新疆維吾爾自治區(qū)石河子市教育局教研室 (郵編：832000)

案例已知函數(shù)f(x)=x·ex-1,g(x)=lnx+kx,且f(x)≥g(x)對任意的x∈(0,+∞)恒成立,則實(shí)數(shù)k的最大值為.

本題是一道不等式恒成立問題，也是一個(gè)函數(shù)隱零點(diǎn)問題.主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值、恒成立問題等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力、分析解決問題的能力，屬難題．其主要考查：(1)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、最值；(2)不等式與函數(shù)的轉(zhuǎn)化；(3)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法；(4)構(gòu)造法.

解決數(shù)學(xué)問題不是僅解決學(xué)會了多少知識點(diǎn)，而是研究在解決問題的過程中所涉及知識點(diǎn)上有多少思維點(diǎn)，有哪些關(guān)鍵過程，蘊(yùn)含了哪幾個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握思維點(diǎn)，創(chuàng)造學(xué)生思考的時(shí)間和機(jī)會，讓學(xué)生學(xué)會思考，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵過程一理清思路 匯聚智慧

在解決該問題的過程中，能夠培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等的綜合素養(yǎng).

通常來講，解決這類問題的思路，一般有以下三種思路.

思路1利用數(shù)形結(jié)合，問題轉(zhuǎn)化為kx≤xex-1-lnx，x>0時(shí)恒成立，即φ(x)=xex-1-lnx(x>0)的圖象在直線y=kx的上方.

思路2將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性，借助于導(dǎo)數(shù)得到所求參數(shù)不等式，通過函數(shù)最值求得k的取值范圍.問題轉(zhuǎn)化為xex-1-lnx-kx≥0，x>0時(shí)恒成立，即y=xex-1-lnx-kx(x>0)的最小值大于或等于0.

解題思路形成、匯聚和選擇的過程，就是智力活動養(yǎng)成習(xí)慣的過程,也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要成長點(diǎn).不難看出，上述三種思路的形成過程中，包含了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，也就是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的具體過程.

關(guān)鍵過程二異曲同工 凸顯過程

按照以上思路，下面是對應(yīng)三種解法：

三種解都有相對完整的階段性過程，核心素養(yǎng)的培植離不開這些看得見、摸得著的解題步驟.數(shù)學(xué)符號、多樣的方法、詳實(shí)的解題過程，呈現(xiàn)在學(xué)生面前，知識與技能在解決問題的過程中積累，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)在解題過程中無聲無息中形成，感悟知識與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有機(jī)融合.

關(guān)鍵過程三步步為營 追本溯源

所以h(x)在(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(x0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

關(guān)鍵過程四臨門一腳 揭曉謎底

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)需要給學(xué)生提供多樣態(tài)的學(xué)習(xí)方式.特別是被稱為“數(shù)學(xué)基本功”的邏輯推理素養(yǎng)，需要長期不斷、多角度、多方式地綜合培育.經(jīng)過上面解題的“行不通”，學(xué)生才會發(fā)現(xiàn)問題的難點(diǎn)，也就是關(guān)鍵點(diǎn)，如何求出h(x)的最小值.在云計(jì)算和人工智能時(shí)代，利用信息技術(shù)也是一種必需的學(xué)習(xí)手段，如借助幾何畫板來探尋上面的問題.畫出函數(shù)h(x)(圖中的f(x))的圖象，由圖不難發(fā)現(xiàn)，hmin(x)=1.所以k≤1，故填1.

通過數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件，使問題得到初步解決，但數(shù)學(xué)是培養(yǎng)人的嚴(yán)密的邏輯思維素養(yǎng)的學(xué)科，邏輯思維需要經(jīng)過縝密的推理過程來形成，解題過程就是推理過程，這個(gè)結(jié)果不能讓人“心服口服”.從解決問題的過程來看，借助幾何畫板，看似“合情”，但不一定“合理”.這樣解決問題不僅要“知其然”，還要“知其所以然”，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)就是要“刨根問底”，找到解決這個(gè)問題的根本理由和依據(jù)，特別是嚴(yán)格的邏輯推理過程.需要設(shè)置問題的合理性、解決過程的簡潔性、數(shù)學(xué)思維的批判性和嚴(yán)密性，這就是說，即便是普通學(xué)生，也渴望發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成了學(xué)生的內(nèi)需，這就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在“問題”的解決中逐步落實(shí)的過程.

