肖楚晗， 李炯， 雷虎民， 王華吉

(1. 空軍工程大學 研究生學院， 西安 710051; 2. 空軍工程大學 防空反導學院， 西安 710051)

近年來，臨近空間高超聲速飛行器的快速發(fā)展對中國的空天防御安全構成了極大的威脅，開展針對此類高速目標的攔截策略研究迫在眉睫[1]。與傳統(tǒng)的飛機類目標以及彈道類目標不同，高超聲速再入滑翔式飛行器(Hypersonic Reentry-Glide Vehicle, HRGV)具有高機動、高速、打擊范圍廣等特點，現階段幾乎無防御系統(tǒng)能夠完成對其的攔截任務，故研究HRGV對中國的國防事業(yè)有著重大意義。

HRGV的機動范圍在距地面20～60 km、空氣稀薄的臨近空間內，飛行速度極快，與大氣相互作用形成等離子鞘套并產生湍流尾跡等特殊的電磁/光學現象，對攔截方的探測預警系統(tǒng)的要求極高[1-2]，高超聲速目標的跟蹤難度大。但同時熱流、動壓、過載等硬性條件將高超目標的機動限制在一定范圍內[3-5]，且高超聲速滑翔式目標的機動能力有限。這些限制都為高超聲速目標的跟蹤提供了基礎。HRGV的典型代表是美國軍隊研制的高超聲速技術飛行器(Hypersonic Technology Vehicle,HTV-2)和先進高超聲速武器(Advanced Hypersonic Weapon, AHW)，其中AHW因其外形結構更適合有效負載，實用性更高。本文以AHW為研究對象展開討論。

高超聲速目標的運動模式多變，運動模式與跟蹤模型難以匹配，且目標運動速度快、范圍大，因此對目標的跟蹤精度難以滿足攔截方的要求。為了提高跟蹤精度，國內外相關文獻主要圍繞跟蹤方法與目標運動模型展開研究。

在目標運動模型方面，文獻[6]針對作周期性的滑躍機動的臨近空間高超聲速目標，設計了一種運動學模型，該模型將加速度建模為正弦波自相關的零均值隨機過程。文獻[7]基于“當前”統(tǒng)計模型的思想，提出了一種可實時修正轉彎角速度的交互式多模型(IMM)算法，用于高超聲速目標跟蹤。但以上研究采用了較為單一的模型進行目標跟蹤，無法完全覆蓋高超聲速目標的機動模式，故多采用多模型對高超目標進行跟蹤。文獻[8-9]將白噪聲模型(如常速(CV)模型、常加速度(CA)模型)與Morkov過程模型(如Singer模型)相結合，提出了基于CV-CA-Singer的IMM算法，分別對X-51飛行器的平飛加速巡航和俯沖攻擊段以及滑躍式機動飛行的高超聲速目標進行跟蹤。文獻[10]則在文獻[6]的基礎上針對滑躍式機動的高超聲速目標，將正弦波模型與CV[11]、CA[12-13]模型組成IMM算法。

然而若采用固定結構的交互式多模型(FSIMM)算法，模型集中很多模型在特定的時間內與系統(tǒng)的有效模式差別較大，且這些“多余”模型的不必要的競爭降低了跟蹤精度[14]，對跟蹤模型數量和類型的綜合選取限制了FSIMM算法的應用。為此，國外學者提出了基于變結構的多模型估計(VSMM)理論的跟蹤方法，以突破FSIMM算法的局限性并提高了跟蹤算法的精度。其中，文獻[15]提出了3種模型集自適應方法：激活有向圖(AD)方法，自適應網格(AG)方法，有向圖切換(DS)方法。文獻[16]基于DS方法利用加速度與角速度為模型的參數，同時依據模型的后驗概率對子模型實時地進行調整，從而實現模型集自適應的變結構算法。但模型可跳轉的模式是有限的，即有向圖結構是固定，算法的自適應程度受限于有向圖結構的復雜程度。與文獻[16]相比，文獻[17-19]均增強了算法的自適應性，并選取角速度為模型參數。其中，文獻[17]提出了利用自適應網格交互式多模型(AGIMM)算法跟蹤高機動模型。文獻[18]則借鑒了文獻[17]的思想，將AGIMM算法運用到對臨近空間高超聲速目標的跟蹤，通過轉彎角速度自適應，結合了多模型粒子濾波算法，調整模型集中3個模型的參數，從而完成濾波跟蹤算法的自適應。文獻[19]基于有向圖的切換，根據卡爾曼濾波公式，提出了一種角速度濾波方法，并根據角速度的估計值修正有向圖。但文獻[17-19]的算法中均存在運動學濾波模型較為單一，無法完全覆蓋所有機動模式的不足。AGIMM算法中每個模型的運動學跟蹤模型始終采用的是勻速轉彎(CT[20])模型，然而當轉彎角速率很小，接近于0時，可將目標運動近似為直線運動，此時，若仍然只采用CT模型為跟蹤系統(tǒng)的運動學模型進行濾波，則會對濾波精度造成影響。針對上述AGIMM算法運動學模型單一，無法適用于所有運動模式的問題，本文提出了一種自適應變結構交互多式模型(AVSIMM)算法跟蹤高超聲速目標，同時選擇更優(yōu)的跟蹤運動模型并進行比較，通過對濾波算法與跟蹤模型的雙重自適應調整，最終改善了目標跟蹤算法的跟蹤性能。

