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(南京航空航天大學 應用物理系, 南京 211106)

當前聲學研究中，超材料的研究是一個熱點問題。所謂的超材料是一種人工復合成的材料，通常由結(jié)構(gòu)尺寸遠遠小于工作波長的單元周期性或非周期性排列組合而成[1-2]。聲學超材料能產(chǎn)生很多自然材料無法產(chǎn)生的特殊物理現(xiàn)象，例如亞波長成像、自準直、超透射、反常多普勒效應[3]、聲波的負折射[4-5]等。聲學超材料的產(chǎn)生無疑給自由調(diào)制聲波的設(shè)想提供了新思路。筆者正是基于超材料的研究，對傳統(tǒng)的聲反射理論進行了修正，從而實現(xiàn)了聲波的異常反射。

根據(jù)傳統(tǒng)的聲學反射理論，當聲波以某個特定角度入射平面時，反射聲波也必定按照同等大小的反射角度出射。如果能夠通過改變反射平面的結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)任意反射角的調(diào)制，那么在日常生活中會達到意想不到的效果。文章采用的廣義Snell(斯涅爾)定律可以很好地滿足上述要求，該理論通過在反射平面設(shè)置特殊的反射相位結(jié)構(gòu)，使得聲波打破原有的規(guī)則沿著特定的反射角度出射。根據(jù)這一理論，結(jié)合COMSOL仿真，設(shè)計了一種特殊的聲學微結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)180°的相位差，從而控制正入射條件下的反射聲波，且在此基礎(chǔ)上利用3D打印技術(shù)對此聲學微結(jié)構(gòu)進行了試驗，仿真和試驗結(jié)果成功地驗證了廣義Snell定律。

1 方法論述

Snell定律最初是一條描述光的反射折射規(guī)律的定律，是指光從一種介質(zhì)射向另一種介質(zhì)時，在界面處會發(fā)生反射和折射現(xiàn)象，入射角與折射角的正弦值與入射角無關(guān)，而與介質(zhì)的相對折射率有關(guān)[6]。其通常的表達式為

n1sinθ1=n2sinθ2

(1)

式中：n1和n2分別為兩種介質(zhì)的折射率;θ1和θ2分別為光的入射角和反射角。

由于聲的傳播與波的性質(zhì)有關(guān)，因此該定律同樣適用于聲傳播，其具體的表達式為

sinθr=sinθi

(2)

式中:θr為反射角;θi為入射角。

即聲波在傳輸過程中遇到平面介質(zhì)發(fā)生反射時，遵從反射角等于入射角的定律。

Snell定律作為波傳播的基本理論一直被相關(guān)領(lǐng)域的學者所遵循，但是2011年Science上發(fā)表的論文對該理論進行了修正，這便是廣義Snell定律[7]。其具體推導見參考文獻[8-11]。

根據(jù)費馬原理，光在兩點之間總是按照光程取極值的方向傳播。同時對于光波來說，光程的變化也代表著相位的變化，故光的傳播也需沿著相位取極值的方向[12-14]。

圖1 兩條無限接近的光路示意

兩條無限接近的光路示意如圖1所示，假設(shè)光從A點出發(fā)經(jīng)反射界面反射后到達C點。從中選取兩條無限接近的光路ABC和ADC。光經(jīng)過這兩條光路時產(chǎn)生的相位變化應是相等的，即光在BE這段光程中產(chǎn)生的相位變化與在B點反射時產(chǎn)生的相位變化之和應該等于光在ED這段光程中產(chǎn)生的相位變化與在D點反射時產(chǎn)生的相位變化之和，則有

knsinθidx+φ+dφ=knsinθrdx+φ

(3)

式中：n為折射率;x為聲傳播距離;φ為相位；k為光在介質(zhì)中的波矢。

整理則有

(4)

式中：λ為光波的波長；dφ/dx為x方向的相位梯度。

由于該定律的推導只利用了光的波動性，基于光聲直接的類比特性，可將廣義的Snell定律應用到聲學領(lǐng)域，即

(5)

式中:dφ/dy為y方向的相位梯度。

若聲波以垂直方向進行入射，廣義Snell定律原理示意如圖2所示，則反射角可表示為

(6)

