張艷菊，巴振寧

（1.中國人民武裝警察部隊(duì)后勤學(xué)院后勤保障系，天津300309；2.天津大學(xué) 土木系，天津 300072；3.濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072）

2002年朱傳云等利用彈性球面波勢函數(shù)進(jìn)行了《爆炸應(yīng)力波近似處理的分析與研究》[1]文中指出：爆炸時(shí)彈性球面波能否按平面波近似計(jì)算，其決定性影響因素是距離。一般當(dāng)距離在2m～5m范圍以外時(shí)，誤差小于5%，彈性球面波即可近似按平面波處理，否則不能按平面波近似計(jì)算[1]。2004年國勝兵等基于有效應(yīng)力動(dòng)力分析法，對地下結(jié)構(gòu)在豎向和水平爆炸地震波荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值分析[2]；2005年朱波等利用波動(dòng)有限元方法進(jìn)行了鉆地炸彈近爆地下工事動(dòng)力響應(yīng)數(shù)值分析，其本質(zhì)仍然是利用波動(dòng)方程，首先在空間域離散成各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程，然后將質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程在時(shí)間域上離散成為代數(shù)方程求解[3]。2014年馮慧平等采用多物質(zhì)流固耦合計(jì)算方法，對地下坑道對其臨震塌爆距處鉆地武器爆炸荷載的動(dòng)力響應(yīng)問題進(jìn)行了研究[4]。但利用格林函數(shù)對爆炸波在TI介質(zhì)中的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律的研究還較為少見。目前，Khojastech et al.(2008)[5，6]分別研究了TI全空間和半空間中的動(dòng)力格林影響函數(shù)；Khojasteh et al.(2011)[7]采用傳遞矩陣方法研究了層狀TI半空間的格林函數(shù)；Ai Zhiyong et.al（2014）[8]利用傳遞矩陣方法研究了對稱荷載作用下二維層狀TI半空間的動(dòng)力響應(yīng)問題；Chen(2015)[9]利用PIM方法研究了層狀各向異性半空間中的三維格林影響函數(shù)。近年來，隨著格林函數(shù)研究的不斷完善，利用格林函數(shù)探索彈性波動(dòng)力響應(yīng)問題成為研究的熱點(diǎn)，利用格林函數(shù)解決爆炸波在TI介質(zhì)中的動(dòng)力響應(yīng)問題十分必要。目前，格林函數(shù)時(shí)域變化規(guī)律的研究還不夠充分，因此，本文從格林函數(shù)時(shí)域數(shù)值結(jié)果入手，研究時(shí)域內(nèi)格林函數(shù)在TI半空間和TI單一土層中隨時(shí)間變化的規(guī)律，為研究爆炸波在層狀TI介質(zhì)中的動(dòng)力響應(yīng)問題奠定基礎(chǔ)。本文利用頻率-空間域內(nèi)球面波在TI介質(zhì)中的動(dòng)力響應(yīng)，通過傅里葉逆變換得到時(shí)域內(nèi)的動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果，并對時(shí)程結(jié)果進(jìn)行計(jì)算分析得出有益結(jié)論。

1 模型與求解

本文的計(jì)算模型如圖1所示，由N層TI土層和下臥基巖組成層狀TI均勻半空間，每層土的材料特性由該層的質(zhì)量密度、泊松比、模量等參數(shù)決定。各TI土層具體參數(shù)為：質(zhì)量密度ρLj，豎向泊松比，水平泊松比，阻尼比ζLj，豎向彈性模量，水平彈性模量和豎向剪切模量，而水平剪切模量由土層水平彈性模量和泊松比即可確定為。復(fù)剪切模量、和每層土的厚度hj，（j=1…N ）；基巖參數(shù)包括質(zhì)量密度ρR，豎向泊松比，水平泊松比，阻尼比ζR，豎向彈性模量，水平彈性模量，豎向剪切模量，水平剪切模量由基巖水平彈性模量和泊松比即可確定為。復(fù)剪切模量。圖1中集中荷載作用位置為（0，0，zf），水平和豎向荷載大小分別為Fh和Fz。