嚴(yán)格推理，詳細(xì)解答，才能使對知識的接受與發(fā)現(xiàn)、對結(jié)果的理解和認(rèn)可、對解決問題與數(shù)學(xué)素養(yǎng)有統(tǒng)一的認(rèn)識.接著前面的過程深入進(jìn)行：

則ln(x0ex0)=lnm，即lnx0+x0=lnm，

所以φ(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，而φ(1)=0，

所以hmin(x)=1，

所以k≤1.故填1.

通過巧妙的構(gòu)造，經(jīng)過嚴(yán)格的計(jì)算、推理，經(jīng)歷了從始至終的過程體驗(yàn)，問題解決了，學(xué)生心中的“疑云”消失了，心里敞亮了，學(xué)生的智慧被啟迪了，也就改變了他們的思維方式.在學(xué)生的解題過程中，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如“潤物無聲”般地發(fā)芽、生根、開花、結(jié)果，將來才能成為能夠獨(dú)立解決問題的人.

基于案例中解決問題過程對數(shù)學(xué)知識、思想、方法的靈活應(yīng)用，面對具體的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生通過認(rèn)真觀察、分析、思考、歸納、大膽質(zhì)疑，提出新的問題.為了解決問題，必須重新積極思考、探究、創(chuàng)造性地建立假設(shè).所以，以筆者拙見，解決數(shù)學(xué)問題的過程是培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本方法和重要抓手，目標(biāo)和難度適當(dāng)?shù)膯栴}情境，以及參與、思考、探索的過程會為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育提供強(qiáng)勁動力.

由此，在解決問題中培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾點(diǎn)啟示：

(一)設(shè)置數(shù)學(xué)問題的質(zhì)優(yōu)性

對數(shù)學(xué)問題的有效解決不僅僅表現(xiàn)為對問題的思考，學(xué)生與教師、學(xué)生與學(xué)生之間的對話，更是與數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的一種思辨和表達(dá)——這才是觸及數(shù)學(xué)學(xué)科實(shí)質(zhì)的有效交流，但它的最基本條件是問題本身要適合學(xué)生的生活實(shí)際，科學(xué)合理，要選擇優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)問題.優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)問題應(yīng)具有普遍性、針對性、合理性、活動性和思維性.

(1)普遍性

對擬解決的數(shù)學(xué)問題情境的設(shè)置和選擇，應(yīng)規(guī)避陌生、偏難等現(xiàn)象，具有在學(xué)生的生活中普遍存在的數(shù)學(xué)問題，學(xué)科間具有的基礎(chǔ)、共性和綜合的問題.需要學(xué)生在活動中、在生活體驗(yàn)中慢慢形成.

(2)層次性

提供的數(shù)學(xué)問題，既不能過于簡單，也不能過于復(fù)雜到學(xué)生無法解決.一般來說，問題蘊(yùn)藏的條件逐步加強(qiáng)，所運(yùn)用的綜合知識漸漸增多，難度應(yīng)該逐步上升，素養(yǎng)要求也循序漸進(jìn).當(dāng)然不能難度無極限，甚至不合理，這樣就失去了解決問題的價(jià)值.解決方法比較靈活，問題難度有梯度，具有很強(qiáng)的層次感，有助于問題的解決，更能激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有益于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成.

(3)合理性

在選擇數(shù)學(xué)問題情境時(shí)，對培養(yǎng)對象、內(nèi)容、目標(biāo)都應(yīng)全面平衡，是否合理.明確要解決的數(shù)學(xué)問題應(yīng)適合哪個(gè)年齡段的學(xué)生，首先要關(guān)注學(xué)生是如何思考、如何理解的，要尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.他們的認(rèn)知規(guī)律，已經(jīng)具備了哪些數(shù)學(xué)知識、有哪些相關(guān)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).要解決這個(gè)問題應(yīng)該儲備的知識、思想和能力，解決過程中或解決后，能培育哪幾個(gè)具體的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).如上面的案例，對高中低年級的學(xué)生就不適合，沒有具備必要的知識和解決綜合問題的能力，而針對高三的學(xué)生，不僅可以復(fù)習(xí)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識、開闊思路，激發(fā)學(xué)習(xí)的欲望，還可以提高必要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(4)活動性

