徐曉嶺，王蓉華，顧蓓青*

（1.上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué) 統(tǒng)計與信息學(xué)院，上海201620；2.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海200234）

0 引 言

Birnbaum-Saunders模型是概率物理方法中一個重要的失效分布模型，由BIRNBAUM等[1]于1969年在研究主因裂紋擴(kuò)展導(dǎo)致材料失效的過程中推導(dǎo)而來。此模型在機(jī)械產(chǎn)品可靠性研究中應(yīng)用廣泛，常用于疲勞失效研究；在電子產(chǎn)品性能退化失效分析中也有重要應(yīng)用。

設(shè)T服從兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布BS(α,β)，分布函數(shù)F(t)與密度函數(shù)f(t)分別為：

由于Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布是基于疲勞過程的基本特征的，因此，較于常用的壽命分布，如威布爾分布、對數(shù)正態(tài)分布，更適合描述由疲勞引起失效的產(chǎn)品壽命規(guī)律。

關(guān)于兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布BS(α,β )的統(tǒng)計分析已有很多研究［1-29］。KUNDU等［14］證明了兩參數(shù)BS分布的失效率函數(shù)的形狀為“倒浴盆”形，同時，針對不同形狀參數(shù)α，通過數(shù)值

其中，α＞0稱為形狀參數(shù)，β＞0稱為刻度參數(shù)（或稱為尺度參數(shù)），φ(x),Φ(x)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)，即計算得到了失效率函數(shù)達(dá)到頂峰時的t值，稱此點(diǎn)為變點(diǎn)（change point），記為 cα,β。cα,β的大小依賴于α的取值，變點(diǎn)可能分布在β的左右兩側(cè)。例如，當(dāng)α=0.6 時 ，cα,β=2.536 4β；當(dāng) α=0.8 時 ，cα,β=0.992 3β；當(dāng) α=1時，cα,β=0.514 9β等。

1 BS（α，β）分布密度函數(shù)的圖像特征

定理1設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量T～BS(α,β)，其分布函數(shù)和密度函數(shù)分別記為F(t)和f(t)，則f(t)的圖像具有以下特征：

（1）f(t)在t∈(0,+∞)上“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”，呈“倒浴盆”形；

（2）f(t)在t∈(0,β)上“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”，呈“倒浴盆”形，而在 t∈ [β,+∞ )上“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

證明由于β為刻度參數(shù)，不失一般性，設(shè)β=1，并記 ε(t)=-，則

對t＞ 0，令函數(shù)

對t＞ 0，令函數(shù)

（ⅱ）類似于（?。?，對0＜ t＜ 1，令函數(shù)

對0＜ t＜ 1，令函數(shù)

2 BS（α，β）分布失效率函數(shù)的圖像特征

文獻(xiàn)［14］主要利用了文獻(xiàn)［30］的結(jié)論，證明失效率函數(shù)呈“倒浴盆”形。引理如下：

引理［30］設(shè)T為非負(fù)連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)f(t)存在二階導(dǎo)數(shù)，記，有

（1）若 η′(t)＞ 0，即 η(t)是“嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”，則λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

（2）若η′(t)＜ 0，即η(t)是“嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)”，則λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

（3）若存在 t0，t0＞ 0，η′(t0)=0，且 η(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”，即呈“倒浴盆”形，則λ(t)有可能呈“倒浴盆”形，也有可能“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

（4）若存在 t0，t0＞ 0，η′(t0)=0，且 η(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)下降后嚴(yán)格單調(diào)上升”，即呈“浴盆”形，則λ(t)有可能呈“浴盆”形，也有可能“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

用該引理考察對數(shù)正態(tài)分布失效率圖像是十分有效的。值得注意的是，若η(t)本身形式復(fù)雜或單調(diào)性形式多樣，則使用此引理有時并不能完全解決失效率函數(shù)的圖像特征問題。

值得一提的是，在引理中要求“密度函數(shù)f(t)存在二階導(dǎo)數(shù)”，其實(shí)，這一條件并不總能滿足。下面例1和例2中的2個分布密度函數(shù)在t=β處二階導(dǎo)數(shù)均不存在。

