蔡勇全

(四川省資陽市外國語實驗學(xué)校 641300)

一、數(shù)學(xué)文化型

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化源遠流長，是人類社會寶貴的知識與精神財富，需要人們大力弘揚與傳承，只有這樣，它本身所具有的價值才能得以釋放.數(shù)學(xué)文化型數(shù)列創(chuàng)新題正是在這種樸素理念的支撐下誕生的新題型，它以現(xiàn)時事件或歷史上一些數(shù)學(xué)名著中的某一段素材為背景，在基本不改變原意的前提下，巧妙地引出其中蘊含的數(shù)列問題，要求解題者求出該問題的結(jié)論，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文價值和科學(xué)價值.

例1 《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，全書收集了246個問題及解法，其中一個問題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面四節(jié)的容積之和為3升，下面三節(jié)的容積之和為4升，問中間兩節(jié)的容積各為多少?”該問題中第2節(jié)，第3節(jié)，第8節(jié)竹子的容積之和為( ).

解析自上而下依次設(shè)各節(jié)竹子的容積分別為a1，a2，…，a9，從而依題意可以得到

變式1 我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“三百七十八里關(guān)，初行健步并不難，次日腳痛減一半，六朝才得至其關(guān)，欲問每朝行里數(shù)，請公仔細算相還.”其意:有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，問此人每天走多少里路.則此人第五天走的路程為( ).

A.48里 B.24里 C.12里 D.6里

A.1260 B.1360 C.1430 D.1530

評注一般來說，數(shù)學(xué)文化型數(shù)列創(chuàng)新題的難度適中，命題者會將深澀的古文譯作通俗易懂的現(xiàn)代文，解題者不必心生畏懼，只需在準確理解現(xiàn)代譯文的基礎(chǔ)上，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)列模型，運用數(shù)列知識解出需要的數(shù)據(jù)，最后再回歸實際問題.

二、交匯整合型

一般數(shù)列的離散、有序性以及特定數(shù)列的遞推、趨向性等特點，決定了數(shù)列與其他數(shù)學(xué)知識之間有著千絲萬縷的聯(lián)系.交匯整合型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點是:形式多樣，內(nèi)涵豐富，交匯點多，常常和函數(shù)、方程、不等式、三角、復(fù)數(shù)、概率與統(tǒng)計、解析幾何等知識融為一體，能夠很好地實現(xiàn)學(xué)科內(nèi)、學(xué)科間知識的交匯整合.

變式已知曲線Cn:x2-2nx+y2=0(n=1，2，…).從點P(-1，0)向曲線Cn引斜率為kn(kn>0)的切線ln，切點為Pn(xn，yn).

(1)求數(shù)列{xn}與{yn}的通項公式；

評注教學(xué)中，既要讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本的數(shù)學(xué)思想方法，又要著力提高創(chuàng)新思維能力，認真研究、探索數(shù)列知識網(wǎng)絡(luò)的交匯性，研究交匯點向外輻射的知識塊，恰好能增強我們對學(xué)科知識的整體把握能力，又可以提高分析和解決創(chuàng)新型問題的能力.

三、規(guī)律發(fā)現(xiàn)型

規(guī)律發(fā)現(xiàn)型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點是:題目中已經(jīng)給出某種數(shù)列的若干特殊數(shù)據(jù)或性質(zhì)特征，可能要求歸納出該數(shù)列的一般規(guī)律、完善該數(shù)列的相應(yīng)性質(zhì)、類比推廣到相關(guān)數(shù)列等.

例3 以下依次是按照某種規(guī)律排列的一系列圖形中的第(1)～(4)個，由此可猜測第n個圖形中共有個圓圈.

思路二觀察上圖可以發(fā)現(xiàn):第一個圖形只有一個中心圓圈；第二個圖形除中心圓圈外還有兩邊，每邊一個圓圈；第三個圖形除中心圓圈外還有三邊，每邊兩個圓圈；….按此規(guī)律，第n個圖形中除中心圓圈外還有n邊，每邊n-1個圓圈，故第n個圖形中圓圈的個數(shù)為n(n-1)+1=n2-n+1.