由此便實現(xiàn)了聲波正入射條件下反射角的偏轉(zhuǎn)，只需改變?nèi)肷渎暡l率，便可獲得不同角度的反射角。

圖2 廣義Snell定律原理示意

2 聲學微結(jié)構(gòu)設(shè)計

圖3 聲學微結(jié)構(gòu)示意

3 模擬仿真

3.1 模型建立

采用 COMSOL MULTIPHYSICS(以下簡稱 COMSOL)多物理場有限元軟件進行仿真模擬研究[15]。首先設(shè)置一個不帶有聲學微結(jié)構(gòu)的聲場。在COMSOL軟件中設(shè)置一個半圓形的壓力聲場，半徑設(shè)置為7.2 m；在圓心正下方7.2 m處，設(shè)置一個長為2.4 m，寬為0.5 m的矩形用以獲得平面波聲源。將邊界條件設(shè)置為平面波輻射來模擬無限大空間中的聲場分布，將反射界面設(shè)置為硬聲壁，選中矩形的一條長邊，設(shè)置其壓力為1 Pa。然后對該聲場進行仿真，發(fā)現(xiàn)聲波以垂直方向入射之后會以垂直方向出射。再將上述聲學微結(jié)構(gòu)導入到COMSOL中，放置在圓心處，對有聲學微結(jié)構(gòu)的聲場進行仿真。

3.2 仿真結(jié)果分析

圖4為帶有聲學微結(jié)構(gòu)的數(shù)值仿真結(jié)果，圖中中間處為垂直入射的聲波，兩側(cè)為異常的反射聲波。入射波與反射波的夾角約為45°，從仿真結(jié)構(gòu)可以論證上述理論。聲波從垂直方向入射，即入射角為0°，通過該微結(jié)構(gòu)成功實現(xiàn)了出射角為π/4的轉(zhuǎn)變。由于聲學微結(jié)構(gòu)的對稱性，聲場在左右兩側(cè)π/4的位置上均有反射聲波。由此成功論證了廣義Snell定律在聲學中的應用。

圖4 帶有聲學微結(jié)構(gòu)的數(shù)值仿真結(jié)果

故可以得出結(jié)論，對于給定的聲波頻率，通過設(shè)置凹槽的深度和寬度，便可獲得任意的反射角。

4 試驗測量

為了驗證仿真結(jié)果的正確性，在對該聲學微結(jié)構(gòu)模型仿真的基礎(chǔ)上，利用易拉罐以及3D打印技術(shù)對該結(jié)構(gòu)的聲反射特性進行了測量。

4.1 易拉罐陣列

由于易拉罐罐口很小，罐身很大，在形狀上類似于聲學里由小頸口和大腔體構(gòu)成的亥姆霍茲共鳴器。根據(jù)上面的理論推導，利用兩種不同大小的同類型易拉罐，其制作材料相同，具有相同的截面積和開口大小。這兩種易拉罐的直徑均為6.5 cm，大罐子罐身長17 cm，小罐子罐身長12 cm，若想用這兩種易拉罐達到上述聲學微結(jié)構(gòu)的效果，需要調(diào)整聲波頻率。為了讓試驗結(jié)果更易分辨，使這兩種易拉罐產(chǎn)生的相位差為π，則從其罐底反射的聲波會干涉相消。聲波垂直入射至易拉罐并從易拉罐底反射所產(chǎn)生的相位差為Δφ=2π(h1-h2)/λ=π時，λ=20 cm，空氣中聲波的速度為343 m·s-1，則該特定頻率為1 715 Hz。由于易拉罐的直徑為6.5 cm，將3個500 ml的易拉罐和3個330 ml的易拉罐排列為一組，重復3組(即為周期排列結(jié)構(gòu))，此時Δy=19.5 cm，根據(jù)計算可得θr=arcsin0.512 8≈π/6。將該模型放置在COMSOL中進行模擬，從仿真結(jié)果可看出左右兩側(cè)的反射聲壓在π/6處，如圖5所示。然而在垂直出射方向仍存在少部分的反射聲場，這是因為結(jié)構(gòu)陣列表面分辨率過低，兩種凹槽的π的相位差并不能夠完全等效于相位梯度dφ/dy，因此產(chǎn)生的誤差相對較大。

圖5 易拉罐模型的數(shù)值仿真結(jié)果

為此采用了易拉罐陣列的方法來更好地解決分辨率過低的問題。試驗中采用兩種規(guī)格的易拉罐各63個，一個周期內(nèi)長短易拉罐各排成3列7行，共3個周期，陣列總長約為120 cm，高47 cm。同時保證易拉罐的罐口在同一平面內(nèi)。

聲信號的發(fā)聲裝置由信號發(fā)生器和揚聲器構(gòu)成,信號發(fā)生器產(chǎn)生單頻信號驅(qū)動揚聲器發(fā)聲，將該裝置放于距離易拉罐陣列正前方4 m處，以此來保證聲源發(fā)出的聲波以平面波的形式入射到易拉罐陣列。同時將BK傳聲器放置在距離易拉罐陣列表面中心位置2 m處，記錄聲場的聲壓數(shù)據(jù)，且每隔10°記錄一次。為了減少測量的干擾，試驗全程在消音室內(nèi)進行。