在柱坐標(biāo)系下，利用Lekhnistskii(1963)[10]，Eskandari-Ghadi et al.(2005，2011)[11，12]，Rahimian(2007)[13]，Khojastech et al.(2008)[6]給出的柱坐標(biāo)系下的解，建立反軸對稱和軸對稱剛度矩陣。推導(dǎo)出TI層狀半空間的剛度矩陣，進(jìn)而求解格林影響函數(shù)。而時(shí)域格林影響函數(shù)則可通過對頻域結(jié)果的傅里葉逆變換求得。因此參照文獻(xiàn)[6]的方法，求得空間域球面波作用下的位移和應(yīng)力如公式（1）和（2）所示：

將公式(1)和（2）中球面波作用下的位移和應(yīng)力動(dòng)力響應(yīng)，對時(shí)間進(jìn)行傅里葉逆變換可得到時(shí)域內(nèi)的計(jì)算結(jié)果，其逆變換具體形式如下：

2 數(shù)值結(jié)果

以集中荷載分別作用于3種TI均勻半空間和基巖上3種單一TI土層為例進(jìn)行數(shù)值計(jì)算分析?；鶐r和土層的計(jì)算參數(shù)如表1所示，基巖參數(shù)包括：質(zhì)量密度ρR，水平泊松比，豎向泊松比，水平阻尼比，豎向阻尼比，水平彈性模量，豎向彈性模量，水平剪切模量和豎向剪切模量；表中土層參數(shù)包括：質(zhì)量密度ρL，水平泊松比，豎向泊松比，水平阻尼比，豎向阻尼比，水平彈性模量，豎向彈性模量，水平剪切模量和豎向剪切模量，當(dāng)所取土層與基巖參數(shù)相同時(shí)即為均勻半空間。zf為集中荷載埋置深度，土層厚度為h。頻域計(jì)算中定義無量綱頻率為η=ωd/c*，時(shí)域計(jì)算中定義無量綱頻率為η=ωd/ 2πc*，為土層的豎向剪切波速。以下計(jì)算中：定義無量綱位移和應(yīng)力為，其中d為無量綱單位長度。

表1 模型的計(jì)算參數(shù)

2.1 格林影響函數(shù)時(shí)程曲線

圖2首先給出了埋置荷載和計(jì)算面和計(jì)算點(diǎn)的位置圖。模型參數(shù)如表1所示，以集中荷載分別作用于3種TI均勻半空間和基巖上3種單一TI土層為例，求解了水平和豎向簡諧集中荷載分別作用時(shí)，4個(gè)不同位置觀測點(diǎn)的動(dòng)力格林影響函數(shù)。輸入Ricker時(shí)程為特征頻率定義為為土層的豎向剪切波速（均勻半空間情況為均勻半空間豎向剪切波速），土層厚度h=5d，集中荷載埋深zf=3d。時(shí)域動(dòng)力響應(yīng)通過對頻域內(nèi)動(dòng)力響應(yīng)的積分求得，計(jì)算時(shí)半空間情況采用表1中3種TI均勻半空間的參數(shù)，基巖上3種單一TI土層情況采用表1中基巖B和3種TI土層的參數(shù)，計(jì)算中無量綱頻率計(jì)算范圍為η=ωd/ 2πc*=0.0-6.0，采用分段高斯積分完成，共取積分頻率點(diǎn)200個(gè)，無量綱時(shí)間τ=tc*/d=0-12。4個(gè)不同位置的觀測點(diǎn)取自荷載下方zp=4d的水平面內(nèi)，具體分布位置如圖2（b）所示，其坐標(biāo)分別為：A（d，d，4 d），B（3 d，d，4 d），C（d，3 d，4 d），D（3 d，3 d，4d）。無量綱位移無量綱應(yīng)力。

圖2 荷載和計(jì)算點(diǎn)布置圖

圖3和4首先給出了均勻半空間中分別作用水平和豎向簡諧集中荷載時(shí)對應(yīng)不同觀測點(diǎn)的位移幅值時(shí)程和以及應(yīng)力幅值時(shí)程，圖中τ為無量綱時(shí)間。

