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        賞析以數(shù)列為載體的八種創(chuàng)新題型

        2019-02-26 01:01:50蔡勇全
        數(shù)理化解題研究 2019年4期
        關(guān)鍵詞:圓圈公差容積

        蔡勇全

        (四川省資陽市外國語實驗學校 641300)

        一、數(shù)學文化型

        傳統(tǒng)數(shù)學文化源遠流長,是人類社會寶貴的知識與精神財富,需要人們大力弘揚與傳承,只有這樣,它本身所具有的價值才能得以釋放.數(shù)學文化型數(shù)列創(chuàng)新題正是在這種樸素理念的支撐下誕生的新題型,它以現(xiàn)時事件或歷史上一些數(shù)學名著中的某一段素材為背景,在基本不改變原意的前提下,巧妙地引出其中蘊含的數(shù)列問題,要求解題者求出該問題的結(jié)論,體現(xiàn)了數(shù)學的人文價值和科學價值.

        例1 《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學專著,全書收集了246個問題及解法,其中一個問題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面四節(jié)的容積之和為3升,下面三節(jié)的容積之和為4升,問中間兩節(jié)的容積各為多少?”該問題中第2節(jié),第3節(jié),第8節(jié)竹子的容積之和為( ).

        解析自上而下依次設各節(jié)竹子的容積分別為a1,a2,…,a9,從而依題意可以得到

        變式1 我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“三百七十八里關(guān),初行健步并不難,次日腳痛減一半,六朝才得至其關(guān),欲問每朝行里數(shù),請公仔細算相還.”其意:有一個人走378里路,第一天健步行走,從第二天起,因腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達目的地,問此人每天走多少里路.則此人第五天走的路程為( ).

        A.48里 B.24里 C.12里 D.6里

        A.1260 B.1360 C.1430 D.1530

        評注一般來說,數(shù)學文化型數(shù)列創(chuàng)新題的難度適中,命題者會將深澀的古文譯作通俗易懂的現(xiàn)代文,解題者不必心生畏懼,只需在準確理解現(xiàn)代譯文的基礎上,構(gòu)建相應的數(shù)列模型,運用數(shù)列知識解出需要的數(shù)據(jù),最后再回歸實際問題.

        二、交匯整合型

        一般數(shù)列的離散、有序性以及特定數(shù)列的遞推、趨向性等特點,決定了數(shù)列與其他數(shù)學知識之間有著千絲萬縷的聯(lián)系.交匯整合型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點是:形式多樣,內(nèi)涵豐富,交匯點多,常常和函數(shù)、方程、不等式、三角、復數(shù)、概率與統(tǒng)計、解析幾何等知識融為一體,能夠很好地實現(xiàn)學科內(nèi)、學科間知識的交匯整合.

        變式已知曲線Cn:x2-2nx+y2=0(n=1,2,…).從點P(-1,0)向曲線Cn引斜率為kn(kn>0)的切線ln,切點為Pn(xn,yn).

        (1)求數(shù)列{xn}與{yn}的通項公式;

        評注教學中,既要讓學生掌握基礎知識和基本的數(shù)學思想方法,又要著力提高創(chuàng)新思維能力,認真研究、探索數(shù)列知識網(wǎng)絡的交匯性,研究交匯點向外輻射的知識塊,恰好能增強我們對學科知識的整體把握能力,又可以提高分析和解決創(chuàng)新型問題的能力.

        三、規(guī)律發(fā)現(xiàn)型

        規(guī)律發(fā)現(xiàn)型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點是:題目中已經(jīng)給出某種數(shù)列的若干特殊數(shù)據(jù)或性質(zhì)特征,可能要求歸納出該數(shù)列的一般規(guī)律、完善該數(shù)列的相應性質(zhì)、類比推廣到相關(guān)數(shù)列等.

        例3 以下依次是按照某種規(guī)律排列的一系列圖形中的第(1)~(4)個,由此可猜測第n個圖形中共有個圓圈.

        思路二觀察上圖可以發(fā)現(xiàn):第一個圖形只有一個中心圓圈;第二個圖形除中心圓圈外還有兩邊,每邊一個圓圈;第三個圖形除中心圓圈外還有三邊,每邊兩個圓圈;….按此規(guī)律,第n個圖形中除中心圓圈外還有n邊,每邊n-1個圓圈,故第n個圖形中圓圈的個數(shù)為n(n-1)+1=n2-n+1.

