王 卓 張澤華 王 菁

(北京航空航天大學(xué) 1 航空科學(xué)與工程學(xué)院; 2 物理學(xué)院 北京 100191)

全息照相作為經(jīng)典的三維成像技術(shù)，已廣泛用于教學(xué)和科研中[1-5]，然而其所成像的清晰度(成像質(zhì)量)受曝光量影響很大，而曝光量又受諸多因素影響，如：激光器功率、曝光時(shí)間、擴(kuò)束鏡到干板光程等[1]，初學(xué)者很難自行確定成像清晰的合適條件。

計(jì)算全息作為一種數(shù)字模擬方法采用計(jì)算機(jī)編碼生成全息圖，具有噪聲小、重復(fù)性高、成本低等優(yōu)點(diǎn)[6-8]。采用該技術(shù)預(yù)測傳統(tǒng)干板全息的成像質(zhì)量無疑是一個(gè)不錯(cuò)的想法．依據(jù)采集原理，當(dāng)采集過程中沒有發(fā)生失真時(shí)，傳統(tǒng)干板和數(shù)字采集兩種方法獲得的衍射再生像的光強(qiáng)分布均與原物光強(qiáng)分布成正比，兩者的清晰度可線性比擬[9，10]。而當(dāng)采集介質(zhì)或元件不能準(zhǔn)確記錄原物信息時(shí)，再生像就出現(xiàn)了差別。傳統(tǒng)干板記錄的是物光和參考光干涉的光強(qiáng)分布，當(dāng)CCD局部出現(xiàn)“過曝”(超過閾值)/“曝光不足”(噪點(diǎn)影響明顯)時(shí)，失真區(qū)域會(huì)出現(xiàn)在干涉場曝光量較強(qiáng)/較弱的地方；而計(jì)算全息中CCD直接采集物光光強(qiáng)，失真區(qū)域則為物光曝光量較強(qiáng)/較弱的地方，兩者所對(duì)應(yīng)的區(qū)域不同，還原出的衍射再生像也不同。 由于物光光強(qiáng)分布較為復(fù)雜，理論上很難通過公式推導(dǎo)獲得兩種模式在失真時(shí)得到的再生像清晰度的關(guān)系。

本文將提出一種定量預(yù)測傳統(tǒng)全息成像質(zhì)量的實(shí)驗(yàn)方案，對(duì)計(jì)算全息中的博奇編碼進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計(jì)易于對(duì)照的實(shí)驗(yàn)光路，取曝光時(shí)間為自變量，探究合適的數(shù)據(jù)處理方法，力求通過數(shù)字模擬很好地預(yù)測傳統(tǒng)干板實(shí)驗(yàn)的成像質(zhì)量。

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 干板成像原理

根據(jù)全息成像基本原理[1]，照射到全息干板上物光和參考光的相干光強(qiáng)分布為

(1)

其中，O(x,y)、R(x,y)分別為物光和參考光復(fù)振幅的空間分布。

以參考光為再現(xiàn)光照射沖洗后的干板時(shí)，干板的透過率函數(shù)與干涉光強(qiáng)成正比，衍射場復(fù)振幅空間分布即為

(2)

其中β為比例常數(shù)。從等式最右邊第三項(xiàng)中，即可提取出物光的信息。

1.2 數(shù)字模擬成像原理

本實(shí)驗(yàn)采用博奇編碼算法[11]生成再現(xiàn)像，具體原理如下。

先用CCD只采集目標(biāo)物體的像(以硬幣像為例)，CCD結(jié)構(gòu)特性決定了采集到的是離散的物理光場振幅f(x,y)。

對(duì)二維離散函數(shù)f(x,y)(其中x=0,1,2,…,P-1;y=0,1,2,…,Q-1)進(jìn)行傅里葉變換，即：

(3)

其中，F(xiàn)(μ,v)為物光振幅頻域信息。將參考光振幅和相位均設(shè)為1，物光振幅設(shè)為1，干涉場和衍射場復(fù)振幅空間分布將變?yōu)?/p>

其中φ(μ,ν)為物光的頻域相位。濾去直流項(xiàng)，再經(jīng)過傅里葉逆變換

(6)

圖1 (a) CDD直接采集的物像； (b) 數(shù)字模擬的干涉像； (c) 數(shù)字模擬的衍射像

即可還原出目標(biāo)物體的全部信息，如圖1(b)、(c)分別為目標(biāo)物體的干涉像和衍射再現(xiàn)像(包括共軛像在內(nèi))[11-16]。式(3)和式(6)中，空域變量由x和y表示，頻域變量由μ與v表示[12]。

