安徽省滁州市第六中學(xué) (郵編：239000)

1 教學(xué)背景

前不久，本人有幸參加了安徽省初中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)質(zhì)課評(píng)比活動(dòng)，上課課題是滬科版九年級(jí)上冊(cè)第22章第2節(jié)第五課時(shí)“直角三角形相似的判定”，上課學(xué)生來(lái)自安慶市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校，學(xué)生基礎(chǔ)較好，具備一定的思考、交流、探究的意識(shí)和能力.我與亳州的胡云龍老師、黃山的謝偉老師進(jìn)行了同課異構(gòu)的教學(xué)，能有機(jī)會(huì)和來(lái)自全省各地的優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師和專(zhuān)家評(píng)委進(jìn)行了面對(duì)面的交流學(xué)習(xí)，給我的教學(xué)生涯留下了一次寶貴而難忘的學(xué)習(xí)經(jīng)歷.

2 教學(xué)設(shè)想

本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了直角三角形全等的判定方法和一般三角形相似的判定方法，為進(jìn)一步探究直角三角形相似的特殊判定方法積累了經(jīng)驗(yàn)和探究方法.為此，我確定了本節(jié)課的教學(xué)定位：如何引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比“HL”，通過(guò)“探究、發(fā)現(xiàn)、猜想、證明”推導(dǎo)出判定方法是本節(jié)課的切入點(diǎn)，判定方法有多種證法，教材中采用了“設(shè)k法”，并運(yùn)用勾股定理證明，這種代數(shù)證法是一種重要的思想方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，要求學(xué)生能夠理解掌握.

3 課堂實(shí)錄

3.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

師：同學(xué)們，還記得我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些相似三角形的判定方法嗎？

生：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.

三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.

師：我們知道直角三角形是一種特殊的三角形，這些方法能用來(lái)判定直角三角形相似嗎？

生：能.

師：我們?cè)谘芯肯嗨迫切蔚奶乩热切螘r(shí)，就知道直角三角形全等還有其獨(dú)特的判定方法，大家還記得是什么嗎？

生：HL.

師：既然直角三角形全等有特殊的判定方法，那么直角三角形相似會(huì)不會(huì)也有類(lèi)似的判定方法呢？今天我們就一起來(lái)探究直角三角形相似的判定方法.

3.2 合作探究，學(xué)習(xí)新知

師：下面先來(lái)探究一個(gè)具體的問(wèn)題，類(lèi)比HL，我們也給定兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊，那么這兩個(gè)直角三角形相似嗎？

已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=2，BC=1，A′B′=4，B′C′=2.求證：Rt△ABC∽ Rt△A′B′C′.

學(xué)生獨(dú)立自主探究后分享解題思路，用展臺(tái)投影展示學(xué)生解題過(guò)程，并由學(xué)生完成自評(píng).

生1：利用勾股定理求出AC、A′C′邊的長(zhǎng)，然后利用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似，就可以證明這兩個(gè)三角形相似了.

生2：利用勾股定理求出AC、A′C′邊的長(zhǎng)后，也可以用兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，且所夾得角都是直角來(lái)證明這兩個(gè)直角三角形相似.

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀(guān)察本題的條件和結(jié)論，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：知道了兩個(gè)直角三角形的斜邊和直角邊就能夠證明它們相似了.

師：需要知道幾條直角邊？

生：一條直角邊.

師：已知條件給定的斜邊和一條直角邊有著怎樣的關(guān)系？

生：比值相等.

師：也就是對(duì)應(yīng)成比例，同學(xué)們能不能根據(jù)探究和發(fā)現(xiàn)，類(lèi)比HL，大膽猜想一下直角三角形相似的特殊判定方法？

生說(shuō)出猜想，教師規(guī)范語(yǔ)言表述并板書(shū)猜想：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似.

師：同學(xué)們，怎樣才能知道我們的猜想是否正確呢？

生：證明.

師：我們?nèi)绾巫C明一個(gè)文字命題呢？

生：先畫(huà)出圖形，然后根據(jù)圖形和命題寫(xiě)出已知和求證.

師：請(qǐng)同學(xué)認(rèn)真分析一下題目，根據(jù)已知條件，你準(zhǔn)備如何證明這兩個(gè)直角三角形相似？

生：我想求出第三邊的長(zhǎng)，用三邊對(duì)應(yīng)成比例來(lái)證明.

師：好，那請(qǐng)同學(xué)們嘗試求出第三邊的長(zhǎng).

生嘗試后發(fā)現(xiàn)無(wú)法求出第三邊的長(zhǎng).

生：可以用“設(shè)k法”.

師：之前我們遇見(jiàn)過(guò)“設(shè)k法”嗎？

生：學(xué)習(xí)比例性質(zhì)的時(shí)候遇見(jiàn)過(guò).

師生合作完成證明過(guò)程，教師板書(shū).

師：在這里我們采用“設(shè)k法”，利用勾股定理求出另一條直角邊，從而得出三邊對(duì)應(yīng)成比例，請(qǐng)同學(xué)注意這種代數(shù)證法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.這樣我們就證明了猜想是正確的，它可以作為直角三角形相似的判定依據(jù).

