劉韻杰 于穎 王海鳳

摘要：相位恢復(fù)算法一直存在著精確度不高，收斂速度慢甚至停滯不前等問題。將基于光強(qiáng)傳輸方程（TIE）法與G-s迭代算法混合提高了相位恢復(fù)的精確度，梯度算法的提出加大了迭代步長，使得收斂速度加快。采用Gs-TIE算法和振幅加成梯度算法分別從仿真和實(shí)驗(yàn)的角度去比較分析恢復(fù)的效果。通過對二維圖像仿真得出，振幅加成梯度算法在收斂速度上是GS-TIE迭代算法的3倍，精確度是Gs-TIE迭代算法的10倍。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果得知，GS-TIE恢復(fù)的相位清晰可見，輪廓明顯，在邊緣處過度均勻，而振幅加成梯度算法相對比較模糊，在輪廓邊緣處過度不均勻，懸差較大。

關(guān)鍵詞：相位恢復(fù);振幅加成算法;梯度算法;GS-TIE迭代算法

中圖分類號：0438.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

引言

在光的傳播過程中，光波搭載了物體的光強(qiáng)信息和相位信息，物體的光強(qiáng)信息可以通過CMOS或CCD采集，然而物體的相位信息卻無法通過這種手段去采集，這樣在對物體光波信息進(jìn)行采集時(shí)，我們已經(jīng)丟失了物體光波的相位信息。研究表明，光波的振幅中包含了物體20%的信息，接近80%的信息在光波相位中。同時(shí)，光波在空間中傳播會受到相位的影響，進(jìn)而會影響到光波在空間中的光強(qiáng)分布，因此，獲取物體的相位信息對物體分析至關(guān)重要，相位復(fù)原也成為科研工作者關(guān)注的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。

近十幾年來，研究學(xué)者提出了許多種相位復(fù)原的方法，都獲得了良好的效果且大部分成功地應(yīng)用于相位成像。早在1971年，Gerchberg和Saxton提出了經(jīng)典的G-S迭代算法，是一種測量焦面和鄰近的離焦面的光強(qiáng)度信息來恢復(fù)兩個(gè)面的光波相位信息的算法。在此基礎(chǔ)上改進(jìn)后又提出了多種優(yōu)良的算法，例如誤差減少（ER）算法、楊一顧（Y-G）算法、混合輸入輸出（HIO）算法等，上述算法都避免不了由于G-S迭代算法初相位的隨機(jī)性致使相位恢復(fù)收斂時(shí)間長、迭代不穩(wěn)定等缺點(diǎn)。此后又提出了光強(qiáng)傳輸方程（TIE）法，通過對TIE求解可得近似初相位，主要求解方法有格林函數(shù)、澤尼克多項(xiàng)式以及傅里葉變換方法，其中傅里葉變換方法效果最好，但精度效果不好。結(jié)合G-S迭代法和T1E法，將由TIE求解得到的初相位應(yīng)用到G-S迭代算法中，便可以得到收斂快精度高的相位恢復(fù)算法。

本文主要分析了GS-TIE算法和振幅加成梯度算法的基本理論，介紹了振幅加成梯度算法，并分別在二維圖像仿真中與實(shí)驗(yàn)中對比了GS-TIE算法與振幅加成梯度算法兩種算法在相位恢復(fù)的精確度，收斂速度和恢復(fù)相位效果方面的優(yōu)劣。其次，對南瓜莖縱切面細(xì)胞在40倍顯微鏡下觀察，以實(shí)驗(yàn)的方式驗(yàn)證并討論兩種方法迭代后的恢復(fù)效果。

1原理

1.1光強(qiáng)傳輸方程TIE

光學(xué)傳輸方程最開始是由Teague提出，描述的是菲涅爾衍射場中光強(qiáng)I的軸向梯度與相位P垂軸方向的關(guān)系。它把物平面上波的強(qiáng)度和相位信息與光傳播方向上的強(qiáng)度變化聯(lián)系起來，將不可直接測量的相位變化轉(zhuǎn)化成可直接測量的強(qiáng)度變化，并通過測量光強(qiáng)來顯示相位的梯度，表達(dá)式為

1.3振幅加成梯度算法

為了克服G-S迭代算法誤差收斂慢的缺陷，加快算法的收斂效率，采用梯度算法，通過加大每次迭代的步長，從而加快算法的收斂，形成了加速形式的角譜迭代算法。同時(shí)，將每一次衍射到離焦面的振幅與焦面的實(shí)際振幅進(jìn)行幅度a（O≤a≤2）的加成。在理論上，將每一次迭代的相位信息與振幅信息考慮在其中比只考慮相位信息的梯度算法更加穩(wěn)定。

振幅加成是通過把焦面與離焦面的光強(qiáng)聯(lián)系起來構(gòu)建兩者之間的關(guān)系，將綜合加成的振幅代替實(shí)際離焦面的振幅，不再是傳統(tǒng)的G-S迭代算法簡單的將實(shí)際振幅進(jìn)行替換。這樣在迭代過程中綜合了焦面、離焦面的光強(qiáng)信息，進(jìn)而加快了迭代的速度，使得迭代更加穩(wěn)定。在此算法中，綜合離焦面光場Eo（xo，yo）與實(shí)際離焦面光場的振幅Uo（xo，yo）信息，對其變量參數(shù)a的幅度加成得到新的離焦面的振幅Eo（xo，yo）。

