中國空間技術(shù)研究院西安分院，西安 710000

隨著GPS與GLONASS的現(xiàn)代化，Galileo與北斗全球組網(wǎng)即將完成。目前全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(GNSS)日趨完善，提供的位置、導(dǎo)航與授時(shí)服務(wù)也得到了較快的發(fā)展與提高。精密單點(diǎn)定位(Precise Point Positioning，PPP)由于其較低的使用成本和較高的定位精度，得到了廣泛的應(yīng)用[1]。然而PPP要收斂到厘米級(jí)的定位精度需要較長的時(shí)間[2]，利用多頻率、多星座和模糊度快速固定等方法來提高收斂速度[3-5]，仍需要10min左右來實(shí)現(xiàn)厘米級(jí)的定位，限制了PPP在自動(dòng)駕駛等需要實(shí)時(shí)高精度定位服務(wù)中的應(yīng)用，因此，有效地減少PPP的收斂時(shí)間是其能夠被廣泛使用的前提。低軌衛(wèi)星由于其快速變化的幾何特性會(huì)大幅度縮減PPP的收斂時(shí)間[6]。

目前，許多商業(yè)機(jī)構(gòu)都提出了建設(shè)全球低軌衛(wèi)星星座的計(jì)劃，包括SpaceX、OneWeb、Boeing等知名公司[7-9]，其低軌衛(wèi)星星座包括成百上千顆低軌衛(wèi)星(Low Earth Orbit Satellite，LEO)。這些數(shù)量龐大的低軌衛(wèi)星是進(jìn)行通信、導(dǎo)航等多種服務(wù)的平臺(tái)[10]，這種設(shè)計(jì)思路已經(jīng)被銥星星座證明[11]。如何構(gòu)建低軌星座使其具備覆蓋全球的同時(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)最優(yōu)的導(dǎo)航增強(qiáng)效果是星座建設(shè)的關(guān)鍵問題。目前建成的銥星星座是極軌道星座的方案[12]，大多數(shù)的已經(jīng)公布計(jì)劃的商業(yè)星座采用的同樣是極軌道的方案[11]。文獻(xiàn)[6,10]在仿真低軌衛(wèi)星星座增強(qiáng)PPP時(shí)采用的是銥星星座的設(shè)計(jì)方案。文獻(xiàn)[13]采用了多種高度與衛(wèi)星數(shù)量的極軌道星座方案，驗(yàn)證了低軌星座對(duì)PPP增強(qiáng)的效果。文獻(xiàn)[14]對(duì)低軌衛(wèi)星星座的軌道傾角和星座類型做了初步的討論，通過枚舉的方法驗(yàn)證了星座的組合方式，但是采用了不同軌道高度的星座組合，在工程實(shí)踐中不利于星座的統(tǒng)一測(cè)控。通過以上文獻(xiàn)可以看出，隨著GNSS星座的逐漸完善，未來低軌衛(wèi)星將會(huì)是發(fā)展的熱點(diǎn)方向?，F(xiàn)在大多數(shù)的低軌衛(wèi)星星座計(jì)劃還都是在籌備與論證的階段，對(duì)于星座方案大多處于初期論證或是采用銥星星座設(shè)計(jì)方案的階段，所以在大規(guī)模開展低軌衛(wèi)星星座建設(shè)之前，很有必要研究星座的設(shè)計(jì)方法來優(yōu)化低軌衛(wèi)星的導(dǎo)航增強(qiáng)效果。

本文對(duì)低軌導(dǎo)航增強(qiáng)星座設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了詳細(xì)論證，主要分析了導(dǎo)航增強(qiáng)星座關(guān)鍵要素覆蓋特性、軌道高度選擇、軌道的傾角選擇，然后針對(duì)單一星座構(gòu)型全球精度衰減因子(Dilution of Precision，DOP)值分布不均勻的問題，為了提高人口密集地區(qū)的導(dǎo)航增強(qiáng)效果，提出了一種組合星座設(shè)計(jì)方法，增多了人口密集區(qū)的可見星數(shù)量，在實(shí)現(xiàn)全球覆蓋的同時(shí)能夠使DOP值和可見星數(shù)量在全球范圍較為均勻的分布。

