江蘇省吳縣中學(xué) (215151) 唐俊濤

利用函數(shù)圖像解決函數(shù)相關(guān)的值域、單調(diào)性、零點(diǎn)問(wèn)題在高考和各地模擬考試中已經(jīng)屢見(jiàn)不鮮，而解決這類問(wèn)題的本質(zhì)就應(yīng)該是準(zhǔn)確的畫出函數(shù)所對(duì)應(yīng)的“草圖”.有了精確的“草圖”，函數(shù)中相應(yīng)的問(wèn)題就都能夠迎刃而解了.

但是在具體解題過(guò)程中，學(xué)生解題的受阻點(diǎn)往往就是在如何能夠“簡(jiǎn)單精確”的畫出函數(shù)的“草圖”.我們的課堂教學(xué)有時(shí)因?yàn)槭艿浇虒W(xué)進(jìn)度的影響，在函數(shù)圖像教學(xué)環(huán)節(jié)可能不夠深入，講解的不夠透徹，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題研究的不深入、不透徹、不全面.

在一次學(xué)校組織的月考中有一道填空題：“函數(shù)y=2x-1,x∈(-∞,2],則該函數(shù)的值域?yàn)?”本人執(zhí)教的兩個(gè)班級(jí)該題的得分并不是很理想，這樣的分?jǐn)?shù)與出題者的原本預(yù)期有著很大的出入，深入了解后究其原因，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題出在多數(shù)學(xué)生在解決該問(wèn)題時(shí)雖然都是從圖像作為切入點(diǎn)，但是作圖時(shí)往往畫的很“草”，沒(méi)有抓住函數(shù)圖像的“細(xì)節(jié)”—漸近線，導(dǎo)致從圖像上看函數(shù)值域時(shí)出現(xiàn)了偏差，本題其實(shí)就是將學(xué)生熟知的指數(shù)函數(shù)y=2x整體向下平移1個(gè)單位，但是指數(shù)函數(shù)y=2x本身是有一條漸進(jìn)線，它與x軸重合了，平日作圖時(shí)學(xué)生不需要單獨(dú)再添加，可是在將該函數(shù)向下平移時(shí)，漸近線也應(yīng)該同時(shí)向下平移，所以必須獨(dú)立添加，不可忽視.但是此時(shí)學(xué)生往往壓根兒沒(méi)有考慮到，所以最終得到了錯(cuò)誤的結(jié)果(-∞,3],而非正確答案(-1,3].

既然發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題，找到了“惹禍”的根源，那么接下來(lái)就必須“痛定思痛”，反思我們的教學(xué)，幫助學(xué)生減少或者避免這些無(wú)謂的失分.可是在教材上雖然在反比例函數(shù)、指對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及正切函數(shù)都已經(jīng)涉及到了漸進(jìn)線，但是并沒(méi)有真正意義上的完善漸進(jìn)線的概念，究其緣由可能是由于現(xiàn)在的教材淡化了極限的內(nèi)容，所以課堂上教師的教學(xué)與學(xué)生的學(xué)習(xí)基本上只是從圖像上去直觀的感受，這也就導(dǎo)致了學(xué)生對(duì)漸進(jìn)線理解不到位，沒(méi)有達(dá)到“數(shù)形統(tǒng)一的境界”.可是在平時(shí)的練習(xí)、考試中、甚至在高考題中，都會(huì)有漸近線的出現(xiàn)，所以教師在教學(xué)中還是要對(duì)漸近線加以強(qiáng)化，從而避免在這一“細(xì)節(jié)”方面出現(xiàn)無(wú)謂的失分.

筆者將常見(jiàn)函數(shù)的漸近線做了一下匯總，希望能得到專家的指點(diǎn)：

一、反比例函數(shù)的漸近線

反比例函數(shù)是初中所熟知的基本初等函數(shù)之一，函數(shù)有兩條漸近線分別為x、y軸，而在高中階段所涉及的反比例函數(shù)往往會(huì)將其進(jìn)行平移，在平移過(guò)程中學(xué)生就會(huì)將原有的漸近線忽略掉，從而導(dǎo)致在判斷值域或函數(shù)零點(diǎn)的時(shí)候出現(xiàn)問(wèn)題.

