林革

在一般人的印象中，畫(huà)家是從事繪畫(huà)藝術(shù)的人群，以感性思維見(jiàn)長(zhǎng)，與培養(yǎng)理性思維的數(shù)學(xué)似乎并不相干。但你若觀(guān)賞過(guò)委內(nèi)瑞拉畫(huà)家Rafael Araujor的高能幾何繪畫(huà)（圖①和圖②），或許就會(huì)改變這樣的想法。他以圓規(guī)和尺子做出數(shù)學(xué)軌跡，就能創(chuàng)作出如此栩栩如生的作品，令人稱(chēng)奇。由此可見(jiàn)，畫(huà)家與數(shù)學(xué)絕非風(fēng)馬牛不相及，在心有靈犀和天賦興趣的前提下，藝術(shù)時(shí)常與數(shù)學(xué)不期而遇產(chǎn)生奇妙的火花。

畫(huà)作中的幻方

中世紀(jì)德國(guó)著名畫(huà)家阿爾布雷特·丟勒在其功成名就之時(shí)，突然宣布轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)研究，這種跨度似乎很難用心血來(lái)潮或別出心裁解釋。即便如此，這位酷愛(ài)幻方的畫(huà)家為其1514 年的名作《憂(yōu)郁》（圖③）添加了一個(gè)特別背景―四階幻方（圖③右上角），足以顯示自己業(yè)余愛(ài)好的非凡水準(zhǔn)。

用數(shù)學(xué)眼光來(lái)判斷，畫(huà)家苦心經(jīng)營(yíng)的這個(gè)四階幻方看似非常普通。唯一比較特別的是，幻方最后一行中間兩個(gè)數(shù)是15和14，恰好隱含了作品的創(chuàng)作年代，似乎也僅此而已。由于當(dāng)時(shí)的四階幻方已達(dá)880種之多，各有千秋、精彩紛呈，所以人們當(dāng)初并沒(méi)有對(duì)畫(huà)中的幻方高看一眼。

然而到了本世紀(jì)，當(dāng)專(zhuān)家重新審視這則幻方時(shí)，竟然發(fā)現(xiàn)數(shù)百年來(lái)大家都是“有眼不識(shí)泰山”，這則幻方中蘊(yùn)含的種種被忽略的特性足以讓人刮目相看。

第一，幻方角上4數(shù)之和16+13+4+1=34，等于四階幻方的和常數(shù)，這可不是幻方的常規(guī)要求，看似無(wú)心卻是有意；第二，在這個(gè)幻方中，角上的4個(gè)2×2小正方形和中央1個(gè)2×2小正方形的4數(shù)之和仍等于幻方常數(shù)，即16+3+5+10=9+6+4+15=2+13+11+ 8=7+12+14+1=10+11+6+7=34，其中的機(jī)巧讓人眼前一亮；第三，在這個(gè)幻方中，對(duì)角線(xiàn)上8個(gè)數(shù)字之和等于不在對(duì)角線(xiàn)上的8個(gè)數(shù)字之和，即16+10+7+1+13+11+6+4=2+3+5+ 9+14+15+12+8=68，這顯然出乎人們的意料和想象。

推演后，人們還發(fā)現(xiàn)：對(duì)角線(xiàn)上8個(gè)數(shù)字的立方和等于不在對(duì)角線(xiàn)上的8個(gè)數(shù)字的立方和，都為9248。如此“不變其宗”的機(jī)變實(shí)在讓人拍案叫絕。

一個(gè)畫(huà)家的數(shù)學(xué)造詣和精巧構(gòu)思竟然如此高深，這恐怕是許多人完全沒(méi)有想到的。

達(dá)·芬奇的巧證

列奧納多·達(dá)·芬奇是意大利最著名、最杰出的藝術(shù)大師。這位“歐洲文藝復(fù)興時(shí)期最完美的代表”，學(xué)識(shí)淵博、多才多藝，不僅在繪畫(huà)領(lǐng)域有著高超精湛的藝術(shù)造詣，而且在科學(xué)領(lǐng)域也展露出非凡卓越的才能，其研究成果和發(fā)明創(chuàng)造，曾得到偉大的物理學(xué)家愛(ài)因斯坦的高度贊賞，被贊譽(yù)為“人類(lèi)歷史上絕無(wú)僅有的全才”。下面這則巧證“勾股定理”的故事，應(yīng)該是對(duì)他身份中“藝術(shù)家里的數(shù)學(xué)家”的最佳詮釋。

