸沿支鏈伸縮方向向上，yAi軸沿逆時針方向垂直于平面OAiBi，則xAi=yAi×zAi。AixAiyAizAi相對于定坐標系Oxyz的旋轉(zhuǎn)矩陣由xAi、yAi和zAi軸的單位主矢量相對于定坐標系的方向余弦組成:

(11)

Cui、Cdi點的速度可以表示為

(12)

圖3 驅(qū)動支鏈分布Fig.3 Distribution of active branch chain

圖4 驅(qū)動支鏈結(jié)構(gòu)Fig.4 Construction of active branch chain

對式(12)求導可以得到桿件質(zhì)心處加速度，然后改寫成包含支鏈速度和加速度項的形式：

(13)

2 3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺振動分析

2.1 機構(gòu)動力學模型

為了得到機構(gòu)驅(qū)動力與外載荷的映射關(guān)系，用虛功原理建立機構(gòu)的動力學模型[6]:

(14)

(15)

式中，τ為驅(qū)動力矢量;Gui、Gdi分別為上下連桿的重力;fui、fdi分別為上下連桿質(zhì)心處的慣性力;Tui、Tdi、Tp分別為上下支鏈以及上平臺的慣性力矩;Tq為作用于上平臺的外力矩。

令機構(gòu)初始姿態(tài)為ψ=28°、φ=0°、θ=0°，給定機構(gòu)上平臺運動軌跡，通過軌跡規(guī)劃[7]對給定軌跡進行了速度、加速度規(guī)劃,見圖5，圖中θ為物體軸線相對于坐標系z軸偏轉(zhuǎn)的角度，φ表示物體軸線在Oxy平面的投影與x軸的夾角，保持ψ=28°不變，機構(gòu)從初始姿態(tài)O偏轉(zhuǎn)20°(φ角0～20°變化)到達A點姿態(tài)，再旋轉(zhuǎn)一周(θ角0～360°變化)回到A點，最后回到初始姿態(tài)O；建立機構(gòu)ADAMS模型，見圖6，在該運動軌跡下，對比用動力學模型計算得到的驅(qū)動力與ADAMS仿真得到的驅(qū)動力，見圖7，圖中τ1、τ2、τ3為驅(qū)動力理論計算值，τ4、τ5、τ6為仿真值，驗證了動力學模型的正確性。

圖5 機構(gòu)上平臺運動軌跡Fig.5 Mechanism trajectory

圖6 3-UPS/S并聯(lián)機構(gòu)ADAMS模型Fig.6 ADAMS modal of 3-UPS/S parallel mechanism

圖7 驅(qū)動力理論值與仿真值對比Fig.7 Comparison of theoretical values of driving forces and simulation results

2.2 3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺機構(gòu)振動模型

將式(15)代入式(14)，可將機構(gòu)的動力學方程寫成以下形式：

(16)

式(16)是一個非線性的耦合三維方程組，求解困難，需要對其進行簡化處理。

伺服液壓缸在給定位置下，其液壓彈簧剛度對驅(qū)動分支剛度性能的影響很大，由實驗測定(實驗過程見4.1節(jié))可知，在給定位置下伺服液壓缸的彈簧剛度近似呈線性，表達式為

τ=Kl

(17)

其中，K為伺服液壓缸廣義剛度矩陣,K=diag(k1,k2,k3);ki為平臺處于固定位置時各個驅(qū)動分支的彈簧剛度，振動方程可寫為

(18)

(19)

2.3 固有頻率和振型

現(xiàn)根據(jù)3-UPS/S并聯(lián)機構(gòu)在不同位姿的振動模型，其單分支剛度由實驗的方法獲得，計算機構(gòu)的固有頻率和振型[8]?？梢缘玫綑C構(gòu)在關(guān)節(jié)空間內(nèi)不同姿態(tài)下的三階固有頻率和正則振型向量，見表1。

表1 固有頻率和振型

2.4 機構(gòu)振動響應(yīng)

求解該振動系統(tǒng)的無阻尼自由振動響應(yīng)，用振型疊加法進行求解[3]，振動響應(yīng)可以看作單自由度系統(tǒng)的疊加[3]：

n=η1n1+η2n2+η3n3

(20)

這里，n1、n2、n3為前三階固有頻率對應(yīng)的振型向量；用振型矩陣nT左乘振動方程兩邊，可使振動方程解耦得到解耦后的微分方程：

(21)