        變式1 在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間,某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品,其中第1堆只有一層,就一個球,第2,3,4,…堆最底層(第一層)分別按如圖所示的方式固定擺放,從第二層開始,每層的小球自然壘放在下一層之上,第n堆第n層就放一個乒乓球,則第n堆的乒乓球總數(shù)f(n)=.

        變式2 在正整數(shù)數(shù)列中,由1開始依次按如下規(guī)則,將某些數(shù)染成紅色.先染1;再染兩個偶數(shù)2,4;再染4后面最鄰近的3個連續(xù)奇數(shù)5,7,9;再染9后面的最鄰近的4個連續(xù)偶數(shù)10,12,14,16;再染此后最鄰近的5個連續(xù)奇數(shù)17,19,21,23,25.按此規(guī)則一直染下去,得到一紅色子數(shù)列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…,則在這個紅色子數(shù)列中,由1開始的第2018個數(shù)是( ).

        A.3971 B.3972 C.3973 D.3974

        評注從例3及其變式的解答過程可以看到,解決規(guī)律發(fā)現(xiàn)型數(shù)列創(chuàng)新題需要解題者具有較強的觀察能力和快速探求規(guī)律的能力,因此平時應注重這方面的訓練和經(jīng)驗的積累.

        四、現(xiàn)時約定型

        現(xiàn)時約定型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點是:以已有數(shù)列知識為基礎,現(xiàn)時定義一個新的概念,然后圍繞新概念設計一系列問題.此類問題旨在考查學生獨立獲取信息、加工信息的閱讀理解能力和知識的運用、遷移能力.

        例4 已知數(shù)列{an}滿足an=logn+1(n+2)(n∈N*),定義使得a1·a2·a3·…·ak為整數(shù)的正整數(shù)k叫做“契合值”,則區(qū)間(6,2018]內(nèi)的契合值的個數(shù)為,該區(qū)間內(nèi)所有契合值的和為.

        變式把形如M=mn(m,n∈N*)的正整數(shù)M表示成各項都是整數(shù),公差為2的等差數(shù)列的前m項的和,稱為“對M的m項分劃”.例如,把9表示成9=32=1+3+5,稱為“對9的3項分劃”;把64表示成64=43=13+15+17+19,稱為“對64的4項分劃”.據(jù)此,對324的18項分劃中最大的數(shù)是;若M=m3的m項分劃中第5項是281,則m的值是.

        評注例4及其變式代表了現(xiàn)時約定型數(shù)列創(chuàng)新題的兩種最常見形式,即定義新名詞性術(shù)語與定義新規(guī)則性術(shù)語,解決此類問題時應充分理解新定義,并緊扣新定義與所學的知識,從而找到解題突破口.

        五、數(shù)表(陣、組)型

        數(shù)表(陣、組)型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點是:將一些數(shù)排成長方形、三角形、數(shù)組的形式,就形成了數(shù)表、數(shù)陣等形式,要求學生研究某行、某列、某組或所有行(列、組)所具有的特殊性質(zhì).

        例5 在n行m列的方格表中每一個方格都填上一個數(shù),使得每一行的m個數(shù)與每一列的n個數(shù)都成等差數(shù)列,如果表的四個角上的數(shù)之和等于S,則此表中所有數(shù)的和等于.

        a11a12…a1m…………an1an2…anm

        變式1 在如圖所示的三角形數(shù)陣中,第n行共有n個數(shù),且該行的第一個數(shù)和最后一個數(shù)都是n,中間任意一個數(shù)都等于第n-1行與之相鄰的兩個數(shù)之和,an1,an2,…,ann(n=1,2,3,…)分別表示第n行的第一個數(shù),第二個數(shù),…,第n個數(shù),求an2(n∈N*且n≥2)的通項式.

        (1)第1組到第k組共有幾個數(shù)?

        (2)第k組中的首數(shù)和尾數(shù)各是多少?

        (3)求第k組中各數(shù)之和及前k組中各數(shù)之和.

        評注從例5及其變式的解答過程可以看到,求解此類問題的策略是通過觀察、分析,弄清楚數(shù)表(陣)中各行(列)的項與列(行)數(shù)之間的對應關(guān)系或所有數(shù)組中的數(shù)的總體趨勢,然后再轉(zhuǎn)化成熟悉的等差或等比數(shù)列問題求解.

