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        一種新的多漸消因子容積卡爾曼濾波

        2019-03-05 10:31:22,,
        計算機測量與控制 2019年2期
        關(guān)鍵詞:協(xié)方差魯棒性卡爾曼濾波

        , ,

        (1.西北工業(yè)大學(xué) 電子信息學(xué)院,西安 710129; 2.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院,西安 710072)

        0 引言

        卡爾曼濾波(Kalman filter, KF)是一種經(jīng)典高效的遞歸濾波方法,克服維納濾波的不足,被應(yīng)用在許多實際領(lǐng)域中。然而,實際中大部分系統(tǒng)都是非線性的,不滿足KF中模型為線性的假設(shè)。為此,學(xué)者們提出擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter, EKF)、無跡卡爾曼濾波[1](unscented Kalman filter, UKF)、容積卡爾曼濾波[2](cubature Kalman filter, CKF)等非線性濾波算法。UKF和CKF都是確定性采樣濾波算法,將采樣點進(jìn)行傳遞后加權(quán)求和來近似后驗均值和協(xié)方差,采樣點數(shù)量由相關(guān)狀態(tài)向量維數(shù)確定,濾波的計算量也主要由采樣點的數(shù)量決定。

        在實際應(yīng)用中,由于系統(tǒng)的高度復(fù)雜性和強非線性,一階泰勒展開并不能很好的近似實際系統(tǒng),模型參數(shù)和過程參數(shù)存在較大差異,導(dǎo)致EKF的濾波精度極大下降,甚至發(fā)散。為此,周東華等人將用于線性系統(tǒng)的最佳漸消因子卡爾曼濾波推廣到EKF中,提出強跟蹤濾波器(Strong Tracking Filter,STF)[3]?;谡辉?,STF在預(yù)測協(xié)方差陣中引入漸消因子,充分利用殘差序列中的有效信息,增強了EKF應(yīng)對模型不準(zhǔn)確性、狀態(tài)突變的魯棒性。STF目前仍被廣泛的用于諸多領(lǐng)域[4-6],文獻(xiàn)[4]提出了一種對稱STF用于感應(yīng)電機無線傳感器驅(qū)動,將多漸消因子引入到預(yù)測協(xié)方差陣,采用Cholesky分解來保證預(yù)測協(xié)方差陣在迭代中的對稱性,以獲得更好的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[6]認(rèn)為STF相對于EKF的優(yōu)越性通常是基于仿真和以前的實驗,缺少對應(yīng)的理論分析,進(jìn)而基于均方誤差、濾波增益等方面對比分析STF和EKF,最后認(rèn)為傳統(tǒng)卡爾曼濾波理論的可用性受到嚴(yán)重限制,其結(jié)構(gòu)易被破壞,導(dǎo)致濾波性能下降,在工程應(yīng)用中研究使用強跟蹤類濾波器是有重大意義的。

        UKF和CKF是現(xiàn)在最具有代表性的非線性濾波方法。與EKF相比,UKF和CKF不需要求解雅克比矩陣,具有更高的泰勒展開逼近精度,逐漸替代EKF,應(yīng)用于各個領(lǐng)域[7-9]。CKF采用三階向徑容積規(guī)則,數(shù)學(xué)推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn),設(shè)計簡潔,調(diào)節(jié)參數(shù)少,有效克服了UKF中高階非線性時不穩(wěn)定的問題[10]。同樣地,UKF和CKF也延續(xù)了傳統(tǒng)卡爾曼濾波理論思想的不足,當(dāng)理論模型和實際模型不匹配時,會導(dǎo)致濾波性能下降,故強跟蹤濾波思想在非線性濾波方法中法中同樣適用,引起了眾多學(xué)者的關(guān)注[11-14]。文獻(xiàn)[11]基于預(yù)測協(xié)方差和互協(xié)方差的理論關(guān)系,得到雅克比矩陣在UKF中的等價求解方法,建立漸消因子在非線性濾波方法中的等效求解方法,避免了強跟蹤UKF在使用中對雅克比矩陣的依賴,擴(kuò)大了應(yīng)用范圍。這些研究均證明與UKF/CKF相比,強跟蹤UKF/CKF具有更好的魯棒性,獲得更好的濾波性能。文獻(xiàn)[12]基于飛行器姿態(tài)估計模型中量測函數(shù)的特性,建立新的多重漸消因子求解方法,獲得了比單漸消因子強跟蹤UKF更好的魯棒性和濾波性能。

