浙江省溫州市龍灣區(qū)永強中學 (郵編：325000)

2018年高考浙江卷第22題的第2問為：

(2)若a≤3-4ln2，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點.

官方給出的參考答案如下：

因此，對于任意的a∈R及k∈(0,+∞)，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有公共點.

由(Ⅰ)可知g(x)≥g(16)，又a≤3-4ln2，故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln2+a≤0，所以h′(x)≤0，即函數(shù)h(x)在(0,+∞)內單調遞減，因此方程f(x)-kx-a=0至多有1個實根.

綜上，當a≤3-4ln2時，對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點.

這道題的思路比較明確，就是先用零點存在定理證明零點的存在性，然后利用單調性確定零點的個數(shù)，其中一個難點在于估算零點的所在區(qū)間.

估算零點的所在區(qū)間，端點效應和端點分析，是在很多高考函數(shù)題的分析過程中，需要做的預處理，因此，這些點的尋找，對于快速地解題大有裨益.

1 估算零點的核心思想

既然要估算零點的所在區(qū)間，前提是零點存在.如果要快速有效的找點，極限思想可以確保對點的存在性的準確判斷.

從最簡單的問題出發(fā)：取一點使得x>0.這個是取點中最簡單的問題，但是最簡單的問題，恰恰能反映出問題的本質.拿到這個不等式，很多人的第一反應是任意的正數(shù)都符合題意，當然這個是正確的，其原因是最關鍵的零點x=0被我們抓到了，因此，若遇到函數(shù)零點可以直接求解，這樣的取點是非常容易的.但是在實際操作過程中，我們不僅會遇到零點不可求，甚至還會含參函數(shù)的取點.

進一步再作思考：取點使f(x)=alnx+x-a2>0.在取點之前，先用極限來確保我們要的點存在：當x→+∞時，高階的x占主導，因此保留下來，而低階的alnx和-a2正負不會影響整體代數(shù)式的正負，可以舍去.這個過程可以簡稱為“取大舍小”.通過這個過程，可以確定的是：存在x使得f(x)=alnx+x-a2>0.

2 估算的關鍵：取點技巧

2.1 取大舍小

2.1.1 精準舍項

事實上，在上一節(jié)例題中筆者已經應用了這個技巧，如果在一個代數(shù)式f(x)+g(x)+h(x)>0中取點，代數(shù)式f(x)和g(x)都大于0，且f(x)的階高于g(x)的階，則可以把低階的g(x)舍去，如果f(x)和g(x)都的階都比h(x)高，則可以舍f(x)和g(x)中任意一項.舍項處理的原則是:其一，舍項后的式子仍然有比h(x)高的階存在或者說整體代數(shù)式依然有我們要的點存在，可稱之為保號性.其二，舍項后的代數(shù)式易于找點，例如:f(x)=ex+x2-ax，要取f(x)>0的最佳策略是舍去ex，因為舍去后易于找點.

2.1.2 界值限定

2.1.3 調整結構

其實在大多數(shù)題目中，沒有什么問題是通過調整不能解決的.所謂調整結構我們依然要分兩個維度來認知，其一，分而治之.這個方法對于乘積結構的式子特別好用，形如f(x)g(x)+h(x)>0的取點，若f(x)g(x)難以處理，我們可以將f(x)g(x)拆分，調整代數(shù)式結構來取點.例如2017年9月浙江省溫州市普通高中適應性測試第20題：

(1)求f(x)的單調遞增區(qū)間；

(2)當0

2.2 統(tǒng)一矛盾

所謂統(tǒng)一矛盾就是對于含不同形式混合型式子我們通過調階的方法將不同形式的結構統(tǒng)一為可解的式子.具體操作就是通過找點不等式根據目標進行放縮，必要時可以介入一定的待定思想.原則上只要可解的式子就可以，但我們往往會把復雜結構統(tǒng)一為多項式.例如：(2017新課標1)；f(x)=e2x+aex-x，取點使f(x)>0，則f(x)>e2x+aex-ex，這么做的目的就是統(tǒng)一矛盾，轉化為可解的式子.

3 估算的實踐——逐步擊破難點

第一步 調整結構

先用極限判斷一個代數(shù)式中各個部分的正負，整體的正負以及抓到這個式子中的高階選手，并且明確我們要取點的區(qū)間的大致范圍.如果結構復雜就去調整結構，有低階無窮小優(yōu)先舍項和限定區(qū)間.

第二步 賦特殊值

第三步 調階放縮，統(tǒng)一矛盾

所以，存在x0∈(m，n)，使f(x0)=kx0+a.

這里我們也可以做一個比較：

也就是說，根據這樣的放縮技巧，可以取到比較理想的點，從而達到做題的要求.

又例如：2018年新課標II(理)第21題第(2)問：已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

若f(x)在(0,+∞)內只有一個零點，求a.

官方解答：設函數(shù)h(x)=1-ax2e-x.

f(x)在(0,+∞)內只有一個零點當且僅當h(x)在(0,+∞)內只有一個零點.

故h(x)在(2,4a)內有一個零點，因此，h(x)在(0,+∞)內有兩個零點.

官方解答中取x=4a時，使得h(x)>0.事實上，x的取值可以更加快速簡潔，即由于，ex-ax2>ex-a>0?x>lna結合x∈(2,+∞)，直接可以取x=2+lna，從而達到取點的目的.

這里需要補充的是，前文所提的主要是當x→+∞時的取值方法，而當x→0和x→-∞甚至是對于x→x0(x0為某一特定的實數(shù))的取值方法，都有異曲同工之處，因此不再贅述.

4 估算方法的啟發(fā)與思考

本文介紹的估算方法不僅僅在使用零點存在定理時可以應用，事實上，對于大部分的解題，這樣一種端點分析和不等式的思想都是不可或缺，也是鍛煉學生思維的優(yōu)良素材.其中蘊含的極限思想，在學生學導數(shù)時，就可以加以滲透，使學生對各類函數(shù)有一個全局性的認識，這對于學生解題方法的掌握，解題思路的拓寬，發(fā)散性思維的鍛煉，都是大有裨益的.