1 低軌衛(wèi)星星座的關(guān)鍵要素分析

1.1 低軌衛(wèi)星高度與覆蓋范圍及太空垃圾分布

對(duì)于低軌星座來說，首先要滿足的就是覆蓋全球的能力，然后在覆蓋全球的前提下，最大程度地優(yōu)化星座使其提供最優(yōu)的導(dǎo)航增強(qiáng)服務(wù)。所以衛(wèi)星的高度、數(shù)量、傾角、星座類型、用戶仰角等一系列關(guān)鍵的數(shù)據(jù)都需要進(jìn)行詳細(xì)的論證，這些關(guān)鍵的數(shù)據(jù)決定了星座的基本服務(wù)能力。

衛(wèi)星的覆蓋區(qū)域與衛(wèi)星高度有極大關(guān)系，圖1是低軌衛(wèi)星可視球冠，對(duì)于用戶端G,在最低仰角εmin時(shí)，可見衛(wèi)星為S′,此時(shí)用戶端、衛(wèi)星、地心構(gòu)成三角形ΔOGS′,利用正弦定理，由用戶端G的最小仰角εmin可得低軌衛(wèi)星可見段所形成的半中心角Ψ計(jì)算如下：

Ψ=π/2-εmin-arcsin(rE/rS×cosεmin)

(1)

式中：rE為地球的半徑，取rE=6 378 km；rS為衛(wèi)星的軌道半徑。由半中心角可以得到低軌衛(wèi)星覆蓋的球冠的表面積為：

S=2πrE(rE-rEcosΨ)

(2)

圖1 低軌衛(wèi)星可視球冠Fig.1 Analysis of LEO satellites visual range

圖2是衛(wèi)星軌道高度從100 km到1 500 km，用戶端最低仰角為7°、15°、30°時(shí)，低軌衛(wèi)星覆蓋的地球球冠的表面積。雖然較高的軌道高度能夠覆蓋更大的區(qū)域，但是衛(wèi)星軌道高度越高，衛(wèi)星的發(fā)射成本會(huì)增高，因此需要合理的選擇軌道高度。

圖2 不同最低仰角時(shí)低軌衛(wèi)星覆蓋的面積Fig.2 Coverage area by low-orbit satellites at different minimum elevation angles

文獻(xiàn)[11]介紹了目前主要商業(yè)公司采用的低軌衛(wèi)星的軌道高度，其中銥星的軌道高度為780 km，其他商業(yè)公司的軌道高度在1 100～1 500 km之間。圖3說明太空飛行物的數(shù)量逐年在升高，圖4表示不同軌道高度分布的飛行物的數(shù)量，1 000 km以下的軌道上，飛行物的數(shù)量激增[15-16]。進(jìn)行低軌衛(wèi)星星座大規(guī)模組網(wǎng)時(shí)，要降低衛(wèi)星的碰撞風(fēng)險(xiǎn)，就要將其布設(shè)在空間物體密度較低的區(qū)域，在1 000～1 400 km及1 600 km以上空間物體密度較低，適合衛(wèi)星組網(wǎng)。本文中，在兼顧發(fā)射成本、覆蓋范圍與碰撞風(fēng)險(xiǎn)的情況下，選擇大多數(shù)商業(yè)公司選擇的軌道高度1 100 km作為低軌衛(wèi)星星座的軌道高度。圖5是軌道高度為1 100 km的低軌衛(wèi)星覆蓋范圍與北斗三號(hào)MEO之間的對(duì)比，可以看到低軌衛(wèi)星的覆蓋范圍遠(yuǎn)小于北斗三號(hào)MEO，但是LEO衛(wèi)星的優(yōu)勢(shì)在于移動(dòng)速度快，信號(hào)強(qiáng)度高。

圖3 SSN統(tǒng)計(jì)的每年不同軌道高度的飛行物數(shù)量Fig.3 Yearly number of objects in the Earth orbit cataloged by the US Space Surveillance Network (SSN)