        然而,現(xiàn)有研究雖然嘗試對多漸消因子的求解方法進(jìn)行提高完善, 總的來說仍然沿用了傳統(tǒng)多重漸消因子的引入方法,只利用了協(xié)方差矩陣中對角線的信息,即各個狀態(tài)本身的方差,而沒有考慮各個變量之間的相關(guān)性。為此,本文提出漸消因子矩陣,建立新的多漸消因子強跟蹤CKF(multiple fading factors strong tracking cubature Kalman filter,,MSTCKF),克服原來方法的不足,充分提取協(xié)方差矩陣中的信息,提高漸消因子對各個變量保持良好跟蹤的能力。仿真表明,MSTCKF在魯棒性和濾波精度方面均明顯優(yōu)于CKF,具有良好應(yīng)對狀態(tài)突變的能力。

        1 容積卡爾曼濾波

        考慮如下非線性離散系統(tǒng):

        xk=f(xk-1)+wk-1

        (1)

        yk=h(xk)+vk

        (2)

        其中:xk∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量,yk∈Rm為量測向量,n和m為對應(yīng)維數(shù);f(·)和h(·)分別為非線性系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)和量測函數(shù);wk-1∈Rn為系統(tǒng)噪聲,vk∈Rm為量測噪聲,二者均為高斯白噪聲,且互不相關(guān),協(xié)方差矩陣為Qk和Rk。

        CKF算法流程如下:

        2)時間更新

        ①選取容積點i=(1,2,…l)

        (3)

        其中:l=2n,其中Sk-1為Pk-1平方根。

        ②計算傳遞后容積點

        (4)

        ③計算k時刻狀態(tài)預(yù)測值

        (5)

        ④計算k時刻未引入漸消因子的預(yù)測誤差協(xié)方差陣平方根

        (6)

        3)量測更新

        ①選取容積點i=(1,2,…l)

        (7)

        ②計算傳遞后容積點

        yi,k/k-1=h(Xi,k/k-1)

        (8)

        ③計算k時刻觀測預(yù)測值

        (9)

        ④計算互相關(guān)協(xié)方差陣

        Pxy,k/k-1=χk/k-1(Yk/k-1)T

        (10)

        其中:

        (11)

        (12)

        ⑤計算k時刻新息協(xié)方差陣

        (13)

        ⑥計算k時刻濾波增益陣

        Kk=Pxy,k/k-1/Pyy,k/k-1

        (14)

        ⑦計算k時刻狀態(tài)估計值

        (15)

        ⑧計算k時刻狀態(tài)誤差協(xié)方差陣

        (16)

        2 多漸消因子容積卡爾曼濾波

        2.1 多漸消因子計算方法分析

        與通常濾波器相比,STF具有以下優(yōu)良的特性:

        1)較強的關(guān)于模型不確定性的魯棒性。

        2)極強的關(guān)于突變狀態(tài)的跟蹤能力,甚至在系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)時,仍保持對緩變狀態(tài)與突變狀態(tài)的跟蹤。

        3)適中的計算復(fù)雜度。

        STF基于正交原理,在線選取一個適當(dāng)?shù)臅r變增益矩陣Kk,使得以下條件成立

        (17)

        (18)

