江蘇省如皋中學 (郵編：226500)

1 問題的提出——數(shù)學思維混亂現(xiàn)象的掃描

題目設方程x+2+2x=0和方程x+2+log2x=0的根分別記為p、q，已知函數(shù)f(x)=(x+p)(x+q)+2，則f(0)、f(1)、f(2)的大小關(guān)系是______.

在考試中該題的解答狀況讓筆者非常吃驚．全班共49人，錯了30人，與學生交流后，將學生答題錯誤的現(xiàn)象歸納為以下幾種現(xiàn)象.

現(xiàn)象一對求解方程的根的基本方法掌握不全面．部分學生從研究函數(shù)g(x)=x+2+2x,h(x)=x+2+log2x入手，求導，作圖，求函數(shù)零點．事實上，函數(shù)g(x)、h(x)的零點從圖象角度是無法具體求出的.

現(xiàn)象二對函數(shù)的性質(zhì)理解不深刻．部分學生分別作出y=2x,y=log2x,y=-x-2的圖象，但因無法突破y=2x與y=log2x圖象的關(guān)系，無法發(fā)現(xiàn)根的關(guān)系.

現(xiàn)象三對圖象的對稱性認識不到位，一是不能發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=2x與y=log2x圖象關(guān)于直線y=x對稱，二是發(fā)現(xiàn)不了二次函數(shù)f(x)=(x+p)(x+q)+2對稱軸是確定的.

現(xiàn)象四對二次函數(shù)的圖形和指數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)不能靈活運用，無法聯(lián)系聯(lián)想．不理解比較三個函數(shù)值的大小從圖象上看即轉(zhuǎn)化為圖象的對稱性和函數(shù)的單調(diào)性.

總之，學生沒有認真思考，縱橫聯(lián)系轉(zhuǎn)化的分析習慣，導致在遇到一些有一定綜合的問題時思維混亂．

2 問題的闡述——引起學生思維混亂的因素分析

數(shù)學思考是指人腦以獲取數(shù)學知識形成能力、運用知識解決數(shù)學問題、激活思維為目的，運用有關(guān)的思維方式或方法達到認識數(shù)學內(nèi)容的內(nèi)在信息處理的過程與活動．數(shù)學學習是指獲取數(shù)學知識和數(shù)學活動經(jīng)驗，形成基本技能的認識變化的過程．由此可見導致數(shù)學思維混亂的因素有基本概念和基礎知識建構(gòu)不清晰、基本方法積累不完整和思維習慣差等.

2.1 基本概念和基礎知識建構(gòu)不清晰，導致解題方向不明確

日常學習中所遇到的問題，都是由多個數(shù)學概念組合而成的，只有從多個角度深刻理解概念的內(nèi)涵與外延，才能很容易地找到解決問題的思路和方法．由于基本概念不清晰，學生探求不了已知條件轉(zhuǎn)化的途徑，不知已知條件可以向哪個方向轉(zhuǎn)化，與所求結(jié)論之間有怎樣的聯(lián)系，從而導致思維混亂.

若學生不理解向量數(shù)量積的三種表示形式之間可以相互轉(zhuǎn)化，此題就變?yōu)殡y題.

事實上，緊扣向量數(shù)量積的三種表示來探求思路如下：

點撥若沒有對向量三種語言(符號語言、圖象語言、坐標語言)表示的深刻理解和運用向量三種語言的表示意識，學生是無法確定這三個角度解決向量問題的．從向量的基本概念出發(fā)，我們常見的思路設計，一是選擇恰當?shù)幕?，利用向量的符號語言表示向量的數(shù)量積、模和夾角等；二是構(gòu)造圖形，探究向量的幾何意義，從形出發(fā)求解；三是建立恰當?shù)淖鴺讼?，轉(zhuǎn)化為坐標語言進行實數(shù)運算.

2.2 基本方法積累的不完善，導致解題過程混亂

問題是數(shù)學的心臟，而問題解決就是數(shù)學思維的核心．問題解決是指主體在數(shù)學學習和數(shù)學模式識別基礎上對數(shù)學元素、性質(zhì)或關(guān)系等作出回答或解釋的一系列過程，即形成解題的基本方法，如若基本方法積累不全或不完善，會導致解題過程混亂.

例2設集合A={x|x2+4x=0,x∈R}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}，若B?A，求實數(shù)a的取值范圍.

