梁衛(wèi)國，楊健鋒，廉浩杰，王志勇，沈文豪

(1.太原理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，山西 太原 030024; 2.太原理工大學(xué) 原位改性采礦教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,山西 太原 030024; 3.太原理工大學(xué) 力學(xué)學(xué)院，山西 太原 030024)

煤層氣是指賦存于煤層中以甲烷(CH4)為主要成分的非常規(guī)天然氣，是一種重要的優(yōu)質(zhì)清潔能源。我國煤層氣資源豐富，埋深淺于 2 000 m 的煤層氣有 36.81 萬億m3(據(jù) 2006年國土資源部全國煤層氣資源評(píng)價(jià))，居世界第三位，是我國重要的能源儲(chǔ)備。實(shí)現(xiàn)煤層氣的高效開采和利用，能夠彌補(bǔ)我國常規(guī)油氣資源的不足，并且對(duì)保護(hù)大氣環(huán)境、促進(jìn)煤礦安全生產(chǎn)有重大意義。煤層滲透率通常較低，導(dǎo)致煤層氣開發(fā)難度大，效率低。水力壓裂是目前國內(nèi)外開發(fā)非常規(guī)天然氣的重要技術(shù)手段。

水力壓裂屬于復(fù)雜的多場耦合問題[1]，學(xué)術(shù)界對(duì)水力壓裂進(jìn)行了大量的研究，并發(fā)展出了一些經(jīng)典的水力壓裂力學(xué)模型來指導(dǎo)工程實(shí)踐，例如 PKN模型[2-3]、KGD模型[4-5]、Penny-shape模型[6]、 擬三維模型[7]和全三維模型[8]等。在經(jīng)典水力壓裂模型中，巖石固體骨架被簡化為不可滲透的線彈性體。對(duì)于孔隙充分發(fā)育的材料，如煤巖等，巖石內(nèi)部的滲流現(xiàn)象明顯,因而孔隙壓的作用不可忽略。為考慮孔隙壓的影響，BOONE等[9]在水力壓裂模型中將巖石抽象為多孔介質(zhì)，耦合了孔隙內(nèi)部滲流場和固體骨架的變形。

但多孔介質(zhì)壓裂模型中仍然將巖石假設(shè)為多孔彈性體，一般采用線彈性斷裂力學(xué)(Linear Elastic Fracture Mechanics,LEFM)理論對(duì)其裂紋擴(kuò)展行為進(jìn)行研究[10-11]，而沒有考慮塑性變形和損傷的影響。在現(xiàn)實(shí)情況中，煤巖力學(xué)特性較軟，是一種典型的準(zhǔn)脆性材料，其斷裂的重要特征是韌性破壞，即起裂之后能量并非瞬間釋放，而是呈現(xiàn)一個(gè)損傷逐漸積累直至完全破壞的漸進(jìn)式過程，因而線彈性斷裂力學(xué)并不適用。解釋材料漸進(jìn)式破壞的有效理論工具是黏聚型裂紋模型[12-13]。黏聚型裂紋模型是針對(duì)裂尖附近斷裂過程區(qū)(Fracture Process Zone,FPZ)的破壞規(guī)律建立的本構(gòu)關(guān)系。斷裂過程區(qū)是裂紋起裂擴(kuò)展過程中主要的能量耗散區(qū)和非線性響應(yīng)區(qū)。在多場作用下，斷裂過程區(qū)的微觀孔裂隙會(huì)不斷萌生、擴(kuò)張和融合，由此決定了裂紋的擴(kuò)展規(guī)律和縫網(wǎng)形態(tài)。對(duì)于水力壓裂來說，斷裂過程區(qū)的損傷還會(huì)導(dǎo)致局部滲流特征的顯著變化，形成更為復(fù)雜的流固耦合機(jī)制[14-15]。黏聚型裂紋模型的原理是把斷裂過程區(qū)假設(shè)為真實(shí)裂紋前端的虛擬裂紋，虛擬裂紋的上下表面之間存在黏聚力的作用(圖1)。黏聚力是裂紋上下表面相對(duì)位移的函數(shù)(黏聚型本構(gòu)關(guān)系)，并且受界面損傷因子控制。在外界作用下，黏聚區(qū)域的黏聚力不斷損傷，當(dāng)其完全損傷時(shí)，意味著黏聚力完全消失，同時(shí)也標(biāo)志著新的宏觀裂紋面的產(chǎn)生，而這個(gè)損傷過程所消耗的能量大小就是斷裂能。黏聚型裂紋本構(gòu)關(guān)系通常是非線性的，并且依賴于加載、卸載路徑和界面損傷變量的演化歷史。常見的黏聚型裂紋本構(gòu)關(guān)系有雙線型，指數(shù)型，梯型等，但具體形式往往需要根據(jù)實(shí)驗(yàn)和理論共同確定，而且還需要考慮復(fù)合加載[16]、摩擦[17]、加載率等諸多因素可能造成的影響。由此可見，黏聚型裂紋的本構(gòu)模型反映了斷裂過程區(qū)的損傷破壞規(guī)律，對(duì)準(zhǔn)脆性材料的斷裂特征有關(guān)鍵影響，但是，目前還尚未有學(xué)者針對(duì)煤巖斷裂過程區(qū)的特點(diǎn)對(duì)其黏聚型裂紋本構(gòu)模型進(jìn)行研究，因而也就不能建立起符合實(shí)際的煤巖水力壓力控制方程。