圖4 SSN統(tǒng)計(jì)的不同軌道高度的飛行物數(shù)量變化Fig.4 Change in distributions of SSN cataloged objects

圖5 軌道高度為1 100 km的低軌衛(wèi)星與北斗三號(hào)MEO的覆蓋范圍Fig.5 Coverage of LEO satellite with orbital altitude of 1 100 km and BeiDou-3 MEO satellite

1.2 低軌衛(wèi)星的傾角與星座類型選擇

xg(x-xgcosΨ)+yg(y-ygcosΨ)+

zg(z-zgcosΨ)=0

(3)

設(shè)低軌衛(wèi)星的軌道傾角為i，軌道的真近點(diǎn)角為v，星下點(diǎn)的經(jīng)緯度坐標(biāo)為(λs,φs)，直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xs,ys,zs)，星下點(diǎn)的經(jīng)緯度坐標(biāo)與軌道傾角的關(guān)系為：

(4)

(5)

利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式，可得：

cosφscosλscosφgcosλg+cosφssinλscosφgsinλg+

sinφssinφg-cosΨ≥0

(6)

對(duì)于高度為1 100 km的衛(wèi)星，設(shè)置初始的升交點(diǎn)經(jīng)度，將式(4)帶入式(6)后，得到衛(wèi)星軌道傾角與衛(wèi)星可見性的關(guān)系。為了使衛(wèi)星在南北極點(diǎn)具有良好的可視性，觀測(cè)到衛(wèi)星的仰角至少要在30°以上，從圖6可以看到軌道傾角至少要在77°以上，因此對(duì)于低軌導(dǎo)航增強(qiáng)星座來說，必須要有大傾角的軌道類型。

目前建成的銥星系統(tǒng)，軌道傾角為86.4°，軌道高度為780 km，采用的是極軌道的方案。圖7是沿著東經(jīng)180°經(jīng)線平均了24 h的不同緯度的可見星數(shù)量(仰角截止角度5°，下文中沿用這個(gè)值)和空間位置精度衰減因子(Position Dilution of Precision, PDOP)值，可以看到，在高緯度地區(qū)衛(wèi)星的平均可見數(shù)較多，PDOP存在，而在中低緯度地區(qū)，可見星數(shù)量明顯減少，PDOP由于衛(wèi)星數(shù)量小于3而趨于無窮大。文獻(xiàn)[6,10]，利用銥星星座，仿真了低軌衛(wèi)星的觀測(cè)數(shù)據(jù)，研究了低軌衛(wèi)星對(duì)精密單點(diǎn)定位的增強(qiáng)作用，可以看出，由于極軌道分布的特點(diǎn)，高緯度地區(qū)的增強(qiáng)作用明顯，而中低緯度地區(qū)的增強(qiáng)效果并沒有高緯度地區(qū)明顯，呈現(xiàn)出不均衡的狀況。

圖6 軌道高度1 100 km低軌衛(wèi)星在南北極點(diǎn)的最大仰角與軌道傾角的關(guān)系Fig.6 Relationship between the maximum elevation angle of 1 100 km LEO at the South-North poles and the orbital inclination

圖7 銥星星座的可見星數(shù)量與PDOP值Fig.7 The number of visible satellites and the PDOP for Iridium

圖8 不同緯度全球人口分布Fig.8 Global population distribution at different latitudes

圖8是全球人口按照緯度的分布，可以看到，全球90%的人口都集中在北半球，而且全球50%的人口又集中在北緯20°～40°之間。低軌導(dǎo)航增強(qiáng)星座在具備全球覆蓋能力的同時(shí)，也應(yīng)為人口稠密地區(qū)提供更好的導(dǎo)航增強(qiáng)服務(wù)，采用單一的星座類型并不具備這種能力。

2 全球DOP與可見星數(shù)量均勻分布的星座設(shè)計(jì)方法

為了增加人密集區(qū)的可見星數(shù)量，需要利用多種構(gòu)型組合的方式解決可見星與DOP值分布不均勻的問題，由于絕大多數(shù)GNSS采用的是Walker星座，這種星座類型易于測(cè)控和管理[17]，在這里主要討論Walker構(gòu)型的組合方式。