學生由B?A，得到集合B中的元素都在集合A中，由A={-4,0}，所以-4,0是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根，得a的值為1或-1或7.事實上，一是依據(jù)集合所表示的內(nèi)容確定集合中的元素；二是依據(jù)集合之間的關(guān)系確定集合中的元素.

思考二集合A中的元素可以直接確定，但因集合B中的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0含參數(shù)a，所以確定集合B中的元素較煩，換一個角度來考慮，由B?A，依據(jù)子集的定義B為?、{0}、{-4}、{-4,0}，以下分四種情況討論．當B=?時，方程x2+2(a+1)x+a2-1=0無解，所以△<0，得a<-1；當B={-4}時，方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有兩個等根，所以-2(a+1)=-8,a2-1=16無解；當B={0}時，方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有兩個等根，所以-2(a+1)=0,a2-1=0，解得a=-1；當B={-4,0}時，方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有兩個根為-4、0，所以-2(a+1)=-4,a2-1=0，a=1，綜上a≤-1或a=1.

點撥若沒有對研究集合就是要確定集合中的元素基本方法的積累，本題無法獲得兩種解法的．研究集合，一是要考慮集合所包含的屬性，確定集合中的元素是什么；二是依據(jù)兩個集合之間的關(guān)系，確定集合中的元素．確定集合A的元素即求解集合中方程的根，而集合A中方程系數(shù)為具體的數(shù)，可以直接求方程的根．對于集合B中的方程因含有參數(shù)，從兩個不同的角度分析：一是從集合B入手，解方程，因為方程的系數(shù)含參數(shù)，故通過判別式△符號確定分類討論；二是從B?A入手，根據(jù)子集的定義，集合A={0,-4}的子集有四個，集合B為?,{0},{-4},{-4,0}，依次求實數(shù)a的取值范圍．今后若將一元二次方程變換為一元二次不等式，同樣可以從這兩個角度將問題分別轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題或一元二次函數(shù)的最值問題求解.

問題解決體現(xiàn)在具體的問題中就是將題目中的條件熟練進行轉(zhuǎn)化，這就要我們積累常見的條件轉(zhuǎn)化的基本方法，遇到具體問題時選擇恰當合理的方法．基本方法的積累要從最基本問題的解決入手.

2.3 數(shù)學思維不具有條理性，導致解題較繁或無功而返

學習數(shù)學包含學習數(shù)學思考過程和數(shù)學思考問題結(jié)果，體現(xiàn)在日常教學中，就是解決數(shù)學的問題要做到“七分構(gòu)思”(讀題、審題、發(fā)散、聯(lián)想、歸納)，養(yǎng)成思考的條理性；三分表達(書寫、運算、訂正、反思和回顧)，形成表達、書寫的規(guī)范性(條理性).

例3等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sp=q,Sq=p(p≠q,p、q∈N*)，求Sp+q.

由于思維的習慣比較差，不少學生不善于將已知條件與目標建立一定的聯(lián)系，不善于觀察分析聯(lián)想，思路混亂，不具有條理性.

思考一利用基本量.

直接求出a1、d.

思考二利用基本量.

思考三利用性質(zhì)．因為

將兩式相減求出公差d，利用a1+ap+q=a1+ap+q·d，求得Sp+q；

或者利用Sp+q=a1+a2+…+ap+ap+1+ap+2+…+ap+q-1+ap+q=Sp+a1+pd+a2+pd+…+aq+pd=Sp+Sq+pqd進行轉(zhuǎn)化.

思考四利用圖象．點(n,Sn)在Sn=A·n2+B·n上，由Sp=q,Sq=p，求A、B，再求Sp+q.

思維條理性體現(xiàn)在學生學習的過程中，即探求解決問題思路的依據(jù)是什么，為什么會這么想，探求解決問題的基本途徑有哪些，遇到較困難問題時如何遷移與轉(zhuǎn)化.

3 問題的解決——解決學生思維混亂的策略

3.1 從已知條件入手，利用已有的概念和公式將已知條件進行轉(zhuǎn)化

課本的概念、定理和公式是數(shù)學思考問題的原點，在思考問題過程中要理解概念的內(nèi)涵和公式的由來、結(jié)構(gòu)特征及適用條件．遇到一個問題，在審題時要分析已知條件該如何進行轉(zhuǎn)化．轉(zhuǎn)化的依據(jù)是什么．對概念的轉(zhuǎn)化要善于依據(jù)概念的三種語言(文字、符號、圖形)表示，對公式的應用要思考為何選這個公式．這個公式能解決什么問題．公式中的多個量如何進行計算等.