基于以上分析，筆者擬通過實(shí)驗(yàn)建立煤巖斷裂過程區(qū)的黏聚型裂紋本構(gòu)關(guān)系,并在其基礎(chǔ)上構(gòu)建煤巖水力壓裂多場耦合模型。模型結(jié)果的正確性將通過真三軸水力壓裂實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并結(jié)合數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)加以討論。此項(xiàng)工作有助于揭示煤巖水力壓裂韌性破壞的規(guī)律，完善煤巖水力壓裂的理論模型，促進(jìn)煤層氣資源的高效安全綠色開采。

1 煤巖水力壓裂控制方程

如引言所述，煤巖水力壓裂的力學(xué)機(jī)制是一組復(fù)雜的非線性耦合方程。本文將耦合方程分成固體骨架變形方程、孔隙滲流方程、裂隙流方程以及裂尖塑性區(qū)(斷裂過程區(qū))4組分別進(jìn)行分析和解釋。需要特別指出的是，這4組方程屬于強(qiáng)耦合，需要同時(shí)求解。方程組最終的未知量為固體位移ui,孔隙流水壓p,裂隙流水壓pf。在求出這些未知量后，即可代回相應(yīng)的本構(gòu)方程計(jì)算應(yīng)力場及損傷區(qū)。

1.1 固體骨架變形方程

多孔介質(zhì)平衡方程:

σij,j+bi=0(1)

式中，σij,j為總應(yīng)力的偏導(dǎo)數(shù)求和;bi為體力;下角標(biāo)i,j為空間維度分量;下角標(biāo)“,”為求偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算?？倯?yīng)力由固體骨架的有效應(yīng)力和空隙壓組合而成，即

(2)

(3)

式中，K為多孔介質(zhì)的體積模量;Km為排水體積模量。

固體骨架的有效應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系為

(4)

式中，λ和μ為拉梅常數(shù);εkk為正應(yīng)變之和;εij為無窮小應(yīng)變。

基于小應(yīng)變假設(shè)，應(yīng)變和位移滿足如下幾何方程:

(5)

式中，εij為應(yīng)變張量;ui為位移向量;ui,j及uj,i為對(duì)位移求偏微導(dǎo)運(yùn)算。

1.2 孔隙滲流方程

流體和固體骨架構(gòu)成的多孔介質(zhì)滿足如下質(zhì)量守恒方程:

(6)

此外，固體密度和流體密度滿足如下的的狀態(tài)方程:

ρw=ρ0[1+cf(p-p0)](7)

本模型中假設(shè)孔隙滲流滿足達(dá)西定律:

式中，uw為流體速度;us為多孔介質(zhì)固體骨架速度;μw為流體動(dòng)力黏度系數(shù);p為流體壓力梯度;g為重力加速度;為梯度算子。

1.3 裂隙流方程

模型中裂隙流的質(zhì)量守恒方程為

(9)

(10)

其中，pf為裂隙流水壓;μf為壓裂液黏度;s為裂紋擴(kuò)展路徑的曲線坐標(biāo)。立方定律假設(shè)裂紋上下表面光滑，且雷諾數(shù)較低，滿足層流。除此之外，由于煤巖孔裂隙較為發(fā)育，壓裂液沿裂紋上下表面向巖石內(nèi)部的濾失量qt和qb不可忽略。值得注意的是，在經(jīng)典水力壓裂模型中，裂隙流體在裂尖的壓強(qiáng)會(huì)出現(xiàn)奇異性，這并不符合物理實(shí)際。在本文中，由于黏聚型裂紋的引入，不僅去除了裂尖奇異型，也消除了壓強(qiáng)奇異性。