        其中:ek為k時刻的殘差。式(17)是濾波器性能指標(biāo),式(18)要求濾波器中不同時刻的殘差序列保持處處正交,也是正交性原理這一名稱的由來。

        為此,STF利用衰減記憶濾波思想,將漸消因子引入預(yù)測誤差協(xié)方差矩陣,進(jìn)而實時調(diào)整增益矩陣,強迫濾波殘差滿足式。多漸消因子引入位置具體如下:

        (19)

        其中:LMDk=diag[λ1,k,λ2,k,…,λn,k]為多重漸消因子,F(xiàn)k為雅可比矩陣。

        目前對LMDk的計算主要有兩種方法:

        (1)基于先驗知識的比例系數(shù)[15]

        當(dāng)系統(tǒng)的先驗知識可以大致確定λ1,k:λ2,k:…:λn,k=a1:a2:…:an時,多重漸消因子計算方法如下:

        (20)

        其中:

        λ1,k=aiCk

        (21)

        (22)

        (23)

        (24)

        其中:tr(·)為矩陣求跡運算,Hk和Fk分別為對應(yīng)雅克比矩陣,Vk為實際輸出殘差序列的協(xié)方差矩陣,估算如下:

        (25)

        其中是ρ遺忘因子,0<ρ≤1,通常取ρ=0.95。

        從式(22)可以看出,該多漸消因子計算方法實際上只計算一個標(biāo)量漸消因子,然后通過提前設(shè)定的好的比例因子,得出最后的多漸消因子。

        該方法的優(yōu)點是計算簡潔,與單漸消因子類似,不需要對雅克比矩陣Hk進(jìn)行求逆等運算。不足是:

        1) 基于先驗知識的比例系數(shù)在實際應(yīng)用中難以確定,局限了它的使用范圍;

        2) 提前確定的比例系數(shù),實際上只能對應(yīng)特定類型的故障,不能很好處理實際應(yīng)用中可能出現(xiàn)復(fù)雜多變的故障。例如:

        λ1,k:λ2,k:…:λn,k=5:1:…:1時,則與第一個狀態(tài)相關(guān)的故障更容易被檢測到,而與第一個狀態(tài)無關(guān)的故障,一定程度上會被弱化,且求得其他的漸消因子分量也會小于λ1,k,不符合實際。

        (2)基于部分量測函數(shù)雅克比矩陣信息[12-14]

        當(dāng)n≠m時,若量測矩陣Hk的秩為:

        rank(Hk)=min(n,m)

        (26)

        則有:

        (27)

        其中:Dk為Hk中不為0的行或者列組成的滿秩矩陣,Jk為LMDkPk/k-1中對應(yīng)行列形成的滿秩矩陣。則有:

        (28)

        Dk為滿秩矩陣,故Dk可逆,有:

        (29)

        令上式中兩邊矩陣對角線元素相等,則有:

        (30)

        從而求得:

        (31)

        該多漸消因子計算方法的優(yōu)點是避免了對先驗知識的依賴,降低應(yīng)用限制,使多漸消因子能適用于更多場景。

        該方法的不足也很明顯,它能求得漸消因子個數(shù)為量測矩陣Hk的秩,即min(n,m),顯然的,當(dāng)n>m時,并不能為每一個狀態(tài)提供一個漸消因子,不能達(dá)到每個狀態(tài)單獨優(yōu)化的目的。另一方面,從Hk中選取不為0的行或者列組成的滿秩Dk時,并沒有給出合理的選取方法,僅當(dāng)Hk中不為0的行或者列恰好為min(n,m)時,Dk是唯一的。當(dāng)Hk中不為0的行或者列大于min(n,m)時,Dk并不唯一,不能分辨哪個Dk是最合理的,也就無法確定多漸消因子與各個狀態(tài)變量之間的對應(yīng)關(guān)系,導(dǎo)致不能使用。

        (3)基于量測函數(shù)雅克比矩陣信息

        與方法(2)相比,該方法不考慮量測矩陣Hk的秩,直接使用量測矩陣Hk的廣義逆,即:

