■江蘇省南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陳志同

一、基礎(chǔ)知識(shí)總結(jié)

(一)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算

空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算包括加、減及數(shù)乘運(yùn)算,選定空間不共面的向量作為基向量,并用它們表示出目標(biāo)向量,這是用向量法解決立體幾何問(wèn)題的基本要求。解題時(shí),可結(jié)合已知和所求,根據(jù)圖形,利用向量運(yùn)算法則表示所需向量。

(二)空間向量的數(shù)量積

由a·b=|a||b|c o s〈a,b〉可知,利用該公式可求夾角、距離。還可由a·b=0來(lái)判定垂直問(wèn)題,要注意數(shù)量積是一個(gè)數(shù),其符號(hào)由〈a,b〉的范圍確定。

(三)空間向量與平行和垂直

空間圖形中的平行與垂直問(wèn)題是立體幾何中最重要的問(wèn)題之一,主要是運(yùn)用直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量解決。

利用空間向量解決空間中位置關(guān)系問(wèn)題的常用方法有:

(1)線(xiàn)線(xiàn)平行。

證明兩條直線(xiàn)平行,只需證明兩條直線(xiàn)的方向向量是共線(xiàn)向量。

(2)線(xiàn)線(xiàn)垂直。

證明兩條直線(xiàn)垂直,只需證明兩直線(xiàn)的方向向量垂直,則a⊥b?a·b=0。

(3)線(xiàn)面平行。

用向量證明線(xiàn)面平行的方法主要有:

①證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直;

②證明可在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與直線(xiàn)的方向向量是共線(xiàn)向量;

③利用共面向量定理,即證明可在平面內(nèi)找到兩不共線(xiàn)向量把直線(xiàn)的方向向量線(xiàn)性表示出來(lái)。

(4)線(xiàn)面垂直。

用向量證明線(xiàn)面垂直的方法主要有:

①證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量平行;

②利用線(xiàn)面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)垂直問(wèn)題。

(5)面面平行。

①證明兩個(gè)平面的法向量平行(即是共線(xiàn)向量);

②轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行、線(xiàn)線(xiàn)平行問(wèn)題。

(6)面面垂直。

①證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直;

②轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直、線(xiàn)線(xiàn)垂直問(wèn)題。

(四)空間向量與空間角

利用空間向量求空間角,一般有兩種方法:幾何法和向量法。利用向量法只需求出直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量即可。

(2)求線(xiàn)面角。

求直線(xiàn)與平面所成的角時(shí),一種方法是先求出直線(xiàn)及此直線(xiàn)在平面內(nèi)的投影直線(xiàn)的方向向量,通過(guò)數(shù)量積求出直線(xiàn)與平面所成的角;另一種方法是借助平面的法向量,先求出直線(xiàn)方向向量與平面法向量的夾角φ,即可求出直線(xiàn)與平面所成的角θ,其關(guān)系是s i nθ=|c o s φ|。

(3)求二面角。

基向量法:利用定義分別在兩個(gè)面內(nèi)找到兩個(gè)夾角等于二面角的向量,將其用一組基底表示,再做向量運(yùn)算。

坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,求得兩個(gè)半平面的法向量n1,n2,利用c o s〈n1,n2〉=

二、熱點(diǎn)題型直擊

熱點(diǎn)題型一:運(yùn)用空間向量基本定理解決求值問(wèn)題

例1已知A B C D-A1B1C1D1是平行

(2)設(shè)M是底面A B C D的中心,N是側(cè)面B C C1B1對(duì)角線(xiàn)B C1上的點(diǎn),且BN∶N C1=3∶1,設(shè)

六面體,如圖1。試求α,β,γ的值。

分析:(1)化簡(jiǎn)該式,需要應(yīng)用向量的加法和數(shù)乘法則,為此應(yīng)在圖形中,取得向量)通過(guò)向量的運(yùn)算法則,可表示出來(lái)。

解:(1)先在圖中標(biāo)出為此可取A A1的中點(diǎn)E,

圖1

點(diǎn)評(píng):空間向量基本定理揭示了向量間的線(xiàn)性關(guān)系,空間中任意三個(gè)不共面的向量a,b,c叫作空間向量的一組基底。利用空間向量的一組基底,可以把空間中的任何一個(gè)向量都用x a+y b+z c線(xiàn)性表示,且x,y,z的值是唯一確定的。如果一個(gè)平面和其中的兩個(gè)向量平行,則該平面內(nèi)向量用基底表示時(shí),另一個(gè)向量的系數(shù)必須為0。如果一個(gè)向量和其中的一個(gè)向量平行時(shí),則這個(gè)向量用基底線(xiàn)性表示時(shí),其他的兩個(gè)向量的系數(shù)也必須為0。這為向量的坐標(biāo)表示奠定了基礎(chǔ)。

熱點(diǎn)題型二:利用空間向量證明垂直關(guān)系

例2 在正方體A B C D-A1B1C1D1中,E,F分別是B B1,C D的中點(diǎn)。

(1)證明:平面A E D⊥平面A1F D1;

(2)在A(yíng) E上求一點(diǎn)M,使得A1M⊥平面A E D。

分析:證明面面垂直通常有兩種方法,一是利用面面垂直的判定定理,轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直、線(xiàn)線(xiàn)垂直的問(wèn)題去證明,二是證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直。

解:(1)建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系D-x y z,不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則

A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2)。

圖2

設(shè)平面A E D的法向量為(x1,y1,z1)·(2,0,0)=y1,z1)·(2,2,1)=0。故2x1=0,2x1+2y1+z1=0,令y1=1,得n1=(0,1,-2)。

同理可得平面A1F D1的法向量n2=(0,2,1)。

因?yàn)閚1·n2=0,所以平面A E D⊥平面A1F D1。

點(diǎn)評(píng):平面的法向量是指所在直線(xiàn)與平面垂直的向量,它在解決立體幾何問(wèn)題中有著非常重要的應(yīng)用。一個(gè)平面的法向量有無(wú)窮多個(gè),一般來(lái)說(shuō),我們只需求出其中最簡(jiǎn)單的一個(gè)即可。求法向量的方法一般是用待定系數(shù)法,即設(shè)出平面法向量的坐標(biāo),然后根據(jù)與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)的向量都垂直,即數(shù)量積為0,建立方程組進(jìn)行求解。