據(jù)說(shuō)有一天，達(dá)·芬奇來(lái)畫(huà)室檢查學(xué)生臨摹《蒙娜麗莎》的情況，令他驚訝的是，竟然有半數(shù)學(xué)生沒(méi)有潛心于作畫(huà)，而是在探討“畢達(dá)哥拉斯定理”的證明。這個(gè)定理也就是大家現(xiàn)在非常熟悉的“勾股定理”：直角三角形兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2。有關(guān)這個(gè)定理的證明多種多樣，一直吸引著愛(ài)好者另辟蹊徑，嘗試探索。

達(dá)·芬奇自然知曉“畢達(dá)哥拉斯定理”的出處和背景，加上自身對(duì)數(shù)學(xué)也很癡迷，所以他并沒(méi)有批評(píng)弟子們，反而饒有興致地加入其中，很快便給出一個(gè)別出心裁的證明方法：

先將邊長(zhǎng)分別為a、b的兩個(gè)正方形和邊長(zhǎng)都是a、b、c的兩個(gè)直角三角形拼合成圖④，且畫(huà)出整個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸（圖中虛線(xiàn)）；接著，將拼合成的圖形整體從畫(huà)紙中移出，再將取出的圖形沿對(duì)稱(chēng)軸剪開(kāi)，然后保留圖形的左邊，而將右邊按照垂直方向翻轉(zhuǎn)一周后重新拼合成圖⑤；最后，將圖④中一些頂點(diǎn)相連成一個(gè)c為邊長(zhǎng)的正方形和兩個(gè)邊長(zhǎng)為a、b的直角三角形（圖⑥），就完成了定理的證明。

油畫(huà)中的難題

俄國(guó)著名畫(huà)家格丹諾夫·別爾斯基在1895年創(chuàng)作過(guò)一幅名為《難題》的油畫(huà)（圖⑦）。油畫(huà)描繪了一位小學(xué)教師正在和他的學(xué)生們演算黑板上的數(shù)學(xué)題。這位戴眼鏡的教師非同尋常，他是俄國(guó)著名數(shù)學(xué)家、教育家拉金斯基。

值得一提的是，這幅與數(shù)學(xué)有關(guān)的油畫(huà)的背景。畫(huà)中的主人公是莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)教授、著名的教育家拉金斯基，畫(huà)中的情景是描繪拉金斯基放棄大都市生活，到農(nóng)村當(dāng)一名默默無(wú)聞的小學(xué)教師?；蛟S人們都會(huì)驚訝于拉金斯基的選擇，其實(shí)只要了解了拉金斯基的生活經(jīng)歷就不難理解。生于農(nóng)村的拉金斯基自小便對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣，常常為了一些“難題”，算上幾天幾夜也不疲倦。11歲那年，他碰到一道難題，徒步50多千米到城里求教中學(xué)老師，老師只花了一分鐘，便解出了答案。所以他很有感觸：一些令農(nóng)村孩子們頭疼的“難題”，只要有好的老師指導(dǎo)，其實(shí)是很簡(jiǎn)單的。

為改變這種情況，拉金斯基盡管依靠自己的努力成為俄國(guó)著名數(shù)學(xué)家，他還是毅然辭去大學(xué)教授的職位，選擇回到農(nóng)村，來(lái)到那些更需要他的孩子們身邊。這幅油畫(huà)也由于數(shù)學(xué)家拉金斯基的感人事跡而得到了人們的關(guān)注。