圖3 集中荷載作用下的均勻半空間中各觀測點(diǎn)位移時(shí)程

從圖3中半空間的位移時(shí)程結(jié)果可以看出，各向同性介質(zhì)（半空間2）與TI介質(zhì)的位移時(shí)程有明顯差別，且同一材料對應(yīng)的各觀測點(diǎn)位移時(shí)程也有顯著差別。首先，從文獻(xiàn)[14]的波速計(jì)算公式中可以看出，各向同性介質(zhì)（半空間2）中P波和S波沿任意方向的傳播速度是相同的，而TI介質(zhì)中P波和S波的傳播速度沿不同方向是不一樣的，同時(shí)SV波與SH波的傳播波速也不再相同，因此橫波出現(xiàn)了分裂現(xiàn)象，即S波分裂成SV波與SH波，這一現(xiàn)象在B點(diǎn)的水平向位移的時(shí)程曲線和C點(diǎn)水平向位移的時(shí)程曲線圖中表現(xiàn)的十分明顯。其次，TI性質(zhì)對位移時(shí)程有顯著影響，隨水平向模量（主要是Eh）的增大，水平激勵(lì)產(chǎn)生的P、SV和SH波的傳播速度增大，位移時(shí)程不斷提前（波到的越早），位移幅值逐漸減小，且水平位移時(shí)程的差異較豎向位移的差異更顯著。最后，TI介質(zhì)具有對稱性，對比同一介質(zhì)的不同觀測點(diǎn)位移時(shí)程發(fā)現(xiàn)，兩觀測點(diǎn)A和D的水平向位移與時(shí)程曲線相同；觀測點(diǎn)B和C的豎向位移時(shí)程曲線相同；觀測點(diǎn)B的水平位移與觀測點(diǎn)C的水平位移時(shí)程曲線相同，反之亦然。

再者，比較圖3(a)與圖3(b)的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，水平荷載激勵(lì)產(chǎn)生波的傳播速度與豎荷載激勵(lì)產(chǎn)生波的傳播速度不相同，隨著水平模量（主要是Eh）的增大，水平荷載激勵(lì)產(chǎn)生的橫波的速度不斷增大，橫波到時(shí)逐漸提前，而豎向荷載激勵(lì)產(chǎn)生的橫波的速度略減小，橫波到時(shí)略延遲。

最后，對水平荷載激勵(lì)下直達(dá)波的到時(shí)進(jìn)行計(jì)算并統(tǒng)計(jì)于表2中，我們發(fā)現(xiàn)：隨水平向模量（主要是Eh）的增大，P、SV和SH波的傳播速度逐漸增大，對應(yīng)P、SV和SH波的到時(shí)也不斷提前；且直接計(jì)算的結(jié)果（表2）與對頻率進(jìn)行傅里葉逆變換的結(jié)果（圖3）十分吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證本文的正確性。

圖4 集中荷載作用下的均勻半空間中各觀測點(diǎn)應(yīng)力時(shí)程

表2 三種Tl介質(zhì)中波速與波的到時(shí)統(tǒng)計(jì)

從圖4中半空間的應(yīng)力時(shí)程結(jié)果可以看出與位移時(shí)程相類似的規(guī)律。各向同性介質(zhì)（半空間2）與TI介質(zhì)的應(yīng)力時(shí)程有明顯差別，且同一材料對應(yīng)的各觀測點(diǎn)應(yīng)力時(shí)程也有顯著差別。

TI性質(zhì)對位移時(shí)程有顯著影響。首先，在TI介質(zhì)中波速受傳播方向的影響，橫波亦是出現(xiàn)了分裂現(xiàn)象，即S波分裂成SV波與SH波，這一現(xiàn)象在B點(diǎn)應(yīng)力時(shí)程曲線和C點(diǎn)應(yīng)力時(shí)程曲線圖中表現(xiàn)的十分明顯。其次，隨水平向模量（主要是Eh）的增大，水平激勵(lì)產(chǎn)生的P、SV和SH波的傳播速度增大，波的到時(shí)不斷提前（波到得越早），應(yīng)力幅值逐漸減小，且剪應(yīng)力時(shí)程的差異較正應(yīng)力的差異更顯著。另外，TI介質(zhì)具有對稱性，對比同一介質(zhì)的不同觀測點(diǎn)應(yīng)力時(shí)程發(fā)現(xiàn)位與移時(shí)程類似的規(guī)律，觀測點(diǎn)A和D的剪應(yīng)力時(shí)程曲線相同；觀測點(diǎn)B和C得正應(yīng)力 時(shí)程曲線相同；觀測點(diǎn)B的剪應(yīng)力與觀測點(diǎn)C的剪應(yīng)力的時(shí)程曲線相同，反之亦然。

