姜思露 朱金福 孔明星 周秦炎

(南京航空航天大學民航學院 南京 211106)

0 引 言

航班計劃是航空公司一切生產(chǎn)運營活動的基礎和核心，對航空公司的經(jīng)營狀況與市場競爭力起著決定性作用.航班計劃的編制步驟環(huán)環(huán)相扣，緊密聯(lián)系，航班頻率的確定作為其中的關鍵環(huán)節(jié)，對航空公司的生產(chǎn)運營有著深刻影響.而旅客計劃延誤是旅客選擇航空公司和航班的重要依據(jù)之一，在考慮旅客計劃延誤的前提下進行航班頻率的優(yōu)化研究對旅客和航空公司都具有重要意義.

國外關于旅客計劃延誤和航班頻率的相關研究始于20世紀70年代，Douglas等[1-2]提出了“計劃延誤(ScD：ScheduleDelay)”和“隨機延誤(StD：Stochastic Delay)”的概念.Chang[3]以旅客計劃延誤成本最小，研究了航班時刻待定情況下1 d的航班頻率和航班時刻.Hsu等[4]應用模糊邏輯理論研究了航空公司之間航班頻率和平均票價的競爭關系.Bao等[5]提出了一種針對多機場系統(tǒng)的航班時刻和航班頻率優(yōu)化模型.Abdelghany等[6]提出了一種競爭環(huán)境下的航空公司航班計劃建模框架.

國內(nèi)較為代表性的研究有：朱金福[7]建立了利潤最大化的航班頻率優(yōu)化模型；朱星輝[8]基于航空運量預測對航班頻率進行了研究.國內(nèi)其他針對航班頻率的研究大多只討論了單機型情況下的優(yōu)化，數(shù)學模型較為簡單，難以在實際運用過程中為航空公司提供決策支持.相對于國外在航班計劃、航班頻率優(yōu)化和旅客計劃延誤方面豐富的研究成果，顯然國內(nèi)在這幾個方面的研究還不夠全面和系統(tǒng).本文的研究目標是在綜合考量旅客計劃延誤和航班運營成本的基礎之上，根據(jù)航空公司實際需要引入約束條件，解決航班頻率優(yōu)化建模問題，提出一種航班計劃優(yōu)化方法，旨在為航空公司航班計劃編制提供理論支持和決策參考，最終實現(xiàn)降低航空公司運營成本的目的.

1 航班頻率優(yōu)化問題概述

航班計劃是在市場分析和預測的基礎之上，對航空公司有限的資源(飛機、航線時刻、人力、資金等)進行科學分配，從而確定正班飛行的航線、頻率、時刻、機型和執(zhí)飛的飛機、機組[9].航班頻率，又稱航班班次或航班架次，是指航空公司在一定周期內(nèi)(可能是1 d、1周、1個月乃至1個季度等等)在各條航線市場上的航班量.航班頻率的優(yōu)化和確定是航空公司制定航班計劃的核心環(huán)節(jié)，涉及航線需求，可用機型，運力供給，競爭對手市場占有率等方面，對航空公司的生產(chǎn)運營有著深刻影響.只有確定了各條航線的航班頻率，才能進一步對時刻和機型進行分配，從而完成航班計劃的編制.

為了將航班頻率的確定量化考慮，本文假設航班計劃周期為1周，在已知航線需求的基礎上介紹旅客計劃延誤計算公式，進而對航班頻率進行優(yōu)化.最小化旅客計劃延誤時間，等價于最小化旅客計劃延誤成本，其本質(zhì)是最大化需求獲取.而對于民航運輸企業(yè)來說，旅客需求的增長意味著運營收入和市場占有率的上升，進而意味著航空公司市場競爭力的提升.因此，以旅客計劃延誤成本作為目標函數(shù)的主要組成部分進行航班頻率優(yōu)化具有重要的研究價值.