將離散的物理光場進(jìn)行FFT和博奇編碼處理即可得到同時(shí)具有“振幅信息f(x,y)”和“頻率信息ψ(x,y)”的信號(hào)。需要指出，頻率信息ψ(x,y)雖然不等于相位信息φ(x,y)，但二者的差別僅在于有無“初相φ0(x,y)”，而“初相”只影響成像的深度，即再現(xiàn)像的立體感，不會(huì)對(duì)清晰度的評(píng)價(jià)造成影響，詳見1.3節(jié)清晰度評(píng)價(jià)原理部分。

1.3 清晰度評(píng)價(jià)原理

一幅圖像是否清晰，反映為空域上圖像的邊界及細(xì)節(jié)部分是否清晰，因此可以在空域上對(duì)圖像灰度進(jìn)行微分來獲取圖像的邊緣及細(xì)節(jié)信息。圖像的邊緣是指其周圍像素灰度有階躍變化的那些像素的集合，邊緣點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以直觀地反映出圖像的聚焦程度，因此可以使用邊緣檢測算子[16，17]來計(jì)算圖像的邊緣點(diǎn)數(shù)，以此作為聚焦的判據(jù)。

圖2為9個(gè)像素點(diǎn)組成的小單元，其中心紅色像素點(diǎn)的清晰度評(píng)價(jià)計(jì)算公式如下：

(7)

圖2 清晰度計(jì)算示例

由于本實(shí)驗(yàn)所有需要評(píng)價(jià)的圖像分辨率均一致為256×256，所以只需把各個(gè)像素點(diǎn)得到的計(jì)算值相加，作為評(píng)價(jià)值就可以反映整幅圖像的清晰度[17，18]。因此邊緣灰度變化越劇烈，反映出圖像的清晰度越高。

2 “數(shù)字模擬”類比“傳統(tǒng)干板”實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了探究采集失真時(shí)兩種模式獲得的衍射再生像的清晰度的關(guān)系，我們設(shè)計(jì)了類比實(shí)驗(yàn)。影響成像清晰度的重要原因之一是曝光量，而影響采集介質(zhì)或元件曝光量的因素有很多種.考慮到曝光量是光強(qiáng)關(guān)于時(shí)間的積分[9，10]，且“曝光時(shí)間”更便于查詢與實(shí)驗(yàn)，因此固定干板/CCD處的激光光強(qiáng)(功率)，取曝光時(shí)間作自變量為例進(jìn)行探究。

2.1 “干板全息實(shí)驗(yàn)”光路設(shè)計(jì)

如圖3所示，與傳統(tǒng)的透射式干板全息實(shí)驗(yàn)光路布置類似，利用快門控制曝光時(shí)間，在全息防震實(shí)驗(yàn)臺(tái)上使用相干性良好的He-Ne激光器作為激光源，出射的激光被M1反射后經(jīng)過分束鏡(記透射光為物光、反射光為參考光)，其中物光再次被M2反射，經(jīng)過一焦距為25mm的擴(kuò)束鏡(為觀察簡潔圖中未標(biāo)出)后，被物體(一元硬幣)反射在RSP-I型紅敏光致聚合物全息干板[1,18]上；而參考光則經(jīng)分束鏡反射后再被M3反射，經(jīng)過焦距同樣為25mm的擴(kuò)束鏡(為觀察簡潔圖中未標(biāo)出)擴(kuò)束，照射到全息干板上。與傳統(tǒng)透射式干板全息實(shí)驗(yàn)不同，本文在干板后方增設(shè)一CCD以便收集成像(像素尺寸5.2μm×5.2μm，分辨率1280×1024，實(shí)際使用分辨率256×256)，受限于CCD采集圖像的面積，需要匯聚光線，因此在CCD與干板連線的延長導(dǎo)軌上布置凸透鏡組合(焦距均為50mm)和CCD，并適當(dāng)調(diào)整二者距離，使得顯示終端可以接收到物體清晰的像。

圖3 物光與參考光在全息干板上發(fā)生干涉(虛線激光表示CCD處于未采集狀態(tài))