優(yōu)質(zhì)、開放的數(shù)學(xué)問題包含了豐富的數(shù)學(xué)活動空間.利用所學(xué)知識，通過獨(dú)立思考、展示交流、深入探究等活動性過程，既有一題多解，還有多解歸一；既有動腦，還有動手運(yùn)算，形成解決問題的全過程，這就是數(shù)學(xué)活動經(jīng)歷，也是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，這也是所要解決數(shù)學(xué)問題的價(jià)值所在，更使解決過程更有培育素養(yǎng)的意義.

(5)思維性

數(shù)學(xué)學(xué)科的作用是培養(yǎng)人的思維素養(yǎng)，使人更有邏輯地分析問題，提高解決問題的能力.其中數(shù)學(xué)問題承載著培養(yǎng)多樣思維的任務(wù)，蘊(yùn)含著多種思維品質(zhì).學(xué)生的學(xué)習(xí)生活中，機(jī)械、簡單運(yùn)算，這種不注重思維的培育只關(guān)注計(jì)算結(jié)果和算法一統(tǒng)的數(shù)學(xué)問題，對培育和發(fā)展學(xué)生的思維沒有多大價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，不該至少是盡量不出現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)中.由此可見，數(shù)學(xué)問題與思維要相匹配，問題情境應(yīng)該具有一定的思維價(jià)值.

(二)解決數(shù)學(xué)問題過程的完整性

解決問題的完整性包括解決問題的過程、思維的過程、培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的過程.基于核心素養(yǎng)問題的解答，不僅僅是學(xué)生對思維結(jié)果和思維過程的表達(dá)，還能促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，它更象一種對話——多種觀點(diǎn)的分享、溝通和理解，更是多種思維的分析、比較、歸納、批判和整合的互動過程，并最終促進(jìn)學(xué)生對知識的深刻理解，對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的無聲內(nèi)化.

(1)解答要有過程性

記錄自己的思考過程，哪怕是任何轉(zhuǎn)瞬即逝的想法，更應(yīng)尊重解決問題過程中的多種方法并合理表達(dá)，其實(shí)就是讓學(xué)生成長的過程.解決質(zhì)優(yōu)量適的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生表達(dá)不同算法的思考過程、達(dá)到相互溝通理解，實(shí)際上就是承認(rèn)了解答過程是一個(gè)群體中互動的經(jīng)驗(yàn)過程；對不同的算法做出比較、判斷和優(yōu)化，也即把解答視為一個(gè)具有“社會協(xié)商”性質(zhì)的主動建構(gòu)過程.從這個(gè)角度來看，多種解法問題的實(shí)質(zhì)與當(dāng)前人們對學(xué)習(xí)的認(rèn)識是一脈相承的.原來認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中只要讓學(xué)生解決某個(gè)問題就行了，現(xiàn)在的理解是僅僅解決問題還是不夠的，還得有過程，過程中還要引導(dǎo)學(xué)生彼此的思想碰撞和獨(dú)特的個(gè)性.

(2)解答保證完整性

解決數(shù)學(xué)問題中基本數(shù)學(xué)活動過程非常重要，它包括思維的過程和解答的經(jīng)驗(yàn)，其本質(zhì)是會想問題、會做事情，而這些主要來源于積累.對一個(gè)數(shù)學(xué)問題的完整解答，全方位、大視角就是把“想法”、“做法”表達(dá)完整，突出解決問題的細(xì)節(jié)描述，才使學(xué)生疑惑變“透亮”.完整的過程要放在培養(yǎng)創(chuàng)造性思維和提高問題解決能力上，多角度探究，讓學(xué)生有理性和批判精神.要鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)造，寬容錯(cuò)誤和失敗，學(xué)生要不怕思考不畏運(yùn)算，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問難，進(jìn)行自主、合作、探究式學(xué)習(xí)，就是在用多種方式，追求完整的解決問題的過程.學(xué)生更像在知識叢林中散步，在其中慢慢探究、深入思考、全身心感悟.看似“低效”的“散步式”課堂教學(xué)，讓學(xué)生離核心素養(yǎng)更近了一些.

