劉文斐

(齊魯師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250200)

0 引 言

混疊失真[1]是指在信號(hào)采樣過程中發(fā)生的頻譜混疊現(xiàn)象，在對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行等間隔采樣時(shí)，如果信號(hào)的最高頻率成分大于采樣頻率的一半，即不滿足奈奎斯特采樣定理，那么采樣后高于和低于采樣頻率的信號(hào)將混雜在一起，信號(hào)的頻譜發(fā)生頻譜分量的交疊現(xiàn)象，這就是頻譜混疊失真。發(fā)生頻譜混疊失真的信號(hào)將無法重建，也就是信號(hào)將無法從采樣信號(hào)中進(jìn)行恢復(fù)還原。

1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中發(fā)生混疊失真的原因

IIR(infinite impulse response)濾波器是數(shù)字濾波器中的一種。數(shù)字濾波器按照系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的特點(diǎn)可以分成無限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)IIR濾波器和有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)FIR(finite impulse response)濾波器。IIR濾波器[2]具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、效率高、與模擬濾波器有對(duì)應(yīng)關(guān)系、易于解析控制及計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等優(yōu)點(diǎn)，與FIR濾波器相比，相同階次濾波效果更好。

IIR數(shù)字濾波器一般采用間接設(shè)計(jì)的方法。間接法設(shè)計(jì)是利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)比較成熟，有完整的設(shè)計(jì)公式以及數(shù)據(jù)表格可以直接使用，使得數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)更為方便、高效和快捷。在利用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的間接法設(shè)計(jì)過程中，需要設(shè)計(jì)出歸一化的原型模擬低通濾波器，然后將原型模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)數(shù)字化變換成所需要的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，即把復(fù)數(shù)平面s平面映射到z平面上。模擬濾波器數(shù)字化方法較常采用的是沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。

沖激響應(yīng)不變法[3]是從濾波器的單位抽樣響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(n)逼近模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(t)，頻率間的變化是線性變換關(guān)系，克服了雙線性變換法中非線性頻率變換帶來的臨界頻率點(diǎn)的頻率畸變，所以是最簡(jiǎn)單、最直接的一種把s平面映射到z平面的映射方法。但是這種方法要求模擬濾波器是嚴(yán)格帶限于抽樣頻率的一半，如果不滿足該要求，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)將產(chǎn)生混疊失真。

2 由沖激響應(yīng)不變法產(chǎn)生混疊失真的解決方案

由于高通濾波器和帶阻濾波器它們的幅度響應(yīng)在頻率大于抽樣頻率的一半時(shí)仍不衰減，即不是嚴(yán)格帶限的，所以如果使用沖激響應(yīng)不變法在設(shè)計(jì)的時(shí)候會(huì)發(fā)生頻譜的混疊失真?；谠撉疤釛l件，是否沖激響應(yīng)不變法不能夠設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器呢？如果需要使用沖激響應(yīng)不變法進(jìn)行設(shè)計(jì)怎樣能夠消除在設(shè)計(jì)過程中產(chǎn)生的頻譜混疊失真呢？經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，如果使用“模擬-模擬頻帶變換”的方法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字高通或者是帶阻濾波器，沖激響應(yīng)不變法確實(shí)會(huì)產(chǎn)生混疊失真現(xiàn)象，但是如果使用“數(shù)字-數(shù)字頻帶變換”的方法則不存在該問題。

所謂“模擬-模擬頻帶變換”[3]的方法是先由給定的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)歸一化樣本的模擬低通濾波器，然后利用模擬頻帶變換成其他模擬各種(低通、高通、帶通、帶阻)濾波器，最后將模擬濾波器數(shù)字化成相應(yīng)的數(shù)字濾波器，頻帶變換在模擬信號(hào)域中進(jìn)行，對(duì)模擬濾波器的運(yùn)算設(shè)計(jì)因?yàn)橛泄胶捅砀裰苯邮褂?，所以也是相?duì)來說較常使用的一種方法。與之相區(qū)別的“數(shù)字-數(shù)字頻帶變換”[3]的方法是由給定的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)歸一化樣本的模擬低通濾波器，然后直接數(shù)字化成為數(shù)字低通濾波器，再將數(shù)字低通利用數(shù)字頻帶變換成其他各種通帶的數(shù)字濾波器，頻帶變換在數(shù)字信號(hào)域中進(jìn)行，需要找到不同數(shù)字頻帶間的函數(shù)關(guān)系。使用“數(shù)字-數(shù)字頻帶變換”的方法能夠克服沖激響應(yīng)不變法在模擬濾波器的數(shù)字化映射過程中的頻譜混疊，這是因?yàn)樵谶@種方法中的數(shù)字化過程是將模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)映射為數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，模擬低通濾波器是嚴(yán)格帶限于抽樣頻率的一半的、是抗混疊的，所以不存在頻率混疊失真現(xiàn)象。