振動系統(tǒng)自由振動時N(t)=0，式(21)的解為

(22)

系統(tǒng)受迫振動時，其解主要由兩部分組成，一部分為自由振動齊次方程的通解，另一部分為機構(gòu)受迫振動輸出響應(yīng)，任意激勵的特解為

(23)

當受迫振動的激振力是正弦激振時，F(xiàn)(t)=Qsinωt， 各廣義坐標上受到的激振力為同頻同相的簡諧力，頻率ω相角為零，其對于模態(tài)坐標的廣義力為

N(t)=nTQsinωt

(24)

代入到式(23)中求解其積分可以得到

(25)

圖8 驅(qū)動副自由振動響應(yīng)Fig.8 Free vibration response of driving pair

當激振力為F(t)= [30 60 80]T·sin(200πt)時，得到機構(gòu)的受迫振動響應(yīng)見圖9。

圖9 驅(qū)動副受迫振動響應(yīng)Fig.9 Forced vibration response of driving pair

3 液壓驅(qū)動下上平臺振動

液壓缸停在固定位置時，由于液壓缸的特性會產(chǎn)生小幅的抖動，液壓缸抖動會使機構(gòu)上平臺產(chǎn)生小幅度的運動，此運動將會作為機構(gòu)產(chǎn)生彈性振動的振源，迫使機構(gòu)彈性振動；上平臺的小幅運動以及彈性振動都會影響穩(wěn)定平臺的穩(wěn)定性。

3.1 由液壓缸抖動引起的上平臺運動

觀察實驗測得的液壓缸在固定位置由液壓缸抖動產(chǎn)生的位移曲線，見圖10。對該曲線進行傅里葉變換，取前兩階頻率進行擬合，該曲線可看作兩種不同頻率和幅值的正弦波疊加而成[9]，則液壓缸的運動可近似為

(26)

圖10 液壓缸抖動位移曲線Fig.10 Displacement curve of hydraulic cylinder

上平臺運動由液壓缸的抖動產(chǎn)生，現(xiàn)已知液壓缸的運動狀態(tài)，在運動幅度較小時，關(guān)節(jié)空間的運動轉(zhuǎn)換到操作空間可通過雅可比矩陣映射得到[10]，可以近似認為驅(qū)動副及上平臺的運動存在如下關(guān)系

ψp=Jl

(27)

式中，ψp為上平臺繞x、y、z三軸的偏轉(zhuǎn)角度。

由液壓缸抖動得到的上平臺在初始位姿下的運動，各驅(qū)動分支抖動的相位不同時上平臺的運動也不同，見圖11。

圖11 液壓缸抖動在不同相位下上平臺的運動Fig.11 The motion of the upper platform on thehydraulic cylinder at different phases

由圖11可知，各分支的相位對上平臺運動形式影響較大，同時上平臺不同位姿，雅可比矩陣不同，動平臺的運動也不同，初始位置下上平臺的主要運動為繞z軸的偏轉(zhuǎn)，繞x、y軸的偏轉(zhuǎn)較小。

3.2 上平臺受迫振動

(28)

式中，fui、fdi分別為上下連桿質(zhì)心處的慣性力；Tui、Tdi、Tp分別為上下支鏈以及上平臺的慣性力矩。

機構(gòu)空載時，在初始姿態(tài)下由式(28)求解得到機構(gòu)在抖動時各分支所受的力見圖12。

圖12 支鏈激勵力Fig.12 Exciting force of branch chain

此力可當作機構(gòu)受迫振動的激勵力，使初始狀態(tài)為0，在它的作用下求得機構(gòu)的受迫振動響應(yīng),用雅可比矩陣將其映射到上平臺上，見圖13。

圖13 空載下上平臺受迫振動響應(yīng)Fig.13 Forced vibration response of platform under no-load condition

從圖13可以看出空載下受迫振動響應(yīng)幅值較小，相對于液壓缸抖動引起上平臺運動可以忽略。

機構(gòu)在作為穩(wěn)定平臺使用時通常是在重載情況下，在平臺上增加重物會降低機構(gòu)整體的固有頻率，增大慣性力，影響振動響應(yīng)。在上平臺上增加一個2 t重物，其重心偏離上平臺中心1 m，此時的受迫振動曲線見圖14。