1 高超聲速目標運動學模型

高超聲速飛行器在縱向平面內發(fā)生機動時，描述其運動的狀態(tài)方程的形式為

X(k+1)=F(k)X(k)+Γ(k)w(k)

(1)

此時當系統(tǒng)采用常速(CV)模型和勻速轉彎(CT)模型進行目標跟蹤時，假設系統(tǒng)的采樣時間間隔為T，目標的轉彎角速度為ω，則系統(tǒng)的離散化狀態(tài)轉移矩陣為

(2)

FCT2=

(3)

(4)

(5)

式中：α為機動時間常數的倒數，而機動時間常數又與目標的機動時間持續(xù)的長短有關。

2 AVSIMM算法

為解決AGIMM算法中運動學濾波模型單一的問題，考慮添加CV、CA、Singer等運動學模型，用于描述直線運動的模型作為系統(tǒng)的。但在直接增添運動學模型的同時，會增加模型集中的模型數量，進而加強模型之間的競爭關系，降低跟蹤精度，故設計了一種AVSIMM算法：設置一個合適的門限值，當濾波更新得到的角速度值小于門限值時，自適應選擇跟蹤系統(tǒng)的運動學模型為CV、CA或Singer模型。至此，在模型集參數自適應的基礎上，實現了算法結構的自適應。

(6)

在每個循環(huán)時間步長(k→k+1)內，模型集按照以下步驟進行自適應調整。

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：t2為檢測閾值。

(12)

(13)

步驟3k時刻誤差協(xié)方差矩陣與狀態(tài)估計值融合。

狀態(tài)與誤差協(xié)方差矩陣采用的是交互式多模型算法，具體過程如下：

(14)

2)k時刻每個模型的狀態(tài)估計和誤差協(xié)方差矩陣初始化

(15)

(16)

步驟4更新狀態(tài)轉移矩陣Fk+1。

步驟5擴展卡爾曼濾波。

系統(tǒng)的狀態(tài)與誤差協(xié)方差估計為

(17)

(18)

系統(tǒng)的量測預測為

(19)

量測矩陣的雅可比矩陣為

(20)

新息協(xié)方差矩陣為

(21)

量測一步預測為

(22)

狀態(tài)與誤差協(xié)方差估計為

(23)

(24)

式中：i=1,2,…,r，代表模型集中的第i個模型。

步驟6k+1時刻誤差協(xié)方差矩陣與狀態(tài)估計值融合。

1) 模型似然函數更新：

i=1,2,…,r

(25)

2) 模型概率更新：

(26)

3) 誤差協(xié)方差矩陣與狀態(tài)估計值融合：

(27)

(28)

AVSIMM算法采用了直線運動模型與協(xié)調轉彎模型自適應，與AGIMM算法相比，轉彎協(xié)調模型仍采用CT模型，而在描述直線運動時，可選擇CV、CA、Singer模型。

Singer模型是一個Markov過程模型，通過選擇Singer模型中的參數0<αT<∞，能夠使Singer模型介于CV模型和CA模型之間，較之二者，Singer模型具有更寬的覆蓋面[14]。同時，在關于目標機動的在線信息不足或不準確的情況下，相比較CV、CA模型，Singer模型是最理想的模型。

下文將把基于CT、Singer模型的AVSIMMⅠ算法與基于CT、CV模型的AVSIMMⅡ算法以及文獻[18]中只基于CT模型的AGIMM算法的仿真結果進行比較。同時，考慮到臨近空間高超聲速目標與普通高機動目標存在一定的差異性，而本文設計的方法的理論基礎不是針對的臨近空間目標的，故為了體現設計方法的性能，還將與文獻[10]中針對臨近空間高超聲速目標提出的IMM算法作比較。

3 算法對比與仿真

本文以跟蹤臨近空間高超聲速再入滑翔彈AHW為研究背景。因現階段無AHW的真實實驗數據，故利用通用飛行器(Common Aerial Vehicle, CAV)模型[22]作為參考，結合基本的動力學方程，利用GPOPS[23]軟件近似模擬為AHW的機動軌跡?？紤]到AHW主要是在縱向平面內大范圍的跳躍機動，本文針對該機動方式研究平面內的目標跟蹤問題[16,24-25]。同時考慮到假設在縱向二維平面內對高超聲速飛行器進行跟蹤，設目標在(1 500,60) km處開始機動，仿真得到目標的真實軌跡如圖1所示。

在二維平面內，設機動目標與基站的相對位置關系如圖1所示。圖中d為目標與基站之間的相對距離，φ為目標俯仰角，規(guī)定逆時針為正。故可得高超聲速模型的量測方程為

(29)

離散化得

zk=h(xk+1)+Vk+1

(30)

式中：

(31)

(32)

目標在(1 500,60) km處開始機動，其真實軌跡如圖2所示。

圖1 AHW目標與基站相對位置示意圖Fig.1 Schematic diagram of relative position of AHW target to base station