例1設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量T的分布函數(shù)F(t)為

密度函數(shù)f（t）為

注意到

例2設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量T的分布函數(shù)F(t)為

其密度函數(shù)為

注意到

若在引理中，“密度函數(shù)f(t)存在二階導(dǎo)數(shù)”這一條件不滿足，那么，是否還有類似于引理的結(jié)論呢？定理2拓展了引理的結(jié)論，是判斷失效率函數(shù)圖像特征的更為一般的結(jié)論。

定理2設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量T的密度函數(shù)為，其分布函數(shù)F(t)、可靠度函數(shù)R(t)以及失效率函數(shù)λ(t)為：

則有以下結(jié)論：

（Ⅰ）當(dāng)0＜ t＜ a時，

（1）若 η′1(t)＞0，即 η1(t)是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，則λ(t)有可能“嚴(yán)格單調(diào)上升”，有可能“嚴(yán)格單調(diào)下降”，也有可能呈“倒浴盆”形。

（2）若 η′1(t)＜0，即 η1(t)是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，則λ(t)有可能“嚴(yán)格單調(diào)上升”，有可能“嚴(yán)格單調(diào)下降”，也有可能呈“浴盆”形。

（3）若 存在 t0，0＜ t0＜ a，η′1(t0)=0，且 η1(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”，即呈“倒浴盆”形，則λ(t)有可能“嚴(yán)格單調(diào)上升”，有可能“嚴(yán)格單調(diào)下降”，有可能呈“浴盆”形，有可能呈“倒浴盆”形，也有可能“先嚴(yán)格單調(diào)上升再嚴(yán)格單調(diào)下降而后再嚴(yán)格單調(diào)上升”。

（4）若 存在 t0，0＜ t0＜ a，η′1(t0)=0，且 η1(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)下降后嚴(yán)格單調(diào)上升”，即呈“浴盆”形，則λ(t)有可能“嚴(yán)格單調(diào)下降”，有可能“嚴(yán)格單調(diào)上升”，有可能呈“倒浴盆”形，有可能呈“浴盆”形，也有可能“先嚴(yán)格單調(diào)下降再嚴(yán)格單調(diào)上升而后再嚴(yán)格單調(diào)下降”。

（Ⅱ）當(dāng)t≥ a時，

（1）若 η′2(t)＞0，即 η2(t)是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，則λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

（2）若 η′2(t)＜0，即 η2(t)是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，則λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

（3）若存在 t0，t0＞ a，η′2(t0)=0，且 η2(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”，即呈“倒浴盆”形，則λ(t)有可能呈“倒浴盆”形，也有可能“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

（4）若存在 t0，t0＞ a，η′2(t0)=0，且 η2(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)下降后嚴(yán)格單調(diào)上升”，即呈“浴盆”形，則λ(t)有可能呈“浴盆”形，也有可能“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

（Ⅰ）當(dāng)0＜ t＜ a時，

（?。┤籀恰?(t)＞0，即η1(t)是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)。此時有G′1(t)＞ 0，進(jìn)而 G1(0)＜ G1(a-)。

（1）若 G1(a-)≤ 0，則 G1(t)＜ 0，g′1(t)＜ 0，進(jìn)而λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

（2）若 G1(0)≥ 0，則 G1(t)＞ 0，g′1(t)＞ 0，進(jìn)而λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

（3）存在 t0，0＜ t0＜ a，G1(t0)=0，當(dāng) 0＜ t＜t0時，G1(t)＜ 0，g′1(t)＜0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”；當(dāng) t0＜ t＜ a時，G1(t)＞ 0，g′1(t)＞0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。即λ(t)呈“倒浴盆”形。

（ⅱ）若η′1(t)＜ 0，即η1(t)是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)。此時有G′1(t)＜ 0，進(jìn)而 G1(0)＞ G1(a-)。

（1）若 G1(0)≤ 0，則 G1(t)＜ 0，g′1(t)＜ 0，進(jìn)而λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