1.4 裂尖塑性區(qū)演化方程

建立黏聚型裂紋的關(guān)鍵是確定黏聚力-裂紋開度曲線:

σy=g(w)(11)

如圖1所示，黏聚力σy是裂紋張開位移w的函數(shù)，隨著裂紋開度增大，黏聚力逐漸減小。黏聚力的減小意味著裂紋尖端區(qū)域開始出現(xiàn)損傷。當(dāng)裂紋張開位移達(dá)到其最大值wc時(shí)，黏聚力減小為零, 這標(biāo)志著裂紋之間的黏聚力消失，也就代表著這一區(qū)域完全破壞，新的裂紋面產(chǎn)生。在水力壓裂過程中，裂隙間的流體壓力決定了裂紋塑性區(qū)的演化，從而決定了裂紋的起裂擴(kuò)展。黏聚力-裂紋開度之間的函數(shù)關(guān)系是材料屬性，也是裂尖塑性區(qū)的一種本構(gòu)方程，需要物理實(shí)驗(yàn)測(cè)定。但目前黏聚型裂紋的測(cè)定主要集中于混凝土的研究工作，而煤巖的黏聚型本構(gòu)模型尚未見到相關(guān)論文。

圖1 黏聚型裂紋力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of cohesive crack

2 煤巖黏聚型裂紋本構(gòu)關(guān)系測(cè)試

2.1 圓盤形緊湊拉伸(DC(T))試驗(yàn)

為了將第2節(jié)介紹的多孔介質(zhì)水力壓裂控制方程應(yīng)用于煤巖水力壓裂，關(guān)鍵一步就是實(shí)驗(yàn)測(cè)定1.4節(jié)中的煤巖黏聚型裂紋本構(gòu)關(guān)系。本文采用 WAGONER[18]提出的圓盤形緊湊拉伸DC(T)實(shí)驗(yàn)方法，其樣本形狀如圖2所示。DC(T)樣本直徑為D,中間預(yù)制長度為a的裂紋，裂紋最大擴(kuò)展路徑長度為W。通過等距離分布在預(yù)制裂紋兩側(cè)的加載孔對(duì)試樣施加上下對(duì)稱的拉力為P，加載孔的直徑為φ。

圖2 圓盤形緊湊拉伸(DC(T))試件Fig.2 Disk-shaped compact tension (DC(T)) specimen

本次研究中，將對(duì)弱黏煤、氣煤、肥煤、貧瘦煤和無煙煤進(jìn)行DC(T)實(shí)驗(yàn)，上述5種不同煤階煤樣的工業(yè)分析及取樣地點(diǎn)詳見表1。其中，樣本直徑D=95 mm;厚度B為35 mm;預(yù)制裂紋和擴(kuò)展長度的比值a/W設(shè)置為0.25;加載孔直徑設(shè)置為13.5 mm;其距離裂紋尖端和開口的距離分別設(shè)置為d=8 mm 和c=13 mm。 最終，不同煤階煤的DC(T)測(cè)試通過在加載孔上施加相對(duì)拉伸載荷實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)過程中，煤DC(T)試件的裂尖開度(Crack Tip Opening Displacement，CTOD)[19]通過一對(duì)精度為0.15 μm的位移傳感器(Linear Variable Differential Transformer,LVDT)測(cè)量得到,本次實(shí)驗(yàn)采用位移控制方式加載，加載速度設(shè)置為在0.05 mm/min。

表1實(shí)驗(yàn)用煤樣工業(yè)分析及產(chǎn)地
Table1Proximateanalysesandthedepositlocationofthesecoalsusedfortesting

煤試件類型弱黏煤氣煤肥煤貧瘦煤無煙煤含水率/%6.232.080.631.632.54灰度/%16.789.237.9012.3219.37揮發(fā)分/%42.3441.2530.3514.198.02固定碳/%56.2057.2861.4378.1771.33鏡質(zhì)體反射率/%0.850.751.121.822.53煤樣產(chǎn)地大同忻州窯煤礦呂梁斜溝煤礦臨汾長風(fēng)煤礦左權(quán)阜生礦區(qū)大同河寺煤礦