3.3 學(xué)以致用，深化理解

師：請(qǐng)同學(xué)們嘗試獨(dú)立完成下面的練習(xí).

已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=5，AC=3，DE=10，當(dāng)DF=______時(shí)，Rt△ABC∽ Rt△DEF.

師：Rt△ABC∽ Rt△DEF是條件還是結(jié)論？這樣做對(duì)嗎？

師：我們要審清題目的條件和結(jié)論，不能把結(jié)論當(dāng)作解題的條件來(lái)用，如果老師把題目做一個(gè)小小的改動(dòng)，你覺(jué)得答案還會(huì)是6嗎？

變式當(dāng)DF=______時(shí)，Rt△ABC∽R(shí)t△EDF.

生：答案不是6，是8.

師：為什么小小的改動(dòng)，答案就不一樣了？

生：因?yàn)轭}中的對(duì)應(yīng)關(guān)系發(fā)生了改變.

師：看來(lái)同學(xué)們都已經(jīng)掌握了直角三角形相似的判定方法，下面我們?cè)賮?lái)挑戰(zhàn)一下自己吧.(出示例題)

如圖，∠ABC=∠CDB=90°，CB=a，AC=b.問(wèn)當(dāng)BD與a、b之間滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系式時(shí)，以點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)C、D、B為頂點(diǎn)的三角形相似？

師：題中的條件是什么？結(jié)論是什么？想得到這樣的結(jié)論還缺少什么條件？請(qǐng)同學(xué)們小組交流、討論.

小組代表分享本組探究交流成果后，教師利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示兩種可能的圖形，規(guī)范解題過(guò)程.

師：請(qǐng)同學(xué)們回顧本題探究和解答過(guò)程，你有什么收獲？

生：象這題用文字語(yǔ)言描述兩個(gè)三角形相似，對(duì)應(yīng)關(guān)系是不明確的，解題時(shí)要分類(lèi)討論.

3.4 課堂小結(jié)，分層作業(yè)

師：請(qǐng)同學(xué)們靜思一下，想一想這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？

生：我學(xué)會(huì)了直角三角形相似的特殊判定方法.

師：在探究判定方法的過(guò)程中你有哪些新的收獲？

生1：我們可以通過(guò)“探究、發(fā)現(xiàn)、猜想、證明”這樣的方法獲得新的數(shù)學(xué)定理.

生2：我們是類(lèi)比直角三角形全等來(lái)探究相似的，還用到了設(shè)k法來(lái)證明直角三角形相似的判定方法.

分層作業(yè)

必做題：課本第85頁(yè)習(xí)題22.2 第4、6、7題.

選做題：請(qǐng)嘗試用其他方法證明直角三角形相似的判定定理.

4 教學(xué)反思

4.1 巧設(shè)問(wèn)題，誘發(fā)學(xué)生思考

章建躍博士曾說(shuō)過(guò)，教師提問(wèn)的質(zhì)量決定了教學(xué)的質(zhì)量，而問(wèn)題的質(zhì)量主要體現(xiàn)在“啟發(fā)度”的把握上，我在設(shè)計(jì)課堂導(dǎo)入時(shí)，通過(guò)一系列問(wèn)題串，從一般三角形相似到直角三角形相似，再?gòu)闹苯侨切稳鹊街苯侨切蜗嗨疲寣W(xué)生體會(huì)事物之間從一般到特殊，從特殊到一般的關(guān)系，為本節(jié)課從特殊的直角三角形相似到一般的直角三角形相似的探究過(guò)程埋下伏筆.同時(shí)，學(xué)生在探究例題的過(guò)程中，教師適時(shí)設(shè)問(wèn)和追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問(wèn)題，使學(xué)生在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下產(chǎn)生進(jìn)一步求知的欲望.

4.2 多樣探究，體現(xiàn)學(xué)生主體

學(xué)生是課堂的主體，是課堂活動(dòng)的實(shí)踐者，在教學(xué)過(guò)程中要發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓他們?nèi)ニ伎?，去?shí)踐，去交流，去總結(jié)，去分享，親身經(jīng)歷的才能印象深刻，自己總結(jié)的才會(huì)成為經(jīng)驗(yàn).本節(jié)課的探究活動(dòng)從具體的例子開(kāi)始，問(wèn)題淺顯易懂，適合學(xué)生已有認(rèn)知，因此采用學(xué)生自主探究的方式進(jìn)行.而直角三角形相似的判定方法的證明，學(xué)生可能對(duì)通過(guò)“設(shè)k法”尋找證明思路，以及對(duì)代數(shù)證法這種重要的思想方法的理解有困難，所以這里采用了師生合作探究的形式. 練習(xí)及其變式的設(shè)置既讓學(xué)生體會(huì)到對(duì)應(yīng)的重要性，又為解決例題積累了經(jīng)驗(yàn)，因而例題采用了小組合作探究的方式.通過(guò)學(xué)生自主探究、師生合作探究、小組合作探究等多樣的探究形式，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，充分分析和估計(jì)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)范圍，由易到難，把學(xué)生的思維逐步引入深處.

