江西省南昌市蓮塘第一中學(xué) (郵編：330200)

高中階段數(shù)學(xué)思想主要有四個(gè)：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想.也是新課改中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主體，高考就是圍繞以考查考生對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解與掌握為重心，高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)一類函數(shù)題， 常常采用函數(shù)與方程思想構(gòu)造函數(shù)法解答能起到優(yōu)化解題思路，提升思維的效果.一般在抽象函數(shù)中出現(xiàn)了含有函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的不等式或等式時(shí)，在解題思路上可以從構(gòu)造函數(shù)來解決問題，可以得到較快捷的解題思路，體現(xiàn)了函數(shù)思想在與方程及不等式的巧妙結(jié)合獲得的大作用.本文就此做一這方面的探討.

1 條件中含f′(x)的不等式的題型

含f′(x)的不等式時(shí)，一般結(jié)合所給不等式進(jìn)行變形，兩邊同乘或同除某個(gè)式子，比如x、x2、ex、(ex)2或某個(gè)抽象函數(shù)符號(hào).再由所構(gòu)造的函數(shù)形式求導(dǎo)以判定構(gòu)造出來的函數(shù)的單調(diào)性解決問題.

題2在數(shù)列{an}中，(an)n+1=n+1,(n∈N*).則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為( ).

易得a1a3>a4>…….

猜想當(dāng)n≥2時(shí)，{an}是遞減數(shù)列.

故當(dāng)x≥3時(shí)，lnx>1，則1-lnx<0，即f′(x)<0.

故f(x)在[3,+∞)內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，

2 條件中含f′(x)的等式的題型

含f′(x)的等式時(shí)，也是先一般結(jié)合所給條件等式，進(jìn)行變形，也是兩邊同乘或同除某個(gè)式子比如x、x2、ex、(ex)2或某個(gè)抽象函數(shù)符號(hào).但是因?yàn)槭堑仁?，不像前面給出的是含f′(x)不等式，更容易判定單調(diào)性解決問題.構(gòu)造完后，還需要進(jìn)一步結(jié)合表達(dá)式本身特征來分析再構(gòu)造討論函數(shù)性質(zhì).

即有f′(x)≤0，則函數(shù)f(x)在[0，+∞)上為減函數(shù)；

3x-2x-1>0.

解可得x>1，則不等式的解集為(1，+∞).

所以f′(x)≤0，即f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減.

所謂構(gòu)造函數(shù)法是指通過一定方式，設(shè)計(jì)并構(gòu)造一個(gè)與有待解答問題的相關(guān)函數(shù)，并對(duì)其進(jìn)行觀察分析，借助函數(shù)本身性質(zhì)如單調(diào)性或利用運(yùn)算結(jié)果，解決原問題.構(gòu)造本身非常巧妙地把函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式聯(lián)系起來，既考查到考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，也考查到了考生處理數(shù)學(xué)問題的能力，符合高考新課標(biāo)的要求.