2 航班頻率優(yōu)化建模

在航班頻率方面，國內(nèi)相關研究大多只討論了單機型情況下的優(yōu)化，對擁有多機型的航空公司來說實用性不佳.國內(nèi)最具參考價值的研究是文獻[7]以利潤最大化為目標函數(shù)建立的多機型多航線航班頻率優(yōu)化模型，該模型考慮了旅客需求、運力供給和航班頻率整數(shù)約束.與該利潤最大化模型不同，本文模型以旅客計劃延誤和航班運營成本之和最小為目標函數(shù)，除了旅客需求約束和運力供給約束外，還考慮了飛機最低利用率約束和航線容量約束，并將市場競爭因素納入其中.

2.1 成本分析

所謂的旅客計劃延誤是指旅客計劃的(期望的)出行時間與可供旅客選擇的最近一班航班的計劃離港時間之間的間隔.例如，某旅客計劃出行的時間為10:00，而在該航線市場上與這個時間相隔最近的航班是10:30，那么對于該旅客來說，其計劃延誤時間為30 min.如果假設該旅客計劃延誤的單位成本為80元/h，那么該旅客的延誤成本為40元.

為了降低計算難度，假設一個航班計劃周期(1周)內(nèi)，旅客需求在每天的運營時間段平均分布，例如，航空公司每天的運營時間段從06:30—22:30，則在每天的這16 h內(nèi)旅客需求平均分布，且在1周運營的112 h內(nèi)旅客需求平均分布.由于本文的研究對象是從總需求角度計算旅客計劃延誤和確定航班頻率，而沒有進一步考慮航班時刻的確定，所以在保證總需求等價的情況下，旅客需求在運營時間段內(nèi)是否均勻分布不影響旅客計劃延誤計算和航班頻率優(yōu)化結果.為使旅客計劃延誤計算公式意義明確，進一步作出以下假設：①旅客的計劃出行時間是一個確定的時刻；②旅客乘坐航班時，會選擇離計劃出行時間最近的航班.

文獻[4]給出了基于Simpson分擔率公式的旅客計劃延誤時間計算公式.取β=1，針對市場分擔率公式考慮多種機型，即以本航空公司的航班座位數(shù)為標準，根據(jù)座位數(shù)對航線上其他航空公司的航班頻率進行標準化處理，再乘以平均每旅客計劃延誤時間，可得本航空公司在所有運營航線上的總旅客計劃延誤時間.

(1)

式中:l∈{1,2,…,L}為航線市場；a∈{1,2,…,m,…,A}為運營同一航線市場(參與競爭)的所有航空公司；m為本航空公司；Rlm為本航空公司在航線市場l上的旅客需求，平均每位旅客的計劃延誤時間Sdlm等于航班時間間隔的1/4；T為一個航班計劃周期內(nèi)的總運營時長；Rl為航線市場l上的總旅客需求；Fla為a公司在航線市場l上的航班頻率.

由式(1)可知，若直接將最小化旅客計劃延誤作為目標函數(shù)優(yōu)化航班頻率，優(yōu)化所得的航班頻率等于航空公司總運力允許的最大值.但這樣的結果顯然不符合實際需要，因為航空公司不可能只考慮旅客需求來安排航班，為了達到成本最小化的目的，航空公司還需要考慮運營過程中其他的成本因素.

為了使建立的航班頻率優(yōu)化模型更具有實用性，本文考慮兩種成本：①從旅客角度出發(fā)考慮旅客計劃延誤成本，用平均單位延誤成本與計劃延誤時間相乘后代入模型進行計算；②從航空公司角度出發(fā)考慮航班運營成本，根據(jù)航空公司歷史數(shù)據(jù)，計算各航線平均每架次航班運營成本代入模型進行計算.

2.2 多機型多航線競爭環(huán)境下的航班頻率優(yōu)化建模

基于前文討論的旅客計劃延誤計算公式，建立多機型多航線競爭環(huán)境下的航班頻率優(yōu)化模型.本文模型以最小化總成本為目標函數(shù)，總成本等于旅客計劃延誤成本和航班運營成本之和.國內(nèi)外已有的航班頻率模型多以利潤最大為目標函數(shù)，或以運營成本最小為目標函數(shù)，運用線性整數(shù)規(guī)劃法進行優(yōu)化.也有以旅客計劃延誤最小為目標函數(shù)的相關研究，模型雖然是非線性的，但能使用拉格朗日松弛等方法轉化為線性整數(shù)規(guī)劃模型進行求解.目前，還沒有同時考慮航班運營成本和旅客計劃延誤成本的研究，其原因在于同時考慮這兩種成本時，模型是非線性的且難以轉化為線性模型，進而導致求解的難度大幅度提高.而本文建立的模型為兼顧旅客和航空公司利益，同時考慮了兩種成本，在后續(xù)的運算過程中討論了求解方案，所得結果對航空公司來說更具有參考價值.

