沈良生, 鄧子龍

(安慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 安慶 246003)

0 引 言

醫(yī)院床位的合理安排涉及醫(yī)院床位利用率、醫(yī)院效益和患者滿意度等多個方面，是典型的多目標(biāo)優(yōu)化問題。針對床位資源的合理配置，學(xué)者們展開了大量研究，文獻(xiàn)[1]從國家政策、醫(yī)院管理、病人結(jié)構(gòu)等方面討論了醫(yī)院床位的使用效率問題；文獻(xiàn)[2]從醫(yī)療市場、疾病譜、醫(yī)學(xué)模式、付費方式等幾個方面，討論了醫(yī)院床位的配置標(biāo)準(zhǔn)；文獻(xiàn)[3]建立了病人等待時間模型，將目標(biāo)函數(shù)設(shè)置為最優(yōu)平均等待時間，將病床安排具體模型化。上述實踐多停留在定性層面或?qū)⒉〈舶才诺刃С蓡文繕?biāo)規(guī)劃問題，沒有綜合考慮醫(yī)院和病人等多方需求。針對醫(yī)院病床安排問題展開研究，將醫(yī)院病床安排轉(zhuǎn)換為多目標(biāo)優(yōu)化模型，并利用多目標(biāo)粒子群算法加以求解。

1 醫(yī)院床位安排問題建模

(1)床位安排的多目標(biāo)優(yōu)化問題

假設(shè)醫(yī)院某科室空余床位N0張，現(xiàn)有n種病的患者排隊住院，每種病包含患者的數(shù)量矩陣為M0，要求從這n中病人中，擇優(yōu)選出N0個病人入院。由于病情嚴(yán)重情況(不考慮急癥需立即安排入院的情況)，即使患相同疾病的患者住院時間及開銷也會不同。設(shè)P0表示入住病人的已等待時間(天數(shù))矩陣，V0表病人入院后的擬住院時間(天數(shù))矩陣，C0表示病人住院期間的醫(yī)療保障支出。

衡量病床安排方案是否最優(yōu)，要從醫(yī)院和患者兩方加以考慮。醫(yī)院方面，通常以病床周轉(zhuǎn)率來衡量病床安排的合理性，周轉(zhuǎn)率最高，等效于病人的總住院時間最短；同時，醫(yī)院還需綜合考慮患者滿意度，患者滿意度主要與病人等待入院時間相關(guān)，即病人等待入院時間越長，入院安排的優(yōu)先級越高。

因此，病床合理安排可歸結(jié)為病人總住院時間最短和已等待時間最長的雙目標(biāo)優(yōu)化。同時，醫(yī)療保障支出是院方與政府的經(jīng)濟支出，一次病床安排所需的醫(yī)療保障支出不宜過高，因此，可將一次病床安排所需的醫(yī)療保障支出作為限制條件。

(2)多目標(biāo)背包問題模型

設(shè)計一種方案，將多種物品放入背包中進行運送，要求運送物品的總價值達(dá)到最大，總體積為最小，同時運送物品質(zhì)量在一定的限制范圍內(nèi)，這就是多目標(biāo)背包問題。假設(shè)物品的種類數(shù)為N，每一個種類包含的物件數(shù)為M，從每類物品中選取一個物件放入背包。待運送物品價值矩陣為P，體積矩陣為V，質(zhì)量為C，選擇矩為X。多目標(biāo)背包問題可用下式描述：

(1)

其中，P、V、X都是M×N的矩陣，Z表示對于背包的質(zhì)量限制。

(3)病床安排與背包問題的轉(zhuǎn)化

病床安排問題與背包問題有相似之處，但也存在差異，如床位數(shù)N0與病種數(shù)n之間并不匹配；安排病人時，不一定按患病種類進行挑選；每種病包含病人數(shù)不一定相同等問題，使病床安排問題不能套用背包模型求解，需進一步處理、簡化。將病床安排問題轉(zhuǎn)化為背包問題求解，可進行以下幾方面簡化：

(1)出于手術(shù)安排方便等原因，醫(yī)院病床安排中常采用“異種病優(yōu)先”原則[3]，每次安排病床時，優(yōu)先選擇患不同病的病人，如眼科空余兩張病床，白內(nèi)障、眼科外傷各有若干患者等待入院，若一張病床安排了白內(nèi)障病人，則另一張病床優(yōu)先安排眼科外傷病人；