（2）若 G1(a-)≥ 0，則 G1(t)＞ 0，g′1(t)＞ 0，進(jìn)而λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

（3）存在 t0，0＜ t0＜ a，G1(t0)=0，當(dāng) 0＜ t＜t0時，G1(t)＞ 0，g′1(t)＞0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”；當(dāng) t0＜ t＜ a時，G1(t)＜ 0，g′1(t)＜0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。即λ(t)呈“浴盆”形。

（ⅲ）若存在t0，0＜ t0＜ a，η′1(t0)=0，且 η1(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”，即呈“倒浴盆”形。當(dāng)0＜ t＜ t0時，η′1(t)＞ 0，G′

1(t)＞ 0；當(dāng)t＞ t0時，η′

1(t)＜ 0，G′1(t)＜ 0。（1）若 G1(t)≤ 0，則 g′1(t)≤0，進(jìn)而λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

（2）若G1(t)≥ 0，則g′1(t)≥0，進(jìn)而λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

（3）若 存 在 t1，t0＜ t1＜ a，G1(t1)=0，且 當(dāng)0＜t＜t1時，G1(t)＞0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”；當(dāng)t1＜t＜a時，G1(t)＜0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。即λ(t)呈“浴盆”形。

（4）若 存 在 t1，0＜ t1＜ t0，G1(t1)=0，且 當(dāng)0＜t＜t1時，G1(t)＜0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”；當(dāng)t1＜t＜a時，G1(t)＞0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。即λ(t)呈“倒浴盆”形。

（5）若 存 在 t1,t2，0＜t1＜t0＜t2＜a，G1(t1)=G1(t2)=0，且當(dāng) 0 ＜ t＜ t1時，G1(t)＜ 0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”；當(dāng)t1＜t＜t2時，G1(t)＞0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”；當(dāng)t2＜t＜a時，G1(t)＜0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。即λ(t)“先嚴(yán)格單調(diào)上升再嚴(yán)格單調(diào)下降而后再嚴(yán)格單調(diào)上升”。

（ⅳ）若存在t0，0＜ t0＜ a，η′1(t0)=0，且 η1(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)下降后嚴(yán)格單調(diào)上升”，即呈“浴盆”形 。 當(dāng) 0＜t＜t0時 ，η′1(t)＜ 0，G′

1(t)＜ 0；當(dāng)t＞ t0時，η′1(t)＞ 0，G′1(t)＞ 0。（1）若G1(t)≥ 0，則g′1(t)≥0，進(jìn)而λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

（2）若 G1(t)≤ 0，則 g′1(t)≤0，進(jìn)而λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

（3）若 存 在 t1，t0＜ t1＜ a，G1(t1)=0，且 當(dāng)0＜t＜t1時，G1(t)＜0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”；當(dāng)t1＜t＜a時，G1(t)＞0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。即λ(t)呈“倒浴盆”形。

（4）若 存 在 t1，0＜ t1＜ t0，G1(t1)=0，且 當(dāng)0＜t＜t1時，G1(t)＞0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”；當(dāng)t1＜t＜a時，G1(t)＜0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。即λ(t)呈“浴盆”形。

（5）若 存 在 t1,t2，0＜t1＜t0＜t2＜a，G1(t1)=G1(t2)=0，且當(dāng) 0 ＜ t＜ t1時，G1(t)＞ 0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”；當(dāng)t1＜t＜t2時，G1(t)＜0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”；當(dāng)t2＜t＜a時，G1(t)＞0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。即“λ(t)先嚴(yán)格單調(diào)下降再嚴(yán)格單調(diào)上升，而后再嚴(yán)格單調(diào)下降”。

（Ⅱ）當(dāng)t≥ a時，

令函數(shù)

（1）若 η′2(t)＞0，即 η2(t)是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)。對 x ≥ t時 ，有 η2(t)-η2(x)＜ 0，則 G2(t)＜ 0，g′(t)＜0，進(jìn)而 λ(t“)嚴(yán)格單調(diào)上升”。2

