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(1.中國鐵道科學研究院 研究生部，北京 100081；2.中國鐵道科學研究院集團有限公司 基礎設施檢測研究所，北京 100081)

隨著我國高速鐵路運營里程不斷增長，鐵路領域內對于獲取實測鋼軌廓形數(shù)據(jù)的需求快速增長。實測鋼軌廓形數(shù)據(jù)是鋼軌磨耗計算、輪軌接觸參數(shù)計算以及鋼軌廓形分析的基礎。雖然大多數(shù)測量設備在導出數(shù)據(jù)時已經(jīng)作了一定的平滑處理，但由于設備擺放誤差、鋼軌表面臟污未得到有效清理等原因，實測數(shù)據(jù)中仍存在畸變點[1]。鋼軌廓形平滑處理一般采用樣條平滑法、滑動平均法、中值濾波法等方法[1-7]。常用方法不能達到理想的平滑效果，因此需要研發(fā)一種高速鐵路實測鋼軌廓形畸變點平滑處理方法。

本文在分析實測高速鐵路鋼軌廓形的基礎上，結合法向距離曲線計算、FFT及其逆變換和邊界延拓方法，提出了一種能夠有效消除鋼軌廓形畸變點的平滑處理方法。

1 常用鋼軌廓形平滑處理方法

圖1 實測鋼軌廓形及其畸變點局部放大

圖2 標準CN60鋼軌廓形

實測鋼軌廓形如圖1(a)所示，圖中虛線部分可見較嚴重畸變點，放大后如圖1(b)所示。標準CN60鋼軌的軌頭大致包括兩部分，如圖2所示。其中一部分如實線所示，為直線段。另一部分如虛線所示，為曲線段。高速鐵路鋼軌服役過程中，區(qū)段Ⅰ和區(qū)段Ⅲ一般情況下不發(fā)生磨耗?？衫脜^(qū)段Ⅰ和區(qū)段Ⅲ的實測數(shù)據(jù)，采用旋轉、平移等操作將鋼軌廓形進行坐標對齊。在廓形對齊的基礎上，進行平滑處理。

1.1 樣條平滑法

(1)

式中：p為平滑化參數(shù)，p∈[0,1]，當p為0時，光滑處理后的圖形為最小二乘法擬合的直線，當p為1時，光滑處理后的圖形與原圖形相同；yi為原始輸入數(shù)據(jù)的y坐標;f(xi)為與yi相對應的xi的三次樣條函數(shù)在xi點的函數(shù)值；λ為粗糙度權重系數(shù)；d2f(t)是函數(shù)f的二階導數(shù)。

在某些情況下，樣條平滑法得到的數(shù)據(jù)存在“回折”的現(xiàn)象，如圖3虛線部分所示。

圖3 樣條平滑法處理后的鋼軌廓形

1.2 滑動平均法

滑動平均法是一種由來已久，較為直觀簡便易于理解的方法。對于點序列{(xi,yi)|i=1,2,…,n}，依次計算m個點坐標的平均值，替換中間點的數(shù)值，從而使數(shù)據(jù)序列擺脫隨機性的干擾。其公式為

(2)

式中：q為正整數(shù)；m為滑動平均的范圍，或稱為窗長，m=2q+1。

滑動平均法適用于消除周期性噪聲，然而對于數(shù)據(jù)中隨機發(fā)生的脈沖型的畸變點效果較差。采用滑動平均法處理后的鋼軌廓形同樣存在“回折”現(xiàn)象，如圖4 所示。

圖4 滑動平均法處理后的鋼軌廓形

1.3 中值濾波法

對于點序列{(xi,yi)|i=1,2,…,k,…,m}，第k個點xk所對應的值yk取該點前后n個點的中位數(shù)。計算過程分為2種情況:當n為奇數(shù)時，yk取yk-(n-1)/2,…,yk+(n-1)/2的中值；當n為偶數(shù)時，yk取yk-n/2，…，yk+n/2的中值。

中值濾波方法簡單易用，對于消除單點式的干擾有很好的作用，但對于消除鋼軌廓形中連續(xù)多點的干擾效果不理想。當n≤9時，畸變點不能得到有效消除，如圖5所示；當n>9時，曲線的首尾出現(xiàn)向上的折線，如圖6所示。

圖5 中值濾波法處理后的鋼軌廓形(n≤9)

圖6 中值濾波法處理后的鋼軌廓形(n>9，n=12)

綜上所述，常用平滑方法處理效果不理想，需要研究一種適用于實測鋼軌廓形畸變點的平滑處理方法。

2 法向距離曲線濾波法

2.1 計算流程

針對高速鐵路實測鋼軌廓形的特點，提出了法向距離曲線濾波法：首先，將實測廓形與標準廓形對齊，計算實測鋼軌廓形與標準廓形的法向距離；其次，結合FFT、逆FFT和邊界延拓方法，對法向距離曲線進行濾波；最后，將濾波后的法向距離曲線疊加到標準廓形上，得到平滑處理后的實測鋼軌廓形。計算流程如圖7所示。

圖7 計算流程

2.2 法向距離曲線計算

圖8 實測鋼軌廓形與標準鋼軌廓形法向距離曲線

2.3 FFT及其逆變換

通過對法向距離曲線作傅里葉變換可以看出，誤差項的能量主要集中在波數(shù)相對大的波段上。利用傅里葉變換和逆傅里葉變換構造一個低通濾波器[9]，自動濾除鋼軌廓形中的高頻畸變部分。

記法向距離曲線上的采樣點為x(i),i=0,1,2,…,N-1，其中N表示采樣點數(shù)，采樣間隔為9個點/mm。對法向距離進行離散傅里葉變換得到X(k)和它所對應的波數(shù)f(k),即