圖2 目標運動真實軌跡Fig.2 True trajectory of target moving

設定觀測基站坐標為(0,0)，跟蹤時間為277 s，采樣周期為T=0.5 s，量測距離標準差為50 m，俯仰角的標準差為0.05°，即量測協(xié)方差矩陣為diag(0.05 km,0.05π/180 rad)。同時，考慮到EKF算法的局限性，所有的位置、速度、加速度單位均為km、km/s、km/s2。

4種算法中，每個模型集包含3個模型，設定初始時刻3個模型的初始概率為[0.01,0.98,0.01]T。初始模型轉移概率矩陣為

(33)

跟蹤目標的位置和速度的均方根誤差(RMSE)的計算公式為

(34)

(35)

3.1 跟蹤軌跡對比

根據以上設定的仿真條件，考慮到觀測矩陣的非線性性，利用EKF算法得到基于AVSIMMⅠ算法、AVSIMMⅡ算法、AGIMM算法、IMM算法的目標跟蹤軌跡。進行100次蒙特卡羅仿真，結合跟蹤目標的真實運動軌跡，得到對比如圖3所示。

由圖3易知，4種算法都能夠實現對臨近空間高超聲速目標的有效跟蹤。為了完成對4種算法的進一步比較，下面將對4種算法的速度誤差、位置誤差、速度均方根誤差以及位置均方根誤差的比較進行具體討論與分析。

圖3 目標真實軌跡與4種算法估計軌跡Fig.3 True trajectory of target and estimation trajectories in four algorithms

3.2 位置與速度的估計誤差結果對比

基于AVSIMMⅠ算法、AVSIMMⅡ算法、AGIMM算法以及IMM算法對目標位置的估計誤差如圖4所示，速度誤差估計如圖5所示。

結合表1和圖4可知，AVSIMM算法中x方向與y方向的位置誤差要小于AGIMM算法與IMM算法中x方向與y方向的位置誤差。由表1與圖5可知，AVSIMM算法x方向與y方向的速度誤差要小于AGIMM算法的x方向與y方向的速度誤差，而AGIMM算法在x方向上的速度誤差大于IMM算法，而其在y方向上的速度誤差則小于IMM算法。而結合表1與圖4、圖5比較AVSIMMⅠ算法與AVSIMMⅡ算法的位置與速度誤差可知，前者的速度與位置誤差均小于后者。綜上，AVSIMMⅠ算法的速度與位置誤差最小，跟蹤性能最優(yōu)。

根據式(34)，可以得到基于AVSIMMⅠ、AVSIMMⅡ、AGIMM算法以及IMM算法的目標位置跟蹤的均方根誤差(RMSE)，如圖6所示。

根據式(35)，可以得到基于AVSIMMⅠ、AVSIMMⅡ、AGIMM算法、IMM算法的目標速度跟蹤的RMSE，如圖7所示。

圖4 目標跟蹤位置誤差Fig.4 Position error of target tracking

圖5 目標速度誤差Fig.5 Velocity error of target tracking

表1 位置、速度估計誤差絕對值之和Table 1 Sum of absolute value of position and velocity estimation error

圖6 位置均方根誤差Fig.6 Root mean square error of position

結合表2與圖6可知，AVSIMM算法的位置均方根誤差要小于AGIMM算法，而AGIMM算法的位置均方根誤差則小于IMM算法，結合表2與圖7可知，AVSIMM算法與AGIMM算法、IMM算法相比，AVSIMM算法的速度均方根誤差更小。同時由表2與圖6、圖7可知，AVSIMMⅠ算法的位置均方根誤差與速度均方根誤差均小于與AVSIMMⅡ算法。同時由表2易知，AVSIMM算法仿真的時長雖略長于AGIMM算法，但AVSIMM算法的速度與位置均方根誤差更小，且IMM算法的仿真時間最長，故AVSIMM算法在單位時間內的跟蹤效率更高,實用性更強。同樣的，AVSIMMⅠ算法的跟蹤效率高于AVSIMMⅡ算法。

圖7 速度均方根誤差Fig.7 Root mean square error of velocity

表2 位置、速度均方根誤差之和及仿真時間Table 2 Sum of root mean square error of position and velocity and simulation time

4 結 論

本文設計了一種同時具有結構與參數自適應的交互式多模型的高精度濾波算法，研究了對臨近空間高超聲速再入滑翔目標的跟蹤問題。

通過仿真結果可以得到如下結論：

1) AVSIMM算法在算法結構上明顯優(yōu)于AGIMM算法與文獻[10]中設計的針對臨近空間高超聲速目標的IMM算法。

2) AVSIMMⅠ算法在運動學模型上明顯優(yōu)于AVSIMMⅡ算法。故設計的2種AVSIMM算法中，AVSIMMⅠ算法的跟蹤效果最佳。

本文算法重點討論了對高超聲速目標的跟蹤情況，但考慮到目標的加速度氣動參數信息也與目標機動情況緊密相關，故下一步工作考慮將加速度與氣動參數擴維到狀態(tài)向量中進行濾波算法設計。