甘肅省蘭州市永登縣第二中學(xué) (郵編：730302)

2017年全國(guó)卷第3卷客觀題第12題是一道壓軸好題，題目設(shè)置精巧，科學(xué)合理，考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性，廣闊性，批判性，敏捷性.如果考生沒有深入的思考和探究，就會(huì)犯一些難以察覺的錯(cuò)誤.本文通過該題的一個(gè)典型錯(cuò)解分析，借以澄清認(rèn)識(shí)，厘清數(shù)學(xué)思維，提高考生數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 錯(cuò)解思維過程

圖1

圖2

然后利用線性規(guī)劃來求目標(biāo)函數(shù)的最大值.

令t=λ+μ，當(dāng)t=0時(shí)，目標(biāo)等值線l0:λ+μ=0,即μ=-λ,平移l0:λ+μ=0到l:λ+μ=t使得l與橢圓環(huán)外邊界相切時(shí)，t可取得最大值.

圖3

2 錯(cuò)因分析

這個(gè)典型錯(cuò)解幾乎可以混淆真解，是個(gè)似真的偽解.只有用深厚的數(shù)學(xué)功力練就數(shù)學(xué)“火眼金睛”，才會(huì)識(shí)破偽裝，獲得數(shù)學(xué)本真.

3 正解展示

上述解題過程中，參變量范圍等價(jià)，解題過程等價(jià)，故此解法為正解.

數(shù)學(xué)命題的等價(jià)正是源于數(shù)學(xué)的等價(jià)思想，保證了命題的真值性，也就保證了數(shù)學(xué)的完整性和科學(xué)性.類似于物理學(xué)中的能量守恒定律，數(shù)學(xué)研究的是數(shù)學(xué)問題解決過程中，參與的變量保證等價(jià)轉(zhuǎn)換，物理學(xué)探討的是物體形態(tài)變化中，能量形式變化，但在轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移過程中，其總量不變.

4 變式拓展

其中θ∈[0,2π)，

5 本質(zhì)挖掘

事實(shí)上，由平面向量基本定理知道，平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合.因而，將這兩個(gè)不共線向量作為一對(duì)基底，可以建立平面仿射坐標(biāo)系.在仿射坐標(biāo)系下的整個(gè)仿射過程中，平行性不變.我們可以利用這個(gè)性質(zhì)來解決第12題.

圖4

圖5

圖6

綜上知，當(dāng)目標(biāo)等和線掃過整個(gè)圓C，達(dá)到兩個(gè)相切位置時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到兩個(gè)點(diǎn)M、N時(shí)，λ+μ分別取得最小值和最大值，即(λ+μ)min=1,(λ+μ)max=3.