3 抗混疊濾波器設(shè)計(jì)實(shí)例

設(shè)計(jì)要求：設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯數(shù)字帶阻濾波器，其技術(shù)指標(biāo)為：在通帶頻率小于6kHz和大于14kHz的范圍內(nèi)，衰減不大于2dB，阻帶截止頻率分別為8kHz和12kHz，阻帶內(nèi)衰減不小于20dB，抽樣頻率為400kHz。

對(duì)于巴特沃斯濾波器來說，通帶的截止頻率是指幅頻大小下降為最大值的0.707倍，即幅度衰減3dB對(duì)應(yīng)的頻率值，給定的技術(shù)指標(biāo)中的通帶頻率不一定為通帶截止頻率。

根據(jù)計(jì)算濾波器階數(shù)為：

通帶截止頻率為

其中RP=2dB，AS=20dB，fp=6kHz，fst=8kHz

如果利用“模擬——模擬頻帶變換”的方法通過沖激響應(yīng)不變法完成模擬濾波器的數(shù)字化過程設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)步驟為：

(1)將待求數(shù)字濾波器(DF)的設(shè)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為模擬低通濾波器(AF)的指標(biāo)；

(4)利用沖激響應(yīng)不變法將H(s)轉(zhuǎn)化為待求帶阻DF的H(z)。

利用MATLAB輔助設(shè)計(jì)，仿真設(shè)計(jì)結(jié)果，主要的設(shè)計(jì)流程和步驟為：

(1)利用[N,WC]=buttord(Wp,Ws,Rp,As) 函數(shù)，根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)確定模擬低通濾波器的階次N及截止頻率WC；

(2)利用[BS,AS]=butter(N,WC) 函數(shù)，創(chuàng)建模擬低通濾波器原型，得到模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母系數(shù)向量BS和AS；

(3)利用[B,A]=lp2bs(BS,AS,WC,B) 函數(shù)，將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為中心頻率為WC、帶寬B為的模擬帶阻濾波器；

(4)利用[Bz,Az]=impinvar(B,A,Fs) 函數(shù)，通過沖激響應(yīng)不變法將模擬高通轉(zhuǎn)化為數(shù)字帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)分子、分母系數(shù)向量Bz和Az；

(5)利用[H,w]=frqze(Bz,Az)函數(shù)，得到數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)。

設(shè)計(jì)結(jié)果如圖1所示。由設(shè)計(jì)結(jié)果可知，利用“模擬-模擬頻帶變換”的方法通過沖激響應(yīng)不變法完成模擬濾波器的數(shù)字化過程設(shè)計(jì)的帶阻濾波器確實(shí)存在頻譜混疊失真，不符合設(shè)計(jì)參數(shù)，達(dá)不到設(shè)計(jì)要求的。

圖1 模擬頻帶變換法設(shè)計(jì)數(shù)字帶阻濾波器頻譜圖

為了消除頻譜失真改變?cè)O(shè)計(jì)方法，利用“數(shù)字-數(shù)字頻帶變換”進(jìn)行設(shè)計(jì)，其設(shè)計(jì)步驟為：

(1)將待求數(shù)字濾波器(DF)的設(shè)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為模擬低通濾波器(AF)的指標(biāo)；

(4)利用數(shù)字頻帶變換將Hl(z)轉(zhuǎn)化成待求帶阻DF對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

由以上流程可知，“數(shù)字-數(shù)字頻帶變換”的實(shí)質(zhì)就是從數(shù)字低通濾波器的Z平面映射到另一個(gè)待求所需類型數(shù)字濾波器的z平面的變化關(guān)系，關(guān)鍵點(diǎn)是找到Z到z的映射函數(shù)[3](318-321)Z-1=G(z-1)，則有H(z)=Hl(Z)|Z-1=G(z-1)。

設(shè)Z=ejθ，z=ejω，則數(shù)字低通映射為數(shù)字帶阻的映射函數(shù)[3]為

其中

θp為數(shù)字低通濾波器通帶截止頻率，ωp1、ωp2為數(shù)字帶阻濾波器通帶截止頻率。根據(jù)映射函數(shù)形式構(gòu)建分子多項(xiàng)式N(z)和分母多項(xiàng)式D(z)，然后利用MATLAB程序自定義映射函數(shù)關(guān)系。

利用MATLAB輔助設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)流程和步驟為：

(1)利用[N,WC]=buttord(Wp,Ws,Rp,As) 函數(shù)，根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)確定模擬低通濾波器的階次N及截止頻率WC；

(2)利用[BS,AS]=butter(N,WC) 函數(shù)，創(chuàng)建模擬低通濾波器原型，得到模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母系數(shù)向量BS和AS；

(3)利用[Bz,Az]=impinvar(B,A,Fs) 函數(shù)，通過沖激響應(yīng)不變法將模擬高通轉(zhuǎn)化為數(shù)字帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)分子、分母系數(shù)向量Bz和Az；