對于該易拉罐陣列反射聲場的測量，選擇了聲波頻率為1 700 Hz的聲壓，其反射聲指向性如圖6所示。從圖6可看出，易拉罐陣列在1 700 Hz的聲波垂直入射下，反射聲波在33°方向上最為明顯，這個試驗結(jié)果和理論仿真的結(jié)果相符合，但從圖中可看出在其他方向上也存在少量的反射聲波，這是試驗的器材過于簡單、精確性精準性都不太高造成的。易拉罐陣列試驗驗證了改變聲波反射角的可行性，即可以通過對相位的控制來改變反射聲波的反射角度。但是這種易拉罐陣列操作起來不夠嚴謹，而且易拉罐體積大小都是確定的，很難實現(xiàn)任意的反射角，若想在生活中進行實際應用還不現(xiàn)實。

圖6 1.7 kHz聲波入射下的反射聲指向性圖

4.2 3D打印板材聲學微結(jié)構(gòu)

為了保證試驗的準確性和精度，考慮用別的材料來實現(xiàn)這種微結(jié)構(gòu)。結(jié)合多種加工技術(shù)，充分考慮材料樣品的精度，筆者利用3D打印技術(shù)制作了更大面積、更為嚴謹?shù)奈⒔Y(jié)構(gòu)。該材料樣品共由3部分構(gòu)成，其最小單元也是圓柱形的凹槽。結(jié)構(gòu)最上面的部分由類ABS塑料粉末經(jīng)過激光燒結(jié)而成，上面開有小孔，上蓋厚度較薄。中間部分的原材料使用的是20 mm的鋁板。結(jié)構(gòu)的最下部分為透明的5 mm聚碳酸酯板，以利于結(jié)構(gòu)內(nèi)部的觀察。3部分的粘合采用的是0.1 mm厚的雙面膠，粘合后用重物壓合，保證其強度。

該結(jié)構(gòu)的最小單元等同于上述的易拉罐結(jié)構(gòu)，相當于將易拉罐等比例縮小，故仍可實現(xiàn)對某一特定聲波頻率產(chǎn)生特殊的相位變化，從而獲得特定的反射聲場，反射角度仍然滿足廣義的Snell定律。

該結(jié)構(gòu)的最小單元是一個帶有圓柱體空洞的長方體。長方體的長寬均為12 mm，高為22.5 mm，圓柱體半徑為5.5 mm，高為22 mm，開口口徑處的厚度為0.5 mm。對于給定的聲波頻率8 400 Hz，Δy=12 mm，想要實現(xiàn)90°的相位差，根據(jù)公式計算可得θr≈58°。若規(guī)定陣列中4個單元為一個周期，則每個單元對應的相位差分別為0°，90°，180°，270°?？紤]到0°的相位差等同于聲波直接的反射，故第一個單元用平板代替凹槽。其樣品結(jié)構(gòu)如圖7 所示。

圖7 3D打印材料板材樣品結(jié)構(gòu)

將該樣品放置在消音室中，揚聲器放置在距離聲學微結(jié)構(gòu)正前方2 m處的位置，距離樣品1 m處的位置放置傳聲器，仍然是每隔10°記錄一次數(shù)據(jù)，記錄0°～180°內(nèi)的反射聲壓。試驗結(jié)果如圖8所示,從圖中可看出頻率為8 400 Hz的聲波在60°方向反射聲壓最強，左右兩邊不對稱是板材凹槽傾斜所致。結(jié)果與理論計算相符合，驗證了該結(jié)構(gòu)的可行性。

5 結(jié)語

利用廣義Snell定律，通過對反射界面結(jié)構(gòu)的設(shè)計實現(xiàn)了反射聲波相位的調(diào)控，從而在聲波垂直入射條件下可得到任意的反射角，通過理論推導與計算，提出了180°相位差的設(shè)計模型，成功使得垂直入射聲波以45°反射角出射。然后選取大小不同的易拉罐對上述理論進行驗證。最后，進一步優(yōu)化易拉罐的“現(xiàn)成”尺寸，創(chuàng)新地采用 3D 打印技術(shù)設(shè)計出更精準的板材聲學反射鏡。試驗在專業(yè)消聲室中對易拉罐陣列樣品與3D打印板材樣品進行了聲場測量，試驗的偏振角度與理論預測和數(shù)值模擬結(jié)果都吻合得很好，既證明了理論的正確性，又論證了多種反射角度的偏轉(zhuǎn)可能性。

該研究意味著通過聲學結(jié)構(gòu)可以實現(xiàn)對聲波的操控，在噪聲控制、醫(yī)學超聲、廳堂聲學等領(lǐng)域都有著廣闊的應用前景。但目前來看此設(shè)計仍存在一些局限性，設(shè)計的聲學微結(jié)構(gòu)只能對單一頻率的聲波發(fā)生響應，而實際的聲音包含很寬的頻帶，帶寬的拓寬將是該項工作未來的研究方向。