為實(shí)現(xiàn)精確化與定量化，本文通過導(dǎo)軌調(diào)整物光與參考光光程接近(從分束鏡至干板光程均為120cm，其中擴(kuò)束鏡至干板光程為15cm)、照射干板的物光與參考光夾角為30°、激光器功率為20mW的前提下，使干板上物光和參考光的光斑重合(直徑約2cm)。為獲得較適宜的物光強(qiáng)度，選擇一元硬幣作為被采集物體，利用了其反射光方向性好、光束非明顯發(fā)散的特點(diǎn)。通過快門控制干板曝光時(shí)間，完成顯、定影后將干板放回原處，如圖4所示，拿走原物并以遮光板代之(虛線表示原有硬幣位置)。僅在參考光的照射下，根據(jù)全息干板的衍射特性，無需調(diào)整光路便可在CCD中收集到清晰的衍射再生像。根據(jù)實(shí)際需要控制不同曝光時(shí)間重復(fù)前述步驟即可得到多組衍射再生像。

圖4 CCD收集僅參考光照射下的衍射再生像(虛線物體表示硬幣被遮光板替代)

2.2 “數(shù)字模擬實(shí)驗(yàn)”光路設(shè)計(jì)

如圖5所示，在“干板全息實(shí)驗(yàn)”光路的基礎(chǔ)上，只需將參考光遮住(圖中虛線光路)，并取走全息干板，即為“數(shù)字模擬實(shí)驗(yàn)”光路。很好地保證了與“干板全息實(shí)驗(yàn)”光路的一致性，避免了由于調(diào)整、改變光學(xué)元件及其位置引入的實(shí)驗(yàn)誤差，為實(shí)驗(yàn)結(jié)論的可靠性提供了保障。在顯示終端可以設(shè)置CCD的曝光時(shí)間，根據(jù)需要可以高效、快速地獲得大量待處理的原始物像[20，21]。

數(shù)字模擬實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn)在于只收集物光而不需收集參考光，再利用Matlab進(jìn)行FFT與“博奇編碼”的運(yùn)算處理即可得到模擬的干涉圖和衍射再生像(如圖1(b)、(c))。

圖5 數(shù)字模擬實(shí)驗(yàn)光路(只收集物像)(圖中虛線表示被拿走/遮擋)

3 數(shù)據(jù)結(jié)果分析

3.1 數(shù)據(jù)處理

在干板全息實(shí)驗(yàn)中，對(duì)不同曝光時(shí)間條件下得到的衍射再生像進(jìn)行清晰度評(píng)價(jià)，從而得到一系列對(duì)應(yīng)于傳統(tǒng)干板曝光時(shí)間的、量化的干板清晰度評(píng)價(jià)值；在數(shù)字模擬實(shí)驗(yàn)中，對(duì)CCD采集軟件設(shè)置的不同曝光時(shí)間條件下模擬的衍射再生像進(jìn)行清晰度評(píng)價(jià)，從而得到一系列對(duì)應(yīng)于數(shù)字曝光時(shí)間的、量化的清晰度評(píng)價(jià)值。

圖6 實(shí)驗(yàn)曲線

針對(duì)傳統(tǒng)干板實(shí)驗(yàn)和數(shù)字模擬實(shí)驗(yàn)分別繪制得到兩條“清晰度-曝光時(shí)間”曲線，如圖6(a)、(b)所示。可以看出兩條曲線變化趨勢相似，都存在一個(gè)峰值，峰值附近可取最佳曝光時(shí)間，兩側(cè)清晰度較低的區(qū)域，即為“過曝”或“曝光不足”[19,22]。由于兩條曲線較復(fù)雜，難以直接用單一數(shù)學(xué)方程描述，而將兩條曲線以峰值點(diǎn)為界分割為左右兩部分，在保證最高點(diǎn)完全重合的前提下，分別沿x、y軸方向進(jìn)行平移和壓縮變換，分段進(jìn)行擬合，效果較好。擬合效果如圖7(a)、(b)所示?？梢钥吹阶蟆⒂覂山M曲線能夠很好地?cái)M合在一起，擬合的相關(guān)指數(shù)分別接近0.9999和0.999。

