江蘇省徐州市第一中學(xué) (郵編：221140)

學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中常常會(huì)出現(xiàn)“聽(tīng)起來(lái)頭頭是道，做起來(lái)莫名其妙”的現(xiàn)象．在教師的教導(dǎo)下，學(xué)生做了大量的題，見(jiàn)識(shí)了不同尋常的新奇解法，但碰到新題的時(shí)候又會(huì)一籌莫展．這與我們的大容量、快教學(xué)有著很大的關(guān)系．學(xué)生在教師的“過(guò)度”指導(dǎo)下，更多地是模仿，而少有思考．我們的課堂教學(xué)應(yīng)該“慢”下來(lái)，在核心內(nèi)容與重點(diǎn)問(wèn)題上，給學(xué)生足夠的思考時(shí)間與空間，放手讓學(xué)生“大展拳腳”，觸發(fā)學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能.

微探究是圍繞某個(gè)小知識(shí)點(diǎn)或某一問(wèn)題，以學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，精心設(shè)定問(wèn)題，在課堂上組織學(xué)生進(jìn)行“微”探究，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行刨根問(wèn)底，對(duì)解法進(jìn)行對(duì)照優(yōu)化，促使學(xué)生將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，將經(jīng)驗(yàn)提升為素養(yǎng).

在一次直線與圓的復(fù)習(xí)課上，學(xué)案中有如下一道題(2014年高考新課標(biāo)Ⅱ卷理科第16題)，雖然是填空題中的壓軸題，但結(jié)果卻很容易得到．經(jīng)了解，學(xué)生對(duì)本題有著繁簡(jiǎn)各異的處理方式，或“投機(jī)取巧”，或“縱橫聯(lián)想”，思考的出發(fā)點(diǎn)不盡相同．因此有必要?jiǎng)?chuàng)設(shè)探究環(huán)境，讓學(xué)生在多角度分析與本質(zhì)探尋的過(guò)程中，合作交流，碰撞思維，互相提升.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

題目設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓O：x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是______.

本題中的點(diǎn)M、N分別是直線、圓上的動(dòng)點(diǎn)，可以看成是雙變量問(wèn)題，有一定的思維難度．不過(guò)因?yàn)椤螼MN的特殊性，學(xué)生可以輕易(浮于表面)獲得答案.

2 問(wèn)題探究

圖1

師：為什么∠OMN變大了？

生1：當(dāng)點(diǎn)M向y軸移動(dòng)時(shí)，OM越來(lái)越短，所以∠OMN的正弦越來(lái)越大，因此∠OMN越來(lái)越大.

師：也就是說(shuō)，當(dāng)N為切點(diǎn)時(shí)的∠OMN不小于45°時(shí)，圓O上就一定存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)N.我們?nèi)绾蝸?lái)刻畫(huà)∠OMN≥45°呢？

圖2

師：很好！說(shuō)理要嚴(yán)謹(jǐn)，尤其是結(jié)合圖形的敘述，你是怎樣想到圓P的呢？

生3：因?yàn)椤鱋MN的邊ON與其所對(duì)的角都是定的，所以可把這個(gè)三角形放在一個(gè)圓內(nèi)，∠OMN就是同弦所對(duì)的圓周角了.

師：哦，隨著點(diǎn)M的移動(dòng)，△OMN隨之變化，而生3抓住了這一變化中的不變量，將OM作為一個(gè)等腰三角形的底邊．而腰長(zhǎng)又是確定的，所以O(shè)M的最大值隨之即來(lái).

圖3

師：很好．將點(diǎn)N的存在轉(zhuǎn)化為MN長(zhǎng)的有解．通過(guò)三角形的邊角關(guān)系得到m與x0的等量關(guān)系，繼而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參的一元二次方程有解問(wèn)題．不過(guò)，該方程只要有解就行了嗎？

師：嗯，注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性哦．兩根中的哪一個(gè)是m的值呢？

生4：有一個(gè)就行吧．(略作思考)因?yàn)橹本€MN與圓O相交，兩個(gè)點(diǎn)都可以是N，所以?xún)蓚€(gè)根都是m的值.

師：△=0的時(shí)候呢？

生4：直線MN與圓O相切，N是切點(diǎn)，m只有一個(gè)值.