這幅油畫(huà)被世界各地的數(shù)學(xué)愛(ài)好者得知后，大家紛紛前去品鑒，其中就有美國(guó)著名數(shù)學(xué)科普大師加德納。由于職業(yè)關(guān)系，加德納對(duì)畫(huà)中的這道數(shù)學(xué)題產(chǎn)生了濃厚興趣，他循著這一問(wèn)題進(jìn)行了有針對(duì)性的研究，一番艱辛之后，終于有所發(fā)現(xiàn)。

之后，又經(jīng)過(guò)進(jìn)一步深入演算，加德納終于歸納出了這樣一個(gè)規(guī)律：這些等式可以無(wú)窮無(wú)盡地寫(xiě)下去，樣子就像一座美麗的“寶塔”。如果等式右邊有x項(xiàng)，那么等式左邊就有x+1項(xiàng)。當(dāng)然，所有的數(shù)都得平方。加德納說(shuō)，最關(guān)鍵的是，這一串連續(xù)自然數(shù)中心的一個(gè)，一定為2x（x+1）。這可是從這幅特殊的油畫(huà)中得到的特殊發(fā)現(xiàn)喲。

杰作中的數(shù)學(xué)公式

文森特·威廉·梵高是19世紀(jì)偉大的藝術(shù)巨匠，也是舉世聞名的印象派大師。他的一生歷經(jīng)艱難困苦。梵高在世時(shí)，其藝術(shù)造詣并未得到充分肯定，他飽受癲癇病和精神錯(cuò)亂的折磨，甚至割掉了自己的一只耳朵，最終在37歲時(shí)于絕望中開(kāi)槍自殺。與此同時(shí)，梵高的一生又取得了輝煌的成就，如今，他已成為人們心目中偉大的藝術(shù)家，其畫(huà)作不斷被拍出高價(jià)，在藝術(shù)史上達(dá)到了令人難以超越的高度。

更耐人尋味的是：在被視為經(jīng)典的梵高后期作品之《麥田上的烏鴉》（圖⑧）以及《星空》（圖⑨）里，科學(xué)家用獨(dú)特的眼光發(fā)現(xiàn)了非比尋常的元素，畫(huà)作中一些旋渦式圖案背后竟然暗藏著復(fù)雜的數(shù)學(xué)和物理學(xué)公式。

在這幅《麥田上的烏鴉》中，烏云翻卷的天空和狂風(fēng)撼動(dòng)下的麥田，急促而蒼勁的黑色線(xiàn)條，畫(huà)出在波浪起伏的麥田上低掠而過(guò)的烏鴉。畫(huà)中的每筆線(xiàn)條都帶有強(qiáng)烈的動(dòng)感，動(dòng)蕩不安的構(gòu)圖、明暗對(duì)比強(qiáng)烈的色調(diào)、粗野狂放的繚亂筆觸，充分顯露出梵高內(nèi)心的孤獨(dú)、壓抑和苦悶。

在《星空》中，畫(huà)著一些小屋， 絲柏從地面伸向夜空；黃色的星星與閃光的橘黃色月亮形成旋渦， 天空因此變得活躍起來(lái)。

在這兩幅作品中，幾乎所有人都能感受到旋渦的存在和作用，一直以來(lái)，人們把這些旋渦看成是梵高的一種獨(dú)特的藝術(shù)表現(xiàn)形式，但現(xiàn)在，來(lái)自墨西哥國(guó)立自治大學(xué)的物理學(xué)家喬斯·阿拉貢經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，梵高畫(huà)作里出現(xiàn)的那些深淺不一的旋渦，竟然和半個(gè)世紀(jì)后科學(xué)家用來(lái)描述湍流現(xiàn)象的數(shù)學(xué)公式不謀而合。

湍流問(wèn)題曾被稱(chēng)為“經(jīng)典物理學(xué)最后的疑團(tuán)”，科學(xué)家一直試圖用精確的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述湍流現(xiàn)象，但至今仍未徹底解決。20世紀(jì)40年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蛱岢隽恕翱聽(tīng)柲缏宸蛭⒊叨取惫?，借助該公式，物理學(xué)家可以預(yù)測(cè)流體任意兩點(diǎn)之間在速率和方向上的關(guān)系。在梵高的這兩幅畫(huà)作里，那些深淺不一的旋渦正好精確地反映了這個(gè)公式。