2.1 最小GDOP Walker星座組合極值條件

當(dāng)?shù)匦牡膸缀尉人p因子(Geometric Dilution of Precision，GDOP)取極小值時(shí)，其地表的GDOP(比PDOP多了鐘差分量)分布也是相對(duì)均勻的，因此先討論Walker取極值的條件。定位構(gòu)型是指待定點(diǎn)與控制點(diǎn)構(gòu)成的定位圖形[18-19]。設(shè)Gn,m為測(cè)距單點(diǎn)定位構(gòu)型，其中n為控制點(diǎn)的數(shù)目，m為構(gòu)型的維數(shù)。含有鐘差參數(shù)的測(cè)距定位觀測(cè)方程為：

di(x)+Δ=Li,i=1,2,…,n

(7)

(8)

式中：tr為矩陣的跡；H為非線性方程的雅各比矩陣，

(9)

其中ei為待定點(diǎn)x到第i個(gè)已知點(diǎn)xi的方向余弦。在m維結(jié)構(gòu)中，對(duì)于HTH，前m個(gè)特征值具有相同的值域，具體的證明方法在文獻(xiàn)[18-19]中。當(dāng)且僅當(dāng)前m個(gè)特征值相等時(shí)，GDOP存在最小值。

(10)

在T個(gè)與xoy坐標(biāo)平面夾角均為α的平面內(nèi)存在n個(gè)最小GDOP二維測(cè)距單點(diǎn)定位構(gòu)型，對(duì)于三維構(gòu)型來說，利用雅各比設(shè)計(jì)矩陣進(jìn)行一系列的化簡(jiǎn)可以得到，當(dāng)下式成立：

(11)

(12)

式中：Mj=Tjnj，為第j個(gè)單Walker構(gòu)型的衛(wèi)星總數(shù)。對(duì)于(12)式來說，直接求解并不能解出極值條件，需要在確定一些已知量之后再計(jì)算。

2.2 Walker星座組合

圖9 組合星座的三維構(gòu)型Fig.9 Three-dimensional configuration of combined constellation

圖10 組合星座的可見星數(shù)量與PDOP值Fig.10 The number of visible stars and the PDOP for combined constellation

圖11 組合星座與銥星在全球范圍內(nèi)的衛(wèi)星可見數(shù)量分布(左邊是組合星座，右邊是銥星)Fig.11 The distributions of the combined constellation and Iridium visible satellite numbers in the world (on the left is the combined constellation and on the right is the Iridium)

3 結(jié)束語

基于以上的研究工作，主要結(jié)論如下：

1)衛(wèi)星軌道高度越高，覆蓋的地球球冠表面積就越大，在1 000～1 400 km及1 600 km以上空間物體密度較低，衛(wèi)星碰撞風(fēng)險(xiǎn)低，適合衛(wèi)星組網(wǎng)。

2)衛(wèi)星在1 100 km的軌道高度上，南北極點(diǎn)觀測(cè)到衛(wèi)星的仰角達(dá)到30°以上時(shí)，衛(wèi)星的軌道傾角要在77°以上。

3)單一構(gòu)型的星座無法實(shí)現(xiàn)全球范圍內(nèi)的可見星均勻分布，為了增加人密集區(qū)的可見星數(shù)量，需要利用多種構(gòu)型組合的方式解決可見星與DOP值分布不均勻的問題。

4)本文設(shè)計(jì)的軌道高度1 100 km的傾角78°的Walker 30/6/2與傾角40°的Walker 36/6/1星座組合，能夠較為有效的實(shí)現(xiàn)全球范圍內(nèi)的可見星數(shù)量與DOP值的均勻分布。

低軌衛(wèi)星星座設(shè)計(jì)涉及的參數(shù)較多，還需要進(jìn)一步的提煉星座設(shè)計(jì)模型和數(shù)學(xué)原理，并針對(duì)不同功能的低軌星座進(jìn)行針對(duì)性的設(shè)計(jì)，最大程度優(yōu)化低軌星座的性能。