■四川省巴中中學(xué) 肖 斌(特級教師)

圓錐曲線中的最值、范圍問題是歷年高考考查的重點(diǎn)與熱點(diǎn)之一,無論是選擇題、填空題,還是解答題,通常都以綜合性強(qiáng)、運(yùn)算量大、思維含量高備受命題者青睞,多處于把關(guān)題的位置。下面探究其破解策略,希望同學(xué)們用心領(lǐng)會、從中受益。

一、利用圓錐曲線的定義和平面幾何性質(zhì)求最值（或范圍）

例1 (1)(2 0 1 8年重慶八中月考試題)已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P是該橢圓上的動點(diǎn),當(dāng)△P A F的周長最長時,△P A F的面積為____。

(2)(廣東惠州市2 0 1 8屆模擬題)已知P為拋物線y2=4x上一個動點(diǎn),Q為圓x2+(y-4)2=1上一個動點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值是( )。

解析:(1)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1,則|A F|+|P F|+|A P|=a+(2a-|P F1|)+|A P|=3a+|A P|-|P F1|≤3a+|A F1|=3a+a=4a,當(dāng)且僅當(dāng)A,F1,P三點(diǎn)共線時取等號,此時

(2)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),圓x2+(y-4)2=1的圓心為C(0,4),半徑r=1。

由拋物線的定義知,點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離等于它到其焦點(diǎn)F的距離,所求距離之和等于|P Q|+|P F|≥|Q F|≥|C F|-r,當(dāng)且僅當(dāng)圓心C與焦點(diǎn)F的連線與拋物線相交于點(diǎn)P、與圓相交于Q時取得最小值。所求最小值為故選A。

感悟:解圓錐曲線中折線段的最值問題,一般是先通過圓錐曲線的定義和圓錐曲線的對稱性將折線中的和或差變?yōu)橹本€段,然后利用“兩點(diǎn)間線段最短”、“垂線段最短”、“三角形任意兩邊之和大于第三邊”、“三角形任意兩邊之差小于第三邊”等找到取得最值的臨界條件,并求出最值。

練一練1:(2 0 1 5年新課標(biāo)高考全國Ⅰ卷)已知F是雙曲線的右焦點(diǎn),P是雙曲線C左支上一點(diǎn),當(dāng)△A P F的周長最小時,該三角形的面積為____。

答案:1 2 6

二、構(gòu)建目標(biāo)二次函數(shù)，利用配方法求最值（或范圍）

例2 (2 0 1 8年江西南昌一模理數(shù)第1 6題)已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F斜率為1的直線與拋物線相交于M,N兩點(diǎn)。設(shè)直線l是拋物線C_的切線,且l∥MN,P為直線l上一點(diǎn),則的最小值為____。

解析:設(shè)直線l的方程為y=x+b,代入拋物線方程,得x2-4x-4b=0。

因?yàn)橹本€l與拋物線相切,所以Δ=1 6+1 6b=0,解得b=-1。直線l:y=x-1。

由拋物線的方程知F的坐標(biāo)為(0,1),故直線MN的方程為y=x+1。

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由x2-4x-4=0。

所以x1+x2=4,x1x2=-4。

因此,y1+y2=6,y1y2=1。

答案:5

三、構(gòu)建目標(biāo)分式函數(shù)，利用分離常數(shù)法求最值（或范圍）

例3 (福建泉州市2 0 1 8屆3月質(zhì)檢理數(shù)第2 0題)過圓C:x2+y2=4上的點(diǎn)M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足記點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動時,點(diǎn)P的軌跡為E。

(1)求軌跡E的方程;

(2)過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與軌跡E交于A,B兩點(diǎn),與圓C交于S,T兩點(diǎn),求|A B|·|S T|的取值范圍。

解析:(1)設(shè)M(x0,y0),N(x0,0),P(x,y)。

因?yàn)辄c(diǎn)M在圓C:x2+y2=4上運(yùn)動,所以點(diǎn)P的軌跡E的方程為x

(2)①當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=k x+1,A(x1,y1),B(x2,y2)。

(4k2+3)x2+8k x-8=0。

因?yàn)辄c(diǎn)Q(0,1)在橢圓內(nèi)部,所以直線l與橢圓恒交于兩點(diǎn)。

由韋達(dá)定理得:

感悟:(1)用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程,實(shí)質(zhì)上是圓到橢圓的伸縮變換。(2)先判斷斜率是否存在,當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)其方程為y=k x+1,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式把兩條線段的長度用斜率k表示,進(jìn)一步相乘,轉(zhuǎn)化為考查函數(shù)的單調(diào)性求出最值(或范圍);當(dāng)斜率不存在時,也可算出。

練一練3:(2 0 1 6年全國高考新課標(biāo)Ⅰ卷理數(shù)第2 0題)設(shè)圓x2+y2+2x-1 5=0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,直線l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作A C的平行線交A D于點(diǎn)E。

(1)證明:|E A|+|E B|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程。

(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交曲線C1于M,N兩點(diǎn),過B且與直線l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍。

答案:(1)|E A|+|E B|=4。

四、利用基本不等式求最值（或范圍）

例4(四川資陽市2 0 1 8屆模擬題)已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率

(1)求橢圓C的方程。

(2)過點(diǎn)P作兩條直線l1,l2與圓(x-1)2+y2=r2相切且分別交橢圓C于M,N兩點(diǎn)。①求證:直線MN的斜率為定值;② 求△MON面積的最大值(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))。

解析:(1)因?yàn)?設(shè)橢圓的半焦距為c,所以a=2c。

所以橢圓C的方程為又c2+b2=a2,解得a=2,b=3。

(2)① 顯然兩直線l1,l2的斜率存在,設(shè)為k1,k2。設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)。

由于直線l1,l2與圓(x-1)2+y2=相切,則有k1=-k2。

故△MON面積的最大值為3。

感悟:在得到△MON的面積S的表達(dá)式后,通過平方、系數(shù)配湊,巧妙應(yīng)用均值不等式解題。類似或更難的變形在高考試卷和各地模擬考試中比比皆是,同學(xué)們務(wù)必要加強(qiáng)基本不等式應(yīng)用技巧的訓(xùn)練。

練一練4:(2 0 1 7年全國Ⅰ卷理數(shù)第1 0題)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與拋物線C交于A、B兩點(diǎn),直線l2與拋物線C交于D、E兩點(diǎn),則|A B|+|D E|的最小值為( )。

A.1 6 B.1 4 C.1 2 D.1 0

答案:A

例5 (2 0 1 8年全國Ⅲ卷理數(shù)第2 0題)

五、利用點(diǎn)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求最值（或范圍）

(2)由題意得F(1,0)。

設(shè)P(x3,y3),依題意得:

(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0)。

由(1)及題設(shè)得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m＜0。

練一練5:(2 0 1 5年高考浙江卷理數(shù)第1 9題)已知橢圓上兩個不同的點(diǎn)A B關(guān)于直線對稱。

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)求△A O B面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))。

解析:可利用橢圓的參數(shù)方程,即借助三角函數(shù)求最值。

六、利用參數(shù)思想或切線法求最值（或范圍）

感悟:曲線上的點(diǎn)到直線距離的最值問題,通常處理的方法有兩個,即借助曲線的參數(shù)形式(即三角換元)或曲線的切線法(即判別式法)均可處理,同學(xué)們可嘗試解題。

練一練6:(2 0 1 4年福建高考題)設(shè)P,Q分別為圓:1上的點(diǎn),則P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是( )。

答案:D

七、利用題目中明顯或隱含的幾何不等關(guān)系構(gòu)建不等式求參數(shù)的最值（或范圍）

(1)求橢圓的方程。

(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)H,若B F⊥HF,且∠MO A≤∠MA O,求直線l的斜率的取值范圍。

由(1)知,F(1,0),設(shè) H(0,yH),有

感悟:第二問巧妙利用了平面幾何性質(zhì):“三角形中,大角對大邊,小角對小邊”,即先將“角的不等關(guān)系”等價轉(zhuǎn)化為“邊的不等關(guān)系”,進(jìn)而用兩點(diǎn)間距離公式實(shí)現(xiàn)“形”與“數(shù)”的轉(zhuǎn)化。

練一練7:(2 0 1 6年全國新課標(biāo)Ⅱ卷理數(shù)第2 0題)已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,A是橢圓E的左頂點(diǎn),斜率為k(k＞0)的直線交橢圓E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在橢圓

(1)當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時,求△AMN的面積;

(2)當(dāng)2|AM|=|AN|時,求k的取值范圍。

(2)k的取值范圍是32,2（）。