在研究航班頻率優(yōu)化的約束條件時，本文在總結常用約束的基礎之上，進一步根據(jù)航空公司的實際需要，引入了新的約束.國內(nèi)外有代表性的航班頻率模型通?？紤]如下約束：旅客需求、運力供給、飛機流平衡、機場最大出發(fā)航班數(shù)等.本文在此基礎之上，一方面考慮滿足所有航線上的旅客需求，即不允許旅客溢出，另一方面考慮優(yōu)化得到的結果需要迎合航空公司的運力供給能力和對飛機使用經(jīng)濟性的要求，還需針對航線考慮最大容量約束[10].為此，模型考慮如下約束條件：旅客需求約束、運力供給約束、飛機最低日利用率約束、航線最大航班頻率約束.由于研究對象是航空公司執(zhí)飛的各條航線，所以不考慮飛機流平衡約束和機場最大出發(fā)航班數(shù)約束.新增的飛機最低日利用率和航線最大航班頻率約束雖然進一步增加了模型求解的復雜度，但更符合航空公司運營實際情況，使模型更具有實用性.

為了將目標函數(shù)和約束條件表達為數(shù)學公式，首先定義模型的集合、參數(shù)和變量為：

①集合，L為航線集合，有l(wèi)∈L；K為機型集合，有k∈K.②參數(shù)，cSD為旅客計劃延誤單位成本；cl為航班運營成本，即在航線l上每增開一個架次的航班所增加的成本；T為航班計劃周期，h；Td為航班計劃周期，d；Rl為一個航班計劃周期內(nèi)，航線l上的旅客需求；MSl為本公司在航線l上的市場分擔率；ul為航線l上的平均客座率；sk為機型k的可供座位數(shù)；tlk為機型k執(zhí)飛航線l的輪擋時間，用航線的輪擋距離除以機型的巡航速度求得；μk為機型k的最大日利用率；ηk為機型k的最小日利用率，若機型的日利用率低于該數(shù)值則認為優(yōu)化所得到的結果是不經(jīng)濟的；nk為一個航班計劃周期內(nèi)，機型k的可用飛機架數(shù)；fl為一個航班計劃周期內(nèi)，航線l上允許的最大航班頻率.③變量：Flk為航線l上機型k的航班頻率；C為總成本，包括旅客計劃延誤成本和航班運營成本兩部分.

綜上所述，使用式(1)計算總旅客計劃延誤，則可建立如下數(shù)學模型

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Flk≥0,?l∈L,?k∈K

(7)

式(2)為最小化總成本的目標函數(shù)；式(3)為旅客需求約束，保證航空公司提供的運力大于等于航線上的旅客需求；式(4)為運力供給約束，限制航班頻率與輪擋時間的乘積不得大于航空公司所能提供的最大運力；式(5)為飛機日利用率約束，保證了各機型飛機的日利用率不小于最低水平，確保飛機使用的經(jīng)濟性；式(6)為航線容量約束，由于每條航線容量有限，不可能在航線上無限增開航班，因此，給出航班計劃周期內(nèi)航線上允許的最大航班頻率來加以限制，以保證優(yōu)化得到的航班頻率不超過航線的容量；式(7)為航班頻率取值約束，保證優(yōu)化得到的航班頻率不小于零.