變式1 在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有一層，就一個球，第2，3，4，…堆最底層(第一層)分別按如圖所示的方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球，則第n堆的乒乓球總數(shù)f(n)=.

變式2 在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則，將某些數(shù)染成紅色.先染1；再染兩個偶數(shù)2，4；再染4后面最鄰近的3個連續(xù)奇數(shù)5，7，9；再染9后面的最鄰近的4個連續(xù)偶數(shù)10，12，14，16；再染此后最鄰近的5個連續(xù)奇數(shù)17，19，21，23，25.按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，則在這個紅色子數(shù)列中，由1開始的第2018個數(shù)是( ).

A.3971 B.3972 C.3973 D.3974

評注從例3及其變式的解答過程可以看到，解決規(guī)律發(fā)現(xiàn)型數(shù)列創(chuàng)新題需要解題者具有較強的觀察能力和快速探求規(guī)律的能力，因此平時應(yīng)注重這方面的訓(xùn)練和經(jīng)驗的積累.

四、現(xiàn)時約定型

現(xiàn)時約定型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點是:以已有數(shù)列知識為基礎(chǔ)，現(xiàn)時定義一個新的概念，然后圍繞新概念設(shè)計一系列問題.此類問題旨在考查學(xué)生獨立獲取信息、加工信息的閱讀理解能力和知識的運用、遷移能力.

例4 已知數(shù)列{an}滿足an=logn+1(n+2)(n∈N*)，定義使得a1·a2·a3·…·ak為整數(shù)的正整數(shù)k叫做“契合值”，則區(qū)間(6，2018]內(nèi)的契合值的個數(shù)為，該區(qū)間內(nèi)所有契合值的和為.

變式把形如M=mn(m，n∈N*)的正整數(shù)M表示成各項都是整數(shù)，公差為2的等差數(shù)列的前m項的和，稱為“對M的m項分劃”.例如，把9表示成9=32=1+3+5，稱為“對9的3項分劃”；把64表示成64=43=13+15+17+19，稱為“對64的4項分劃”.據(jù)此，對324的18項分劃中最大的數(shù)是；若M=m3的m項分劃中第5項是281，則m的值是.

評注例4及其變式代表了現(xiàn)時約定型數(shù)列創(chuàng)新題的兩種最常見形式，即定義新名詞性術(shù)語與定義新規(guī)則性術(shù)語，解決此類問題時應(yīng)充分理解新定義，并緊扣新定義與所學(xué)的知識，從而找到解題突破口.

五、數(shù)表(陣、組)型

數(shù)表(陣、組)型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點是:將一些數(shù)排成長方形、三角形、數(shù)組的形式，就形成了數(shù)表、數(shù)陣等形式，要求學(xué)生研究某行、某列、某組或所有行(列、組)所具有的特殊性質(zhì).

例5 在n行m列的方格表中每一個方格都填上一個數(shù)，使得每一行的m個數(shù)與每一列的n個數(shù)都成等差數(shù)列，如果表的四個角上的數(shù)之和等于S，則此表中所有數(shù)的和等于.

a11a12…a1m…………an1an2…anm

變式1 在如圖所示的三角形數(shù)陣中，第n行共有n個數(shù)，且該行的第一個數(shù)和最后一個數(shù)都是n，中間任意一個數(shù)都等于第n-1行與之相鄰的兩個數(shù)之和，an1，an2，…，ann(n=1，2，3，…)分別表示第n行的第一個數(shù)，第二個數(shù)，…，第n個數(shù)，求an2(n∈N*且n≥2)的通項式.

(1)第1組到第k組共有幾個數(shù)?

(2)第k組中的首數(shù)和尾數(shù)各是多少?

(3)求第k組中各數(shù)之和及前k組中各數(shù)之和.

評注從例5及其變式的解答過程可以看到，求解此類問題的策略是通過觀察、分析，弄清楚數(shù)表(陣)中各行(列)的項與列(行)數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系或所有數(shù)組中的數(shù)的總體趨勢，然后再轉(zhuǎn)化成熟悉的等差或等比數(shù)列問題求解.

六、逆向探索型

逆向探索型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點是:可能題設(shè)中已經(jīng)給出了具有某種特征的數(shù)列，要求尋找這一特征產(chǎn)生的條件，也可能是將數(shù)列是否具有某種特征作為一個待定的問題，要求分析數(shù)列具有該特征的條件和不具有該特征的原因.