梯度算法的核心是通過本次算法迭代后產(chǎn)生的相位Ф^k（xi，yi）與前一次迭代相位Ф^k-1（xi，yi）的差作為梯度迭代的收斂方向，將akhk視作梯度迭代的收斂步長，經(jīng)過數(shù)次循環(huán)迭代，便可以加快收斂速度，以較快的速度收斂。

具體算法流程如圖2所示。

2仿真及分析

通過以上理論，利用MATLAB進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，仿真具體參數(shù)如下：光波波長λ=632.8nm，采樣區(qū)域?qū)挾葹? mmx5 mm，取樣點(diǎn)數(shù)為256 pixel×256 pixel，抗噪系數(shù)n=2，焦面與離焦面之間的距離為2mm。再利用如圖3所示的光強(qiáng)圖和相位圖模擬像面的復(fù)振幅分布，根據(jù)衍射場的角譜傳播理論，通過傳遞函數(shù)便可以得到相鄰像面的復(fù)振幅分布。

首先分析振幅加成梯度算法與GS-TIE算法的迭代精度。將算法在上述參數(shù)不變，a=0.8時(shí)，分別循環(huán)200次，得到如圖4所示。

如圖4所示，同時(shí)循環(huán)200次迭代后，GS-TIE算法振幅誤差均方根為1.57x 10^-y，振幅加成梯度算法振幅誤差均方根為2.37x10^-10，相比GS-TIE恢復(fù)算法，最終恢復(fù)精確度是GS-TIE算法的6倍。圖5為正確相位與迭代200次時(shí)振幅加成梯度算法和GS-TIE算法恢復(fù)相位的對比。由圖4同樣可以看出，振幅加成算法不僅精確度比GS-TIE算法高，在收斂速度方面也是優(yōu)于GS-TIE算法的，下面將繼續(xù)分析兩種算法的收斂速度。

同樣在所有參數(shù)不變的情況下，設(shè)定振幅均方根誤差為1.5×10^-9時(shí)，比較兩種方法需要迭代的次數(shù)。如圖6所示，在達(dá)到設(shè)定的振幅均方根誤差時(shí)，GS-TIE算法需迭代209次，而振幅加成梯度算法只需要39次，大約僅需GS-TIE算法迭代次數(shù)的1/5便可達(dá)到同樣的效果，極大地提高了算法的收斂速度。圖7為正確相位與E=I.5x10^-9時(shí)振幅加成梯度算法、GS-TIE算法迭代恢復(fù)的相位。

3實(shí)驗(yàn)分析與討論

本實(shí)驗(yàn)是觀察南瓜莖縱切面細(xì)胞，在放大倍數(shù)為40的顯微鏡下觀察，在顯微鏡下通過CCD記錄焦點(diǎn)及附近的兩個(gè)面P1和P2，兩面間距為z=0.5mm，取樣點(diǎn)數(shù)為1 024pixel×1 024pixel，圖8為實(shí)驗(yàn)記錄的面與兩種方法恢復(fù)出來的面。

將上述仿真的MATLAB程序修改成對應(yīng)實(shí)驗(yàn)需要的程序，迭代循環(huán)100次得到如圖9、10、11所示的恢復(fù)光強(qiáng)、恢復(fù)相位和恢復(fù)相位誤差曲線。

圖9、圖10可以直觀的區(qū)分出兩種方法恢復(fù)出相位的差異，振幅加成梯度算法在采用梯度算法后，導(dǎo)致在迭代求取相位時(shí)不能精確的處理每一個(gè)像素點(diǎn)，從而使得恢復(fù)的相位不均勻，相位像素點(diǎn)高低懸差較大，圖像輕微的模糊，清晰度不高。而GS-TIE算法采用經(jīng)典的迭代算法處理每一個(gè)像素點(diǎn)，得到的結(jié)果清晰可見且非常均勻，還可以體現(xiàn)出相位的三維信息。從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)上看，振幅加成梯度迭代算法恢復(fù)相位依然比GS-TIE迭代算法效果好，具體趨勢如圖1 1所示。

4結(jié)論

本文通過對振幅加成梯度算法和GS-TIE算法兩種算法從仿真到實(shí)驗(yàn)進(jìn)行比較，仿真結(jié)果表明，仿真振幅加成梯度算法無論在精度上還是在收斂速度上都優(yōu)于GS-TIE算法，而對于實(shí)驗(yàn)恢復(fù)效果，由于梯度算法在算法迭代過程中加大了迭代步長，結(jié)果迭代恢復(fù)相位問懸差較大，以致于清晰度不明顯;GS-TIE算法采用傳統(tǒng)的迭代方法，在迭代相位恢復(fù)效果上要優(yōu)于振幅加成梯度算法，相位圖比較平滑清晰，每個(gè)像素恢復(fù)的也很細(xì)致。通過對一定距離離焦處像面的復(fù)原算法可用于研究立體再現(xiàn)，即裸眼3D效果，將恢復(fù)算法恢復(fù)相位加載于空間光調(diào)制器進(jìn)行立體成像再現(xiàn)的研究。