        (32)

        令:

        (33)

        (34)

        則LMDk計算如下:

        (35)

        其中:

        (36)

        與前面兩種方法相比,該方法即避免了對先驗知識的依賴,也不存在無法確定Dk的問題,具有更好的實用性。

        綜上,3種多漸消因子求解方法均存在明顯的不足。從它們計算多漸消因子的過程中也可以看出,它們只利用了協(xié)方差矩陣中對角線上的信息,并沒有考慮協(xié)方差矩陣中其他元素對濾波精度和魯棒性的影響,即沒有充分考慮狀態(tài)之間的相關(guān)性,這一定程度上會導(dǎo)致降低強跟蹤濾波方法的魯棒性和濾波精度,不能充分發(fā)揮多漸消因子對各個變量分開修正的優(yōu)勢。

        2.2 一種新的多漸消因子求解方法

        自從強跟蹤思想提出以來,對于多漸消因子的定義一直為:

        LMDk=diag[λ1,k,λ2,k,…,λn,k]

        (37)

        其中:LMDk是一個對角矩陣。

        從LMDk定義可知,LMDk在一開始就沒有考慮各個狀態(tài)之間的相關(guān)性,認(rèn)為各個變量是獨立的。從前面分析的LMDk計算方法看,均只利用了各個狀態(tài)本身的方差,而并沒有充分利用各個狀態(tài)之間的相關(guān)性。

        為此,本文提出一種新的多漸消因子定義,將多漸消因子從向量擴(kuò)展為漸消因子矩陣:

        MDk=λi,j,i,j=1,2,…n

        (38)

        則CKF中引入漸消因子矩陣如下式:

        (39)

        對于式(18),在CKF中有:

        Fk+1,k(I-Kk+1Hk+1)Fk+1,k(Pxy,k/k-1-KkVk)=0

        (40)

        即有:

        Pxy,k/k-1-KkVk=0

        (41)

        式成立的充要條件為:

        Pyy,k=Vk

        (42)

        即理論殘差協(xié)方差矩陣和實際殘差協(xié)方差矩陣相等。將式(39)帶入上式,并進(jìn)行簡化后得:

        (43)

        當(dāng)Hk不是方陣時,(Hk)-1為廣義逆矩陣。令:

        (44)

        (45)

        則MDk計算如下:

        (46)

        式中,Mk的計算比較復(fù)雜,結(jié)合式進(jìn)一步簡化得:

        (47)

        其中:上標(biāo)‘s’為引入漸消因子前的對應(yīng)變量。

        在傳統(tǒng)多漸消因子方法中,需要對各個漸消因子的值進(jìn)行判斷,保證漸消因子的值大于1,而在本文提出漸消因子矩陣MDk中,對角線元素的變化,也會影響和別的變量之間的相關(guān)系數(shù),故不在做漸消因子大于1的要求,直接使用求解得到的漸消因子矩陣MDk。

        2.3 算法流程

        基于式(1)和式(2)所確定的非線性模型,MSTCKF算法流程如下:

        3)計算漸消因子:由式(44)、(45)和(46)計算得到多漸消因子,帶入式(39)得到引入漸消因子后的預(yù)測誤差協(xié)方差矩陣Pk/k-1。

        4)量測更新:由式(7)~式(16)求解得k時刻狀態(tài)估計值xk和k時刻引入漸消因子前的誤差協(xié)方差矩陣Pk。

        3 仿真結(jié)果與分析

        采用某一強耦合非線性隨機系統(tǒng)[16]來驗證MSTSCKF的有效性,并對量測方程做了相應(yīng)修改,具體如下:

        為驗證本文提出的MSTSCKF處理狀態(tài)突變的能力,仿真中采用3種方法進(jìn)行對比:SCKF、基于第3種多漸消因子求解方法的STSCKF和本文提出的MSTSCKF。