綜上所述，a1=56或9.

變式已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2+5n，數(shù)列{bn}中，b1=8，64bn+1-bn=0.問:是否存在常數(shù)c，使得對任意的正整數(shù)n，an+logcbn恒為常數(shù)m?若存在，求出常數(shù)c和m的值；若不存在，請說明理由.

評注從例6及其變式的解答過程可以看到，此類問題主要考查學(xué)生逆向思維能力，解題策略是從數(shù)列已經(jīng)具有的某一特征出發(fā)進行逆向性的邏輯推理，或假設(shè)數(shù)列具有某種特征，再進行逆向性的演繹推理，若出現(xiàn)矛盾，則可否定假設(shè)，若推證無矛盾，則假設(shè)成立.

七、性質(zhì)探求型

認識性質(zhì)探求型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點，需要明確:數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，一方面，它的定義域只能為正整數(shù)集或其子集；另一方面，函數(shù)的性質(zhì)常?？梢詣?chuàng)新設(shè)置在數(shù)列問題中，比如從函數(shù)角度分析判斷數(shù)列的周期性、有界性、單調(diào)性、求具體項、求最大(小)項等問題.

A.f(n+1)-f(n)=1

B.f(n+k)=f(n)(k∈N*)

C.αf(n)=f(n+1)+αf(n)(α≠0)

D.αf(n+1)=α-(α+1)f(n)(α≠0)

評注從例7及其變式的解答過程可以看到，解決此類問題的策略是通過對數(shù)列形式的挖掘得出數(shù)列特有的性質(zhì)，從而達到化歸轉(zhuǎn)化解決問題的目的，其中性質(zhì)探求是關(guān)鍵.值得一提的是，例7不僅是性質(zhì)探求型數(shù)列創(chuàng)新題，而且解答時用到了三角代換技巧，因此它也屬于解法創(chuàng)新型數(shù)列題，當然，這需要解題者具有靈活而廣博的解題思維.

八、類比聯(lián)想型

類比聯(lián)想型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點是:題目中給出某種特殊數(shù)列的屬性，要求解答者根據(jù)所給信息與另一種特殊數(shù)列的相似性或一致性，為之寫出類似的結(jié)論，這里的屬性可以是問題的結(jié)論、分析思路，解題方法、式子的結(jié)構(gòu)等.

例8 已知數(shù)列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；a10，a11，…，a20是公差為d的等差數(shù)列；a20，a21，…，a30是公差為d2的等差數(shù)列(d≠0).

(1)若a20=40，求d；

(2)試寫出a30關(guān)于d的關(guān)系式，并求出a30的取值范圍；

(3)續(xù)寫已知數(shù)列，使得a30，a31，…，a40是公差為d3的等差數(shù)列，…，以此類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列，類比(Ⅱ)問，你能提出什么樣的問題，還能得到什么樣的結(jié)論？

提示(1)a10=1+9=10，a20=10+10d=40，所以d=3.

(3)所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列{an}，其中a1，a2，…，a10是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，當n≥1時，數(shù)列a10n，a10n+1，…，a10(n+1)是公差為dn的等差數(shù)列，類比(Ⅱ)問，研究的問題可以是:試寫出a10(n+1)關(guān)于d的關(guān)系式，并求a10(n+1)的取值范圍.

變式在等差數(shù)列{an}中，若a10=0，則a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n∈N*且n<19)成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b9=1，則有等式成立.

提示首先研究a1+a2+…+an=a1+a2+…a19-n成立的理由.因an+1+a19-n=2a10=0,an+2+a18-n=2a10=0,an+3+a17-n=2a10=0,…,故an+1+an+2+an+3+…+a17-n+a18-n++a19n-n=0，兩邊同時加上a1+a2+…+an，故有上式成立.

評注由例8及其變式的解答過程可以看到，解決此類問題的策略概括起來就是引申、推廣、遷移、移植等幾個關(guān)鍵詞，但需要注意的是，由此得到的一般性結(jié)論可能真，也可能假，結(jié)論的正確性有待進一步證明.