（2）若 η′2(t)＜0，即 η2(t)是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)。對 x ≥ t，有 η2(t)-η2(x)＞ 0，則 G2(t)＞ 0，g′(t)＞0，進(jìn)而 λ(t“)嚴(yán)格單調(diào)下降”。2

（3）若存在 t0，t0＞ a，η′2(t0)=0，且 η2(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”，即呈“倒浴盆”形。而 G′2(t0)=0，當(dāng) a≤t＜t0時 ， η′2(t)＞ 0，(t)＞ 0；當(dāng) t＞ t0時，η′2(t)＜ 0，G′2(t)＜ 0。

（a）若 存 在 y0，y0＞ a，有 G2(y0)=0，則 有y0＜ t0。事實(shí)上，若反設(shè)y0≥ t0，

此與G2(y0)=0矛盾。

又由于G2(t)在t=t0處取最大值，而當(dāng)a≤t＜ y0時，G2(t)＜ 0；當(dāng) y0＜ t＜ t0時，G2(t)＞ 0；當(dāng)t＞ t0時，

于是，當(dāng) a ≤ t＜ y0時，G2(t)＜ 0，g′2(t)＜ 0，進(jìn)而λ(t“)嚴(yán) 格 單 調(diào) 上 升 ”；當(dāng)t＞y0時 ，G2(t)＞0，g′(t)＞0，進(jìn)而 λ(t“)嚴(yán)格單調(diào)下降”。即 λ(t)呈2“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”，亦即呈“倒浴盆”形。

（b）若不存在 y0，y0＞ a，使 G2(y0)=0成立。則 對 t≥ a，有 G2(t)＞ 0 或 者 G2(t)＜ 0。 又 當(dāng)t＞ t0時，

由此可知，只能有G2(t)＞0。進(jìn)而g′2(t)＞ 0，即λ(t“)嚴(yán)格單調(diào)下降”。

（4）若存在 t0，t0＞ a，η′2(t0)=0，且 η2(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)下降后嚴(yán)格單調(diào)上升”，即呈“浴盆”形。而G′2(t0)=0，當(dāng) a ≤ t＜ t0時，η′2(t)＜ 0，G′2(t)＜ 0；當(dāng)t＞ t0時，η′2(t)＞ 0，G′2(t)＞ 0。

（a）若 存 在 y0，y0＞ a，有 G2(y0)=0，則 有y0＜ t0。事實(shí)上，若反設(shè)y0≥ t0，

此與G2(y0)=0矛盾。

又由于G2(t)在t=t0處取最小值，而當(dāng)a≤t＜ y0時，G2(t)＞ 0；當(dāng) y0＜ t＜ t0時，G2(t)＜ 0；當(dāng)t＞ t0時，

于是當(dāng)a ≤ t＜ y0時，G2(t)＞ 0，g′2(t)＞ 0，進(jìn)而λ(t“)嚴(yán) 格 單 調(diào) 下 降 ”；當(dāng)t＞y0時 ，G2(t)＜0，g′(t)＜0，進(jìn)而 λ(t“)嚴(yán)格單調(diào)上升”。即 λ(t)呈2“先嚴(yán)格單調(diào)下降后嚴(yán)格單調(diào)上升”，亦即呈“浴盆”形。

（b）若不存在 y0，y0＞ a，使 G2(y0)=0成立。則 對 t≥ a，有 G2(t)＞ 0 或 者 G2(t)＜ 0。 又 當(dāng)t＞ t0時，

由此可知，只能有G2(t)＜0。進(jìn)而g′2(t)＜ 0，即λ(t“)嚴(yán)格單調(diào)上升”。

注1如在定理2中令a=0，則可得到引理的結(jié)論。

注2在判斷失效率函數(shù)λ（t）是否呈“浴盆”或“倒浴盆”形時，通常可先通過判斷λ（t）=0是否成立，如成立，則排除了λ（t）嚴(yán)格單調(diào)上升（或下降）這一情形。