通過以上的DC(T)實(shí)驗(yàn)，可以測(cè)得不同煤階煤的荷載-CTOD 曲線,如圖3所示，隨著煤試件煤階的升高，煤試件的初始剛度與峰值載荷大小均逐漸上升;同時(shí)，煤DC(T)試件的臨界裂紋張開位移wc隨著煤階升高逐漸減小，弱黏煤裂紋最大張開位移wc為1.120 mm，而無煙煤的最大裂紋張開位移wc已減小到0.254 mm。此外，很明顯可以看出荷載峰值后會(huì)出現(xiàn)軟化現(xiàn)象:隨著裂紋開度緩慢增加，荷載逐漸下降。這是一個(gè)明顯的準(zhǔn)脆性破壞特征曲線。且不同煤階的煤的軟化曲線形狀差別很大，對(duì)于較低階煤弱黏煤及氣煤，其載荷初始下降較為緩慢;而對(duì)于煤階較高的煤，其載荷初始下降幅度較大，隨后載荷平緩地降低;該種應(yīng)力軟化形式對(duì)于煤體的斷裂過程有重要影響。確定峰后軟化曲線變化規(guī)律的數(shù)學(xué)方程式，即黏聚型裂紋本構(gòu)關(guān)系，是確定煤體黏聚型裂紋模型的關(guān)鍵步驟。

2.2 煤巖黏聚型裂紋本構(gòu)關(guān)系的建立

圖3 不同煤階煤DC(T)試件典型載荷-CTOD曲線Fig.3 Representative load-CTOD curves for different rank coal DC(T) specimens

圖4 不同煤階煤試件的曲線 curves of the different rank coal specimens

(12)

其中，L=5;ai為相應(yīng)的常數(shù)系數(shù)，i=1,…,5。以上的Karihaloo 多項(xiàng)式是從黏聚型裂紋尖端附近的應(yīng)力場及位移場漸進(jìn)解推導(dǎo)出來的，因而具有嚴(yán)格的力學(xué)基礎(chǔ)。并且由于采用多項(xiàng)式形式，參數(shù)非常容易擬合。將以上的 Karihaloo多項(xiàng)式與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相對(duì)照，可以發(fā)現(xiàn)Karihaloo多項(xiàng)式可以很好地?cái)M合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù):對(duì)應(yīng)著弱黏煤，氣煤，肥煤，貧瘦煤、無煙煤這5種不同階煤，其擬合度R2值分別達(dá)到 0.998,0.997,0.999,0.992，0.989。表2中給出Karihaloo多項(xiàng)式黏聚型本構(gòu)方程對(duì)于不同煤階煤試驗(yàn)結(jié)果的擬合結(jié)果。

表2Karihaloo多項(xiàng)式本構(gòu)方程擬合不同煤階煤的結(jié)果與不同煤階煤斷裂能
Table2FittingresultsofthedifferentrankcoalsbyKarihaloopolynomialcohesion-separationlawsandthefractureenergyofthedifferentrankcoals

煤試件類型弱黏煤氣煤肥煤貧瘦煤無煙煤a1-0.888-0.716-1.7352.5310.266a212.92513.5291.763-31.259-10.728a3-76.692-96.989-14.08275.32239.230a4157.437216.96039.084-68.913-67.506a5-138.613-200.474-40.17917.77453.744擬合度R20.9980.9970.9990.9920.989GF /(N·m-1)67.3857.6849.3736.1932.76

此外,軟化曲線包圍著的面積即為斷裂能,GF。斷裂能標(biāo)志著生成新的裂紋表面所需要能量的大小，計(jì)算公式為

(13)

其中，P為施加的外荷載大小;W1為裂紋擴(kuò)展長度;B為DC(T)試件厚度，不同煤階煤的斷裂能詳見表2。根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果可知，隨著煤試件煤階的提升，其斷裂能不斷降低。

3 煤巖水力壓裂數(shù)值模擬及驗(yàn)證

在建立了黏聚型裂紋本構(gòu)關(guān)系之后，通過考慮黏聚型裂紋與固體骨架變形、孔裂隙滲流、壓裂液濾失等物理機(jī)制的相互作用，就可以建立煤巖水力壓裂多場耦合方程組。黏聚型界面單元法是一種模擬黏聚型裂紋的常用數(shù)值模擬方法。該數(shù)值模擬方法中涉及的編程過程相對(duì)簡便，通過該模擬方法可以對(duì)各種黏聚型裂紋本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行表達(dá)。因此，本文的數(shù)值模擬采用黏聚型單元法進(jìn)行數(shù)值模擬。傳統(tǒng)的黏聚型界面單元只適用于無表面力裂紋，本文采用一種改進(jìn)的黏聚型界面單元，即在傳統(tǒng)的黏聚型界面單元中引入水壓自由度，從而能夠反映裂隙流水壓的作用(圖5)。此外，本文中所采用的黏聚型界面單元引入了第2節(jié)中實(shí)驗(yàn)測(cè)定的黏聚型裂紋本構(gòu)關(guān)系，反映了煤巖塑性區(qū)對(duì)水力壓裂的影響。