4.3 善于追問(wèn)，重視思想方法

在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，有助于學(xué)生形成正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于教師高起點(diǎn)的分析解讀教材.本節(jié)課的教學(xué)中，不僅教給學(xué)生直角三角形相似的判定方法，而且在每個(gè)問(wèn)題探究結(jié)束后，教師都及時(shí)追問(wèn)，提升探究問(wèn)題的深度和廣度，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展解題分析，不斷看透本質(zhì)，抽絲剝繭，拋開(kāi)題目對(duì)數(shù)字的非本質(zhì)依賴(lài)，從特殊走向一般，從“一個(gè)”發(fā)現(xiàn)“一類(lèi)”，形成具有一般性規(guī)律的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的一般途徑，讓學(xué)生體會(huì)類(lèi)比、代數(shù)證法、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、從特殊到一般等重要的數(shù)學(xué)思想方法.

4.4 現(xiàn)代信息技術(shù)的合理應(yīng)用

本節(jié)課恰到好處地將現(xiàn)代信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科整合，教學(xué)中用展臺(tái)投影展示學(xué)生的解題過(guò)程，用PPT課件展示探究問(wèn)題、例題、練習(xí)、作業(yè)等，而將教學(xué)的知識(shí)重點(diǎn)留在傳統(tǒng)的板書(shū)上，使傳統(tǒng)板書(shū)與教學(xué)課件優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，省下很多的板書(shū)時(shí)間，讓學(xué)生有更多的時(shí)間去思考、交流，提高了課堂的教學(xué)容量和效率.用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示例題的兩種分類(lèi)，形象直觀(guān)，易于理解，既讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想，也突破了例題的教學(xué)難度.

4.5 教學(xué)中的遺憾

在學(xué)生猜想直角三角形相似的判定方法時(shí)，語(yǔ)言表述的不夠規(guī)范，為了順利完成課堂教學(xué)，我直接糾正了學(xué)生的說(shuō)法，沒(méi)能及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我反思.課堂教學(xué)是一個(gè)開(kāi)放的、不斷生成的過(guò)程，教學(xué)中應(yīng)重視課堂生成，并合理、有效地運(yùn)用生成，才能給課堂教學(xué)帶來(lái)精彩.其實(shí)，學(xué)生的回答即使是錯(cuò)的，教師也要耐心傾聽(tīng)，并給予激勵(lì)性評(píng)析，這樣既可以幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，又可以激勵(lì)學(xué)生積極思考，激發(fā)學(xué)生的求異思維.

直角三角形相似的判定方法有多種證明方法，教材選用“設(shè)k法”這種代數(shù)證法進(jìn)行證明，由于受到課堂教學(xué)時(shí)間的限制，我采用了師生合作探究的方式來(lái)完成這一教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生的思維被教師設(shè)置的問(wèn)題所牽制，沒(méi)能?chē)L試從不同的角度尋求解決問(wèn)題的方法，沒(méi)能體現(xiàn)出學(xué)生思維的多樣性.

5 我的一些疑惑

直角三角形相似的判定，在有些版本的教材中并沒(méi)有將其單獨(dú)作為判定定理來(lái)進(jìn)行編排，滬科版教材中也沒(méi)有標(biāo)注這是一條判定定理，而只是注明這是直角三角形相似的判定依據(jù).馬鞍山市教育科學(xué)研究院劉義杰主任在課后點(diǎn)評(píng)時(shí)提出一個(gè)問(wèn)題，既然一般三角形相似的判定方法都可以用來(lái)解決直角三角形相似的判定，那么我們有沒(méi)有必要研究它的特殊判定方法呢？我想，作為一線(xiàn)教師是否應(yīng)該更深入地研究教材、思考教材，從一般三角形相似的判定定理到直角三角形相似的判定方法，正是體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，而判定條件的弱化和減少，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔之美.

教材例題中有這樣一句表述“問(wèn)當(dāng)BD與a、b滿(mǎn)足怎樣的函數(shù)表達(dá)式時(shí)”.函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)變量之間的關(guān)系，而本題中a、b是已知量，只有BD一個(gè)未知量，能不能稱(chēng)為函數(shù)表達(dá)式呢？在教學(xué)中我將這句話(huà)改為“問(wèn)當(dāng)BD與a、b滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系式時(shí)”，不知是否得當(dāng)？

6 結(jié)束語(yǔ)

在探究、發(fā)現(xiàn)、猜想、交流中獲得對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高，數(shù)學(xué)教學(xué)需要關(guān)注知識(shí)的來(lái)龍去脈、前后聯(lián)系、蘊(yùn)含的思想方法，因此教師一定要精心設(shè)計(jì)好教學(xué)探究流程，突出學(xué)生主體，注重課堂生成，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)成功，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，使數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)出勃勃生機(jī).相信通過(guò)這樣的評(píng)比展示活動(dòng)，不斷地反思和改進(jìn)，所有參賽和觀(guān)摩的教師把握、處理教材的能力都會(huì)有明顯的提升.