蔡曉紅

(江蘇省錫東高級中學(xué) 214000)

一、從多個角度認(rèn)識同一問題

在解析幾何中，同學(xué)們往往被復(fù)雜的運(yùn)算搞得暈頭轉(zhuǎn)向，做不到底.圍繞解析幾何題如何優(yōu)化過程，減小運(yùn)算量，正確解出結(jié)果 ，常常是我們解題時首先面對的問題，為了便于敘述，請看以下幾個例子.

例1 已知圓C:x2+(y-1)2=5，A為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過A作圓C的弦AB，記線段AB的中點(diǎn)為M，若OA=OM，則直線AB的斜率為____.

由OA=OM可得

當(dāng)k=-2時，直線AB與圓C相切，故舍去.

綜上所述：k=2

求出tanα=2，即直線AB的斜率為2.

解法三(平面幾何角度)設(shè)D為圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，連接DM.由OA=OM=OD得DM⊥AM又CM⊥AM.三點(diǎn)D,C,M共線，因?yàn)橹本€DM的斜率為-1/2，故直線的AB斜率為2.

小結(jié)：解法一是通法，學(xué)生很容易想到，思路清晰，但是運(yùn)算較繁；解法二利用方程思想，通過解三角形的方法也較容易求出tanα=2:解法三，充分挖掘圖形的幾何特征，根據(jù)平面幾何性質(zhì)快速求得結(jié)果，大大減少了數(shù)的運(yùn)算.

例2 (2016年江蘇高考題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A(2，4).

(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點(diǎn)，且BC=OA,求直線l的方程；

解(1)、(2)略.

(3)解題目標(biāo)：建立有關(guān)t的不等量關(guān)系.

由上述幾個例子可以得到：題中涉及圓的有關(guān)問題，常常可以利用圓的幾何特征來解決問題，效果較好.

二、對問題善于分析轉(zhuǎn)化，回歸本原

圓是高中數(shù)學(xué)解析幾何中的基礎(chǔ)部分，也是發(fā)展學(xué)習(xí)能力的重要內(nèi)容，自然也成為了各類命題和課堂教學(xué)的必選內(nèi)容和重點(diǎn). 在夯實(shí)基礎(chǔ)后,幫助學(xué)生分析這類題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),并對解題方法加以指導(dǎo),會達(dá)到事半功倍的效果.

例3 已知圓M：(x-1)2+(y-1)2=4，直線l：x+y-6=0，A為直線l上一點(diǎn)．若圓M上存在兩點(diǎn)B，C，使得∠BAC=60°，求點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍．

解法1 (考慮極端位置)過A(a，b)作AD，AE，分別與圓M相切于D，E兩點(diǎn)，因?yàn)椤螪AE≥∠BAC，所以要使圓M上存在兩點(diǎn)B，C，使得∠BAC=60°，只要使∠DAE≥60°.

∵AM平分∠DAE，∴只要30°≤∠DAM<90°.

又a+b-6=0，解得1≤a≤5，即a的取值范圍是[1,5]．

解法2 分析(直線與圓的方程的應(yīng)用)從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時才是最大的角，不妨設(shè)切線為AP，AQ，則∠PAQ為60°時，∠PMQ為120°，所以MA的長度為4，故可確定點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x0的取值范圍．

解答由題意，從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時才是最大的角，不妨設(shè)切線為AP，AQ，則∠PAQ為60°時，∠PMQ為120°，所以MA的長度為4，故問題轉(zhuǎn)化為在直線上找到一點(diǎn)，使它到點(diǎn)M的距離為4．設(shè)A(x0，6-x0)，∵M(jìn)(1，1)，∴(x0-1)2+(5-x0)2=16,∴x0=1或5.∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x0的取值范圍是[1，5].故答案為[1，5].

解法3 (圓的幾何性質(zhì))

問題轉(zhuǎn)化為在直線上找到一點(diǎn)，使它到點(diǎn)M的距離為4,以下解法與解法2同.

變：已知圓C:(x-2)2+y2=1，點(diǎn)P在直線l:x+y+1=0上，若過點(diǎn)P存在直線m與圓C交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A為PB的中點(diǎn)，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)x0的取值范圍是____．

分析要求點(diǎn)P橫坐標(biāo)x0的取值范圍，就要想辦法得到有關(guān)橫坐標(biāo)x0的不等式，因?yàn)锳是PB的中點(diǎn)，所以本題切入點(diǎn)為：PA=AB當(dāng)AB是圓的直徑時，則圓心到直線的距離等于3倍的半徑，因而圓心C到直線l的距離小于等于3,CP≤3?|PC|2≤9?(x-2)2+(x+1)2≤9即x2-x-2≤0,∴-1≤x≤2.

三、以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合，也是學(xué)生智慧的反映.

解析畫出分段函數(shù)的圖象如圖，令f(x)=f(1)，得x=-3,1,3.

所以f(x)>f(1)的解集是(-3,1)∪(3，+∞)．

小結(jié)：當(dāng)涉及的問題是有關(guān)不等式或方程的解，這類題型的突破點(diǎn)是利用數(shù)形結(jié)合，求出對應(yīng)方程的解，結(jié)合圖形能較快得到問題的答案.