圖7 擬合效果

左段中兩條曲線表達(dá)式分別為

右段中兩條曲線表達(dá)式分別為

其中，y代表清晰度(縱坐標(biāo));x代表曝光時(shí)間(橫坐標(biāo))。

在擬合圖像中并未將雙橫、縱坐標(biāo)全部標(biāo)出，而是取橫坐標(biāo)為干板實(shí)驗(yàn)的曝光時(shí)間，縱坐標(biāo)為數(shù)字實(shí)驗(yàn)的清晰度，此舉將更方便本實(shí)驗(yàn)結(jié)果的應(yīng)用：即給定光路參數(shù)的前提下，讀者可根據(jù)數(shù)字模擬的衍射再生效果圖選擇自己滿意的一系列圖片，每張圖都對(duì)應(yīng)一個(gè)清晰度評(píng)價(jià)值——即可給出清晰度的最低標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而根據(jù)圖表(或根據(jù)第4節(jié)的查詢軟件)找到符合要求的曝光時(shí)間范圍，取此范圍的下限(容許清晰度的最短曝光時(shí)間)作為制作全息干板的指導(dǎo)曝光時(shí)間和學(xué)生實(shí)驗(yàn)的參考時(shí)間，也可以為全息商業(yè)化生產(chǎn)節(jié)省時(shí)間(以本文實(shí)驗(yàn)條件為例，相比保守的參考時(shí)間[18]制作單塊干板可節(jié)省至少60s曝光時(shí)間)，從而大大提高效率以及實(shí)驗(yàn)成功率。特別指出，相同條件下，由于干板清晰度高于數(shù)字清晰度，因此最后實(shí)際獲得的產(chǎn)品比預(yù)期會(huì)更加清晰，盡可能避免由于系統(tǒng)或隨機(jī)誤差導(dǎo)致成像結(jié)果不合預(yù)期的情況。

3.2 數(shù)據(jù)預(yù)測

首先對(duì)3.1節(jié)中提到“分段擬合”過程中的“平移”和“壓縮”變換進(jìn)行進(jìn)一步闡述：對(duì)于某一確定曲線方程，若僅進(jìn)行平移和壓縮變換，可由式(12)～式(15)描述：

即任何曲線的平移、壓縮變換都可以由4個(gè)變量a、b、c、d唯一刻畫.對(duì)于本實(shí)驗(yàn)，考慮到由最高點(diǎn)截?cái)嗟玫降淖笥仪€，則整個(gè)擬合過程將由8個(gè)擬合參數(shù)a1～d1和a2～d2唯一確定。

多次改變實(shí)驗(yàn)條件(如利用導(dǎo)軌控制擴(kuò)束鏡到干板光程、激光器輸出功率等)，重復(fù)前述實(shí)驗(yàn)過程，可以得到對(duì)應(yīng)離散實(shí)驗(yàn)條件下的擬合參數(shù)。需要指出，對(duì)于任意指定實(shí)驗(yàn)條件下的擬合參數(shù)，可以由與其實(shí)驗(yàn)條件鄰近的兩組實(shí)驗(yàn)的參數(shù)進(jìn)行線性插值得到，再結(jié)合對(duì)應(yīng)數(shù)字模擬的曲線結(jié)果即可反演預(yù)測任意指定條件下的傳統(tǒng)干板“清晰度-曝光時(shí)間”曲線.由于數(shù)字模擬實(shí)驗(yàn)速度快、自動(dòng)化程度高，因此可以預(yù)先通過大量實(shí)驗(yàn)將數(shù)字模擬結(jié)果儲(chǔ)存在數(shù)據(jù)庫中，而由于傳統(tǒng)干板實(shí)驗(yàn)耗時(shí)耗力，因此只存儲(chǔ)少量實(shí)驗(yàn)條件下的數(shù)據(jù)(需要實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證每兩組實(shí)驗(yàn)之間恰當(dāng)?shù)臈l件差別，如表1所示，以擴(kuò)束鏡到干板光程為例驗(yàn)證預(yù)測曲線與真實(shí)干板曲線的相關(guān)指數(shù))，其余任一條件下的曲線將由數(shù)字模擬實(shí)驗(yàn)曲線結(jié)合插值得到的擬合參數(shù)進(jìn)行反演預(yù)測。

表1 線性插值間隔合適性驗(yàn)證

3.3 不確定度分析

根據(jù)清晰度評(píng)價(jià)函數(shù)的原理，可在一幅黑色圖片中加入一些環(huán)境因素導(dǎo)致的噪點(diǎn)，用清晰度評(píng)價(jià)函數(shù)對(duì)其處理，從而得到在此種干擾條件下清晰度的不確定度。

因?yàn)楦砂鍖?shí)驗(yàn)所需的曝光時(shí)間較長，而激光器功率又在一個(gè)固定值以較小的幅度波動(dòng)，所以可以認(rèn)為其相對(duì)時(shí)均值的正負(fù)脈動(dòng)偏差可以相互抵消.因此激光器功率波動(dòng)主要影響的是曝光時(shí)間很短的數(shù)字模擬實(shí)驗(yàn)，即采集數(shù)字模擬方法所用物像的過程和采集干板衍射再生像的過程。