        六、逆向探索型

        逆向探索型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點是:可能題設中已經(jīng)給出了具有某種特征的數(shù)列,要求尋找這一特征產(chǎn)生的條件,也可能是將數(shù)列是否具有某種特征作為一個待定的問題,要求分析數(shù)列具有該特征的條件和不具有該特征的原因.

        綜上所述,a1=56或9.

        變式已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2+5n,數(shù)列{bn}中,b1=8,64bn+1-bn=0.問:是否存在常數(shù)c,使得對任意的正整數(shù)n,an+logcbn恒為常數(shù)m?若存在,求出常數(shù)c和m的值;若不存在,請說明理由.

        評注從例6及其變式的解答過程可以看到,此類問題主要考查學生逆向思維能力,解題策略是從數(shù)列已經(jīng)具有的某一特征出發(fā)進行逆向性的邏輯推理,或假設數(shù)列具有某種特征,再進行逆向性的演繹推理,若出現(xiàn)矛盾,則可否定假設,若推證無矛盾,則假設成立.

        七、性質(zhì)探求型

        認識性質(zhì)探求型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點,需要明確:數(shù)列是一類特殊的函數(shù),一方面,它的定義域只能為正整數(shù)集或其子集;另一方面,函數(shù)的性質(zhì)常??梢詣?chuàng)新設置在數(shù)列問題中,比如從函數(shù)角度分析判斷數(shù)列的周期性、有界性、單調(diào)性、求具體項、求最大(小)項等問題.

        A.f(n+1)-f(n)=1

        B.f(n+k)=f(n)(k∈N*)

        C.αf(n)=f(n+1)+αf(n)(α≠0)

        D.αf(n+1)=α-(α+1)f(n)(α≠0)

        評注從例7及其變式的解答過程可以看到,解決此類問題的策略是通過對數(shù)列形式的挖掘得出數(shù)列特有的性質(zhì),從而達到化歸轉(zhuǎn)化解決問題的目的,其中性質(zhì)探求是關(guān)鍵.值得一提的是,例7不僅是性質(zhì)探求型數(shù)列創(chuàng)新題,而且解答時用到了三角代換技巧,因此它也屬于解法創(chuàng)新型數(shù)列題,當然,這需要解題者具有靈活而廣博的解題思維.

        八、類比聯(lián)想型

        類比聯(lián)想型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點是:題目中給出某種特殊數(shù)列的屬性,要求解答者根據(jù)所給信息與另一種特殊數(shù)列的相似性或一致性,為之寫出類似的結(jié)論,這里的屬性可以是問題的結(jié)論、分析思路,解題方法、式子的結(jié)構(gòu)等.

        例8 已知數(shù)列a1,a2,…,a30,其中a1,a2,…,a10是首項為1,公差為1的等差數(shù)列;a10,a11,…,a20是公差為d的等差數(shù)列;a20,a21,…,a30是公差為d2的等差數(shù)列(d≠0).

        (1)若a20=40,求d;

        (2)試寫出a30關(guān)于d的關(guān)系式,并求出a30的取值范圍;

        (3)續(xù)寫已知數(shù)列,使得a30,a31,…,a40是公差為d3的等差數(shù)列,…,以此類推,把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列,類比(Ⅱ)問,你能提出什么樣的問題,還能得到什么樣的結(jié)論?

        提示(1)a10=1+9=10,a20=10+10d=40,所以d=3.

        (3)所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列{an},其中a1,a2,…,a10是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,當n≥1時,數(shù)列a10n,a10n+1,…,a10(n+1)是公差為dn的等差數(shù)列,類比(Ⅱ)問,研究的問題可以是:試寫出a10(n+1)關(guān)于d的關(guān)系式,并求a10(n+1)的取值范圍.

        變式在等差數(shù)列{an}中,若a10=0,則a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n∈N*且n<19)成立.類比上述性質(zhì),相應地,在等比數(shù)列{bn}中,若b9=1,則有等式成立.

        提示首先研究a1+a2+…+an=a1+a2+…a19-n成立的理由.因an+1+a19-n=2a10=0,an+2+a18-n=2a10=0,an+3+a17-n=2a10=0,…,故an+1+an+2+an+3+…+a17-n+a18-n++a19n-n=0,兩邊同時加上a1+a2+…+an,故有上式成立.

        評注由例8及其變式的解答過程可以看到,解決此類問題的策略概括起來就是引申、推廣、遷移、移植等幾個關(guān)鍵詞,但需要注意的是,由此得到的一般性結(jié)論可能真,也可能假,結(jié)論的正確性有待進一步證明.

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