師：非常好！理，越理越清晰．形的角度“點(diǎn)的存在”與數(shù)的角度“方程有解”形成了完美對(duì)應(yīng)，妙哉！

圖5

師：噢，原來(lái)本題是由一道三角形有幾解的問(wèn)題改編而來(lái)．從圓的角度看，其實(shí)，點(diǎn)N是直線MN與圓O的公共點(diǎn)，因此“存在點(diǎn)N”可看成是直線MN與圓O相交或相切，所以圓心O到直線MN的距離小于或等于半徑，也就是OQ≤ON.殊途同歸?。?/p>

3 探究感悟

在普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)中，“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”作為必修課程與選擇性必修課程的主題之一，旨在通過(guò)發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題的綜合實(shí)踐活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．探究應(yīng)成為教師組織教學(xué)活動(dòng)的基本意識(shí)，精心設(shè)計(jì)課堂“微”探究活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷艱苦探究、驚喜發(fā)現(xiàn)、享受數(shù)學(xué)的探究過(guò)程，使探究成為學(xué)生的一種習(xí)慣，指導(dǎo)學(xué)生后續(xù)的自主成長(zhǎng)．為高質(zhì)量地實(shí)施微探究，教師應(yīng)做問(wèn)題的開(kāi)發(fā)者、活動(dòng)的參與者、學(xué)生的引路人.

3.1 做問(wèn)題的開(kāi)發(fā)者

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)真正的組成部分應(yīng)該是問(wèn)題和解，解題才是數(shù)學(xué)的心臟．”數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，開(kāi)展自主探究、合作研究并最終解決問(wèn)題的過(guò)程．問(wèn)題是實(shí)施數(shù)學(xué)探究的載體，也是關(guān)鍵，選好問(wèn)題是進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的第一步．教師應(yīng)精選問(wèn)題，研究透徹，以便在課堂微探究活動(dòng)中充分發(fā)揮問(wèn)題的價(jià)值．一個(gè)好的問(wèn)題應(yīng)該富有啟發(fā)性、趣味性、挑戰(zhàn)性、開(kāi)放性、探索性等特點(diǎn)，能吸引學(xué)生的目光，使學(xué)生“縱橫聯(lián)想”所學(xué)知識(shí)與方法進(jìn)行多角度分析與求解．本題的解法多樣，看似考查直線與圓的位置關(guān)系，實(shí)又涉及解三角形、函數(shù)與方程、幾何最值等多方面的知識(shí)．生5的解法正是基于課本(必修5)中對(duì)三角形有幾解的探究經(jīng)驗(yàn)，因此也探尋到了本題的課本之源.

3.2 做活動(dòng)的參與者

教師應(yīng)居高臨下地設(shè)計(jì)教學(xué)，俯下身來(lái)參與課堂活動(dòng)．葉瀾教授曾說(shuō)：“課堂是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的因素，而不是一切都必須遵循固定路線而沒(méi)有激情的行程．”教學(xué)過(guò)程是復(fù)雜的、豐富多變的，教師應(yīng)善待課堂上隨時(shí)出現(xiàn)的“意外”．本節(jié)課中，題目的常規(guī)解決就是極端位置分析(生1的解法)或轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn)(教師最后總結(jié)出)，對(duì)于學(xué)生對(duì)∠OMN=45°的“別開(kāi)生面”的刻畫(huà)，教師沒(méi)有制止，而是尊重學(xué)生的“第一思考權(quán)”，讓他們一一說(shuō)完，最后卻驚現(xiàn)了問(wèn)題的本質(zhì)，殊途同歸．在師生、生生、生本交流的過(guò)程中，學(xué)生的思維被激發(fā)，思想在碰撞，甚至有學(xué)生想到了利用“到角公式”來(lái)求直線MN的斜率．多給學(xué)生“想一想”的時(shí)間，多與學(xué)生進(jìn)行平等地交流，將充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維，于學(xué)生成長(zhǎng)大有裨益.

3.3 做學(xué)生的引路人

著名教育家葉圣陶先生曾說(shuō)：“我以為好的先生不是教書(shū)，不是教學(xué)生，乃是教學(xué)生學(xué)．”我們的課堂教學(xué)應(yīng)追求數(shù)學(xué)思想的滲透、通性通法的提煉、思維習(xí)慣的培養(yǎng)，使學(xué)生在參與探究活動(dòng)的過(guò)程中形成科學(xué)的探究方法，能夠在后續(xù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中自主開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．本節(jié)課中，題目的解決始于學(xué)生的“投機(jī)取巧”，教師不斷地追問(wèn)，促使學(xué)生想清楚、說(shuō)明白，并就此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一般性探究．學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般，從復(fù)雜到簡(jiǎn)單，從模糊到清晰的系列過(guò)程，可以說(shuō)還原了探究的真實(shí)過(guò)程．在追問(wèn)中，學(xué)生的念頭逐漸清晰；在聯(lián)系中，知識(shí)的體系逐漸完善；在求簡(jiǎn)中，學(xué)生的思維得以歷練；在探尋中，問(wèn)題的本質(zhì)得以揭示；在活動(dòng)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)獲得獨(dú)立．我們應(yīng)致力于將學(xué)生引到科學(xué)探究之路，自主發(fā)展之路，素養(yǎng)自育之路.