圖5 孔壓黏聚型界面單元Fig.5 Pore pressure interface cohesive element

第1種數(shù)值模擬算例針對(duì)的是煤體內(nèi)部水壓裂紋穿越煤巖界面的物理實(shí)驗(yàn)。如圖6所示，實(shí)驗(yàn)采用30 cm×30 cm×30 cm的正方體，內(nèi)部為15 cm×15 cm×15 cm的煤樣，外部包裹混凝土作為巖石的相似材料。作為對(duì)比，在本次模擬中雖然考慮了多孔介質(zhì)耦合方程，但暫不考慮裂紋尖端斷裂過程區(qū)，模擬結(jié)果如圖7所示。裂紋開始沿最大主應(yīng)力方向擴(kuò)展，之后在煤巖界面處分叉并沿著界面繼續(xù)擴(kuò)展。在煤巖界面的應(yīng)力集中區(qū)域穿越界面進(jìn)入巖層。本次模擬大致符合水力壓裂的裂紋擴(kuò)展規(guī)律，說明了水力壓裂多孔介質(zhì)耦合方程的有效性，但是由于沒有考慮煤的裂尖斷裂過程區(qū)，與實(shí)驗(yàn)仍然有一定偏差，尤其體現(xiàn)在壓強(qiáng)變化曲線和裂紋開度等。

圖6 大型真三軸水力壓裂試驗(yàn)設(shè)備Fig.6 True triaxial simulation equipment for hydraulic fracturing

圖7 水力壓裂數(shù)值模擬(不考慮裂尖斷裂過程區(qū))Fig.7 Numerical simulation of hydraulic fracturing (the fracture process zone at the crack tip is not considered)

圖8 水力壓裂數(shù)值模擬(考慮裂尖斷裂過程區(qū))Fig.8 Numerical simulation of hydraulic fracturing (the fracture process zone at the crack tip is considered)

第2種數(shù)值模擬算例是基于黏聚型裂紋的多孔介質(zhì)水力壓裂模擬,考慮了裂紋尖端斷裂過程區(qū)的影響(圖8)。由圖8可以看出相較于圖7，裂紋的擴(kuò)展路徑更為曲折，并且在裂紋擴(kuò)展過程中，出現(xiàn)了較為密集的細(xì)小分叉，這些分叉都有利于增加巖石的滲透性。但另一方面，宏觀裂紋開度較小，抑制了煤層氣的滲透。

4 結(jié) 論

(1)對(duì)于不同煤階煤的DC(T)試件緊湊拉伸試驗(yàn)，隨著煤試件煤階的升高，其初始剛度及峰值載荷逐漸升高;且裂紋最大張開位移逐漸降低，例如臨界張開位移由低階弱粘煤的1.120 mm降低到高階無煙煤的0.254 mm。同時(shí)黏聚型裂紋斷裂能不斷下降。

(2)通過DC(T)實(shí)驗(yàn)測(cè)定了不同煤階煤的黏聚型裂紋本構(gòu)關(guān)系，采用Karihaloo多項(xiàng)式本構(gòu)關(guān)系對(duì)其進(jìn)行表征，同時(shí)確定了5種煤階煤的Karihaloo多項(xiàng)式本構(gòu)方程(11)中a1，a2，a3，a4與a5五個(gè)擬合參數(shù)。5種煤階煤DC(T)實(shí)驗(yàn)測(cè)定的曲線進(jìn)一步反映出煤巖的韌性破壞特征，并表明不同煤階煤的軟化曲線有別于常見的線性模型、雙線性模型、指數(shù)曲線模型等。

(3)由于黏聚型裂紋模型的引入，水力壓裂多孔介質(zhì)模型考慮了裂紋尖端塑性區(qū)的影響。不僅消除了裂紋尖端的應(yīng)力奇異型，也消除了裂隙流壓強(qiáng)在裂尖附近的奇異性，更為符合物理實(shí)際。

(4)在忽略煤巖的裂紋尖端斷裂過程區(qū)時(shí)，裂紋只有在遇到界面處或者在應(yīng)力集中區(qū)域，才會(huì)出現(xiàn)裂紋分叉。在考慮了裂紋尖端斷裂過程區(qū)的影響后，裂紋的分叉更為密集，但同時(shí)主裂紋開度較小。裂紋的密集分叉有利于增加煤巖的滲透性，但裂紋開度較小又不利于開采煤層氣。因此，在水力壓裂過程中，有必要根據(jù)水力壓裂數(shù)學(xué)模型來優(yōu)化各項(xiàng)工程參數(shù)。