(2)床位數(shù)N0與病種數(shù)n不相等時，可直接假設(shè)N0=n,當(dāng)N0小于n時，根據(jù)得到的選擇方案，優(yōu)先安排被選擇的病人，被選擇到但因床位數(shù)未安排的病人，可以確定優(yōu)先級，優(yōu)先安排至下一階段空出病床中；而當(dāng)N0大于n時，從N0張病床中選出n張病床，進行優(yōu)化方案求解，再比較N0-n與n的大小，如(N0-n)>n則繼續(xù)從剩余床位中選擇n張進行床位安排，反之，則按照床位數(shù)小于病種數(shù)的情況進行求解；

(3)每種病包含的病人數(shù)不同，這會導(dǎo)致各矩陣各列包含的元素個數(shù)不同，這種情況下，將每種病包含的病人數(shù)按已等待天數(shù)進行排序，然后，設(shè)n種病中，包含患者數(shù)量最少的為第n0種病，包含患者數(shù)為a,則從各種病中，依據(jù)等待天數(shù)排序后，各選擇a個患者，重新組成各個矩陣。

經(jīng)過以上處理，病床的合理安排問題就可描述為，現(xiàn)有n種病的病患，每種病包含M0個病患，已知所有病患的已等待時間矩陣P0，擬住院時間矩陣V0，醫(yī)保支出矩陣C0。要求從這n種病的病患中，各選擇一個病患，在保證一定醫(yī)保支出的前提下，使選擇的病人已等待時間最長、總住院時間最短。這就將病床安排問題等效為背包問題進行求解。該問題可用公式表示為：

(2)

其中，P0、V0、X0都是的M0×n矩陣，Z0表示對于一次入院安排醫(yī)保支出的限制。

2 經(jīng)典粒子群算法

在經(jīng)典粒子群算法中，所有粒子搜索時都要在限定區(qū)域內(nèi)，并滿足一定的限制條件。假設(shè)粒子在D維空間進行搜索，粒子數(shù)為m，則基本過程描述如下：

(1)初始化粒子位置、速度

隨機初始化粒子的位置和速度，假設(shè)Xi=(xi1,xi2,...,xiD)是粒子i的初始位置；Vi=(vi1,vi2,...,viD)是粒子i的初始速度；

設(shè)集合Pi=(pi1,pi2,...,piD)為單粒子最優(yōu)解，用來記錄粒子i經(jīng)歷過的最好位置；設(shè)集合Pg=(pg1,pg2,...,pgD)為全體粒子最優(yōu)解，用于記錄所有粒子經(jīng)歷過的最好位置。從定義上可以看出，Pg中元素的值對應(yīng)于Pi(i=1,2,...,m)中的最優(yōu)值。

圖1 經(jīng)典粒子群算法流程圖

(2)選擇迭代更新策略

根據(jù)上述參數(shù)，更新位置、速度的公式為：

(3)

其中，d∈[1,2,...,D]，w表示粒子當(dāng)前時刻的狀態(tài)受前一時刻狀態(tài)的影響程度，即慣性權(quán)重；c1、c2為學(xué)習(xí)因子，一般取c1=c2；r1、r2為擾動系數(shù)，用來表示搜索的隨機性，從而增大各粒子的遍歷空間，其通常在[0,1]之間隨機取值。

(3)更新最優(yōu)位置

(4)設(shè)定停機準(zhǔn)則

一般而言，尋優(yōu)算法都要設(shè)定相應(yīng)的停機準(zhǔn)則，普遍遵從以下原則：

1)對迭代次數(shù)進行設(shè)定，使其達(dá)到規(guī)定次數(shù)；2)全局最優(yōu)位置在連續(xù)規(guī)定的次數(shù)內(nèi)沒有變化；3)在連續(xù)規(guī)定次數(shù)內(nèi)，全局最優(yōu)位置的改善量不能大于或等于規(guī)定界限。

圖1所示即為經(jīng)典粒子群算法流程圖。

3 多目標(biāo)粒子群算法

多目標(biāo)粒子群算法相較于經(jīng)典粒子群算法，其目標(biāo)函數(shù)為多個，應(yīng)用時具有一定的局限性。為了解決在應(yīng)用粒子群算法時的局限性問題，對算法進行了如下改進：一是假設(shè)在某次迭代后，某粒子的最優(yōu)位置解不單一，存在多組非劣解，則歷史最優(yōu)解采取隨機選擇的方式從中擇一而定；二是采取某種特定準(zhǔn)則，在眾多粒子的非劣解集中，確定某次迭代后的全體最優(yōu)解，目前而言，根據(jù)“擁擠度”選擇全局最優(yōu)解是較常見的方法，通常情況下，為了保證能夠最大程度的遍歷所有未知區(qū)域，全局最優(yōu)解要在不是特別“擁擠”的區(qū)域選擇。確定各粒子“擁擠度”時，一般采用自適應(yīng)網(wǎng)格法。