需要指出的是，梵高這些畫(huà)作均為其后期作品，當(dāng)時(shí)的他已經(jīng)陷入癲癇病帶來(lái)的內(nèi)心狂亂狀態(tài)，時(shí)而清醒，時(shí)而混亂。阿拉貢相信，正是梵高的幻覺(jué)讓他得以洞察旋渦的原理。持類(lèi)似觀(guān)點(diǎn)的還有哈佛大學(xué)神經(jīng)病學(xué)教授史蒂文·沙克特，他認(rèn)為：“有人會(huì)在發(fā)病時(shí)產(chǎn)生新的、異常的意識(shí)，他的感覺(jué)和認(rèn)知都會(huì)變得不正常?！睋Q句話(huà)說(shuō)，梵高畫(huà)作里表現(xiàn)出的物理現(xiàn)象，極有可能與其受癲癇病影響有關(guān)?？茖W(xué)家們相信癲癇令梵高產(chǎn)生的幻覺(jué)，可能賦予他洞察湍流奧秘的特殊能力，并不自覺(jué)地在作品中留下湍流的經(jīng)典數(shù)學(xué)模型的影像。

盡管這樣的解釋并不能完全令人信服，但這種藝術(shù)與科學(xué)的碰撞，或許與梵高天才的想象和苦行僧般的經(jīng)歷有關(guān)，冥冥之中的注定恐怕只可意會(huì)，難以言傳，因此我們?cè)趯?duì)科學(xué)家的發(fā)現(xiàn)表示驚訝的同時(shí)，也只能對(duì)這位藝術(shù)大師的傳奇表達(dá)敬意。

埃舍爾的錯(cuò)覺(jué)圖形

莫里茨·科內(nèi)利斯·埃舍爾是荷蘭科學(xué)思維版畫(huà)大師，20世紀(jì)畫(huà)壇中別具一格的藝術(shù)家。其作品多以平面鑲嵌、不可能的結(jié)構(gòu)、悖論以及循環(huán)等為特點(diǎn)，從中可以看到對(duì)分形、對(duì)稱(chēng)、雙曲幾何、多面體、拓?fù)鋵W(xué)等數(shù)學(xué)概念的形象表達(dá)，為繪畫(huà)藝術(shù)增添了難以言說(shuō)的數(shù)學(xué)之美，他也被公認(rèn)為將繪畫(huà)藝術(shù)性與數(shù)學(xué)科學(xué)性融會(huì)貫通并發(fā)揮到極致的藝術(shù)大師。

1956年，埃舍爾舉辦了生平第一次重要的畫(huà)展，這個(gè)畫(huà)展得到了《時(shí)代》雜志的好評(píng)，使他在世界范圍獲得了極高的名望。許多數(shù)學(xué)家給予埃舍爾藝術(shù)作品充分的肯定，認(rèn)為埃舍爾藝術(shù)作品中的數(shù)學(xué)原則和思想得到了非同尋常的形象化。后來(lái)，隨著埃舍爾創(chuàng)作的發(fā)展，創(chuàng)造出許多反映悖論和“不可能”的圖形結(jié)構(gòu)的藝術(shù)作品，見(jiàn)者莫不驚嘆于數(shù)學(xué)思維融入藝術(shù)創(chuàng)造中的奇特魅力。

比如上面這幅引人注目的作品《互繪的雙手》（圖⑩），你看到后會(huì)情不自禁地研判究竟是哪一只手繪出了另一只手。畫(huà)面中既像左手畫(huà)著右手，又像右手畫(huà)著左手，當(dāng)然也可以看作左右手互繪，在確定無(wú)解后只能感慨“你中有我，我中有你”的神奇。而這恰好反應(yīng)了埃舍爾作品中極為重要的特征—自我復(fù)制和完全循環(huán)。事實(shí)上，在埃舍爾其他代表作品中，這種特征隨處可見(jiàn)，已成特色，并由此營(yíng)造出匪夷所思的視覺(jué)效果。