3.2 從結(jié)論入手，探尋解決問題的基本方法

遇到已知條件轉(zhuǎn)化的方向不明確時，要善于從結(jié)論出發(fā)，思考解決這類問題有哪些基本方法，選擇哪個方法更優(yōu)越，教師在講解問題時要通過追問學生每一步怎么想到這樣做的，培養(yǎng)學生善于觀察、勤于思考的習慣，促使學生學會如何思考，形成思考問題的條理性.

例5已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an>0，?m、n∈N*，都有(Sm+n+S1)2=4a2ma2n，求證：{an}為等比數(shù)列.

分析?m、n∈N*,(Sm+n+S1)2=4a2ma2n，依據(jù)表達式中m、n的任意性，可對m、n賦值.

思考一

令m=1，得(Sn+1+S1)2=4a2a2n

①

令m=2，得(Sn+2+S1)2=4a4a2n

②

令m=n=1, 則(S2+S1)2=4a22，由an>0，所以S2+S1=2a2=2a1+a2，所以a2=2a1.

在②中再令n=1，(S3+S1)2=4a4a2=(2a1+a2+a3)2，

令m=n=2，S4+S1=2a4，解得a4=4a2，所以a3=2a2，

所以Sn+2+S1=2(Sn+1+S1)，又Sn+1+S1=2(Sn+S1)，所以an+2=2an+1(n≥2)，

n=1、2成立，又a1≠0,數(shù)列{an}為等比數(shù)列.

思考二令m=n，得S2n+S1=2a2n

③

④

在(3)中n→n+1，S2n+2+S1=2a2n+2

⑤

⑥

⑦

⑧

點撥如若從已知來思考，學生都會想到對m、n賦值，對m、n多次賦值，得到多個等式，就不知道如何處理了．若學生沒有進行深度思考，在得到多個關(guān)系式后難以進行正確的轉(zhuǎn)化，找不到解決問題的方向.

事實上，若從目標出發(fā)，要證一個數(shù)列為等比數(shù)列，依據(jù)等比數(shù)列的定義，即探求相鄰兩項的比值為常數(shù).為此，我們要尋求項的關(guān)系，而題設中有數(shù)列的前n項和與項的關(guān)系式，思路一是先消去項，探求和的遞推關(guān)系式，再轉(zhuǎn)化為項的關(guān)系式，在賦值時要將a2m消去，故保留n不變，對m賦值．思路二是消去和Sn、Sm，直接探求項的關(guān)系，故先賦值將平方關(guān)系式轉(zhuǎn)化為一次，再利用和與項的關(guān)系轉(zhuǎn)化為項的遞推關(guān)系式，此時出現(xiàn)了奇數(shù)項與偶數(shù)項的關(guān)系式，要善于觀察下標的結(jié)構(gòu)特征再賦值.

3.3 將已知與目標結(jié)合，將問題進行變更

對于所遇到的問題，將問題的已知條件不斷地進行變更，即逐步地變換問題的表達形式，使問題從給出的初始狀態(tài)化歸為所要達到的目標狀態(tài)，直至依據(jù)主體所具有的知識不能再表示為其他形式時，考慮從結(jié)論出發(fā)探求解決問題的方法，若又無法尋求到解決的方法，可通過聯(lián)想某些模型和結(jié)論，采用分析與綜合，多途設計，選擇某一方向來求解．

思考二所求式分子為一次，換元令x-2y=t，則x=t+2y，從而將所求式與已知式全部轉(zhuǎn)化為t、y的關(guān)系式再求解.

3.4 遇到難題時靈活調(diào)整思路，善用猜想、歸納、推理解決問題

數(shù)學教學應該是以不斷地提出問題，并解決問題的方式來獲取新知識、發(fā)展思維．教師在高三習題教學中，要科學、合理地創(chuàng)設一系列問題，形成一個螺旋上升的“問題串”，通過“設計問題串”變告知為探索，引導學生探究問題解決的過程，讓學生學會設計思考問題的思路．對于遇到的問題用常規(guī)思路無法求解時，要依據(jù)函數(shù)圖象、方程的曲線和式、量的幾何意義靈活調(diào)整思路.

總之，在高三復習中，教師要有意識地培養(yǎng)學生思考問題的條理性，強化基本概念的教學，基本方法的積累，講解過程中要充分暴露思維過程，讓學生弄清楚可以從哪些角度來思考，為什么這樣思考，思考的依據(jù)是什么，讓學生學會思考，形成思考問題的條理性.