2.3 模型求解分析

由于所建立的航班頻率優(yōu)化模型是非線性的規(guī)劃模型，需要使用分支定界法求整數(shù)解，選用優(yōu)化軟件LINGO進行案例的計算求解.在進行小規(guī)模試運算時，發(fā)現(xiàn)全局最優(yōu)求解程序花費的時間過長，程序運行4 h以上仍未得到最優(yōu)整數(shù)解，因此考慮采用啟發(fā)式算法求解.啟發(fā)式算法是相對于最優(yōu)化算法提出的，一個問題的最優(yōu)算法求得該問題每個實例的最優(yōu)解，啟發(fā)式算法則定義為一個基于直觀或經(jīng)驗構造的算法，在可接受的花費(指計算時間和空間)下給出待解決組合優(yōu)化問題每個實例的一個可行解.對于航空公司來說，只有首先確定了各條航線的航班頻率，才能進一步對時刻和機型進行分配，從而完成航班計劃的編制.因此嚴格控制運算時間，在較短時間內(nèi)得到具有參考價值的航班頻率優(yōu)化結果，才能迎合航空公司的實際應用需要.本文在LINGO軟件全局最優(yōu)求解程序運行30 min時人為終止求解，得到實例的可行解.

在航空公司利用優(yōu)化模型制定航班計劃的過程中，可能會根據(jù)實際運營情況事先確定某條甚至多條航線的航班頻率，即模型的部分變量等于固定值；也可能進一步考慮旅客溢出等情況，增加對變量的約束.在這種情況下，由于可行域范圍縮小，運行求解花費的時間將會相應縮短，可以考慮選用最優(yōu)化算法求得模型的最優(yōu)解.

3 案例計算

某航空公司經(jīng)營10條航線，各航線市場的航線長度、旅客需求、航線容量、客座率、市場分擔率和平均每架次航班運營成本見表1.表1中，航線長度指航線的輪擋距離，航線容量指航線一周內(nèi)允許的最大航班頻率，航線需求、客座率和市場分擔率是根據(jù)歷史數(shù)據(jù)預測得出的該航空公司2017年某1周的航線需求、客座率和市場分擔率，各航線平均每架次航班運營成本根據(jù)航空公司運營歷史數(shù)據(jù)計算得到.該公司使用B737-300、B737-800和B767-300三種機型，分別標號為1，2和3并給出相關參數(shù)見表2.用航線的輪擋距離除以機型的最經(jīng)濟巡航速度，保留兩位小數(shù)，只入不舍，可得各機型執(zhí)飛各航線的輪擋時間見表3.該航空公司航班計劃周期為1周，每天的運營時間段從06:30—22:30共計16 h，則T為112 h，Td為7 d.根據(jù)經(jīng)驗估算，平均每位旅客計劃延誤時間的單位成本cSD為60元/h.

表1 航線參數(shù)

表2 機型參數(shù)

使用案例中的參數(shù)和數(shù)據(jù)，利用LINGO軟件對航班頻率優(yōu)化模型求解，在運行30 min時人為終止求解，得到的結果見表4，總成本C為6 142 621元.此時目標函數(shù)的下界值(Objective Bound=6 122 705)與目前得到的最好的可行解的目標函數(shù)值(Objective Value=6 142 621)相差的值已經(jīng)在可接受的范圍內(nèi)，可以認為已經(jīng)得到了全局較優(yōu)解.

表3 各機型執(zhí)飛航線的輪擋時間

表4 軟件優(yōu)化結果

上述案例計算證明，本文建立的航班頻率優(yōu)化模型不僅同時考慮了旅客計劃延誤和航班運營成本，而且具有較好的可行性和實用性，能在航班頻率優(yōu)化方面為航空公司提供參考.

4 結 束 語

合理地編制航班計劃能為航空公司節(jié)約運營成本，并且在很大程度上提高航空公司的運營管理效率，從而提高收益.本文針對航空公司航班計劃的編制與優(yōu)化，研究了旅客計劃延誤計算和航班頻率優(yōu)化，建立了多機型多航線競爭環(huán)境下的航班頻優(yōu)化模型，提出了一種航班計劃優(yōu)化方法.通過案例計算，運用優(yōu)化軟件LINGO對模型進行了求解，驗證了模型的效用.優(yōu)化結果表明，本文所建立的模型能為航空公司航班計劃編制提供理論支持和決策參考，在一定程度上降低航空公司的運營成本.