例1 (2017年南京高三一模)設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=

圖1

圖2

二、指對(duì)數(shù)函數(shù)的漸近線

這里所謂的“指對(duì)數(shù)型”函數(shù)其實(shí)是將指對(duì)數(shù)函數(shù)進(jìn)行一系列的平移變換后得到的新的函數(shù)，在平移過(guò)程中同樣也一定要注意原函數(shù)中漸近線的變化.

圖3

三、含絕對(duì)值函數(shù)的漸近線

含絕對(duì)值的函數(shù)在平時(shí)練習(xí)中也是經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的，模擬練習(xí)中含絕對(duì)值的函數(shù)往往需要學(xué)生更加認(rèn)真的觀察，從而去畫出準(zhǔn)確的“草圖”.

例4 已知f(x)=|xex|,g(x)=f2(x)+tf(x)(t∈R),若滿足g(x)=-1的x有四個(gè)值，則t的取值范圍為.

圖4

解析：g(x)=-1中可通過(guò)換元：f(x)=m，先將該方程轉(zhuǎn)化為二次方程：m2+tm+1=0，此二次方程的根m決定了最終能有幾個(gè)x，所以同時(shí)也需要做出函數(shù)f(x)=

|xex|的圖像，求導(dǎo)后易得

本題易錯(cuò)點(diǎn)是在當(dāng)x→-∞時(shí)，y→0，從而挖掘出漸近線，學(xué)生在解題過(guò)程中往往看到(-∞,-1)為單調(diào)減，函數(shù)圖像就是從-∞往下“走”.這樣處理本題就遇到了“易錯(cuò)點(diǎn)”，而當(dāng)x→-∞時(shí)，函數(shù)值涉及了極限的思想，教師可以讓學(xué)生代入具體的數(shù)據(jù)從而直觀感受函數(shù)值的趨勢(shì)，這樣就可以讓學(xué)生了解x軸其實(shí)就是該函數(shù)的漸近線.

同時(shí)解題過(guò)程中也可以讓學(xué)生自行概括函數(shù)漸近線的求法：(1)當(dāng)x→-∞時(shí)，y→c(常數(shù))，則y=c就是函數(shù)的一條水平漸近線；(2)當(dāng)x→c(常數(shù))時(shí)，y→±∞，則x=c是函數(shù)的一條垂直于x軸的漸近線.

四、分式函數(shù)的漸近線

分式函數(shù)在處理時(shí)必須遵循定義域先行的原則，把分母不為零作為研究函數(shù)的首要原則，分母為零反映到圖像上對(duì)應(yīng)的是x=x0這樣的一條漸近線.

例5 (2016年全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求a的取值范圍；(2)略.

解析：此題方法較多，筆者重點(diǎn)選擇介紹漸近線在這題中的應(yīng)用：

圖5

(法二)令(x-2)ex+a(x-1)2=0,(x-2)ex=-a(x-1)2，令g(x)=(x-2)ex利用導(dǎo)數(shù)求得g(x)單調(diào)區(qū)間：(-∞,1)為減，(1,+∞)為增，且當(dāng)x→-∞時(shí)，y→0，所以函數(shù)存在漸近線y=0.令函數(shù)h(x)=-a(x-1)2，如要使得f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，即g(x)與h(x)要有兩個(gè)交點(diǎn)，所以可得a∈(0,+∞).

類似的題目在我們平時(shí)考試過(guò)程中應(yīng)該會(huì)常見(jiàn)，如：

例6 (2017年蘇州高二期末考試)對(duì)于函數(shù)f(x)，若其定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)x1,x2,使得xif(xi)=1(i=1,2)成立，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P，若函數(shù)f(x)=aex具有性質(zhì)P，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

圖6

由上述這些練習(xí)可以知道，漸近線在我們平時(shí)的數(shù)學(xué)練習(xí)中反復(fù)出現(xiàn)，存在就有存在的意義、價(jià)值，所以我們要把它研究透徹，研究細(xì)致.從另一方面講，漸近線其實(shí)不可怕，可怕的是我們沒(méi)有具備發(fā)現(xiàn)、挖掘它的一雙“慧眼”，而這雙“慧眼”并不是與生俱來(lái)，是需要通過(guò)不斷的訓(xùn)練而慢慢養(yǎng)成的.