廣東省廣州市真光中學(xué) (510380) 何淑龍

一、試題呈現(xiàn)

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

試題特征解讀：該題是2018年高考新課標(biāo)1理科卷第19題，主要涉及橢圓、直線的方程及其位置關(guān)系，試題設(shè)置兩個(gè)遞進(jìn)的小問，第(1)問既減輕了考生的心理壓力，又為第(2)問的探究設(shè)置了伏筆，構(gòu)建動(dòng)態(tài)的直線與靜態(tài)的橢圓交匯，蘊(yùn)涵著“定性”結(jié)論的成立，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)新課標(biāo)的理念，具有很好的區(qū)分度，是一道值得探究的好題．

二、解法探究

1．表征題目關(guān)鍵詞

試題中給出了橢圓方程和直線方程，由于直線的不確定性，可知是經(jīng)過焦點(diǎn)F(1,0)的直線系．“證明：∠OMA=∠OMB”等是關(guān)鍵詞，審題時(shí)弄清含義、理解透徹所要思考的方向和具體操作所需要的方法與策略．“無論直線怎樣變化，總有∠OMA=∠OMB”是幾何問題(兩個(gè)角相等)，既可以用幾何方法(直線AM的傾斜角與直線BM的傾斜角互補(bǔ))也可以數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為代數(shù)方法(兩條直線的斜率和為零)來解決，為尋找解題方法和思路做了一點(diǎn)提示，審題時(shí)需要注意．

2．解題思路分析

根據(jù)試題條件和上述分析可知，第(1)問先求出A,B的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)確定一條直線；第(2)問中∠OMA=∠OMB，將角轉(zhuǎn)化為直線AM的傾斜角與直線BM的傾斜角互補(bǔ)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線AM的斜率與直線BM的斜率之和為0，再將其坐標(biāo)化，即可列出相應(yīng)的方程，可以從幾個(gè)視角入手進(jìn)行解題，來證明等式．

(2)解題方向：對(duì)于命題的證明，常常運(yùn)用分析法及綜合法相結(jié)合來進(jìn)行思考，而直線的斜率k變動(dòng)時(shí)，總有∠OMA=∠OMB，形成不同的解題思路和策略.

視角1 根據(jù)上述分析將直線AM,BM的斜率之和表示出來，利用“kAM+kBM=0”來證明“當(dāng)直線AB的斜率k變動(dòng)時(shí)，總有”∠OMA=∠OMB”成立.

則直線AM的傾斜角與直線BM的傾斜角互補(bǔ)，故∠OMA=∠OMB.

證法2:根據(jù)上述分析將直線AM,BM的斜率之和表示出來，利用“kAM+kBM=0”來證明“當(dāng)直線AB的斜率k變動(dòng)時(shí)，總有“∠OMA=∠OMB”成立.

視角3 根據(jù)題目第(2)問的條件“當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有“∠OMA=∠OMB”可知，角∠AMB的對(duì)稱軸就是x軸，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，直線AM與直線BM關(guān)于x軸對(duì)稱，具體化有點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′一定在直線BM上,故有下面證法．

視角4 根據(jù)題目第(2)問的條件“當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有“∠OMA=∠OMB”可知，結(jié)合圖形特征，MO是∠AMB的角平分線，只需證點(diǎn)O到直線MA和MB的距離相等，沿著這個(gè)思路有下面方法．

當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，得到x1=x2，所以①式成立，故∠OMA=∠OMB.

當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，x1≠x2,∴3(x1+x2)-4-2x1x2=0,以下同解法2.

圖1

證法5：過點(diǎn)A,B分別作橢圓右準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1,B1(如圖1所示)

三、試題溯源

(Ⅰ)當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

(Ⅱ)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

(Ⅱ)當(dāng)b=-a時(shí)，有k1+k2=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，故∠OPM=∠OPN，所以P(0,-a)符合題意.

(Ⅰ)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m,n表示)；

(Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N．問：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

該試題的第1問是由題源1的第一問巧妙特殊化,求直線方程(該直線方程實(shí)際上是橢圓的切線),問題的設(shè)計(jì)降低難度,學(xué)生對(duì)問題易切入,讓學(xué)生信心倍增.試題的第2問是題源1的第2問的探究性問題整合而成的命題證明形式，把題源1使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN中的“當(dāng)k變動(dòng)”省去,增加問題的難度,對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論,加大了思維強(qiáng)度和廣度.

該試題第2問命題的證明是題源2探究問題的形式似曾相識(shí)，但是該題的問題指向性更具體明了，題源2中對(duì)稱性、字母的抽象性、探究是否存在等設(shè)計(jì)省去，有效地降低試題難度，但是該試題設(shè)計(jì)為命題的證明,有效地檢測(cè)學(xué)生對(duì)問題的開展探究、觀察、聯(lián)想、推理等能力的考查，對(duì)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的考查，有意導(dǎo)向、強(qiáng)調(diào)教學(xué)過程增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的探究活動(dòng)，對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng),凸顯了命題專家的良苦用心和對(duì)中學(xué)教師教學(xué)的一種期望.

四、試題拓展

該試題第(2)問的一般化形式(以焦點(diǎn)在x軸為例)：

圖2圖3

將上述的結(jié)論1類比到雙曲線、拋物線可得：

結(jié)論3 已知M(m,0),N(-m,0)(m≠0)是拋物線y2=2px(x>0)的對(duì)稱軸上兩個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)M作與坐標(biāo)軸不平行的直線l與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，則直線AN和BN與x軸成等角.

將上述結(jié)論1、結(jié)論2、結(jié)論3，可以統(tǒng)一為圓錐曲線的一個(gè)性質(zhì)如下：

已知M,N是圓錐曲線的對(duì)稱軸上兩個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)M作與坐標(biāo)軸不平行的直線l與圓錐曲線相交于A,B兩點(diǎn)，則直線AN和BN與x軸成等角.