不僅如此，埃舍爾的許多作品還體現(xiàn)了平面鑲嵌的特點(diǎn)。所謂“平面鑲嵌”，是指完全沒(méi)有重疊并且沒(méi)有空隙的封閉圖形的排列。一般情況下，構(gòu)成鑲嵌的封閉圖形的基本單元是多邊形或類(lèi)似的常規(guī)形狀，埃舍爾更癡迷于那些不規(guī)則的、形狀特別的平面鑲嵌。因此，在他的很多藝術(shù)作品中，都運(yùn)用了幾何學(xué)中的反射、旋轉(zhuǎn)來(lái)得到更加多變的圖案，并獨(dú)具匠心地使這些圖案通過(guò)扭曲、變形成為人、鳥(niǎo)、魚(yú)等，這樣美不勝收的效果既自然又令人拍案叫絕。比如《騎士平面鑲嵌》（圖〇11）和《黑白鳥(niǎo)的鑲嵌》（圖〇12）就充分反映出重疊、翻轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)美。

此外，交叉幾何體也常常出現(xiàn)在埃舍爾的藝術(shù)作品中，比如木版畫(huà)《星空》（圖13〇）：這是一個(gè)由八面體、四面體和立方體交叉構(gòu)成的幾何體，這些正面體都是外凸的，同時(shí)還存在內(nèi)凸的正多面體，數(shù)學(xué)家已證明出存在26種可能的規(guī)則立體，它們之間互相交叉后還可以形成無(wú)數(shù)規(guī)則的立體系列。埃舍爾設(shè)計(jì)出飄浮著無(wú)數(shù)規(guī)則立體的星空背景，并在奇妙的正多面體中加入了兩條變色龍，帶給觀(guān)眾奇妙的視覺(jué)沖擊，巧妙展現(xiàn)出了立體幾何的數(shù)學(xué)美。

特別值得一提的是，在埃舍爾用數(shù)學(xué)觀(guān)點(diǎn)完成的所有重要藝術(shù)作品中，最重要的是處理空間性質(zhì)的作品。比如《瀑布》（圖〇14），從中可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)瀑布本質(zhì)上就是兩個(gè)彭羅斯三角的疊加，形成了矛盾的空間，顯示了埃舍爾對(duì)空間維度的關(guān)注以及用二維的方式表現(xiàn)三維空間的矛盾和詭術(shù)。

所謂彭羅斯三角 （圖〇15），看起來(lái)像是一個(gè)固體，由三個(gè)截面為正方形的長(zhǎng)方體所構(gòu)成，三個(gè)長(zhǎng)方體組合成為一個(gè)三角形，但兩長(zhǎng)方體之間的夾角似乎又是直角。但上述性質(zhì)無(wú)法在任何一個(gè)正常三維空間的物體上實(shí)現(xiàn)，是所有不可能圖形中最基礎(chǔ)的一個(gè)。

在埃舍爾手中，剛性的維度可以任意扭曲反轉(zhuǎn)，從而展示出在其豐富想象空間中的魔法變換。

在《莫比烏斯帶上的螞蟻》（圖〇16）中，如果我們跟蹤螞蟻的路徑，就會(huì)發(fā)現(xiàn)螞蟻并不是在相反的面上爬行，而是爬行在同一個(gè)面上。這就是埃舍爾藝術(shù)作品中展現(xiàn)出的拓?fù)鋵W(xué)價(jià)值和數(shù)學(xué)美。

早在公元前6世紀(jì)，古希臘著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯就認(rèn)為：數(shù)與美緊密關(guān)聯(lián)，甚至可以說(shuō)，數(shù)是美的本源，一切藝術(shù)都產(chǎn)生于數(shù)。這足以說(shuō)明藝術(shù)與數(shù)學(xué)有著悠遠(yuǎn)的淵源。由此不難理解，從事藝術(shù)創(chuàng)作的畫(huà)家為何流連于鮮花盛開(kāi)的數(shù)學(xué)園林，探尋和呈現(xiàn)數(shù)學(xué)之美才是主線(xiàn)和主題。