圖5 集中荷載作用的基巖上單一TI土層中各觀測點(diǎn)位移時(shí)程

圖5給出了基巖上單一土層中分別作用水平和豎向簡諧集中荷載時(shí)對應(yīng)不同觀測點(diǎn)的位移幅值時(shí)程u*、v*和。w*圖5與均勻半空間圖3的結(jié)果相比較，除了具有與半空間類似的規(guī)律外（①波速值隨傳播方向改變，②橫波分裂，③TI介質(zhì)對稱性），TI土層的存在使位移和應(yīng)力幅值都減小了。另外，由于基巖的存在，使得圖5的位移時(shí)程曲線較均勻半空間情況更為復(fù)雜。不僅有荷載激勵(lì)直接產(chǎn)生的P、SV和SH波，還有從土層與基巖交界面反射回來的反射P、SV和SH波，直達(dá)波與反射波的疊加使得結(jié)果更加復(fù)雜。

2.2 格林影響函數(shù)時(shí)域云圖

仍以集中荷載分別作用于3種TI均勻半空間為例，求解水平和豎向簡諧集中荷載分別作用時(shí)，在荷載下方zp=4d的水平面內(nèi)，以原點(diǎn)（0，0，0）為圓心，r=5d為半徑的圓盤內(nèi)均勻取2601個(gè)計(jì)算點(diǎn)，圖6和圖7給出了集中荷載作用時(shí)，該圓盤內(nèi)計(jì)算點(diǎn)在某些時(shí)刻τ的位移云圖。輸入Ricker時(shí)程為，特征頻率定義為為半空間的豎向剪切波速，時(shí)域動(dòng)力響應(yīng)通過對頻域內(nèi)動(dòng)力響應(yīng)的積分求得。計(jì)算時(shí)采用表1中3種TI均勻半空間的參數(shù)，計(jì)算中無量綱頻率計(jì)算范圍為η=ωd/ 2πc*=0.0-6.0，共取積分頻率點(diǎn)200個(gè)，采用分段高斯積分完成。

其次，位移幅值時(shí)域云圖表現(xiàn)出了對稱和反對稱性質(zhì)。比如，圖6(a)水平荷載作用時(shí)的水平位移云圖與7(b)豎向荷載作用時(shí)的豎向位移云圖關(guān)于水平坐標(biāo)軸（x、y軸）對稱；圖6(b)水平荷載作用時(shí)的豎向位移云圖與圖7(a)豎向荷載作用時(shí)的水平位移云圖關(guān)于x坐標(biāo)軸對稱，關(guān)于y坐標(biāo)軸反對稱。

圖6 水平集中荷載作用下位移云圖

圖7 豎向集中荷載作用下位移云圖

最后，比較圖6(a)與7(b)的云圖發(fā)現(xiàn)，TI介質(zhì)中水平荷載激勵(lì)產(chǎn)生的波的速度與豎向荷載情況不同，隨著水平模量的增大，水平荷載激勵(lì)產(chǎn)生的波的速度不斷增大，而豎向荷載激勵(lì)產(chǎn)生的波的速度略減小，這正好解釋了2.1節(jié)中，水平荷載作用下水平位移與豎向荷載作用下豎向位移時(shí)程中波的到時(shí)為何是不同[15]。

3 結(jié)論

本文根據(jù)TI介質(zhì)中的波動(dòng)方程利用Hankel積分變換和傅里葉級數(shù)展開求解出位移勢函數(shù)，進(jìn)而推導(dǎo)出TI層狀場地反軸對稱（SH）和軸對稱（P-SV）精確動(dòng)力剛度矩陣，然后利用直接剛度法進(jìn)一步推導(dǎo)出TI層狀介質(zhì)中埋置集中荷載的動(dòng)力格林影響函數(shù)公式，最后對頻率進(jìn)行傅里葉逆變換推導(dǎo)出時(shí)域的計(jì)算公式。文中以3種TI均勻半空間和基巖上3種TI單一土層中集中荷載作用下的格林函數(shù)為例，分別在頻域和時(shí)域內(nèi)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算分析，得到了一下主要結(jié)論。