從圖14可以看出機構(gòu)的受迫振動和機構(gòu)由于液壓缸抖動引起上平臺的運動數(shù)量級相同，不可忽略，將上平臺的振動和抖動疊加得到上平臺的運動情況，見圖15。

圖14 負載下上平臺受迫振動響應(yīng)Fig.14 Forced vibration response under load

圖15 液壓缸抖動引起上平臺運動與振動響應(yīng)疊加Fig.15 Hydraulic cylinder vibration causes the upper platform motion and vibration response superposition

振動使得上平臺的運動幅度增大，同時又反作用在機構(gòu)上，增大了激振力，使機構(gòu)的平穩(wěn)性變差。

4 實驗分析

4.1 單分支液壓缸剛度實驗

本文通過單分支的液壓缸的壓縮實驗來測量單分支實際剛度ki，將機構(gòu)中的液壓缸拆下，安裝在實驗臺上，實驗原理圖見圖16，分支剛度測量實驗現(xiàn)場見圖17。分別給定液壓缸不同的位移，固定在該位移下，通過不斷增加驅(qū)動力，用力傳感器與位移傳感器測量液壓缸的位移(分支壓縮量)x與驅(qū)動力F的關(guān)系。在單缸實驗下，單個分支i的剛度可表示為

(29)

式中，Δx和ΔF分別為分支末端的位移x和分支壓力F的增量。

圖16 實驗原理圖Fig.16 Principle diagram of the experiment

圖17 分支剛度測量實驗Fig.17 Measurement experiment of branch chain stiffness

液壓缸處在不同的位移，不斷增加壓力，測得末端位移量隨液壓缸承受壓力的變化曲線見圖18。取分支壓力F為0～5 kN的那一段曲線，進行線性擬合，可以計算出擬合后的曲線斜率即為液壓缸在4個位置時的單分支剛度實驗值K。由實驗數(shù)據(jù)可得液壓缸伸長量不同時分支剛度變化很小，液壓缸單分支的剛度為K=22 MN/m。

圖18 分支剛度曲線Fig.18 Stiffness curves of branch chain

4.2 穩(wěn)定平臺模態(tài)實驗

本文采用脈沖激振法[3，6]來獲得振動臺的固有頻率，用帶有傳感器的力錘給振動臺施加脈沖激勵，用加速度傳感器獲得機構(gòu)的激勵響應(yīng)，實驗框圖見圖19。

圖19 實驗框圖Fig.19 Block diagram of the experiment

本次實驗采用的加速度傳感器為三向加速度傳感器，能夠檢測的頻率范圍為10 kHz，信號分析儀為美國晶鉆公司的CoCo-80X/80/90手持一體化動態(tài)信號分析儀和數(shù)據(jù)記錄儀，能夠?qū)崟r檢測和分析振動信號，實驗現(xiàn)場圖見圖20。

圖20 實驗現(xiàn)場圖Fig.20 Scene of experiment

對穩(wěn)定平臺進行敲擊，獲得的時域響應(yīng)見圖21，對得到的時域信號進行傅里葉變換得到頻域響應(yīng)，并與理論值計算固有頻率對比，見圖22。

圖21 穩(wěn)定平臺時域響應(yīng)Fig.21 Time domain response of stabilized platform

圖22 穩(wěn)定平臺頻域響應(yīng)Fig.22 Frequency domain response of stabilized platform

從圖22可以看出，固有頻率理論值與實驗結(jié)果基本一致，從而驗證了穩(wěn)定平臺機構(gòu)振動模型的正確性。

5 結(jié)論

(1)基于虛功原理建立了3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺的動力學模型，推導出其振動模型，通過分析計算液壓缸抖動以及空載和負載下上平臺的振動響應(yīng)可知，機構(gòu)的平穩(wěn)性變差主要是由液壓缸的抖動以及重載情況下上平臺的受迫振動引起的。

(2)進行了單分支液壓缸剛度實驗，通過實驗分析可知，液壓缸在不同的位移下，單分支剛度變化很小可忽略，測量得到了機構(gòu)單分支的實際剛度值為K=22 MN/m，提高了振動模型計算的可靠性。

(3)通過穩(wěn)定平臺模態(tài)實驗，獲得了機構(gòu)的固有頻率，固有頻率理論值與實驗值結(jié)果基本一致，從而驗證了穩(wěn)定平臺機構(gòu)振動模型的正確性。