(4)自定義[bz,az]=mapping(Bz,Az,Nz,Dz)映射函數(shù)，求數(shù)字頻帶變換關(guān)系；

(5)調(diào)用mapping函數(shù)，將數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)；

(6)利用[H,w]=frqze(Bz,Az)函數(shù)，得到數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)。

其中自定義mapping函數(shù)為：

function[bz,az]=mapping(Bz,Az,Nz,Dz)

bzord=(length(Bz)-1); %原系統(tǒng)函數(shù)分子階數(shù)

bzord1=(length(Bz)-1)*(length(Nz)-1); %變換后系統(tǒng)函數(shù)分子階數(shù)

azord=(length(Az)-1); %原系統(tǒng)函數(shù)分母階數(shù)

azord1=(length(Az)-1)*(length(Dz)-1); %變換后系統(tǒng)函數(shù)分母階數(shù)

bz=zeros(1,bzord1+1); %分子系數(shù)向量初始化為0

for k=0:bzord %求各多項(xiàng)式乘積結(jié)果

pln=[1];

for l=0:k-1

pln=conv(pln,Nz); %求N(z)的k次乘積

end

pld=[1];

for l=0:bzord-k-1

pld=conv(pld,Dz); %求N(z)的bzord-k次乘積

end

bZZ=Bz(k+1)*conv(pln,pld);

bz=bz+Bz(k+1)*conv(pln,pld); %分子多項(xiàng)式系數(shù)向量求和

end

az=zeros(1,azord1+1)

for k=0:azord

pln=[1];

for l=0:k-1

pln=conv(pln,Nz);

end

pld=[1];

for l=0:azord-k-1

pld=conv(pld,Dz);

end

aZZ=Az(k+1)*conv(pln,pld);

az=az+Az(k+1)*conv(pln,pld); %分母多項(xiàng)式系數(shù)向量求和

end

az1=az(1);

az=az/az1;

bz=bz/az1;

構(gòu)建映射函數(shù)，調(diào)用函數(shù)mapping()實(shí)現(xiàn)數(shù)字帶阻濾波器，主要程序如下。

alpha=cos(p0);

klpha=(tan((P2-P1)/2))*(tan(Wc/2));

d1=-2*alpha/(1+klpha);

d2=(1-klpha)/(1+klpha);

Nz=[d2,d1,1];

Dz=[1,d1,d2];

[bz,az]=mapping(Bz,Az,Nz,Dz);

設(shè)計(jì)結(jié)果如圖3所示。由頻譜圖可以看出，頻率小于6kHz和大于14kHz的范圍屬于通帶范圍，在上通帶頻譜下降3dB的位置對(duì)應(yīng)的頻率大小約為5400kHz，接近于理論值。頻率在8kHz和12kHz之間屬于阻帶，衰減大于20dB，完全滿足設(shè)計(jì)要求。

圖2 消除頻譜混疊失真的數(shù)字帶阻濾波器頻譜圖

圖3 數(shù)字帶阻濾波器設(shè)計(jì)對(duì)比圖

將利用“數(shù)字-數(shù)字頻帶變換”的方法實(shí)現(xiàn)的帶阻濾波器的頻譜與調(diào)用MATLAB中濾波器函數(shù)直接實(shí)現(xiàn)帶阻濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，頻譜對(duì)比圖如圖3所示。由圖可知，利用這兩種方法進(jìn)行設(shè)計(jì)的結(jié)果都基本能滿足設(shè)計(jì)要求，在通帶截止頻率的對(duì)應(yīng)上，“數(shù)字-數(shù)字頻帶變換”的方法對(duì)應(yīng)截止頻率約為5400kHz，直接發(fā)設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)截止頻率約為6800kHz，相比較而言前者設(shè)計(jì)方法誤差更小，更接近設(shè)計(jì)指標(biāo)。另外，使用“數(shù)字-數(shù)字頻帶變換”的方法設(shè)計(jì)的切貝雪夫Ⅰ型濾波器階數(shù)為5階，而直接實(shí)現(xiàn)的濾波器階數(shù)為6階，所以后者設(shè)計(jì)的濾波器在過渡帶的范圍內(nèi)具有更陡的衰減特性，阻帶的截止特性也更良好，但前者設(shè)計(jì)濾波器因?yàn)殡A數(shù)少所以實(shí)際電路實(shí)現(xiàn)更簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)、成本更低。

4 結(jié)果分析及結(jié)論

通過巴特沃斯數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)例可以看出，利用“數(shù)字-數(shù)字頻帶變換”設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器可以滿足設(shè)計(jì)要求，仿真結(jié)果與理論計(jì)算值吻合度較高，驗(yàn)證了設(shè)計(jì)的正確性。并且在完成設(shè)計(jì)任務(wù)、實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)指標(biāo)的同時(shí)消除了由沖激響應(yīng)不變法將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)映射為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)時(shí)帶來的頻譜混疊失真的問題，是一種有效的抗混疊的設(shè)計(jì)方法。