        假設(shè)在k=70和k=140時,由于外部干擾,xk,1分別有+4和-3的突變。3種方法對4個狀態(tài)的估計如圖1~4所示。

        從圖1中可知,在突變發(fā)生前,3種方法對各狀態(tài)的估計都相當(dāng)準(zhǔn)確,能完美跟蹤狀態(tài)。當(dāng)k=70突變發(fā)生后,SCKF已經(jīng)處于穩(wěn)定狀態(tài),增益矩陣趨于極小值,失去跟蹤突變狀態(tài)的能力,不能及時響應(yīng)狀態(tài)突變,需要很長一段時間才能對回到正常誤差區(qū)間,應(yīng)對干擾能力不足,魯棒性較差。STSCKF和MSTSCKF由于采用多漸消因子,對各個狀態(tài)分開修正,均能有效的從殘差中提取信息,實現(xiàn)對xk,1在k=70和k=140突變狀態(tài)的跟蹤,響應(yīng)速度快,魯棒性好,并沒有因為xk,1突變而導(dǎo)致濾波精度的下降。

        圖1 3種方法對xk,1的狀態(tài)估計

        圖2 3種方法對xk,2的狀態(tài)估計

        圖3 3種方法對xk,3的狀態(tài)估計

        圖4 3種方法對xk,4的狀態(tài)估計

        從圖2、圖3和圖4可見,SCKF受xk,1的影響,對其他三個狀態(tài)的估計也很差,產(chǎn)生了一個明顯的偏差和跳變,且到仿真結(jié)束也沒有收斂到正常值。

        在圖1和圖2中,STSCKF和MSTSCKF有近乎一樣的濾波性能,從圖上并不能明顯看出兩者的區(qū)別。而在圖3和圖4中,STSCKF僅考慮各個狀態(tài)的方差,沒有考慮狀態(tài)間相關(guān)性的不足凸顯出來。STSCKF在突變發(fā)生后,對xk,3和xk,4的估計值都產(chǎn)生了一個明顯的跳躍,且在剩下的時間里面,估計值一直沒有重新收斂到理論值。與STSCKF相反,MSTCKF,對xk,3和xk,4的估計值在突變前后一直都很穩(wěn)定,并沒有受xk,1狀態(tài)突變的影響。因此,采用漸消因子矩陣的MSTCKF能真正意義上實現(xiàn)了對各個狀態(tài)變量進(jìn)行多通道優(yōu)化,互不影響,有效地保證了濾波器的最優(yōu)性,克服了現(xiàn)有多漸消因子方法沒有考慮狀態(tài)間相關(guān)性的不足。

        4 結(jié)束語

        通過分析當(dāng)前常用的3種多漸消因子強跟蹤計算方法優(yōu)缺點,發(fā)現(xiàn)它們均只利用協(xié)方差矩陣中對角線元素,沒有考慮各個狀態(tài)之間的相關(guān)性。針對該問題,本文將多漸消因子從向量擴(kuò)展為漸消因子矩陣,克服了當(dāng)前方法的不足,并根據(jù)正交原理推導(dǎo)建立漸消因子矩陣的求解方法,提出MSTCKF。與傳統(tǒng)多漸消因子不同,漸消因子矩陣由于考慮狀態(tài)之間的相關(guān)性,修改對角線元素將會影響其他位置元素,故不再限制漸消因子取值必須大于1。仿真表明,在狀態(tài)突變情況下,MSTCKF的濾波性能和魯棒性優(yōu)于STCKF,能真正實現(xiàn)各個狀態(tài)分開估計,保證其他狀態(tài)的估計不受突變狀態(tài)的影響。MSTCKF也能被用于信號處理、目標(biāo)跟蹤、故障檢測、捷聯(lián)慣導(dǎo)等領(lǐng)域中,提高定位跟蹤精度,具有一定的實際應(yīng)用價值。

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