定理3給出了BS(α,β )的失效率函數(shù) λ(t)更為清晰的圖像特征。

定理3設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量T～BS(α,β)，其分布函數(shù)、密度函數(shù)和失效率函數(shù)分別記為F(t)、f(t)和λ(t)，則λ(t)的圖像具有以下特征：

（Ⅰ）λ(t)在t∈(0,+∞)上“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”，呈“倒浴盆”形。

（Ⅱ）當(dāng)α2≤時，λ(t)在 t∈ (0,β)上“嚴(yán)格單調(diào)上升”；當(dāng) α2＞時，λ(t)在 t∈ (0,β)上“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”，呈“倒浴盆”形。

（Ⅲ）當(dāng) α2＜時，λ(t)在 t∈[β,+∞)上“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”，呈“倒浴盆”形；當(dāng)α2≥時 ，λ(t)在 t∈[β,+∞)上“ 嚴(yán) 格 單 調(diào)下降”。

（Ⅳ）當(dāng) α2=時，λ(t)在t= β處取極大值，即當(dāng)0＜t＜ β時，λ(t“)嚴(yán)格單調(diào)上升”；當(dāng)t＞ β時，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

證明易見失效率函數(shù)為

由于β為刻度參數(shù)，不失一般性，設(shè)β=1，并記ε(t)=-，則

（Ⅰ）關(guān)于λ(t)在t∈(0,+∞)上呈“倒浴盆”形，這一結(jié)論可由文獻(xiàn)［14］直接得到，另外

（Ⅱ）當(dāng)0＜ t＜ 1時，

對0＜ t＜ 1，令函數(shù)

對0＜ t＜ 1，令函數(shù)

對0＜ t＜ 1，令函數(shù)

對0＜ t＜ 1，令函數(shù)

則 g1(t)＞ 0，g′(t)＞ 0。則 g(t)＞ 0，η′(t)＞ 0，且G(t)＜ 0，于是 λ(t)在t∈(0,1)上“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

則存在 t0,0＜ t0＜ 1，有 g(t0)=0，當(dāng) 0＜ t＜ t0時 ，g(t)＞ 0，η′(t)＞ 0，G′(t)＞ 0；當(dāng) t0＜ t＜ 1時，g(t)＜ 0，η′(t)＜ 0，G′(t)＜ 0。

g(t)＞ 0，η′(t)＞ 0，而G(t)＜ 0，則 λ(t)在t∈(0,1)上“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

則 g1(t)＞ 0，g′(t)＞ 0。即

進(jìn) 而 g(t)＞ 0，η′(t)＞ 0，又G(t)＜ 0，則 λ(t)在t∈(0,1)上“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

（Ⅲ）當(dāng)t≥ 1時，

對t≥ 1，令函數(shù)

對t≥ 1，令函數(shù)

對t≥ 1，令函數(shù)

對t≥ 1，令函數(shù)

（a）當(dāng) α2＜G(t)＜ 0，此 時≤，存在 t*0，1≤ t*0＜ t0，G(t*0)=0，且當(dāng) 1≤t＜t*0時，G(t)＜0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”；當(dāng)t＞t*0時，G(t)＞0，λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。即λ(t)在t∈[1,+∞)上呈“倒浴盆”形。

（b）當(dāng) α2≥G(t)＞ 0，此 時，易見G(t)＞0，λ(t)在t∈[1,+∞)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

綜上可知，當(dāng) α2＜時，λ(t)在 t∈[1,+∞)上呈“倒浴盆”形；當(dāng)α2≥時，λ(t)在t∈[1,+∞)上“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

（Ⅳ）易見，當(dāng)α2=時，λ(t)在t=1處取極大值，即當(dāng)0＜t＜1時，λ(t“)嚴(yán)格單調(diào)上升”；當(dāng)t＞1時，λ(t“)嚴(yán)格單調(diào)下降”。

圖1 α=0.5，β=1Fig.1 α=0.5，β=1

圖2 α=，β=1Fig.2 α=，β=1

圖3 α=1，β=1Fig.3 α=1，β=1

圖4 α=2，β=1Fig.4 α=2，β=1