假定小于3 mm波長的成分為畸變點。找出波數(shù)f(k)大于1/3的最大整數(shù)K，得

K=(N-1)/9×(1/3)+1

(4)

式中：[]表示向下取整運算符。

令X(K),X(K+1),…,X(N-1)傅里葉系數(shù)為0。對X(0),X(1),X(2),…,X(N-1)按式(5)進行逆傅里葉變換得到濾除趨勢項后的法向距離曲線。

濾波后的法向距離曲線如圖9所示。

圖9 濾波前后的法向距離曲線對比

2.4 邊界延拓

由圖9可知，濾波后的法向距離曲線很好地消除了局部畸變點的影響，使得曲線光滑。事實上，采用FFT方法進行低通濾波過程中，會產(chǎn)生如圖9虛線框部分所示的邊界效應[10-11]，使濾波后的曲線偏離法向距離曲線。為了消除這種影響，本文采用了鏡像延拓方法[12]。

記信號x(t)在時刻序列t={ti,i=1,2,…，lx}上的采樣值為x={xi,i=1,2,…，lx}，其中xi=x(ti)，lx為待延拓的信號長度。另外，記采樣時刻段的極大值點序列為Pmax={Pmax,j,j=1,2,…，m0}，采樣時刻段的極小值點序列為Pmin={Pmin,j,j=1,2,…，n0}。

如果Pmax,m0

如果Pmax,m0>Pmin,n0則根據(jù)Pmin,n0和tlx的大小關系確定鏡像映射軸。若Pmin,n0≥tlx則鏡像映射軸取為τ=tlx；若Pmin,n0

經(jīng)過邊界延拓再進行濾波的法向距離曲線如圖10 所示?？芍?jīng)過邊界延拓再濾波的法向距離曲線受邊界效應的影響明顯減小。將經(jīng)過邊界延拓和濾波后的法向間距曲線疊加到標準型面上，得到重構的實測鋼軌廓形曲線，如圖11所示。從圖中可看出，重構的實測廓形消除了畸變點。

圖10 邊界延拓和濾波后的法向距離曲線

圖11 平滑處理后的實測鋼軌廓形與原始鋼軌廓形對比

3 處理效果分析

將實測鋼軌廓形進行平滑處理，利用處理后的鋼軌廓形進行輪軌接觸參數(shù)計算[13-14]，以接觸位置、滾動圓半徑差(RRD)曲線以及等效錐度為例來說明處理效果。

3.1 輪軌接觸位置對比

通過多體動力學軟件SIMPACK計算鋼軌廓形處理前后的輪軌接觸點位置，計算結果如圖12所示。可知，平滑處理前的鋼軌廓形接觸點較為集中，尤其在發(fā)生輪緣接觸前，接觸點集中在畸變點范圍內。反之，平滑處理后的鋼軌廓形輪軌接觸點分布相對均勻，說明輪軌接觸點發(fā)生轉移時較為連續(xù)，未受到畸變點的影響。綜上可知，實測鋼軌廓形平滑處理效果顯著，按照處理后的鋼軌廓形計算得到的輪軌接觸參數(shù)更加真實可靠。

圖12 平滑處理前后的輪軌接觸點計算結果

3.2 滾動圓半徑差曲線計算結果對比

利用規(guī)范UIC519編制程序,計算輪軌接觸左右滾動圓半徑差曲線。按照平滑處理前的鋼軌廓形計算得到的滾動圓半徑差曲線如圖13實線所示。橫移量±7.5 mm范圍內的滾動圓半徑差曲線接近一條直線，表明左右滾動圓半徑差幾乎未發(fā)生變化。其原因是：如圖14所示，輪軌接觸點始終在車輪與鋼軌畸變點上，因此左右滾動圓半徑差幾乎未改變。

圖13 平滑處理前后鋼軌廓形與標準車輪踏面組合計算得到的左右滾動圓半徑差曲線

圖14 鋼軌廓形存在畸變點情況下的輪軌接觸示意

利用平滑處理后的實測鋼軌廓形計算滾動圓半徑差，得到如圖13虛線所示結果。表明車輪發(fā)生橫移的過程中能夠產(chǎn)生一定的滾動圓半徑差，使車輪具備一定的恢復對中能力[6]，較好地還原了輪軌實際接觸狀態(tài)。

3.3 等效錐度計算結果對比

利用3.2節(jié)中所述的輪軌接觸計算程序計算等效錐度，結果如圖15所示。

圖15 鋼軌廓形處理前后等效錐度計算結果對比

從圖15可知，鋼軌廓形處理前后計算結果存在較大差異。按照平滑處理前的鋼軌廓形計算得到的等效錐度在橫移量7.5 mm之前較為平緩，這種平緩的等效錐度曲線是畸變點造成的。相反，按照平滑處理后的鋼軌廓形計算得到的等效錐度隨著車輪橫移量的增大而增大，更符合實際輪軌接觸狀態(tài)。

4 結論

本文提出了一種實測鋼軌廓形平滑處理方法，并通過輪軌接觸參數(shù)計算結果驗證了平滑處理的有效性。主要研究結果如下：

1)結合法向距離曲線計算、邊界延拓、FFT與逆FFT，對法向距離曲線進行濾波。利用濾波后的法向距離曲線疊加到標準型面上，得到平滑處理后的實測鋼軌廓形。

2)利用處理前后的鋼軌廓形與標準車輪踏面進行組合計算，得到接觸點位置、滾動圓半徑差以及等效錐度，并分析了平滑處理前后的輪軌接觸參數(shù)計算結果差異。

3)經(jīng)驗證，本文提出的平滑處理算法能夠很好地將實測鋼軌廓形中的畸變點消除，增加了輪軌接觸參數(shù)計算結果的可信度，具有較好的應用效果。