（1）TI均勻半空間中位移和應(yīng)力的時(shí)程結(jié)果表明：首先，各向同性介質(zhì)中P波和S波沿任意方向的傳播速度是相同的，而TI介質(zhì)中P波和S波的傳播速度沿不同方向是同的，SV波與SH波的傳播波速也不再相同，且橫波出現(xiàn)了分裂現(xiàn)象，即S波分裂成SV波與SH波。其次，TI性質(zhì)對位移時(shí)程有顯著影響，隨水平向模量（主要是Eh）的增大，水平激勵(lì)產(chǎn)生的P、SV和SH波的傳播速度增大，位移時(shí)程不斷提前（波到的越早）。最后，TI介質(zhì)具有對稱性，對比同一介質(zhì)的不同觀測點(diǎn)位移時(shí)程發(fā)現(xiàn)，兩觀測點(diǎn)A和D的水平向位移和應(yīng)力時(shí)程曲線相同；觀測點(diǎn)B和C的豎向位移和應(yīng)力時(shí)程曲線相同；觀測點(diǎn)B的水平位移應(yīng)力分別與觀測點(diǎn)C的水平位移和應(yīng)力時(shí)程曲線相同，反之亦然[16]。此外，水平荷載激勵(lì)產(chǎn)生的波的傳播速度與豎荷載激勵(lì)產(chǎn)生的波的傳播速度有差別，隨著水平模量（主要是Eh）的增大，水平荷載激勵(lì)產(chǎn)生的橫波的速度不斷增大，橫波到時(shí)逐漸提前，而豎向荷載激勵(lì)產(chǎn)生的橫波的速度略減小，橫波到時(shí)略延遲。

（2）TI土層的存在使基巖上單一TI土層情況的時(shí)程結(jié)果表明：除了具有與半空間類似的規(guī)律外（①波速值隨傳播方向改變，②橫波分裂，③TI介質(zhì)對稱性），TI土層的存在使位移和應(yīng)力幅值都減小，也使得位移和應(yīng)力時(shí)程曲線較均勻半空間情況更為復(fù)雜。不僅有荷載激勵(lì)直接產(chǎn)生的P、SV和SH波，還有從土層與基巖交界面反射回來的反射P、SV和SH波，直達(dá)波與反射波的疊加使得結(jié)果更加復(fù)雜[17]。

（3）時(shí)域內(nèi)的位移幅值云圖結(jié)果表明：首先，不同TI材料的介質(zhì)中波的傳播速度不同，各向同性介質(zhì)中波沿各個(gè)方向的傳播速度相同，在某一水平面上表現(xiàn)為波的傳播是圓形擴(kuò)散；同一TI半空間中（半空間2和3），波沿各個(gè)方向的傳播速度不再相同，在某一水平面上表現(xiàn)為波的傳播是圓形擴(kuò)散。其次，TI半空間1在3.0時(shí)刻以及TI半空間3在2.0時(shí)刻的水平位移幅值云圖均體現(xiàn)了S波分裂成SV波和SH波的現(xiàn)象。

其次，由于TI介質(zhì)中SV波與SH波的傳播速度不再相同，橫波S波在TI半空間中分裂成了SV波和SH波，TI半空間1在3.0時(shí)刻以及TI半空間3在2.0時(shí)刻的水平位移幅值云圖均體現(xiàn)了橫波分裂現(xiàn)象，這也是與各向同性介質(zhì)完全不同的一種特性[18]。以上這些規(guī)律與上2.1節(jié)位移時(shí)程規(guī)律一致。

最后，位移幅值時(shí)域云圖表現(xiàn)出了對稱和反對稱性質(zhì)。比如，圖6(a)水平荷載作用時(shí)的水平位移云圖與7(b)豎向荷載作用時(shí)的豎向位移云圖關(guān)于水平坐標(biāo)軸（x、y軸）對稱；圖6(b)水平荷載作用時(shí)的豎向位移云圖與圖7(a)豎向荷載作用時(shí)的水平位移云圖關(guān)于x坐標(biāo)軸對稱，關(guān)于y坐標(biāo)軸反對稱。