張敏華

(福州大學陽光學院,福建 福州 350015)

0 引 言

反應擴散方程理論是現(xiàn)代數(shù)學中重要的組成內(nèi)容，在空間上普遍存在著非局部作用。人們通過卷積算子可以對生態(tài)系統(tǒng)以及材料科學領域中空間上的非局部作用進行描述，這就是所謂的非局部擴散方程。非局部性使得反應擴散方程更為復雜化，眾多研究學者對于反應非局部方程的行波解、穩(wěn)定性、爆破以及熄滅等方面進行了大量的研究[1]。

1 文獻綜述

(1)

國內(nèi)眾多研究學者也對非局部擴散方程的爆破解進行了研究，王玉蘭對非局部擴散方程(2)，方程中的m和p大于0和1，在光滑連通區(qū)域內(nèi)的方程存在有限時刻爆破解[4]；杜宛娟與裴海杰同樣對上述類似的方程在Neumann邊界條件下的爆破進行研究證明非負非平凡的解在有限時間T內(nèi)爆破，并對解的生命跨度進行了估計和確定了爆破速率為1/k[4]；

(2)

韓玉柱等人通過采用積分不等式對擴散方程的初值假設條件進行了弱化處理證明了正解存在全局爆破性質并對爆破集進行了估計，并對Neumann邊界條件下的帶有反應項的非局部擴散方程(3)進行了爆破研究，通過研究證明指出當p大于1時非負非平凡解在有限石刻爆破[5]。

(3)

基于此，探討帶有指數(shù)型反應項的非局部擴散方程如(4)所示，

(4)

(5)

T

(6)

定理3： 假定u是問題(4)的解，并在在時刻T爆破，那么解的爆破時間則可以用公式(7)表示，如下所示。

(7)

2 解的局部存在性、唯一性與比較原理

2.1 解的局部存在性、唯一性

那么可以明顯看到方程的解正好是映射在某一個球形區(qū)域的不動點。在對定理1進行證明之前，需要使用到引理1。

引理1： 假定非負函數(shù)u0，v0，且u、v均屬于Xt0，那么就存在一個正的常數(shù)C=C(k,||u||Xt0,||v||Xt0,||J||l∞,Ω)使得‖Tu0(u)-Tv0(v)‖Xt0

u(x,t)-u0(x)

通過對x變量在區(qū)域Ω上進行積分并采用Fubini定理即可以得到如下(8)所示，由此定理1得以證明。

(8)

2.2 比較原理

(9)

下解的定義方式與上解相同，僅僅只需要將式(9)中的≥符號全部更換成≤即可為對下解進行定義。為了得到方程(4)的比較原理，則需要引入極值定理的兩個引理。

引理2的證明如下所示：假定在某些點處u(x,t)為負，即認為u(x,t)小于0。此時令θt(x,t)=e-λtu(x,t)(λ>0,λ≥2sup|c|)，假設在(x0,t0)點時θ達到負的最小值時，那么就有t0大于并且有

θt(x,t)=-ke-kt0u(x0,t0)+e-kt0ut(x0,t0)≥

這與前面假定的θ在點(x0,t0)處產(chǎn)生負的最小值的假設存在矛盾性，則證明了當θ(x,t)大于等于0時，就有引理2的結論。

3 全局存在與爆破

定理2的證明：方程(4)的第一個方程的變量x在區(qū)域Ω上積分，并應用Fubini定理和Jensen不等式則可以得到如下(10)所示的不等式。

(10)

通過對(10)不等式進行變量t進行兩邊積分即可以得到對解的爆破時間估計有T即定理2得以證明。

定理3的證明：假定T<是方程爆破解存在的最大時間，并且使得

(11)

對上述不等式(11)在(t,T)上進行積分便可以得到下式(12)

(12)

(13)

讓ε無限趨向于0，根據(jù)(12)和(13)就可以得到定理3的爆破時間的結論。由此對具有指數(shù)反應項的非局部擴散方程在Neumann邊界條件下解的局部性、唯一性以及解的爆破時間估計與爆破時間等爆破性質全部得以證明。

4 結 論

非局部擴散問題是高等數(shù)學研究的難點內(nèi)容，尤其是對非局部擴散方程的爆破性質的探討是研究的熱點。基于此，對具有指數(shù)反應項的非局部擴散方程進行了解的局部性、唯一性以及爆破生命估計等爆破性質進行討論且以上爆破性質均得到了證明。研究結論顯示，非局部擴散方程的非負非平凡的解在有限時刻爆破，并推導了爆破時間與估算了爆破生命長度。