3.3.1 干板全息實(shí)驗(yàn)的不確定度分析

實(shí)驗(yàn)表明，矩陣內(nèi)諸如0#0#0#交錯(cuò)分布時(shí)，由評(píng)價(jià)函數(shù)得到的波動(dòng)值最大。所以根據(jù)原圖像大小建立一個(gè)與實(shí)驗(yàn)采集分辨率相同的矩陣(256×256)，取灰度中間值0.5作為浮動(dòng)基準(zhǔn)，假設(shè)因功率波動(dòng)引起的灰度值變化范圍為±0.1，矩陣內(nèi)為如圖8排列，通過公式(7)進(jìn)行清晰度評(píng)價(jià)得到的不確定度經(jīng)修約后為9×103。

考慮到實(shí)際情況中出現(xiàn)這樣密集、規(guī)律分布的可能性很小，所以真實(shí)條件下的變化范圍要小得多，例如若按圖9分布，則通過式(7)進(jìn)行清晰度評(píng)價(jià)得到的不確定度經(jīng)修約后僅為3×103。

常用的清晰度指標(biāo)數(shù)量級(jí)都在106以上，即不確定度小于實(shí)驗(yàn)值的1%，故干板成像判斷清晰度的過程中的誤差是可以接受的。

3.3.2 數(shù)字模擬實(shí)驗(yàn)的不確定度分析

通過與上述相同的方法可以計(jì)算數(shù)字模擬方法的不確定度。通過圖8所示方法,計(jì)算得到的不確定度經(jīng)修約后為104；通過圖9方法，所得不確定度經(jīng)修約后為5×103。

經(jīng)大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，數(shù)字模擬清晰度的不確定度波動(dòng)在103到104之間，而實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析時(shí)所取的清晰度有效結(jié)果均大于106，因此不確定度為實(shí)驗(yàn)值的1%以下，證明數(shù)字模擬及清晰度評(píng)價(jià)過程是可靠的。

圖8 經(jīng)驗(yàn)證的最大波動(dòng)

圖9 實(shí)際波動(dòng)情況舉例

4 軟件化查詢

在實(shí)際應(yīng)用過程中，使用圖7(a)、(b)所述的圖表進(jìn)行人工反演預(yù)測過于繁瑣，因此本文將數(shù)據(jù)集成在一款軟件中，可以輸入目標(biāo)實(shí)驗(yàn)參數(shù)直接查詢：如圖10所示，選擇所使用的干板類型、激光波長、擴(kuò)束鏡到干板光程、激光器功率及照射到干板的物光與參考光夾角，單擊“確定”即可直接得到預(yù)測的傳統(tǒng)干板清晰度曲線?？梢赃M(jìn)一步定量化分析反演預(yù)測曲線：單擊“分析曲線”可見圖11界面，可以輸入曝光時(shí)間，得到對(duì)應(yīng)的清晰度值；也可以輸入預(yù)期清晰度，獲得能實(shí)現(xiàn)該效果的最短曝光時(shí)間，從而大大簡化了使用者的操作，提高了查詢的速度和精確度。

圖10 軟件查詢界面

圖11 定量化“分析曲線”功能

5 結(jié)論

本文針對(duì)再現(xiàn)像失真時(shí)推導(dǎo)成像清晰度的理論局限問題，提出了一種類比預(yù)測的方法，即將干板實(shí)驗(yàn)光路和計(jì)算全息術(shù)中的部分關(guān)鍵技術(shù)(快速傅里葉變換算法、博奇編碼法)結(jié)合，類比預(yù)測傳統(tǒng)干板全息的成像質(zhì)量。實(shí)驗(yàn)中保持傳統(tǒng)干板和數(shù)字模擬實(shí)驗(yàn)采集光路的一致性，對(duì)得到的具有雙橫、縱坐標(biāo)的“清晰度-曝光時(shí)間”曲線進(jìn)行分段擬合，其擬合相關(guān)指數(shù)左半段接近0.9999、右半段接近0.999，提出了“擬合參數(shù)”，并基于插值得到的擬合參數(shù)提出能夠預(yù)測任意實(shí)驗(yàn)條件下傳統(tǒng)干板的“清晰度-曝光時(shí)間”曲線的方法。進(jìn)而提出一款查詢軟件，集成現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)快速預(yù)測以及定量化查詢，避免了人眼讀數(shù)誤差，提高了查詢的精確度和效率。本文旨在給出通用的研究方法，對(duì)于未提及實(shí)驗(yàn)條件的探究方法類似，可以根據(jù)實(shí)際需要完善數(shù)據(jù)庫。該方法可對(duì)實(shí)驗(yàn)教學(xué)和干板批量化生產(chǎn)提供指導(dǎo)。