(3)解答方法多樣性

解答不必過度關(guān)注過程的技巧，以及問題解得是否精彩，而是要更多地關(guān)注學(xué)生是如何思考的、能否很好地接受學(xué)習(xí)內(nèi)容，視角是否獨(dú)特，想法是否有創(chuàng)意，敢幻想敢嘗試，盡情展示思維的發(fā)散性，倡導(dǎo)深層次、多樣態(tài)的解答方法，保證解法完整無缺，討論各種解法的異同，最終找到最優(yōu)解法.通過對截然不同，或“形散神聚”解答的深度體驗(yàn)，蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)素養(yǎng)根植于學(xué)生靈魂，同時(shí)也能真正實(shí)現(xiàn)從“被動接受”到“主動探究”的學(xué)習(xí)性質(zhì)的轉(zhuǎn)變.

(4)過程性評價(jià)

完整的過程應(yīng)包含過程性評價(jià).對每個(gè)關(guān)鍵步驟想法的創(chuàng)新性、解答情況、思維的表達(dá)情況和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成情況，形成階段性、過程性的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn).這樣的評價(jià)指標(biāo)使學(xué)生始終知道自己做到什么程度了、距離更高的標(biāo)準(zhǔn)還有多遠(yuǎn)，能很好地引領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).過程性評價(jià)強(qiáng)調(diào)過程，能夠及時(shí)、有效地反饋到每一位學(xué)生才會有更好的效果.

(三)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在解決問題中生成

在解決數(shù)學(xué)問題中獲得一些基本知識、學(xué)會一些基本技能之外，終極目標(biāo)是培養(yǎng)核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在解決問題中生成，大致可以分為三個(gè)階段：

第一階段是解決問題.對具體的數(shù)學(xué)問題能夠徹底解決，對過程無可置疑，對結(jié)果毫無疑義，這是初級階段，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在學(xué)生中生長的必經(jīng)歷程.

第二階段是強(qiáng)化解決問題的過程.解決問題本質(zhì)上是一種過程，可能是思考的過程或者智慧結(jié)晶的過程.因此以素養(yǎng)為本、致力于能力的問題，在本質(zhì)上是一種強(qiáng)調(diào)過程的解決問題.這種完整的解答過程，無論繁與簡，優(yōu)與劣，甚至對與錯(cuò)，都應(yīng)在解決問題中凸顯，如獨(dú)立思考的過程、書寫的過程、交流展示、自我評價(jià)的過程等.

第三階段是對問題智慧解決的過程.現(xiàn)在提出的解決問題目標(biāo)不是一維的而是三維的，不僅重視結(jié)果(知識)，還要重視過程(智慧)、重視學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng).首先對解決方法和過程進(jìn)行優(yōu)化選擇，然后明確在具體環(huán)節(jié)、以最易接收的方式融入哪(幾)個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

解決問題的過程要突出什么？就是要突出教師的教學(xué)方式，而改變教師的教學(xué)方式只是手段，不是目的，目的是要改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，最終改變學(xué)生的思維方式，在過程中培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

學(xué)生的個(gè)性化成長，特別是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成長成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中心目標(biāo)之后，優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)問題將逐步演變?yōu)閿?shù)學(xué)素養(yǎng)的平臺中心、測評中心、活動中心和個(gè)性化教育培育中心.

總之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成，不是依賴單純的數(shù)學(xué)問題，而是依賴學(xué)生參與其中的數(shù)學(xué)活動；不是依賴記憶與理解，而是依賴感悟與思維；它應(yīng)該是日積月累的、自己思考的經(jīng)驗(yàn)的積累.基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)問題，要求教師要抓住數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律合理優(yōu)化數(shù)學(xué)問題，啟發(fā)學(xué)生充分思考、展示、交流，讓學(xué)生在解決問題的同時(shí)，深度感悟數(shù)學(xué)知識的生成、發(fā)展過程，積累數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)實(shí)踐的活動經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展核心素養(yǎng).

將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)融入到解決問題過程當(dāng)中，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才會生根、發(fā)芽、成長，終究學(xué)會在關(guān)聯(lián)，甚至在綜合的環(huán)境下，從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問題，可以用數(shù)學(xué)的思維方法分析問題，還可以用數(shù)學(xué)的方法解決生活中的實(shí)際問題.