綜上所述，多目標(biāo)粒子群算法流程如下所述：

(1)對種群進行初始化，將搜索過程中發(fā)現(xiàn)的全局最優(yōu)解的全體非劣解存儲在某設(shè)定的非劣解集中；

(2)通過迭代、更新產(chǎn)生下一代粒子的位置，并存儲在相對應(yīng)的非劣解集中；

(3)通過篩選比較，從每一個粒子的非劣解集中選出歷史最優(yōu)解，進而確定全局最優(yōu)解的非劣解集；

(4)不斷重復(fù)(2)-(3)，直至滿足停機準(zhǔn)則；

(5)將最終得到的非劣解集輸出。

4 實例分析

為了驗證多目標(biāo)粒子群算法的優(yōu)劣，下面將以醫(yī)院床位安排為實例，分別利用多目標(biāo)粒子群算法、加權(quán)法進行求解，并對結(jié)果進行比較。

參數(shù)設(shè)置：某醫(yī)院眼科現(xiàn)有空余床位5張，現(xiàn)有白內(nèi)障(單眼)、白內(nèi)障(雙眼)、青光眼、視網(wǎng)膜疾病、眼科外傷等5類疾病的患者等待入院，每類疾病排隊等待的患者數(shù)量、已等待天數(shù)、擬住院時間以及估算的醫(yī)保支出如表1所示，要求給出一種合理的病床安排方案，限制條件是一次病床安排醫(yī)保支出不大于85000元。

表1 排隊入院患者參數(shù)表

根據(jù)以上參數(shù)，已等待時間矩陣P0，擬住院時間矩陣V0，醫(yī)保支出矩陣C0可分別表示為：

首先采取多目標(biāo)粒子群算法對該問題進行求解。根據(jù)問題描述，設(shè)粒子維數(shù)為D=5，粒子數(shù)為M=50，最大迭代次數(shù)為N=200，在速度更新時，學(xué)習(xí)因子取值為c1=c2=0.8，慣性因子取值范圍為最大值ωmax=1.2，最小值ωmin=0.1，每次迭代時，慣性因子的計算公式為ω=(ωmax-ωmin)×n/N，其中n表示當(dāng)前迭代次數(shù)，根據(jù)以上設(shè)置參數(shù)進行求解，結(jié)果如下：

表2 多目標(biāo)粒子群算法求解的病床安排方案

注：每一方案中，P0、V0、X0的列數(shù)分別對應(yīng)五類疾病，每一類下選取1-4對應(yīng)P0、V0、X0行數(shù)。

從表2可以看出，通過多目標(biāo)粒子群算法求解，共得出20種醫(yī)院床位安排方案，每種方案對應(yīng)的病人已等待天數(shù)、擬住院時間如圖2所示。

圖2 非劣解集住院時間、等待時間的空間分布情況

根據(jù)圖2可以看出，利用多目標(biāo)粒子群算法能夠得到多種病床安排方案，多種病床安排方案的非劣解集內(nèi)所有點之間，一些在等待時間上占優(yōu)勢，一些在住院時間上占優(yōu)勢，決策者可以綜合考慮各種情況，根據(jù)實際需求來進行選擇。

針對同一問題，選取文獻(xiàn)[6]中的加權(quán)法進行求解，設(shè)置目標(biāo)函數(shù)為：

圖3 加權(quán)法求取結(jié)果與多目標(biāo)粒子群求取結(jié)果的比較

5 結(jié) 論

通過比較可知，利用多目標(biāo)粒子群算法能夠給出所有滿足約束條件的病床安排方案的非劣解集，而運用加權(quán)法，需要不斷重新調(diào)整權(quán)值進行運算，其不同權(quán)值下的解只是多目標(biāo)粒子群算法中非劣解集的一個特例。因此，通過實例分析可以得出，采取多目標(biāo)粒子群算法，能夠更方便決策者綜合考慮各種情況來進行決策，該算法更加有針對性，在實際應(yīng)用中具有一定的參考價值。